Classi�cations formelle et analytique des feuilletages noeud-col.
Mémoire de Master 1
Gaëtan DELERS et Vincent NOLOT
12 juin 2009
1
Table des matières
1 Introduction - présentation 3
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Généralités mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Cadre de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Classi�cation formelle 5
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.1 Dé�nitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Présentation de la démarche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Théorème de classi�cation formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2 Lemmes utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.3 Démonstration du théorème 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Classi�cation analytique 10
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.1 Dé�nitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.2 Présentation de la démarche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.1.3 Recollement analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Théorème de classi�cation analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.2 Explications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.3 Détails pour k = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Conclusion 17
2
1 Introduction - présentation
1.1 Introduction
! Au cours de notre mémoire, nous étudions des germes de champs de vecteurs holomorphes
Z(x; y) = A(x; y)@
@x+B(x; y)
@
@y
On se place ensuite sur un voisinage de l'origine et on suppose que sur ce voisinage le champ Z ne possèdequ'une singularité : (0; 0). Nous regardons maintenant la partie linéaire de Z qui s'écrit
Z1(x; y) = (ax+ by)@
@x+ (cx+ dy)
@
@y
=
�a @@x b @
@x
c @@y d @
@y
� �xy
�
et notons les valeurs propres de la matrice associée �1; �2 (classées par ordre croissant de module).
! Z admet une singularité réduite en (0; 0) si �2 6= 0 et si
� :=�1�2
2 C nQ?+
On parlera de
1. singularité hyperbolique si � =2 R.
2. noeud si � 2 R+ nQ.
3. selle résonnante si � 2 Q?+.
4. selle irrationnelle si � 2 R� nQ.
5. noeud-col si � = 0.
! Notre travail porte sur les singularités de type noeud-col. Nous introduirons la notion de feuilletage(induit par un champ de vecteurs).
! Plus précisément, nous nous intéressons à la classi�cation de ces feuilletages. Après avoir rappelédes notions mathématiques qui nous seront utiles pour le développement, nous reprenons en détails laclassi�cation formelle (traitée par Dulac, Martinet, Ramis), puis expliquons le principe de la classi�cationanalytique qui repose sur les invariants de Martinet-Ramis.
! Nous �nissons notre étude par traiter un cas particulier (k = 2) et un exemple x2 @@x + y @
@y .
3
1.2 Généralités mathématiques
Dé�nition 1 Un champ de vecteurs est une fonction qui associe un vecteur à chaque point d'un espace
euclidien ou plus généralement d'une variété di�érentielle.
Ex : L'eau d'un cours d'eau. La donnée de sa température en chaque point forme un champ de
scalaires, celle de sa vitesse en chaque point, un champ de vecteurs.
Dé�nition 2 Un champ de vecteurs a une singularité de type noeud-col si en ce point :
1. Il s'annule.
2. Sa partie linéaire possède exactement une valeur propre non nulle.
Remarque : On ne travaillera qu'au voisinage de (0; 0), ainsi la singularité d'un champs de vecteursque l'on étudiera sera systématiquement en (0; 0).
Dé�nition 3 On note C[[x; y]] l'ensemble des séries formelles en (0; 0) sur C. On dit que U 2 C[[x; y]]est une unité formelle si son terme constant n'est pas nul.
1.3 Cadre de travail
! Nous travaillerons tout au long de l'article sur un champ de vecteurs Z ayant une singularité isoléeen (0; 0)
Z(x; y) = A(x; y)@
@x+B(x; y)
@
@y
où A;B 2 C[[x; y]] sont des germes de fonctions holomorphes en (0; 0) (origine du plan complexe).
Notations :
1. On pourra écrire
Z(x; y) =�A(x; y) B(x; y)
�0@@@x
@@y
1A =
�A(x; y)B(x; y)
�=
�Z � xZ � y
�:
2. Si F 2 C[[x; y]] alors on note Z � F la dérivée de F par rapport au champs Z. Dans notre cas celas'écrit
Z � F = DF (Z) = A@F
@x+B
@F
@y
! Dans le cas où la singularité est de type noeud-col, il faudra remarquer qu'en redressant lesséparatrices (dé�nies plus loin) du champ, sur les axes de coordonnées, et en divisant par une unité, Zs'écrira :
Z = xk+1@
@x+ (y + : : : )
@
@y
où " : : : " représentent des termes d'ordre supérieur strict à 1
4
2 Classi�cation formelle
2.1 Introduction
2.1.1 Dé�nitions et notations
Dé�nition 4 Deux champs de vecteurs Z et K sont formellement conjugués s'il existe un changement
de variables = (x;y) où x;y 2 C[[x; y]] et tel que
?Z := D�1�Z(x;y)
�= K
avec D la di�érentielle de .
Dé�nition 5 Si Z et K sont deux champs de vecteurs tels que ?Z = UK où U est une unité formelle,
alors on dit que Z et K sont formellement équivalents.
Dé�nition 6 Pour t 2 C, on dé�nit le �ot �tZ d'un champs de vecteur Z , par
�tZ(x; y) =
0@ etZ � x
etZ � y
1A =
�etZ � Id
�(x; y)
Remarque : Le �ot est une série formelle en (x; y) dont les coe�cients sont des fonctions entières det. Lorsqu'on remplace t par une série formelle F (x; y) on obtient un changement de variable formel, quel'on appelle di�éomorphisme tangentiel.
! Les di�éomorphismes tangentiels sont caractérisés par le fait que ce sont des symétries du feuilletageF , et qui �xent (au moins sur des secteurs) chaque feuille F .
Notations : Si G 2 C[[x; y]], on écrira pour le �ot considéré ci-dessus :
G � �tZ = etZ �G =Xn�0
tn
n!Z �n G
où Z �0 G = G et Z �n+1 G = Z � (Z �n G).
2.1.2 Présentation de la démarche
! Citons le résultat de Poincaré-Dulac : tout champ de vecteurs ayant une singularité de typenoeud-col en (0; 0) est formellement équivalent à un seul des modèles formels
Xk;� = xk+1@
@x+ y(1 + �xk)
@
@y
Autrement dit pour un tel champ de vecteurs Z, il existe une unité formelle U telle que
Z = UXk;�
5
C'est un résultat que nous admettons. Ecrit sous cette forme, on dit que Z est sous forme normale
formelle.
! Nous allons le préciser en démontrant qu'en fait Z est formellement conjugué à PXk;� où P (0) = �avec � la valeur propre non nulle de la partie linéaire de Z.
2.2 Théorème de classi�cation formelle
2.2.1 Enoncé
Théorème 1
1) Si Z est un champ de vecteurs de type noeud-col, alors il existe un unique couple (k; �) 2 N? � C et
un polynôme P 2 Ck[x] véri�ant P (0) = � et tels que Z soit formellement conjugué à ZP où :
ZP (x; y) = P (x)�xk+1
@
@x+ y(1 + �xk)
@
@y
�
2) Deux champs ZP et ZQ (avec les notations ci-dessus) sont formellement conjugués si et seulement si
il existe � une racine kieme de l'unité véri�ant P (x) = Q(�x).
2.2.2 Lemmes utiles
Remarque : Nous supposerons que Z est déjà sous la forme Z = UXk;� où U est une unité formelle.
Lemme 1 Soient Z = UXk;� et une série formelle G =P
gm;nxmyn 2 C[[x; y]]. Alors l'équation
homologique Z �F = G admet F une série formelle comme solution si et seulement si gm;0 = 0 pour tout
m � k. De plus, si F existe, elle est unique à l'addition d'un scalaire près.
Démonstration
! Si Z = UXk;� alors on a Z � F = G , Xk;�:F = U�1G. De plus U�1Gcontient des termes non nuls en 1; x; : : : ; xk , G contient des termes non nulsen 1; x; : : : ; xk.On en déduit qu'il su�t de s'intéresser directement au cas où Z = Xk;� i.e oùU = 1.! Intéressons nous donc à l'équation homologique
Xk;� � F = G (1)
On cherche F 2 C[[x; y]] une série formelle qui s'écrit F =P
fm;nxmyn. De même
pour G =P
gm;nxmyn. On peut alors identi�er les termes en yn de l'équation
(1). Nous obtenons ainsi :
(1),X
m;n�0
gm;nxmyn =
Xn�0;m�1
mfm;nxm+kyn +
Xn�1;m�0
(1 + �xk)fm;nnxmyn
6
Et
1. Pour n = 0 : en réécrivant l'égalité ci-dessus nous obtenons
Xm�0
gm;0xm = xk
Xm�1
mfm;0xm + 0
Cela signi�e que, si (1) admet une solution F 2 C[[x; y]] alors G ne peutposséder de termes en xm pour tout m � k.Et si G ne possède aucun termes en xm pour m � k, alors on peut trouverpour m > 0 , fm;0 =
1
mgm+k;0.On remarque cependant qu'il n'y a aucune restriction sur la constante f0;0.
2. Pour n > 0 : en réécrivant l'égalité ci-dessus nous obtenons
Xm�0
gm;nxm =
Xm�1
mfm;nxm+k +
Xm�0
(1 + �xk)fm;nnxm
=Xm�0
�mxk + n(1 + �xk)
�fm;nx
m
Cela signi�e que, si (1) admet une solution F 2 C[[x; y]] alors pour m � kon a gm;n = nfm;n i.e gm;0 = 0 pour tout m � k.Et si G ne possède aucun termes en xm pour m � k, alors on détermine Fainsi :
fm;n =1
n(1 + �xk) +mxkgm;n
Remarque : Comme nous l'avons signalé dans la démonstration, il est important de remarquer que lasérie formelle F solution est entièrement déterminée sauf son terme constant f0;0, ce qui justi�e l'unicitéà l'addition d'un scalaire près.
Lemme 2 Soient Z un champ de vecteurs singulier en (0; 0) (général) et F 2 C[[x; y]] une série formelle.
Alors = �FZ est un changement de variables formel tangent à l'identité véri�ant
?Z =1
1 + Z � FZ
Démonstration
Posons �g(x; y; t) = �tZ(x; y)�(x; y) = (x; y; F (x; y))
! D'après la dernière remarque, est un changement de variables formel. Parconséquent, par , Z est équivalent avec lui-même, autrement dit ?Z = WZoù W 2 C[[x; y]] une unité formelle.
7
! On sait que
?Z = D�1(Z �)
= (Z �) ��1
Donc l'équation devientZ � = WZ �
Nous avons (x; y) = g � �(x; y). Et
Z � = D(Z)
= Dg � �(Z)
= Dg(�(Z)) �D�(Z)
= Dg(�(Z))
0@24 Z � xZ � yZ � F
351A
=�24 Z � x
Z � yZ � F
35 � �tZ
�� �
=�Z � x
@�tZ@x
+ Z � y@�tZ@y
+ Z � F@�tZ@t
�� �
=�Z � �tZ + (Z � F )(
@�tZ@t
)�� �
Or le �ot véri�e @@t�
tZ(x; y) = (Z � �tZ)(x; y) = Z � �tZ(x; y). Par conséquent
Z � =�Z � �tZ + (Z � F )(Z � �tZ)
�� �
= (1 + Z � F )(Z � g) � �
= (1 + Z � F )Z �
Finalement, Z = (1 + Z � F )Z � ��1 = (1 + Z � F )?Z
2.2.3 Démonstration du théorème 1
Démonstration
1) Nous allons déterminer un changement de variables formel qui conjugue Zà ZP = PXk;�.
8
Intéressons nous aux changements de variables du lemme 2. On a :
Z = ?ZP =1
1 + ZP � FZP
, UXk;� =1
1 + PXk;� � FPXk;�
, U =1
1 + PXk;� � FP
, PXk;� � F =P
U� 1
Ainsi, déterminer un changement de variables qui nous intéresse revient à trouverune solution formelle F à l'équation homologique
PXk;� � F =P
U� 1 (2)
Par le lemme 1, (2) admet une unique solution formelle grâce au choix de F (0; 0),on la note F0. On peut alors véri�er que �F0ZP est un changement de variables for-mels qui convient. C'est-à-dire que ZP et Z sont formellement conjugués.
2) Nous considérons un changement de variables formel conjuguant ZP etZQ. Alors M. Berthier, D. Cerveau et R. Meziani ont montré que les équiva-lences formelles entre le champs Xk;� et lui-même, tangentes à l'identité en xsont de la forme = �FXk;�
où F 2 C[[x; y]].Nous avons alors
?Xk;� =1
1 +Xk;� � FXk;� =
Q
P �Xk;�
Et comme U = 1 le lemme 1 nous indique que si F est solution de l'équationhomologique
Q
P �Xk;� � F =
P �
Q� 1
alors P�Q � 1 ne contient pas de termes en xj pour tout j � k. Mais Q(0) 6= 0
donc cela revient à dire que P � et Q sont tengents en x à l'ordre k. On endéduit que la première coordonnée de est tangente à l'idendité en x à l'ordrek c'est-à-dire P = Q.Rappelons que �k = 1. On a de plus � : (x; y) 7�! (�x; y) conjugue clairementZP�� et ZP . Et alors P = Q � � d'où P (x) = Q(�x).
9
3 Classi�cation analytique
3.1 Introduction
3.1.1 Dé�nitions et notations
Dé�nition 7 Deux champs de vecteurs Z et K sont analytiquement conjugués s'il existe un changement
de variables analytique = (x;y) tel que
?Z := D�1�Z(x;y)
�= K
avec D la di�érentielle de .
Dé�nition 8 Un feuilletage � sur C2 est la donnée d'un champs de vecteur Z dont les composantes sont
holomorphes sur C2.
� Les zéros communs de A et B sont les points singuliers du feuilletage et on note cet ensemble
sing(�) = f(x; y) 2 C2;Z(x; y) = (0; 0)g.� Le feuilletage holomorphe singulier induit par Z sur un voisinage V de (0; 0) sera noté FZ .
� Cette partition de V nf(0; 0)g en courbes holomorphes constitue l'ensemble des courbes intégrales de
Z restreintes à V , que l'on appellera feuilles du feuilletage.
� Une feuille qui peut se prolonger analytiquement en l'origine est appelée séparatrice.
Remarque :
1. Si Z est un noeud-col, Z possède une seule séparatrice correspondant à �2 6= 0, tandis que celleassociée à 0 n'a génériquement, qu'une existence formelle.
2. La grosse di�érence entre un feuilletage et un champs de vecteur réside dans le fait que ce der-nier possède un facteur supplémentaire : le temps. Notons que deux champs de vecteurs di�érentspeuvent représenter le même feuilletage :Deux champs de vecteurs induisent le même feuilletage si et seulement si, ils ne di�èrent que parmultiplication d'une unité.
Dé�nition 9 Deux champs Z et K sont analytiquement équivalents s'il existe une série convergente Utelle que Z est analytiquement conjugué à UK. Cela dé�nit en réalité l'équivalence orbitale entre deuxfeuilletages (ceux induits par Z et K). On notera alors
Z v K
! Remarquons qu'une feuille possède les propriétés suivantes :
1. Une feuille ne contient pas de singularité.
2. Une feuille est une variété complexe connexe par arcs.
3. Une feuille est contenue dans un ouvert.
10
! Nous nous placerons sur un voisinage V de (0; 0) et on supposera sing(Z) = f(0; 0)g. Nous avonsbesoin pour la suite, de dé�nir et de se familiariser avec des secteurs �brés.
Dé�nition 10 1. On appelle secteur �bré de rayon r > 0, d'ouverture 0 < � � 2� et de direction �l'ouvert
V (r; �; �) :=n(x; y) : jyj < r; 0 < jxj < r; j arg(x)� �j <
�
2
o
2. Pour r > 0 et 0 < � < �2, et en faisant varier j 2 Z=k, on dé�nit les 2k secteurs canoniques
associés à Z par
V cnj = V
�r; (4j � 1)
�
2k;�
k+
2�
k
�
V ncj = V
�r; (4j + 1)
�
2k;�
k+
2�
k
�
3. Pour k > 1 et j 2 Z=k, on dé�nit le jieme secteur noeud par
V nj := V cn
j \ V ncj
et le jieme secteur col parV cj := V nc
j \ V cnj+1
Remarque : On notera par la suite V ]j où ] représente soit le symbole nc (noeud-col) soit le symbole
cn (col-noeud).
Dé�nition 11 Pour une feuilletage F , on dé�nit l'espace des feuilles de F au-dessus de V ]j
]j := H0
�V ]j
�
où H0 est l'intégrale première de Xk;� sur les secteurs V ]j .
Remarque : On sait que H0 = yx�ex�k=k.
Lemme 3 Pour r su�samment petit, on a les assertions suivantes :
1. j = ]j = n
j = C
2. cj = MD où M > 0 dépend de r; �; k; �
Dé�nition 12 Pour un feuilletage F on dé�nit son module de Martinet-Ramis par
m(F) := ('cj ; 'nj )j 2 (Diff(C; 0)�Aff(C))k
où �('cj)
0(0) = exp(2i��=k)
('nj )0(0) = 1
(3)
Remarque : Nous appellerons 'cj ; 'nj , les invariants de Martinet-Ramis. Il s'agit en fait des applications
de recollement entre les secteurs �brés, comme nous le détaillerons plus tard.
11
3.1.2 Présentation de la démarche
! Nous nous intéressons maintenant à la classi�cation analytique de ce type de champs de vecteurs,c'est-à-dire lorsque les changements de variables convergent sur des secteurs particuliers.
H. Dulac a montré que le champs Z qui nous intéresse depuis le début, est analytiquement équivalent
au champ suivant
XR = Xk;� + xk+1R(x; y)@
@y
= xk+1@
@x+ (y(1 + �xk) + xk+1R(x; y))
@
@y
avec R une fonction holomorphe sur un voisinage V de l'origine.Remarque :� Ecrit dans ces coordonnées analytiques, on dit que Z est sous forme pré-normale analytique.� Le problème est que cette forme n'est pas unique !
! Enonçons le théorème de M.Hukuhara, T.Kimura, T.Matuda qui résoud le problème de classi�-cation orbitale analytique sectorielle.
Théorème 2 Soit Z un champ de vecteurs de type noeud-col sous forme pré-normale analytique. Pour
tout �; r > 0 su�samment petits, les champs Z et Xk;� sont analytiquement équivalents sur chaque V ]j .
Cette équivalence se prolonge continument sur la séparatrice.
3.1.3 Recollement analytique
! Soit Z un champ de vecteurs considéré comme précédemment. La section précédente et le théorèmeM.Hukuhara, T.Kimura, T.Matuda montrent que l'on peut conjuguer analytiquement Z à Xk;� sur les
secteurs �brés V ]j . Il se pose alors un problème de �conjugaison globale�.
! Il paraît donc naturel de pouvoir recoller les feuilletages modèles (induits par Xk;�) dans lesintersections V n
j et V cj . Cela signi�e que tout champ de vecteurs peut se conjuguer sectoriellement au
même modèle. La classi�cation analytique s'e�ectue donc au niveau des di�érences de recollement, ce quicorrespond aux ']j .
3.2 Théorème de classi�cation analytique
3.2.1 Enoncé
Notations : Fk;� = FXk;�le feuilletage induit par Xk;�.
12
Théorème 3 Soient F et ~F deux feuilletages formelles conjugués à Fk;�. Etant donnés les modules de
F et ~F , on a
1. F v ~F si et seulement si
(9a 2 C?; � 2 Z=k; 8j 2 Z=k)
�'cj+�(az) = a ~'cj(z)
'nj+�(az) = a ~'nj (z)
2. Pour tout ('cj ; 'nj )j � Diff(C; 0)�Aff(C) satisfaisant aux conditions (3), il existe un feuilletage
F tel que m(F) = ('cj ; 'nj )j.
3. Si � est un paramètre de Cn et � 7�! F� est une famille analytique dont tous les éléments sont
conjugués à Fk;�, Alors on peut choisir m(F�) de sorte que � 7�! m(F�) soit analytique.
! Ce théorème détermine la classi�cation analytique de deux feuilletages à singularité de typenoeud-col.
3.2.2 Explications
! Après recollement, il apparaît que la seule �di�érence� dans la conjugaison des feuilletages F et~F avec Fk;� est déterminée par les invariants de Martinet-Ramis.
! La partie 1) du théorème signi�e que deux feuilletages sont équivalents analytiquement si etseulement si leurs invariants de Martinet-Ramis sont globalement les mêmes.
! La partie 2) signi�e qu'à toute famille dans (Diff(C; 0)�Aff(C)), on peut associer un feuilletagepour lequel cette famille constitue les invariants de Martinet-Ramis. Autrement dit, un feuilletage estentièrement déterminé par son module.
! La partie 3) signi�e en�n qu'à chaque feuilletage formellement conjugués à Fk;� d'une familleanalytique, on peut associer un module de sorte que la famille des modules soit analytique.
3.2.3 Détails pour k = 2
! Nous choisissons de détailler la méthode de recollement pour le cas k = 2. Ce cas présentel'avantage d'être facilement représenté géométriquement puisqu'il met en jeu 2 � k = 4 applications derecollements 'j .
! Sans perte de généralité, nous regardons un exemple de champs de vecteurs où k = 2.
13
Fig. 1 : Ce schéma représente le champ de vecteurs Z(x; y) = x2 @@x + y @
@y dans le repère(Re(x); Im(x); jyj).
Fig. 1' : Ce schéma représente le même champ de vecteurs que ci-dessus vu dans un autre repère.
! Les schémas de recollement sont globalement identiques quelque soit le champ de vecteurs consi-déré. Pour mieux se représenter le découpage des secteurs, on projette le champ de vecteur Z sur fy = 0g.
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Fig. 2 : Ce schéma représente la structure sectorielle d'un noeud-col pour k = 2 (les secteurs angulairessont vus en projection sur fy = 0g alors que les parties col et noeud à gauche essayent de donner
l'allure du feuilletage dans R3 = fRe(x); Im(x); Re(y)g). Lorsque l'on tourne dans le sens direct, unsecteur nc possède d'abord une partie noeud puis une partie col, et c'est l'inverse dans une partie cn.
! A�n d'e�ectuer le recollement, nous nous plaçons dans l'espace des feuilles ]j au-dessus de chaque
secteur V ]j . Nous voyons ainsi apparaître les invariants de Martinet-Ramis ']j .
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Fig. 3 : Ce schéma représente les invariants de Martinet-Ramis comme recollements des espaces desfeuilles (k = 2). Le domaine plus clair autour de 0 représente l'espace des feuilles !cj au-dessus d'un col.
! Finalement, une fois le recollement e�ectué, nous avons déterminé les applications ']j . Ainsi lechamp de vecteurs considéré rentre dans une certaine classe d'équivalence : si X est un autre champ devecteurs dont ses applications de recollement sont ~']j et véri�e
(9a 2 C?; � 2 f0; 1g;8j 2 f0; 1g)
�'cj+�(az) = a ~'cj(z)
'nj+�(az) = a ~'nj (z)
Alors on en déduira qu'il appartient lui aussi à cette classe. Autrement dit d'après le théorème que Z etX sont analytiquement équivalents.
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4 Conclusion
! Au cours de notre étude, il est apparu que la classi�cation formelle se traite plus facilement quela classi�cation analytique. De plus, nous nous sommes restreints aux feuilletages, alors qu'il existe desthéorèmes semblables s'appliquant aux champs de vecteurs. Ces théorèmes nécessitent par conséquentun paramètre supplémentaire, le temps ; ce qui rend l'étude plus complexe. La classi�cation analytiquese base sur un travail de recollement de secteurs et nous l'avons illustré dans le cas k = 2. En e�et, celanous a permis de bien comprendre le principe et les autres cas se traitent de façon identique.
! Comme nous l'avons présenté dans l'introduction, il existe di�érents types de singularités. Cessingularités sont très importantes car leurs propriétés vont déterminer celles de n'importe quelle singula-rité. Nous avons traité briévement le cas noeud-col et nous savons aujourd'hui que pour les singularitésréduites, seul le cas d'une selle irrationnelle non linéarisable n'est pas traité. Si cela était résolu, on dis-poserait alors d'un outil géométrique d'analyse des problèmes de classi�cation des champs de vecteurs.
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Références
[1] Teyssier L. Equations homologiques et cycles asymptotiques d'une singularité noeud-col, Pre-PrintI.R.M.A. de l'université de Lille 1, 2001.
[2] Teyssier L. Equation homologique et classi�cation analytique des germes de champs de vecteurs
holomorphes de type noeud-col, IRM de Rennes, 2003.
[3] Martinet J., Ramis J-P. Problèmes de modules pour des équations di�érentielles non linéaires du
premier ordre, IHES, 1982.
[4] Loray F. Pseudo-Groupe d'une singularité de feuilletage holomorphe en dimension deux, 2005.
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