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8/16/2019 Clase Programación Lineal

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PROGRAMACIÓN

LINEAL


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EJEMPLO DE APLICACIÓN: Reddy Mikks produce pinturaspara interiores y exteriores con dos materias primas, M1 yM2. La tabla siguiente proporciona los datos básicos del

problema.

MÉTODO GRÁFICO


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Una encuesta de mercado indica que lademanda diaria de pintura para interioresno puede exceder la de pintura paraexteriores en más de una tonelada.simismo, que la demanda diaria máximade pintura para interiores es de dostoneladas. Reddy Mikks se propone

determinar la !me"or# combinaci$n $ptimade pinturas para interiores y exteriores quemaximice la utilidad diaria total.

MÉTODO GRÁFICO


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DETERMINACIÓN DEL ESPACIODE SOLUCIONES FACTIBLES


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SOLUCIÓN ÓPTIMA


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1. Una compa%&a 'abrica dos productos, A y B. (l)olumen de )entas de A es por lo menos *+ delas )entas totales de A y B. -in embargo, lacompa%&a no puede )ender más de 1++ unidades

de A por d&a. mbos productos utilian unamateria prima, cuya disponibilidad diaria máximaes de 2/+ lb. Las tasas de consumo de la materiaprima son de 2 lb por unidad de A y de / lb por

unidad de B. Las utilidades de A y B son de 02+ y0+, respecti)amente. etermine la combinaci$n$ptima de productos para la compa%&a.

EJERCICIOS


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2. 34emLabs utilia las materias primas I y II paraproducir dos soluciones de limpiea dom5stica, A y B.Las disponibilidades diarias de las materias primas I y IIson de 1+ y 1/ unidades, respecti)amente. Una

unidad de soluci$n A consume . unidades de la materiaprima I, y +.6 unidades de la materia prima II, en tantoque una unidad de la soluci$n B consume +. unidadesde la materia prima I, y ./ unidades de la materia primaII. Las utilidades por unidad de las soluciones A y B son

de 0* y 01+, respecti)amente. La demanda diaria de lasoluci$n A es de entre 7+ y 1+ unidades, y la de lasoluci$n B )a de /+ a 2++ unidades. etermine lascantidades de producci$n $ptimas de A y B.

EJERCICIOS


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(l desarrollo de los cálculos con el m5todosimplex se 'acilita si se imponen dosrequerimientos a las restricciones deprogramaci$n lineal.

1. 8odas las restricciones son ecuacionescon lado derec4o no negati)o.

2. 8odas las )ariables son no negati)as

MÉTODO SIMPLEX


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EJEMPLO DE APLICACIÓN


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9ara determinar la )ariable de salida, calculamos los )aloresde la )ariable de entrada !suponiendo las otras )ariable comocero# en cada la, respecto a la la ;


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Condicin d! o)$i(#&id#d. La )ariable deentrada en un problema de maximiaci$n!minimiaci$n# es la )ariable no básica con elcoeciente más negati)o !positi)o# en la la z. (l

$ptimo se alcana en la iteraci$n en la cual loscoecientes en la la z son no negati)os !nopositi)os#

Condicin d! "#c$i%i&id#d. 8anto en problemasde maximiaci$n como de minimiaci$n, la)ariable de salida es la )ariable básica asociadacon la relaci$n m&nima no negati)a con eldenominador estrictamente positivo.



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1. Fila pivote#. Reemplace la )ariable de salida en la columnaBásica con la )ariable de entrada.

%. ?ue)a la pi)ote @ Aila pi)ote actual B (lemento

pi)ote

2. Todas las demás flas, incluyendo z

N-!/# , 0Fi #c$-#& Co!,ci!n$! d! co&-(n# )i/o$! 3 N-!/#, )i/o$!



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La condici$n de optimalidad muestra que x2es la )ariable de entrada.


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1. ?ue)a la pi)ote x 2 @Aila s2 actual 2. ?ue)a la z @ Aila z actual C?ue)a la x 2 4. ?ue)a la x 1 @ Aila x 1 actual ?ue)a la

x 2 5. ?ue)a la s7 @Aila s7 actual ?ue)a la x 2 6. ?ue)a la s/ Aila s/ actual D!1# ?ue)a

la x 2



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ado que ninguno de los coecientes de lala son negati)os, alcanamos el $ptimo.


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Futc4i 3ompany 'abrica bolsos de mano,bolsos para rasuradora y moc4ilas. Laelaboraci$n incluye piel y materialessint5ticos, y la piel es la materia primaescasa. (l proceso de producci$n requieredos tipos de mano de obra calicada:costura y acabado. La siguiente tabla da ladisponibilidad de los recursos, su consumopor los tres productos y las utilidades porunidad.

EJERCICIO


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EJERCICIO


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#. Aormule el problema como un programalineal, y 4alle la soluci$n $ptima.

%. partir de la soluci$n $ptima,determine el estado de cada recurso.

EJERCICIO


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(s empleado, "unto con el (7$odo d! 'do' "#'!' para resol)er 9Ls quein)olucran .

(n el M5todo M se emplean )ariablesarticiales ;Ri< que se adicionan a lasdesigualdades que no tienen total Golgura #y se penalia con sumando $ restando

)ariables Mi en la 'unci$n ob"eti)o, segHnsea el caso. Minimiar o Máximar ,respecti)amente.

MÉTODO M


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EJEMPLO DE EXPLICACIÓNMÉTODO


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EJEMPLO DE EXPLICACIÓNMÉTODO


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EJEMPLO EXPLICACIÓN MÉTODO


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EJEMPLO EXPLICACIÓN DELMÉTODO

Iásica x1 x2 x7 R1 R2 x/ soluci$n

+ + +,2 CJ*,/ C1++,2 + 7,6

x1 1 + +,2 +,/ C+,2 + +,6

x2 + 1 C+,6 C+,* +,6 + 1,2

x/ + + 1 1 C1 1 1


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EJEMPLO EXPLICACIÓNMÉTODO


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FASE I8 9onga el problema en 'orma deecuaci$n y agregue las )ariables articialesnecesarias a las restricciones !exactamentecomo en el m5todo M#, para tener la

certea de una soluci$n básica. continuaci$n, determine una soluci$nbásica de la ecuaci$n resultante quesiempre minimice la suma de las )ariables

articiales, independientemente de si el 9Les de maximiaci$n o minimiaci$n.

MÉTODO DE DOS FASES


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-i el )alor m&nimo de la suma espositi)o, el problema de 9L no tieneuna soluci$n 'actible. e lo contrario,

si el )alor m&nimo es cero, prosigacon la 'ase >>.

FASE II8 Use la soluci$n 'actible de la

'ase > como una soluci$n 'actiblebásica inicial para el problemaoriginal.

MÉTODO DE LAS DOSFASES


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La tabla asociada es



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A-( >>

(scribimos las columnas de las )ariablesarticiales escribimos el problema como:

EXPLICACIÓN DEL MÉTODO


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La eliminaci$n de las )ariablesarticiales y sus columnas al nal dela 'ase > s$lo puede ocurrir cuando

todas son no básicas !como lo ilustrael e"emplo#. -i una o más )ariablesson básicas !al ni)el cero# al nal de la

'ase >, entonces su eliminaci$nrequiere los siguientes pasosadicionales

COMENTARIOS


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PASO I8 -eleccione una )ariablearticial cero que salga de lasoluci$n básica y designe su la

como fla pivote. La )ariable deentrada puede ser cualuier )ariableno básica !y no articial# con un

coeciente di!erente de cero!positi)o o negati)o# en la la pi)ote.Realice la iteraci$n simplex asociada.

COMENTARIOS


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PASO II8(limine la columna de la)ariable articial !que acaba de salir#de la tabla. -i ya se eliminaron todas

las )ariables articiales, continHe conla 'ase >>. e lo contrario, regrese alpaso 1.

COMENTARIOS


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EJERCICIOS DE APLICACIÓN


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EJERCICIOS DE APLICACIÓN


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Una empresa de manu'actura produce trestipos de accesorios de plástico. (l tiemporequerido para, moldear, decorar y empacarestán dados en la table. !(l tiempo está

dado en 4oras por docena de accesorios#

9UI: II

PROCESO TIPO A TIPO B TIPO C TIEMPODISPONIBLE

MKL(K 1 2 7B2 12,+++

(3KRK 2B7 2B7 1 /,6++

(M93K 1B2 1B7 1B2 2,/++

F??3> 011 016 01


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3uantas docenas de cada tipode adorno deben ser producidaspara obtener la mayor

ganancia

9UI: II

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