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Programación No LinealProgramación No Lineal55Postgrado de Investigación de OperacionesPostgrado de Investigación de OperacionesPostgrado de Investigación de OperacionesPostgrado de Investigación de Operaciones
Prof. Gonzalo Müller [email protected]
Facultad de IngenieríaUniversidad Central de Venezuela
Clase AnteriorClase Anterior
� Programación Convexa.
� Conjuntos convexos:
x = α x1 + (1 – α) x2, ∀α∈ [0, 1], x ∈ S
� Combinación convexa → Combinación lineal no negativa → Combinación lineal.
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negativa → Combinación lineal.
� Combinación convexa:
x = α1 x1 + α2 x2 + … + αm xm, αk ≥ 0, Σ αk = 1
� Punto Interior, Punto Exterior, Frontera, Conjunto Abierto, Conjunto Cerrado.
Clase AnteriorClase Anterior
� Clausura, Conjunto Acotado, Conjunto Compacto.
� Capsula Convexa: Politope y Simplex.
� Teorema de Carathéodory.
� Conjuntos convexos separados.
�
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� Hiperplano.
� Semiespacios.
� Hiperplano separador.
Clase AnteriorClase Anterior
� Tipos de separación: apropiada, estricta y fuerte.
� Separación fuerte → Separación estricta → Separación apropiada.
� Separación entre un conjunto convexo y un punto.
� Hiperplano soporte: Hiperplano propio.
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� Hiperplano soporte: Hiperplano propio.
� Soporte en la frontera de un conjunto convexo.
� Cota Superior, Cota inferior, Supremo, Ínfimo, Máximo, Mínimo.
Existencia de un mínimoExistencia de un mínimo
� Mínimo de una función f:
Sea S ⊂ En, x* es la solución del problema O(f, S) si:
f(x*) ≤ f(x)
∀x∈S ^ x*∈S
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∀x∈S ^ x*∈S
Existencia de un mínimoExistencia de un mínimo
{{{{ }}}}
{{{{ }}}}
f : (a,b] R
f(b) inf f(x) : x (a,b]
y
b min f(x) : x (a,b]
→→→→
= ∈= ∈= ∈= ∈
= ∈= ∈= ∈= ∈
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{{{{ }}}}
f : (a,b) R
f(b) inf f(x) : x (a,b)
y
b no es el mínimo pues b (a,b)
→→→→
= ∈= ∈= ∈= ∈
∉∉∉∉
Existencia de un mínimoExistencia de un mínimo
{{{{ }}}}
f : (a,b] R
inf f(x) : x (a,b]
y
f(b)
luego el mínimo no existe
→→→→
α = ∈α = ∈α = ∈α = ∈
α ≠α ≠α ≠α ≠
αααα
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x
f : (a, ) R
lím f(x)
y no existe mínimo
→∞→∞→∞→∞
∞ →∞ →∞ →∞ →
= −∞= −∞= −∞= −∞
luego el mínimo no existe
Existencia de un mínimoExistencia de un mínimo
� Teorema de Weierstrass (Condición de suficiencia para la existencia de un mínimo):
Si S ⊂ En, S ≠ ∅ y S es compacto toda funcióncontinua f: S → E tiene mínimo.
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Esto es, el problema
min f(x)
s.a: → Tiene solución
x ∈ S
Funciones ConvexasFunciones Convexas
�� FunciónFunción ConvexaConvexa: Una función f en E1 es convexasobre un conjunto convexo S ⊆ En si para dos puntoscualquiera x1, x2∈S:
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
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f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
α∈[0, 1]
Una función convexa sobre S siempre es continua en su interior
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
αf(x1) + [1 – α]f(x2)
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f(αx1 + [1 – α]x2)
f(x2)
f(x1)
x1 x2
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
αf(x1) + [1 – α]f(x2)
S Conjunto convexo
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f(αx1 + [1 – α]x2)
f(x2)
f(x1)
x1 x2
S Conjunto convexo
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
αf(x1) + [1 – α]f(x2)
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f(αx1 + [1 – α]x2)
f(x2)
f(x1)
x1 x2
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
αf(x1) + [1 – α]f(x2)
S Conjunto no convexo
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f(αx1 + [1 – α]x2)
f(x2)
f(x1)
x1 x2
S Conjunto no convexo
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
αf(x1) + [1 – α]f(x2)
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f(αx1 + [1 – α]x2)
f(x2)
f(x1)
x1 x2
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
αf(x1) + [1 – α]f(x2)
S Conjunto convexo
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f(αx1 + [1 – α]x2)
f(x2)
f(x1)
x1 x2
S Conjunto convexo
Funciones ConvexasFunciones Convexas
�� FunciónFunción EstrictamenteEstrictamente ConvexaConvexa: Una función f en E1
es estrictamente convexa sobre un conjunto convexoS ⊆ En si para dos puntos cualquiera x1, x2∈S:
f(αx1 + [1 – α]x2) < αf(x1) + [1 – α]f(x2)
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f(αx1 + [1 – α]x2) < αf(x1) + [1 – α]f(x2)
α∈(0, 1)
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) < αf(x1) + [1 – α]f(x2)
αf(x1) + [1 – α]f(x2)
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f(αx1 + [1 – α]x2)
f(x2)
f(x1)
x1 x2
Una función estrictamente convexa no admite segmentos rectos
Funciones ConvexasFunciones Convexas
Ejemplo 5.1: Demostrar que la siguiente función es convexa sobre R:
f(x) = x2 – 1
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
Ejemplo 5.1: Demostrar que la siguiente función es convexa sobre R:
f(x) = x2 – 1
Sean dos puntos x1, x2∈R:
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Sean dos puntos x1, x2∈R:
x1 = x1, x2 = x2
Funciones ConvexasFunciones Convexas
Ejemplo 5.1: Demostrar que la siguiente función es convexa sobre R:
f(x) = x2 – 1
Sean dos puntos x1, x2∈R:
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Sean dos puntos x1, x2∈R:
x1 = x1, x2 = x2Si f(x) es convexa entonces:
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
Funciones ConvexasFunciones Convexas
αf(x1) + [1 – α]f(x2):
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
αf(x1) + [1 – α]f(x2):
αf(x1) + [1 – α]f(x2) = α(x12 – 1)+[1 – α](x22 – 1)
αf(x1) + [1 – α]f(x2) = αx12 – α + x22 – αx22 – 1 + α
αf(x1) + [1 – α]f(x2) = αx12 + x22 – αx22 – 1
αf(x ) + [1 – α]f(x ) = α[x 2 – x 2] + x 2 – 1
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αf(x1) + [1 – α]f(x2) = α[x12 – x22] + x22 – 1
Funciones ConvexasFunciones Convexas
αf(x1) + [1 – α]f(x2):
αf(x1) + [1 – α]f(x2) = α(x12 – 1)+[1 – α](x22 – 1)
αf(x1) + [1 – α]f(x2) = αx12 – α + x22 – αx22 – 1 + α
αf(x1) + [1 – α]f(x2) = αx12 + x22 – αx22 – 1
αf(x ) + [1 – α]f(x ) = α[x 2 – x 2] + x 2 – 1
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αf(x1) + [1 – α]f(x2) = α[x12 – x22] + x22 – 1
f(αx1 + [1 – α]x2):
Funciones ConvexasFunciones Convexas
αf(x1) + [1 – α]f(x2):
αf(x1) + [1 – α]f(x2) = α(x12 – 1)+[1 – α](x22 – 1)
αf(x1) + [1 – α]f(x2) = αx12 – α + x22 – αx22 – 1 + α
αf(x1) + [1 – α]f(x2) = αx12 + x22 – αx22 – 1
αf(x ) + [1 – α]f(x ) = α[x 2 – x 2] + x 2 – 1
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αf(x1) + [1 – α]f(x2) = α[x12 – x22] + x22 – 1
f(αx1 + [1 – α]x2):
f(αx1+[1 – α]x2) = (αx1 + [1 – α]x2)2 – 1
f(αx1+[1 – α]x2) = α2x12+2α[1 – α]x1x2+[1 – α]2x22–1
f(αx1+[1 – α]x2) = α2x12+[2α–2α2]x1x2+[1–2α+α2]x22–1
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1+[1 – α]x2) = α2x12+2αx1x2–2α2x1x2+x22–2αx22 + α2x22– 1
f(αx1+[1 – α]x2) = α[2x1x2–2x22]+α2[x12 –2x1x2 + x22]+x22 – 1
f(αx1+[1 – α]x2) = α[2x1x2–2x22]+ α2(x1 –x2)2+ x22 – 1
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f(αx1+[1 – α]x2) = α[2x1x2–2x22]+ α2(x1 –x2)2+ x22 – 1
f(αx1+[1 – α]x2) = – α[–2x1x2+x22]+ α2(x1 –x2)2+ x22 –1 + αx12 – αx12 – αx22
f(αx1+[1 – α]x2) = – α[x12–2x1x2+x22]+ α2(x1 –x2)2+ x22
– 1 + α[x12 –x22]
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1+[1 – α]x2) = – α (x1 –x2)2 + α2(x1 –x2)2+ x22 – 1 + α[x12 –x22]
f(αx1+[1 – α]x2)=(α2 – α)(x1 –x2)2+α[x12 –x22]+x22 –1
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1+[1 – α]x2) = – α (x1 –x2)2 + α2(x1 –x2)2+ x22 – 1 + α[x12 –x22]
f(αx1+[1 – α]x2)=(α2 – α)(x1 –x2)2+α[x12 –x22]+x22 –1
f(αx + [1 – α]x ) ≤ αf(x ) + [1 – α]f(x ):
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f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2):
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1+[1 – α]x2) = – α (x1 –x2)2 + α2(x1 –x2)2+ x22 – 1 + α[x12 –x22]
f(αx1+[1 – α]x2)=(α2 – α)(x1 –x2)2+α[x12 –x22]+x22 –1
f(αx + [1 – α]x ) ≤ αf(x ) + [1 – α]f(x ):
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f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2):
(α2 – α)(x1 –x2)2+α[x12 –x22]+x22 –1≤ α[x12 – x22] + x22 – 1
(α2 – α)(x1 –x2)2 ≤ 0
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1+[1 – α]x2) = – α (x1 –x2)2 + α2(x1 –x2)2+ x22 – 1 + α[x12 –x22]
f(αx1+[1 – α]x2)=(α2 – α)(x1 –x2)2+α[x12 –x22]+x22 –1
f(αx + [1 – α]x ) ≤ αf(x ) + [1 – α]f(x ):
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f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2):
(α2 – α)(x1 –x2)2+α[x12 –x22]+x22 –1≤ α[x12 – x22] + x22 – 1
(α2 – α)(x1 –x2)2 ≤ 0 → f(x) = x2 – 1 es convexa
Funciones ConvexasFunciones Convexas
�� FunciónFunción CóncavaCóncava: Una función f en E1 es cóncavasobre un conjunto convexo S ⊆ En si para dos puntoscualquiera x1, x2∈S:
f(αx1 + [1 – α]x2) ≥ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
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f(αx1 + [1 – α]x2) ≥ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
α∈[0, 1]
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) ≥ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
f(αx1 + [1 – α]x2)
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αf(x1) + [1 – α]f(x2)
f(x2)
f(x1)
x1 x2
Si f(x) es convexa entonces –f(x) es cóncava, y viceversa
Funciones ConvexasFunciones Convexas
�� FunciónFunción EstrictamenteEstrictamente CóncavaCóncava: Una función f en E1
es estrictamente cóncava sobre un conjunto convexoS ⊆ En si para dos puntos cualquiera x1, x2∈S:
f(αx1 + [1 – α]x2) > αf(x1) + [1 – α]f(x2)
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f(αx1 + [1 – α]x2) > αf(x1) + [1 – α]f(x2)
α∈[0, 1]
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) > αf(x1) + [1 – α]f(x2)
f(αx1 + [1 – α]x2)
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αf(x1) + [1 – α]f(x2)
f(x2)
f(x1)
x1 x2
Una función estrictamente cóncava no admite segmentos rectos
Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Es Convexa ?
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Es Cóncava ?
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
No es ni cóncava ni convexa sobre el conjunto convexo S en estudio.
f(αx1 + [1 – α]x2)
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αf(x1) + [1 – α]f(x2)
f(x2)
f(x1)
x1 x2
S
Funciones ConvexasFunciones Convexas
�� FunciónFunción ConvexaConvexa: Una función f en E1 es convexasobre un conjunto convexo S ⊆ En si para n puntoscualquiera:
f(α1x1+α2x2+··· +αnxn) ≤ α1f(x1)+α2f(x2)+··· +αnf(xn)
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f(α1x1+α2x2+··· +αnxn) ≤ α1f(x1)+α2f(x2)+··· +αnf(xn)
x1, x2,…, xn∈S
α1+α2+··· +αn = 1
Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Propiedades de un función convexa:
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Propiedades de un función convexa:
� Si una función f es convexa y k ≥ 0 entonces kf esconvexa.
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Propiedades de un función convexa:
� Si una función f es convexa y k ≥ 0 entonces kf esconvexa.
� La suma de dos funciones convexas (cóncavas) esuna función convexa (cóncava).
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una función convexa (cóncava).
Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Propiedades de un función convexa:
� Si una función f es convexa y k ≥ 0 entonces kf esconvexa.
� La suma de dos funciones convexas (cóncavas) esuna función convexa (cóncava).
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una función convexa (cóncava).
� Corolario:
� La combinación lineal no negativa de funcionesconvexas es una función convexa.
Funciones ConvexasFunciones Convexas
Ejemplo 5.2: Demostrar que la siguiente función es convexa sobre R:
f(x) = 2x2 + x – 2
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
Ejemplo 5.2: Demostrar que la siguiente función es convexa sobre R:
f(x) = 2x2 + x – 2
f(x) = f (x) + f (x)
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f(x) = f1(x) + f2(x)
si f1(x) y f2(x) son convexas entonces f(x) es convexa:
f1(x) = 2x2 – 2
f2(x) = x
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f1(x) = 2x2 – 2 = 2 f3(x)
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
f1(x) = 2x2 – 2 = 2 f3(x)
si f3(x) es convexa entonces 2 f3(x) es convexa
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
f1(x) = 2x2 – 2 = 2 f3(x)
si f3(x) es convexa entonces 2 f3(x) es convexa
f3(x) = x2 – 1 es convexa → f1(x) es convexa
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
f1(x) = 2x2 – 2 = 2 f3(x)
si f3(x) es convexa entonces 2 f3(x) es convexa
f3(x) = x2 – 1 es convexa → f1(x) es convexa
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f2(x) = x es convexa si dados dos puntos x1, x2 se satisface:
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) = αx1 + [1 – α]x2αf(x1) + [1 – α]f(x2) = αx1 + [1 – α]x2
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) = αx1 + [1 – α]x2αf(x1) + [1 – α]f(x2) = αx1 + [1 – α]x2
↓
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
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Se satisface
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) = αx1 + [1 – α]x2αf(x1) + [1 – α]f(x2) = αx1 + [1 – α]x2
↓
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
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Se satisface
↓
f1(x) y f2(x) es convexa
↓
f(x) es convexa
Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Propiedades de una función convexa:
� Una función convexa puede ser discontinua y estasdiscontinuidades solo pueden ocurrir en losextremos del dominio efectivo.
� El dominio efectivo ED:
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� El dominio efectivo ED:
ED(f) = {x | x∈En, f(x) < +∞}
Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Si f es una función convexa sobre un conjuntoconvexo S ⊂ En,
Entonces, el conjuntoW = {x | x ∈ S, f(x) ≤ c}
∀c ∈ E
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Función convexa
f(x)
Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Si f es una función convexa sobre un conjuntoconvexo S ⊂ En,
Entonces, el conjuntoW = {x | x ∈ S, f(x) ≤ c}
∀c ∈ E
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c
W
Conjunto convexoFunción convexa
f(x)
Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Todo mínimo local de una función convexa f sobreEn es un mínimo global de f sobre En.
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Todo mínimo local de una función convexa f sobreEn es un mínimo global de f sobre En.
� Si f es una función convexa sobre En y S ⊂ En es unconjunto convexo, entonces todo mínimo local de fen x*∈ S es un mínimo global sobre todo S.
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en x ∈ S es un mínimo global sobre todo S.
Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Todo mínimo local de una función convexa f sobreEn es un mínimo global de f sobre En.
� Si f es una función convexa sobre En y S ⊂ En es unconjunto convexo, entonces todo mínimo local de fen x*∈ S es un mínimo global sobre todo S.
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en x ∈ S es un mínimo global sobre todo S.
� Si f es una función estrictamente convexa sobre En
y S ⊂ En es un conjunto convexo, entonces elmínimo local de f en x*∈ S es el único mínimoglobal sobre todo S.
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
Ejemplo 5.3: Determinar el óptimo de la siguiente función:
f(x) = x2 – 1
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Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
Ejemplo 5.3: Determinar el óptimo de la siguiente función:
f(x) = x2 – 1
Condición suficiente para un mínimo local estricto de
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Condición suficiente para un mínimo local estricto de O(f):
∇f(x*) = 0 ^ zT∇2f(x*)z > 0
∀∀∀∀ z ≠ 0, z∈En
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
∇f(x) = 2x = 0
↓
x = 0
Dado z = z:
∇2f(x) = 2
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∇2f(x) = 2
zT∇2f(x*)z = 2 · z2
2 · z2 > 0 ∀∀∀∀ z, z ≠ 0
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
∇f(x) = 2x = 0
↓
x = 0
Dado z = z:
∇2f(x) = 2
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∇2f(x) = 2
zT∇2f(x*)z = 2 · z2
2 · z2 > 0 ∀∀∀∀ z, z ≠ 0→ Mínimo Local Estricto
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
∇f(x) = 2x = 0
↓
x = 0
Dado z = z:
∇2f(x) = 2
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 61
∇2f(x) = 2
zT∇2f(x*)z = 2 · z2
2 · z2 > 0 ∀∀∀∀ z, z ≠ 0→ Mínimo Local Estricto
f(x) es convexa → Mínimo GLOBAL Estricto
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
∇f(x) = 2x = 0
↓
x = 0
Dado z = z:
∇2f(x) = 2
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 62
∇2f(x) = 2
zT∇2f(x*)z = 2 · z2
2 · z2 > 0 ∀∀∀∀ z, z ≠ 0→ Mínimo Local Estricto
f(x) es convexa → Mínimo GLOBAL Estricto
f(x) es estrictamente convexa → Único Mínimo GLOBAL
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
� Problema de optimización convexa:
Dada una función f convexa:
f: En → E1
Dado un conjunto S definido por:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 63
S: gk ≥ 0, hj = 0
gk: funciones cóncavas
hj: funciones lineales
� S constituye un conjunto convexo cerrado.
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
El Problema de Optimización Convexa OC(f, S) consiste en encontrar x* ∈ S tal que:
f(x*) ≤ f(y)
∀ y ∈ S
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 64
∀ y ∈ S
por si solas hj son funciones no lineales convexas y/o
concavas, pero no constituyen un conjunto convexo
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
� Teorema de Kuhn-Tucker (Condición Necesaria)
Dadas f, gk y hj funciones diferenciables continuasconvexa, cóncavas y lineales en S, respectivamente.
Si existen un x* que satisfaga:
gk ≥ 0, hj = 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 65
gk ≥ 0, hj = 0
y existen vectores λ* y µ* tales que:
∇x, λL (x*, λ*, µ*) = 0
µk* gk(x*) = 0 k=1,…,m
µ* ≥ 0
Entonces, x* es un óptimo global de OC(f, S)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
� Condición de Slater
Un problema de optimización O(f, S) es fuertemente consistente si existe un punto x0 tal que:
gk(x0) > 0 k=1,…, m
h (x0) = 0 j=1,…, p
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 66
hj(x0) = 0 j=1,…, p
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
� Teorema de Kuhn-Tucker
(Condición Necesaria y Suficiente)
Dado un problema OC(f, S) fuertemente consistente y f,gk y hj funciones diferenciables continuas convexa,cóncavas y lineales en S, respectivamente, y hj linealmenteindependientes.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 67
independientes.
Si x* es un óptimo de OC(f, S). Entonces, existen vectores λ* y µ* tales que:
∇x, λL (x*, λ*, µ*) = 0
µk* gk(x*) = 0 k=1,…,m
µ* ≥ 0
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
Ejemplo 5.4: Determinar la solución del siguiente problema:
min x12 + x22 – 1
s. a:
(x – 4)2+ x 2 ≤ 18
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 68
(x1 – 4)2+ x22 ≤ 18
x1 + x2 = 4
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
Ejemplo 5.4: Determinar la solución del siguiente problema:
min x12 + x22 – 1
s. a:
(x – 4)2+ x 2 ≤ 18
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 69
(x1 – 4)2+ x22 ≤ 18
x1 + x2 = 4
Convexa
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
Ejemplo 5.4: Determinar la solución del siguiente problema:
min x12 + x22 – 1
s. a:
– (x – 4)2 – x 2 ≥ – 18
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 70
– (x1 – 4)2 – x22 ≥ – 18
x1 + x2 = 4
Cóncava
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
Las funciones pertinentes:
f(x) = x12 + x22 – 1
g1(x) = 18 – (x1 – 4)2 – x22
h1(x) = x1 + x2 – 4
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 71
Construir el Langrangeano:
L(x, λ, µ) = x12 + x22 – 1 – µ1(18 – (x1 – 4)2 – x22) – λ1(x1 + x2 – 4)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
Encontrar el punto estacionario:
∇x, λL(x, λ, µ) = 2x1 + 2µ1(x1 – 4) – λ12x2 + 2µ1x2 – λ1x1 + x2 – 4
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 72
↓
2x1 + 2µ1(x1 – 4) – λ1 = 0
2x2 + 2µ1x2 – λ1 = 0
x1 + x2 – 4 = 0
µ1(18 – (x1 – 4)2 – x2 2) = 0
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
µ1(18 – (x1 – 4)2 – x2 2) = 0:
µ1 = 0
ó
18 – (x1 – 4)2 – x2 2 = 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 73
µ1 = 0:
2x1 – λ1 = 0 → λ1 = 2x12x2 – λ1 = 0 → λ1 = 2x2x1 = x2
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
x1 + x1 = 4
2x1 = 4
x1 = 2 x2 = 2 λ1 = 4 µ1 = 0
↓
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 74
Se satisfacen las condiciones de Kuhn-Tucker
↓
Es un óptimo → Es un mínimo local → Es un mínimo global
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
18 – (x1 – 4)2 – x2 2 = 0:
x2 2 = 18 – (x1 – 4)2
Además debe satisfacer:
x1 + x2 = 4
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 75
↓
x1 = 4 – x2x2 2 = 18 – (4 – x2 – 4)2
x2 2 = 18 – x22
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
2x2 2 = 18
x2 = ±3
x2 = +3:
x1 = 4 – x2 = 4 – 3= 1
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 76
El nuevo sistema será:
2(1) + 2µ1(1 – 4) – λ1 = 0
2(3) + 2µ13 – λ1 = 0
2 – 6µ1 – λ1 = 0
6 + 6µ1 – λ1 = 0
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
λ1 = 2 – 6µ1
6 + 6µ1 – (2 – 6µ1) = 0
6 + 6µ1 – 2 + 6µ1 = 0
4 + 12µ1 = 0
µ = – 1/3 < 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 77
µ1 = – 1/3 < 0
↓
No Satisfacen las condiciones de Kuhn-Tucker
↓
No es un óptimo
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
x2 = –3:
x1 = 4 – x2 = 4 + 3= 7
El nuevo sistema será:
2(7) + 2µ1(7 – 4) – λ1 = 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 78
–2(3) – 2µ13 – λ1 = 0
14 + 6µ1 – λ1 = 0
– 6 – 6µ1 – λ1 = 0
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
λ1 = 14 + 6µ1
– 6 – 6µ1 – (14 + 6µ1) = 0
– 6 – 6µ1 – 14 – 6µ1 = 0
– 20 – 12µ1 = 0
µ = – 5/3 < 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 79
µ1 = – 5/3 < 0
↓
No Satisfacen las condiciones de Kuhn-Tucker
↓
No es un óptimo
Recuerde que si la función es
estrictamente convexa solo un
punto debería satisfacer las
condiciones de Kuhn-Tucker
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción ConvexaConvexa: Una función f en E1 diferenciablesobre un conjunto convexo S ⊆ En es convexa si parados puntos cualquiera x1, x2∈S se satisface:
f(x2) ≥ f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 80
f(x2) ≥ f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
f(x2)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción ConvexaConvexa: Una función f en E1 diferenciablesobre un conjunto convexo S ⊆ En es convexa si parados puntos cualquiera x1, x2∈S se satisface:
f(x2) ≥ f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 81
f(x2) ≥ f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
f(x2)
f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción ConvexaConvexa: Una función f en E1 diferenciablesobre un conjunto convexo S ⊆ En es convexa si parados puntos cualquiera x1, x2∈S se satisface:
f(x2) ≥ f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 82
f(x2) ≥ f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
f(x2)
f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
f(x2) ≥ f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción EstrictamenteEstrictamente ConvexaConvexa: Una función f en E1
diferenciable sobre un conjunto convexo S ⊆ En esestrictamente convexa si para dos puntos cualquierax1, x2∈S se satisface:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 83
f(x2) > f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
Ejemplo 5.5: Demostrar que la siguiente función diferenciable es convexa:
f(x) = x2 – 1
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 84
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
Ejemplo 5.5: Demostrar que la siguiente función diferenciable es convexa:
f(x) = x2 – 1
Sean dos puntos x1, x2∈R:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 85
Sean dos puntos x1, x2∈R:
x1 = x1, x2 = x2
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
Ejemplo 5.5: Demostrar que la siguiente función diferenciable es convexa:
f(x) = x2 – 1
Sean dos puntos x1, x2∈R:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 86
Sean dos puntos x1, x2∈R:
x1 = x1, x2 = x2Si f(x) es convexa entonces:
f(x2) ≥ f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
f(x) = x2 – 1, ∇f(x) = 2x
x22 – 1 ≥ x12 – 1 + (x2 – x1)T 2x1x22 ≥ x12 + (x2 – x1) 2x1x22 ≥ x12 + 2x1x2 – 2x12
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 87
x22 ≥ 2x1x2 – x12
x22 – 2x1x2 + x12 ≥ 0
(x2 – x1)2 ≥ 0
↓
f(x) = x2 – 1 es convexa
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción ConcavaConcava: Una función f en E1 diferenciablesobre un conjunto convexo S ⊆ En es concava si parados puntos cualquiera x1, x2∈S se satisface:
f(x2) ≤ f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 88
f(x2) ≤ f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción EstrictamenteEstrictamente ConcavaConcava: Una función f en E1
diferenciable sobre un conjunto convexo S ⊆ En esestrictamente concava si para dos puntos cualquierax1, x2∈S se satisface:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 89
f(x2) < f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción ConvexaConvexa: Una función f en E1 diferenciablesobre un conjunto convexo S ⊆ En es convexa sobreéste si para dos puntos cualquiera x1, x2∈S se satisface:
(x2 – x1)T [∇f(x2) – ∇f(x1)] ≥ 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 90
(x2 – x1)T [∇f(x2) – ∇f(x1)] ≥ 0
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción EstrictamenteEstrictamente ConvexaConvexa: Una función f en E1
diferenciable sobre un conjunto convexo S en En esestrictamente convexa sobre éste si para dos puntoscualquiera x1, x2∈S se satisface:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 91
(x2 – x1)T [∇f(x2) – ∇f(x1)] > 0
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
Ejemplo 5.6: Demostrar que la siguiente función diferenciable es convexa:
f(x) = x2 – 1
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 92
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
Ejemplo 5.6: Demostrar que la siguiente función diferenciable es convexa:
f(x) = x2 – 1
Sean dos puntos x1, x2∈R:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 93
Sean dos puntos x1, x2∈R:
x1 = x1, x2 = x2
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
Ejemplo 5.6: Demostrar que la siguiente función diferenciable es convexa:
f(x) = x2 – 1
Sean dos puntos x1, x2∈R:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 94
Sean dos puntos x1, x2∈R:
x1 = x1, x2 = x2Si f(x) es convexa entonces:
(x1 – x2)T [∇f(x1) – ∇f(x2)] ≥ 0
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
f(x) = x2 – 1, ∇f(x) = 2x
(x1 – x2)T [2x1 – 2x2] ≥ 0
(x1 – x2) [2x1 – 2x2] ≥ 0
2(x1 – x2)(x1 – x2) ≥ 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 95
2(x1 – x2)2 ≥ 0
↓
f(x) = x2 – 1 es convexa
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción ConvexaConvexa: Una función f en E1 diferenciablesobre un conjunto convexo S ⊆ En es convexa sobreéste si para dos puntos cualquiera x1, x2∈S se satisface:
(x2 – x1)T [∇f(x2) – ∇f(x1)] ≥ 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 96
(x2 – x1)T [∇f(x2) – ∇f(x1)] ≥ 0
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción EstrictamenteEstrictamente ConvexaConvexa: Una función f en E1
diferenciable sobre un conjunto convexo S en En esestrictamente convexa sobre éste si para dos puntoscualquiera x1, x2∈S se satisface:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 97
(x2 – x1)T [∇f(x2) – ∇f(x1)] > 0
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción ConvexaConvexa: Una función f en E1 doblementediferenciable sobre un conjunto convexo abierto S ⊂
En es convexa sobre éste si su hessiano es semi-definido positivo:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 98
z T· ∇2f(x)· z ≥ 0
∀∀∀∀ z ∈ En
∀∀∀∀ x ∈ S
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción CóncavaCóncava: Una función f en E1 doblementediferenciable sobre un conjunto convexo abierto S ⊂
En es cóncava sobre éste si su hessiano es semi-definido negativo:
z T· ∇2f(x)· z ≤ 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 99
z · ∇ f(x)· z ≤ 0
∀∀∀∀ z ∈ En
∀∀∀∀ x ∈ S
Las condiciones de 2º Orden no
son aplicables a las estrictamente
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
Ejemplo 5.7: Demostrar que la siguiente función diferenciable es convexa:
f(x) = x2 – 1
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 100
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
Ejemplo 5.7: Demostrar que la siguiente función diferenciable es convexa:
f(x) = x2 – 1
Dado z = z:
Si f(x) es convexa entonces:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 101
Si f(x) es convexa entonces:
z T· ∇2f(x)· z ≥ 0
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
Ejemplo 5.7: Demostrar que la siguiente función diferenciable es convexa:
f(x) = x2 – 1
Dado z = z:
Si f(x) es convexa entonces:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 102
Si f(x) es convexa entonces:
z T· ∇2f(x)· z ≥ 0
∇f(x) = 2x, ∇2f(x) = 2
z · 2· z ≥ 0
z2 · 2 ≥ 0 → f(x) es convexa
Optimización de Funciones Convexas D.Optimización de Funciones Convexas D.
�� Minimizando una función diferenciable convexa Minimizando una función diferenciable convexa (Condición Necesaria y Suficiente)
Sea el siguiente problema de O(f, S) de una función f diferenciable convexa sobre un conjunto convexo S:
� Si x* es una solución óptima.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 103
� Si x* es una solución óptima.
Entonces ∇f(x*)T(x – x*) ≥ 0 para todos los x∈S
� Si S es un conjunto abierto.
Entonces ∇f(x*) = 0
No es necesario verificar
condiciones de 2º Orden
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� FunciónFunción CuasiconvexaCuasiconvexa: Una función f en E1 escuasiconvexa sobre un conjunto convexo S en En sipara dos puntos cualquiera x1, x2∈ S:
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ max{f(x1),f(x2)}
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 104
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ max{f(x1),f(x2)}
α ∈[0, 1]
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� FunciónFunción CuasiconvexaCuasiconvexa: Una función f en E1 escuasiconvexa sobre un conjunto convexo S en En sipara dos puntos cualquiera x1, x2∈ S:
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ max{f(x1),f(x2)}
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 105
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ max{f(x1),f(x2)}
α ∈[0, 1]
↓
si f(x1) ≥ f(x2) entonces f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ f(x1) para todo x1, x2 ∈ S.
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ max{f(x1),f(x2)}
max{f(x1),f(x2)}
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 106
1 2
f(x2)
f(x1)
x1 x2
f(λx1+ [1 – λ]x2)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� Propiedades de una función CuasiconvexaPropiedades de una función Cuasiconvexa:
� No todo mínimo local es un mínimo global.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 107
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� Propiedades de una función CuasiconvexaPropiedades de una función Cuasiconvexa:
� No todo mínimo local es un mínimo global.
� Un mínimo local no global no puede ser estricto.
� Si x ∈ S es un mínimo estricto de f, entonces estambién un mínimo global de f sobre S.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 108
también un mínimo global de f sobre S.
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� Propiedades de una función CuasiconvexaPropiedades de una función Cuasiconvexa:
� No todo mínimo local es un mínimo global.
� Un mínimo local no global no puede ser estricto.
� Si x ∈ S es un mínimo estricto de f, entonces estambién un mínimo global de f sobre S.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 109
también un mínimo global de f sobre S.
� Puede contener discontinuidades.
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� FunciónFunción FuertementeFuertemente CuasiconvexaCuasiconvexa: Una función f enE1 es fuertemente cuasiconvexa sobre un conjuntoconvexo S en En si para dos puntos cualquiera x1,x2∈S, tales que x1 ≠ x2:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 110
f(αx1 + [1 – α]x2) < max{f(x1),f(x2)}
∀α ∈ (0, 1)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
f(αx1 + [1 – α]x2) < max{f(x1),f(x2)}
f(x )
max{f(x1),f(x2)}
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 111
f(x2)
f(x1)
x1 x2
f(λx1+ [1 – λ]x2)
Una función fuertemente cuasiconvexa
no admite segmentos horizontales
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� Propiedades de una función Fuertemente Propiedades de una función Fuertemente CuasiconvexaCuasiconvexa:
� Un mínimo local es el único mínimo y por ende elúnico mínimo global.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 112
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� Propiedades de una función Fuertemente Propiedades de una función Fuertemente CuasiconvexaCuasiconvexa:
� Un mínimo local es el único mínimo y por ende elúnico mínimo global.
� Toda función Estrictamente Convexa también es
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 113
� Toda función Estrictamente Convexa también esFuertemente Cuasiconvexa.
� Toda función Fuertemente Cuasiconvexa esCuasiconvexa.
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� FunciónFunción EstrictamenteEstrictamente CuasiconvexaCuasiconvexa: Una función fen E1 es estrictamente cuasiconvexa sobre unconjunto convexo S en En si para dos cualquiera x1, x2
∈ S, tales que f(x1) ≠ f(x2):
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 114
f(αx1 + [1 – α]x2) < max{f(x1),f(x2)}
∀α ∈ (0, 1)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
f(αx1 + [1 – α]x2) < max{f(x1),f(x2)}
max{f(x1),f(x2)}
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 115
f(x1)=f(x2)
x1 x2
f(αx1+ [1 – α]x2)
puntos no válidos: f(x1)=f(x2)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
f(αx1 + [1 – α]x2) < max{f(x1),f(x2)}
max{f(x1),f(x2)}
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 116
f(x2)
f(x1)
x1 x2
f(αx1+ [1 – α]x2)
No se satisface:
f(αx1 + [1 – α]x2) < max{f(x1),f(x2)}
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
f(αx1 + [1 – α]x2) < max{f(x1),f(x2)}
max{f(x1),f(x2)}
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 117
Una función estrictamente cuasiconvexa solo
admite un segmento horizontal en el mínimo
f(x2)
f(x1)
x1 x2
f(αx1+ [1 – α]x2)
f(x1*) =f(x2*)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� Propiedades de una función Estrictamente Propiedades de una función Estrictamente CuasiconvexaCuasiconvexa:
� Todo mínimo local es un mínimo global.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 118
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� Propiedades de una función Estrictamente Propiedades de una función Estrictamente CuasiconvexaCuasiconvexa:
� Todo mínimo local es un mínimo global.
� Toda función Convexa también es EstrictamenteCuasiconvexa.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 119
Cuasiconvexa.
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� Propiedades de una función Estrictamente Propiedades de una función Estrictamente CuasiconvexaCuasiconvexa:
� Todo mínimo local es un mínimo global.
� Toda función Convexa también es EstrictamenteCuasiconvexa.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 120
Cuasiconvexa.
� Toda función Fuertemente Cuasiconvexa tambiénes Estrictamente Cuasiconvexa.
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� Propiedades de una función Estrictamente Propiedades de una función Estrictamente CuasiconvexaCuasiconvexa:
� Todo mínimo local es un mínimo global.
� Toda función Convexa también es EstrictamenteCuasiconvexa.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 121
Cuasiconvexa.
� Toda función Fuertemente Cuasiconvexa tambiénes Estrictamente Cuasiconvexa.
� No toda función Estrictamente Cuasiconvexa esCuasiconvexa.
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
Ejemplo 5.8: La siguiente función diferenciable es estrictamente cuasiconvexa pero no cuasiconvexa:
1 x = 0
f(x) = (Karamardian 1967)
0 x ≠ 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 122
0 x ≠ 0
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
Ejemplo 5.8: La siguiente función diferenciable es estrictamente cuasiconvexa pero no cuasiconvexa:
1 x = 0
f(x) = (Karamardian 1967)
0 x ≠ 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 123
0 x ≠ 0
1. Solo es posible evaluar si es estrictamente cuasiconvexa para x1 = 0 y x1 ≠ 0 o viceversa de lo contrario f(x1) = f(x2). f(αx1 + [1 – α]x2) < 1
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
Ejemplo 5.8: La siguiente función diferenciable es estrictamente cuasiconvexa pero no cuasiconvexa:
1 x = 0
f(x) = (Karamardian 1967)
0 x ≠ 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 124
0 x ≠ 0
1. Solo es posible evaluar si es estrictamente cuasiconvexa para x1 = 0 y x1 ≠ 0 o viceversa de lo contrario f(x1) = f(x2). f(αx1 + [1 – α]x2) < 1
2. Si x1 > 0, x2 <0 para algun α f(αx1 + [1 – α]x2) = 1
1 > max{f(x1),f(x2)} → f(x) no es cuasiconvexa
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� FunciónFunción CuasicóncavaCuasicóncava: Una función f en E1 escuasicóncava sobre un conjunto convexo S en En sipara dos puntos cualquiera x1, x2∈S:
f(αx1 + [1 – α]x2) ≥ min{f(x1),f(x2)}
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 125
f(αx1 + [1 – α]x2) ≥ min{f(x1),f(x2)}
α ∈(0, 1)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� FunciónFunción CuasicóncavaCuasicóncava: Una función f en E1 escuasicóncava sobre un conjunto convexo S en En sipara dos puntos cualquiera x1, x2∈S:
f(αx1 + [1 – α]x2) ≥ min{f(x1),f(x2)}
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 126
f(αx1 + [1 – α]x2) ≥ min{f(x1),f(x2)}
α ∈(0, 1)
↓
si f(x1) ≥ f(x2) entonces f(αx1 + [1 – α]x2) ≥ f(x2) para todo x1, x2 ∈ S.
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
f(αx1 + [1 – α]x2) ≥ min{f(x1),f(x2)}
f(λx1+ [1 – λ]x2)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 127
f(x1)
f(x2)
x1 x2
min{f(x1),f(x2)}
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� FunciónFunción CuasiconvexaCuasiconvexa: Una función f en E1
diferenciable sobre un conjunto convexo S ⊂ En escuasiconvexa sobre éste si y sólo si para dos puntoscualquiera x1, x2∈S tales que f(x1) ≤ f(x2) se satisface:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 128
(x1 – x2)T ∇f(x2) ≤ 0
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� FunciónFunción CuasiconcavaCuasiconcava: Una función f en E1
diferenciable sobre un conjunto convexo S ⊂ En escuasiconcava sobre éste si y sólo si para dos puntoscualquiera x1, x2∈S tales que f(x1) ≥ f(x2) se satisface:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 129
(x1 – x2)T ∇f(x2) ≥ 0
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
Ejemplo 5.9: Demostrar que la siguiente función diferenciable es cuasiconvexa:
f(x) = x2 – 1
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 130
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
Ejemplo 5.9: Demostrar que la siguiente función diferenciable es cuasiconvexa:
f(x) = x2 – 1
Sean dos puntos x1, x2∈R:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 131
Sean dos puntos x1, x2∈R:
x1 = x1, x2 = x2, x2 ≥ x1 →f(x2) ≥ f(x1)
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
Ejemplo 5.9: Demostrar que la siguiente función diferenciable es cuasiconvexa:
f(x) = x2 – 1
Sean dos puntos x1, x2∈R:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 132
Sean dos puntos x1, x2∈R:
x1 = x1, x2 = x2, x2 ≥ x1 →f(x2) ≥ f(x1)
Si f(x) es convexa entonces:
(x1 – x2)T ∇f(x2) ≤ 0
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
∇f(x) = 2x
(x1 – x2) 2x2≤ 0
2x1x2 – 2x22 ≤ 0
2x1x2 ≤ 2x22
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 133
x1 ≤ x2
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
∇f(x) = 2x
(x1 – x2) 2x2≤ 0
2x1x2 – 2x22 ≤ 0
2x1x2 ≤ 2x22
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 134
x1 ≤ x2↓
f(x) = x2 – 1 es cuasiconvexa
Conceptos fundamentalesConceptos fundamentales
� Hessiano Bordeado ∇2f(x): Matriz hessiana bordeada de una función f doblemente diferenciable en x es:
∂
∂
∂
∂
x
)f(...
x
)f(0
xx
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 135
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂∂
=∇
kk
2
1k
2
k
k1
2
11
2
1
k1
2
xx
)f(...
xx
)f(
x
)f(...
...
...xx
)f(
xx
)f(
x
)f(xx
)f(
xxx
xxx
x
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� FunciónFunción CuasiconvexaCuasiconvexa (Condición Necesaria):
Si una función real f doblemente diferenciable sobreun conjunto convexo abierto S ⊂ Rn es cuasiconvexa,entonces:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 136
|∇2f(x)k| ≤ 0 k= 2,…, n
∀x∈S
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� FunciónFunción EstrictamenteEstrictamente CuasiconvexaCuasiconvexa (CondiciónNecesaria y Suficiente):
Si una función real f doblemente diferenciable sobreun conjunto convexo abierto S ⊂ Rn es estrictamentecuasiconvexa, entonces:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 137
cuasiconvexa, entonces:
|∇2f(x)k| < 0 k= 1,…, n
∀x∈S
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� Función Cuasiconcava Función Cuasiconcava (Condición Necesaria):
Si una función real f doblemente diferenciable sobre un conjunto convexo abierto S ⊂ Rn es cuasiconcava, entonces:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 138
(– 1)k|∇2f(x)k| ≤ 0 k= 2,…, n
∀x∈S
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� FunciónFunción EstrictamenteEstrictamente CuasiconcavaCuasiconcava (CondiciónNecesaria y Suficiente):
Si una función real f doblemente diferenciable sobreun conjunto convexo abierto S ⊂ Rn es estrictamentecuasiconcava, entonces:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 139
cuasiconcava, entonces:
(– 1)k|∇2f(x)k| < 0 k= 1,…, n
∀x∈S
Optimización de Funciones Convexas D.Optimización de Funciones Convexas D.
� Teorema de Kuhn-Tucker
(Condición Necesaria y Suficiente)
Dado un problema OC(f, S) fuertemente consistente yf, gk y hj funciones diferenciables continuas convexa,cuasicóncavas y lineales en S, respectivamente, y hj
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 140
cuasicóncavas y lineales en S, respectivamente, y hj
linealmente independientes y ∇gk(x*) ≠ 0 ∀gk(x*) = 0
Si x* es el óptimo de OC(f, S). Entonces, existenvectores λ* y µ* tales que:
∇xL (x*, λ*, µ*) = 0 µ*g(x*) = 0 µ* ≥ 0
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� FunciónFunción PseudoconvexaPseudoconvexa: Una función real fdiferenciable sobre un conjunto convexo abierto S⊂
Rn es pseudoconvexa sobre éste si para dos puntoscualquiera x1, x2∈ S tales que f(x2) ≥ f(x1) se satisface:
[x2 – x1]T ∇f(x1) ≥ 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 141
[x – x ] ∇f(x ) ≥ 0
Una función pseudoconvexa es una función estrictamente
cuasiconvexa que no admite puntos de inflexión
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� Propiedades de una función PseudoconvexaPropiedades de una función Pseudoconvexa:
� Toda función Convexa Diferenciable también esPseudoconvexa.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 142
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� Propiedades de una función PseudoconvexaPropiedades de una función Pseudoconvexa:
� Toda función Convexa Diferenciable también esPseudoconvexa.
� Toda función Pseudoconvexa también esEstrictamente Cuasiconvexa.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 143
Estrictamente Cuasiconvexa.
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� Propiedades de una función PseudoconvexaPropiedades de una función Pseudoconvexa:
� Toda función Convexa Diferenciable también esPseudoconvexa.
� Toda función Pseudoconvexa también esEstrictamente Cuasiconvexa.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 144
Estrictamente Cuasiconvexa.
� Todo mínimo local es un mínimo global.
� Si x* es el mínimo entonces ∇f(x*) = 0.
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� Función Estrictamente PseudoconvexaFunción Estrictamente Pseudoconvexa: Una función real f diferenciable sobre un conjunto convexo S⊂ Rn
es estrictamente pseudoconvexa sobre éste si para dos puntos cualquiera x1, x2 ∈ S, x1 ≠ x2, tales que f(x2) >f(x1) se satisface:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 145
[x2 – x1]T ∇f(x1) ≥ 0
Una función estrictamente pseudoconvexa es una función
fuertemente cuasiconvexa que no admite puntos de inflexión
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� Propiedades de una función Estrictamente Propiedades de una función Estrictamente PseudoconvexaPseudoconvexa:
� Toda función Pseudoconvexa también esFuertemente Cuasiconvexa.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 146
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� Propiedades de una función Estrictamente Propiedades de una función Estrictamente PseudoconvexaPseudoconvexa:
� Toda función Pseudoconvexa también esFuertemente Cuasiconvexa.
� El único mínimo local es el único mínimo global.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 147
� El único mínimo local es el único mínimo global.
� Si x* es el mínimo entonces ∇f(x*) = 0.
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
Ejemplo 5.10: Demostrar que la siguiente función diferenciable es pseudoconvexa:
f(x) = x2 – 1
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 148
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
Ejemplo 5.10: Demostrar que la siguiente función diferenciable es pseudoconvexa:
f(x) = x2 – 1
Sean dos puntos x1, x2∈R:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 149
Sean dos puntos x1, x2∈R:
x1 = x1, x2 = x2, x2 ≥ x1 →f(x2) ≥ f(x1)
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
Ejemplo 5.10: Demostrar que la siguiente función diferenciable es pseudoconvexa:
f(x) = x2 – 1
Sean dos puntos x1, x2∈R:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 150
Sean dos puntos x1, x2∈R:
x1 = x1, x2 = x2, x2 ≥ x1 →f(x2) ≥ f(x1)
Si f(x) es convexa entonces:
[x2 – x1]T ∇f(x1) ≥ 0
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
∇f(x) = 2x
[x2 – x1] T 2x1≥ 0
(x2 – x1) 2x1≥ 0
2x1x2 – 2x12 ≥ 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 151
2x1x2 ≥ 2x12
x2 ≥ x1
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
∇f(x) = 2x
[x2 – x1] T 2x1≥ 0
(x2 – x1) 2x1≥ 0
2x1x2 – 2x12 ≥ 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 152
2x1x2 ≥ 2x12
x2 ≥ x1↓
f(x) = x2 – 1 es pseudoconvexa
Optimización de Funciones Convexas D.Optimización de Funciones Convexas D.
� Teorema de Kuhn-Tucker
(Condición Necesaria y Suficiente)
Dado un problema OC(f, S) fuertemente consistente y f, gk y hj funciones diferenciables sobre un conjunto convexo abierto S⊂ Rn.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 153
convexo abierto S⊂ Rn.
Si f es pseudoconvexa y todas las gk(x*) = 0 son cuasiconcavas y las hj son cuasiconvexas y cuasiconcavas (es decir, están acotadas).
Si x* es el óptimo global de OC(f, S)
Optimización de Funciones Convexas D.Optimización de Funciones Convexas D.
Entonces, existen vectores λ* y µ* tales que:
∇xL (x*, λ*, µ*) = 0
µk* gk(x*) = 0 k=1,…,m
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 154
gk(x*) ≥ 0 k=1,…,m
hj(x*) = 0 j=1,…,p
µ* ≥ 0
Optimización de Funciones Convexas D.Optimización de Funciones Convexas D.
ó
∇x,λL (x*, λ*, µ*) = 0
µk* gk(x*) = 0 k=1,…,m
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 155
gk(x*) ≥ 0 k=1,…,m
µ* ≥ 0
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� Función PseudocóncavaFunción Pseudocóncava: Una función f en E1
diferenciable sobre un conjunto convexo S en En es pseudocóncava sobre éste si para dos puntos cualquiera x1, x2 ∈ S tales que f(x2) ≤ f(x1) se satisface:
[x2 – x1]T ∇f(x1) ≤ 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 156
[x – x ] ∇f(x ) ≤ 0
Si una función es pseudoconvexa y
pseudoconcava es llamada pseudolineal
Optimización de Funciones Convexas D.Optimización de Funciones Convexas D.
Ejemplo 5.11:
min 6(x1– 10)2 + 4(x2– 25)2
s. a:
x12+ (x2– 5)2 ≤ 50
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 157
x12+ 3x22 ≤ 200
(x1– 6)2+ x22 ≤ 37
Optimización de Funciones Convexas D.Optimización de Funciones Convexas D.
Ejemplo 5.12:
min 6(x1– 10)2 + 4(x2– 25)2
s. a:
x12+ (x2– 5)2 ≤ 50
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 158
x12+ 3x22 ≤ 200
x1 – 6sen2(x2) = 1
ResumenResumen
� Mínimo de una función f: x*∈S y inf(f(x))=f(x*).
� Teorema de Weierstrass (Condición de suficiencia para la existencia de un mínimo): S es compacto y f función continua.
� Función Convexa.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 159
� Función Convexa.
� Función Estrictamente Convexa: no admite segmentos rectos.
� Función Cóncava.
� Si f(x) es convexa entonces –f(x) es cóncava, y viceversa.
ResumenResumen
� Propiedades de un función convexa:
� Si una función f es convexa y k ≥ 0 entonces kf esconvexa.
� La suma de dos funciones convexas es una funciónconvexa.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 160
convexa.
� Composición de funciones convexas.
� Todo mínimo local de una función convexa f es unmínimo global de f.
� Todo mínimo local de una función estrictamente esel único mínimo global sobre todo S.
ResumenResumen
� Problema de optimización convexa: OC(f, S).
� Teorema de Kuhn-Tucker.
� Condición de Slater.
� Función Convexa Diferenciable.
�
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 161
� Función Estrictamente Convexa Diferenciable.
� Si x* es una solución óptima.
Entonces ∇f(x*)T(x–x*) ≥ 0 para todos los x∈S
Si S es un conjunto abierto:
Entonces ∇f(x*) = 0
ResumenResumen
� Función Cuasiconvexa.� Función Fuertemente Cuasiconvexa: no admite segmentos horizontales� Un mínimo local es el único mínimo y por ende elúnico mínimo global.
� Función Estrictamente Cuasiconvexa: solo admite un
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 162
� Función Estrictamente Cuasiconvexa: solo admite un segmento horizontal en el mínimo.� Todo mínimo local es un mínimo global.
� Función Cuasiconvexa Diferenciable. � Función Cuasicóncava Diferenciable,� Hessiano Bordeado ∇2f(x).
ResumenResumen
� Teorema de Kuhn-Tucker: gk cuasicóncavas .
� Función Pseudoconvexa: similar a una estrictamente cuasiconvexa.
� Todo mínimo local es un mínimo global.
� Si x* es el mínimo entonces ∇f(x*) = 0.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 163
� Si x es el mínimo entonces ∇f(x ) = 0.
� Teorema de Kuhn-Tucker: f es pseudoconvexa, hj son cuasiconvexas y cuasiconcavas.