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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
Cálculo Estocástico
H. Dreifus1
1Departamento de Matemática AplicadaUniversidade de São Paulo
Caixa Econômica Federal/2010
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
Cálculo Estocástico I
Mikosch T., Elementary Stochastic Calculus With Finance in View
1 Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
Cálculo Estocástico II3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)
Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade
Variáveis AleatóriasVetores AleatóriosIndependência e dependência
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade
Variáveis AleatóriasVetores AleatóriosIndependência e dependência
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade
Variáveis AleatóriasVetores AleatóriosIndependência e dependência
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Variáveis Aleatórias
Espaço de Eventos
Ω = cara, coroa
Variáveis Aleatórias
X : Ω→ R
Exemplo:X (cara) = 1
X (coroa) = −1
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Variáveis Aleatórias
Espaço de Eventos
Ω = cara, coroa
Variáveis Aleatórias
X : Ω→ R
Exemplo:X (cara) = 1
X (coroa) = −1
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Variáveis Aleatórias
Espaço de Eventos
Ω = cara, coroa
Variáveis Aleatórias
X : Ω→ R
Exemplo:X (cara) = 1
X (coroa) = −1
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Variáveis Aleatórias
Espaço de Eventos
Ω = cara, coroa
Variáveis Aleatórias
X : Ω→ R
Exemplo:X (cara) = 1
X (coroa) = −1
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Variáveis Aleatórias
Espaço de Eventos
Ω = cara, coroa
Variáveis Aleatórias
X : Ω→ R
Exemplo:X (cara) = 1
X (coroa) = −1
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Variáveis Aleatórias
Quais os valores mais prováveis de X (ω)?Onde estão concentrados ?Como estão distribuídos ?
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Variáveis Aleatórias
Quais os valores mais prováveis de X (ω)?Onde estão concentrados ?Como estão distribuídos ?
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Variáveis Aleatórias
Quais os valores mais prováveis de X (ω)?Onde estão concentrados ?Como estão distribuídos ?
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
σ-álgebra
F - Coleção de subconjuntos de Ω,Ω ∈ F∅ ∈ FF é fechado por uniões e intersecções enumeráveis
A ∈ F ;B ∈ F ⇒
A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
σ-álgebra
F - Coleção de subconjuntos de Ω,Ω ∈ F∅ ∈ FF é fechado por uniões e intersecções enumeráveis
A ∈ F ;B ∈ F ⇒
A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
σ-álgebra
F - Coleção de subconjuntos de Ω,Ω ∈ F∅ ∈ FF é fechado por uniões e intersecções enumeráveis
A ∈ F ;B ∈ F ⇒
A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
σ-álgebra
F - Coleção de subconjuntos de Ω,Ω ∈ F∅ ∈ FF é fechado por uniões e intersecções enumeráveis
A ∈ F ;B ∈ F ⇒
A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Propriedades da Medida de Probabilidade
Para eventos A,B ∈ F
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)
e, se A e B são disjuntos,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Além disto,
P(Ac) = 1− P(A), P(Ω) = 1 e P(∅) = 0
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Exemplos de Distribuições
Binomial
P(X = k) =
(nk
)pk (1− p)n−k , k = 0,1,2, ...n.
Normal
fX (x) =1√2πσ
exp−(x − µ)2
2σ2
, x ∈ R
Fx =
∫ x
−∞fX (y)dy
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Exemplos de Distribuições
Binomial
P(X = k) =
(nk
)pk (1− p)n−k , k = 0,1,2, ...n.
Normal
fX (x) =1√2πσ
exp−(x − µ)2
2σ2
, x ∈ R
Fx =
∫ x
−∞fX (y)dy
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança, Variância e Momentos
EsperançaVariânciaMomentosEsperança de Funções
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança, Variância e Momentos
EsperançaVariânciaMomentosEsperança de Funções
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança, Variância e Momentos
EsperançaVariânciaMomentosEsperança de Funções
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança, Variância e Momentos
EsperançaVariânciaMomentosEsperança de Funções
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Estimativas Úteis
P(µ−1,96σ ≤ X ≤ µ+1.96σ) = Φ(µ+1.96σ)−Φ(µ−1.96σ)
Φ(µ+ 1.96σ)− Φ(µ− 1.96σ) = 0,95
onde X é uma variável aleatória N(µ, σ2)
P(|X − µX | > x) ≤ x−2σ2X , x > 0
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Estimativas Úteis
P(µ−1,96σ ≤ X ≤ µ+1.96σ) = Φ(µ+1.96σ)−Φ(µ−1.96σ)
Φ(µ+ 1.96σ)− Φ(µ− 1.96σ) = 0,95
onde X é uma variável aleatória N(µ, σ2)
P(|X − µX | > x) ≤ x−2σ2X , x > 0
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Estimativas Úteis
P(µ−1,96σ ≤ X ≤ µ+1.96σ) = Φ(µ+1.96σ)−Φ(µ−1.96σ)
Φ(µ+ 1.96σ)− Φ(µ− 1.96σ) = 0,95
onde X é uma variável aleatória N(µ, σ2)
P(|X − µX | > x) ≤ x−2σ2X , x > 0
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Vetores Aleatórios
X = (X1,X2, ...,Xn)
é um vetor aleatório n-dimensional se os seus componentesX1,X − 2, ...,Xn são variáveis aleatórias unidimensionais avalores reais.
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Exemplos:
FX1(x1) =
∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
fX (x)dx2dx3
fX (x) =1
(2π)n/2(detΣ)1/2 exp−1
2(x − µ)t Σ−1(x − µ)
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança, Covariância
EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)
Matriz de Covariância
[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança, Covariância
EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)
Matriz de Covariância
[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança, Covariância
EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)
Matriz de Covariância
[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança, Covariância
EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)
Matriz de Covariância
[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança, Covariância
EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)
Matriz de Covariância
[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança, Covariância
EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)
Matriz de Covariância
[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança, Covariância
EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)
Matriz de Covariância
[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Correlação
corr(X1,X2) =cov(X1,X2)
σX1σX2
=E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
σX1σX2
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Independência e dependência
Dois eventos A1 e A2 são independentes se
P(A1 ∩ A2) = P(A1)P(A2)
Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se
P(X1 ∈ B1,X2 ∈ B2) = P(X1 ∈ B1)P(X2 ∈ B2)
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Independência e dependência
Dois eventos A1 e A2 são independentes se
P(A1 ∩ A2) = P(A1)P(A2)
Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se
P(X1 ∈ B1,X2 ∈ B2) = P(X1 ∈ B1)P(X2 ∈ B2)
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Independência e dependência
Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se esomente se:
FX1X2(x1, x2) = FX1(x1)FX2(x2), x1, x2 ∈ R
Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se esomente se:
fX1X2(x1, x2) = fX1(x1)fX2(x2), x1, x2 ∈ R
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Independência e dependência
Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se esomente se:
FX1X2(x1, x2) = FX1(x1)FX2(x2), x1, x2 ∈ R
Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se esomente se:
fX1X2(x1, x2) = fX1(x1)fX2(x2), x1, x2 ∈ R
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Se X1 e X2 são variáveis aleatórias independentes,
EF (X1)G(X2) = EX1F (X1)EX2G(X2)
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Variáveis aleatórias independentes são nãocorrelacionadas.Variáveis não correlacionadas não são necessáriamenteindependentes.
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Variáveis aleatórias independentes são nãocorrelacionadas.Variáveis não correlacionadas não são necessáriamenteindependentes.
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Uma coleção de variáveis aleatórias, Xt , t ∈ T éindependente se para toda escolha de índices t1, ..., tn ∈ T ,com n > 1, se as variáveis aleatórias Xt1, ...,Xtn foremindependentes.
Se uma coleção de variáveis aleatorias Xt , t ∈ T for tal queXt tem a mesma distribuição então nós dizemos que a coleçãoé i.i.d, independente identicamente distribuídas.
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Uma coleção de variáveis aleatórias, Xt , t ∈ T éindependente se para toda escolha de índices t1, ..., tn ∈ T ,com n > 1, se as variáveis aleatórias Xt1, ...,Xtn foremindependentes.
Se uma coleção de variáveis aleatorias Xt , t ∈ T for tal queXt tem a mesma distribuição então nós dizemos que a coleçãoé i.i.d, independente identicamente distribuídas.
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Processos Estocásticos.
DefiniçãoPasseio Aleatório
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Processos Estocásticos.
DefiniçãoPasseio Aleatório
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Definição
Um processo estocástico X é uma coleção de variáveisaleatórias
Xt , t ∈ T = Xt (ω), t ∈ T , ω ∈ Ω
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Um processo aleatório é uma função de 2 varáveis:Para um t ∈ T fixado,
Xt (ω) : Ω→ R
é uma variável aleatória.Para um resultado aleatório fixo ω ∈ Ω,
Xt (ω) : t ∈ T → R
é uma função do tempo t
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Um processo aleatório é uma função de 2 varáveis:Para um t ∈ T fixado,
Xt (ω) : Ω→ R
é uma variável aleatória.Para um resultado aleatório fixo ω ∈ Ω,
Xt (ω) : t ∈ T → R
é uma função do tempo t
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Um processo aleatório é uma função de 2 varáveis:Para um t ∈ T fixado,
Xt (ω) : Ω→ R
é uma variável aleatória.Para um resultado aleatório fixo ω ∈ Ω,
Xt (ω) : t ∈ T → R
é uma função do tempo t
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Distribuição
As distribuições de dimensão finita (disfi) de um processoestocástico X são as distribuições dos vetores de dimensãofinita.
(Xt1 ...Xtn ), t1...tn2 ∈ T ,
para todas as escolhas possíveis dos instantes t1...tn ∈ T epara todo n ≥ 1.
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Exemplo
Processo Gaussiano
P(Xt1 ≤ x1, ...,Xtn ≤ xn) = P(Xt1 ≤ x1)...P(Xtn ≤ xn) =
= Φ(x1)...Φ(xn)
0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn ≤ T , (x1...xn) ∈ Rn.
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança, Covariância e Variância
A função esperança de X é dada por
µX (t) = µXt = EXt , t ∈ T
A função de covariância de X e dada por
cX (t , s) = cov(Xt ,Xs) = E[(Xt − µX (t))(Xs − µX (s))], t , s ∈ T .
A função de variância e dada por
σ2X (t) = cX (t , t) = var(Xt ), t ∈ T .
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Estrutura de Dependência
Processos Estacionários
Um processo estocástico é dito ser estacionário se os difi’s sãoinvariantes por translações em t .
(Xt1 ...Xtn )d= (Xt1+δ...Xtn+δ)
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Estrutura de Dependência
Processos com Incrementos EstacionáriosSeja X = (Xt , t ∈ T ) um processo estocástico e T ⊂ R umintervalo. Dizemos que X possui incrementos estacionários se
Xt − Xsd= Xt+δ − Xs+δ
para todo t , s ∈ T e δ, com t + δ, s + δ ∈ T X é dito possuirincrementos independentes se para cada escolha de ti ∈ Tcom t1 < ... < tn e n ≥ 1,
Xt2 − Xt1 ...Xtn − Xtn−1
são variáveis aleatórias independentes.
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Passeio Aleatório
Tempo Discreto: 0 = t0 < t1... < tn = t , tm+1 − tm = δ
Em cada instante tm, uma moeda é lançada:Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Passeio Aleatório
Tempo Discreto: 0 = t0 < t1... < tn = t , tm+1 − tm = δ
Em cada instante tm, uma moeda é lançada:Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Passeio Aleatório
Tempo Discreto: 0 = t0 < t1... < tn = t , tm+1 − tm = δ
Em cada instante tm, uma moeda é lançada:Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Passeio Aleatório
Tempo Discreto: 0 = t0 < t1... < tn = t , tm+1 − tm = δ
Em cada instante tm, uma moeda é lançada:Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Distribuição de probabilidade no instante t
pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z
Matriz de TransiçãoKjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k
Kjk (t) =
12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Distribuição de probabilidade no instante t
pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z
Matriz de Transição
Kjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k
Kjk (t) =
12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Distribuição de probabilidade no instante t
pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z
Matriz de Transição
Kjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k
Kjk (t) =
12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Distribuição de probabilidade no instante t
pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z
Matriz de Transição
Kjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k
Kjk (t) =
12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Distribuição de probabilidade no instante t
pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z
Matriz de Transição
Kjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k
Kjk (t) =
12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Distribuição de probabilidade no instante t
pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z
Matriz de Transição
Kjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k
Kjk (t) =
12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Distribuição de probabilidade no instante t
pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z
Matriz de Transição
Kjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k
Kjk (t) =
12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Dinâmica do Passeio Aleatório
Probabilidade Condicional
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B)
P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)
Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,
P(A|Bk )P(B) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z
P(A|Bk )P(B) = P(A)
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Dinâmica do Passeio Aleatório
Probabilidade Condicional
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B)
P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)
Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,
P(A|Bk )P(B) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z
P(A|Bk )P(B) = P(A)
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Dinâmica do Passeio Aleatório
Probabilidade Condicional
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B)
P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)
Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,
P(A|Bk )P(B) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z
P(A|Bk )P(B) = P(A)
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Dinâmica do Passeio Aleatório
Probabilidade Condicional
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B)
P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)
Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,
P(A|Bk )P(B) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z
P(A|Bk )P(B) = P(A)
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Dinâmica do Passeio Aleatório
Probabilidade Condicional
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B)
P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)
Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,
P(A|Bk )P(B) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z
P(A|Bk )P(B) = P(A)
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Dinâmica do Passeio Aleatório
Considerando A = Xt+δ(ω) = j, temos
pj(t + δ) =∑k∈Z
Kjkpk (t)
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Dinâmica do Passeio Aleatório
Considerando A = Xt+δ(ω) = j, temos
pj(t + δ) =∑k∈Z
Kjkpk (t)
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2K =
..
.0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
..
.
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
pj(t + δ) =12
pj+1(t) +12
pj−1(t)
pj(t + δ)− pj(t) =12
pj+1(t) +12
pj−1(t)− pj(t)
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
pj(t + δ) =12
pj+1(t) +12
pj−1(t)
pj(t + δ)− pj(t) =12
pj+1(t) +12
pj−1(t)− pj(t)
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Considerando em lugar de passos de magnitude 1, passos demagnitude ∆, de forma que em lugar das posições possíveisXt (ω) = k , temos Xt (ω) = k∆
px (t + δ)− px (t) =12
px+∆(t) +12
px−∆(t)− px (t)
px (t + δ)− px (t) =12
[px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Considerando em lugar de passos de magnitude 1, passos demagnitude ∆, de forma que em lugar das posições possíveisXt (ω) = k , temos Xt (ω) = k∆
px (t + δ)− px (t) =12
px+∆(t) +12
px−∆(t)− px (t)
px (t + δ)− px (t) =12
[px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Considerando em lugar de passos de magnitude 1, passos demagnitude ∆, de forma que em lugar das posições possíveisXt (ω) = k , temos Xt (ω) = k∆
px (t + δ)− px (t) =12
px+∆(t) +12
px−∆(t)− px (t)
px (t + δ)− px (t) =12
[px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Considerando σ2δ = ∆2
px (t + δ)− px (t)δ
= σ2 [px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]
2∆2
de forma que no limite δ → 0
∂p∂t
(t , x) = σ2 ∂2p∂x2 (t , x)
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Considerando σ2δ = ∆2
px (t + δ)− px (t)δ
= σ2 [px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]
2∆2
de forma que no limite δ → 0
∂p∂t
(t , x) = σ2 ∂2p∂x2 (t , x)
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Considerando σ2δ = ∆2
px (t + δ)− px (t)δ
= σ2 [px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]
2∆2
de forma que no limite δ → 0
∂p∂t
(t , x) = σ2 ∂2p∂x2 (t , x)
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
p(t , x) =1
σ√
4πt
∫ ∞−∞
e−(x−y)2
4tσ2 p(0, y)dy
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Movimento Browniano.
Propriedades da definição
Processos derivados do movimento browniano
Simulações de caminhos amostrais brownianos
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Movimento Browniano.
Propriedades da definição
Processos derivados do movimento browniano
Simulações de caminhos amostrais brownianos
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Movimento Browniano.
Propriedades da definição
Processos derivados do movimento browniano
Simulações de caminhos amostrais brownianos
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Movimento Browniano
Um processo estocástico B = (Bt , t ∈ [0,1)) é chamado demovimento browniano (padrão) ou um processo de Wiener seas seguintes condições estiverem verificadas:
ele começa no zero: B0 = 0;
possui incrementos independentes e estacionários;
para todo t > 0,Bt possui uma distribuição normal N(0, t);
possui caminhos amostrais contínuos.
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Movimento Browniano
Um processo estocástico B = (Bt , t ∈ [0,1)) é chamado demovimento browniano (padrão) ou um processo de Wiener seas seguintes condições estiverem verificadas:
ele começa no zero: B0 = 0;
possui incrementos independentes e estacionários;
para todo t > 0,Bt possui uma distribuição normal N(0, t);
possui caminhos amostrais contínuos.
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Movimento Browniano
Um processo estocástico B = (Bt , t ∈ [0,1)) é chamado demovimento browniano (padrão) ou um processo de Wiener seas seguintes condições estiverem verificadas:
ele começa no zero: B0 = 0;
possui incrementos independentes e estacionários;
para todo t > 0,Bt possui uma distribuição normal N(0, t);
possui caminhos amostrais contínuos.
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Movimento Browniano
Um processo estocástico B = (Bt , t ∈ [0,1)) é chamado demovimento browniano (padrão) ou um processo de Wiener seas seguintes condições estiverem verificadas:
ele começa no zero: B0 = 0;
possui incrementos independentes e estacionários;
para todo t > 0,Bt possui uma distribuição normal N(0, t);
possui caminhos amostrais contínuos.
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Movimento Browniano
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Movimento Browniano
As variáveis aleatórias Bt − Bs e Bt−s possuem umadistrobuição N(0, t − s) para s < t .
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Movimento Browniano
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Movimento Browniano
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0
σ2B(t) = EB2
t = t
cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =
E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =
E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0
σ2B(t) = EB2
t = t
cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =
E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =
E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0
σ2B(t) = EB2
t = t
cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =
E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =
E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0
σ2B(t) = EB2
t = t
cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =
E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =
E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0
σ2B(t) = EB2
t = t
cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =
E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =
E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
O movimento Browniano é um processo estocástico gaussianocaracterizado por:
µB(t) = 0
cB(s, t) = min(s, t)
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Auto-similaridade
Um processo estocástico (Xt , t ∈ [0,1)) é dito H-auto similarpara um dado H > 0 se os seus disfi’s satisfizerem à condiçãodada por
(T HBt1 ...THBtn )
d= (BTt1 ...BTtn )
para todo T > 0 e qualquer escolha dos ti ≥ 0, i = 1...n, en ≥ 1.
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Não diferenciabilidade
O movimento browniano é 0.5-auto-similar, i.e.,
(T 1/2Bt1 ...T1/2Btn )
d= (BTt1 ...BTtn )
para todo T > 0 e qualquer escolha dos ti ≥ 0, i = 1...n, en ≥ 1. Portanto, os caminhos amostrais não são diferenciáveisem parte alguma.
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Variação ilimitada
Os caminhos amostrais brownianos não possuem variaçãolimitada em nenhum intervalo finito [0,T ]. Isto significa que
supτ
n∑1
|Bti (ω)− Bti−1(ω)| =∞
onde o supremo é tomado sobre todas as partições possíveisτ : 0 = t0 < ... < tn = T do intervalo [0,T ].
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Processos Derivados do movimento Browniano
Movimento Browniano com drift
Xt = µt + σBt
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Movimento Browniano Geométrico
Xt = eµt+σBt
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança Condicional.
Esperança condicional sob a condição discreta
Sobre σ-álgebras
A esperança condicional geral
Regras para o cálculo da esperança condicional
A propriedade da projeção de esperanças condicionais
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança Condicional.
Esperança condicional sob a condição discreta
Sobre σ-álgebras
A esperança condicional geral
Regras para o cálculo da esperança condicional
A propriedade da projeção de esperanças condicionais
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança Condicional.
Esperança condicional sob a condição discreta
Sobre σ-álgebras
A esperança condicional geral
Regras para o cálculo da esperança condicional
A propriedade da projeção de esperanças condicionais
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança Condicional.
Esperança condicional sob a condição discreta
Sobre σ-álgebras
A esperança condicional geral
Regras para o cálculo da esperança condicional
A propriedade da projeção de esperanças condicionais
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança Condicional.
Esperança condicional sob a condição discreta
Sobre σ-álgebras
A esperança condicional geral
Regras para o cálculo da esperança condicional
A propriedade da projeção de esperanças condicionais
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Martingais.
Propriedades definidoras
Exemplos
A interpretação de um martingal como um jogo não viciado
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Martingais.
Propriedades definidoras
Exemplos
A interpretação de um martingal como um jogo não viciado
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Martingais.
Propriedades definidoras
Exemplos
A interpretação de um martingal como um jogo não viciado
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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
As integrais de Riemann e de Riemann-Stieltjes.
A integral de Riemann ordinária
A integral de Riemann-Stieltjes
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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
As integrais de Riemann e de Riemann-Stieltjes.
A integral de Riemann ordinária
A integral de Riemann-Stieltjes
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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
A integral de Ito.
Um exemplo motivador
A integral estocástica de Ito para processos simples
A integral estocástica geral de Ito
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
O lema de Ito.
A regra da cadeia clássica para a diferenciação
Uma versão simples do lema de Ito
Versões estendidas do lema de Ito
A integral de Stratonovich e outras integrais
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Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
As equações diferenciais estocásticas de Ito.
O que é uma equação diferencial estocástica?
Resolvendo EDEs usando o lema de Ito
Resolvendo equações diferenciais estocásticas de Ito atravésdo cálculo de Stratonovich
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A equação diferencial linear geral.
Equações lineares com ruído aditivo
Equações homogêneas com ruído multiplicativo
O caso geral
As funções de esperança e variância da solução
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A aproximação de Euler
A aproximação de Milstein
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A aproximação de Euler
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A fórmula de Black-Scholes do apreçamento deopções.
Uma breve excursão através das finanças
O que é uma opção?
Uma formulação matemática do problema de apreçamento deopções
A fórmula de Black e Scholes
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O que é a mudança da medida subjacente
Uma interpretação da fórmula de Black-Scholes pela mudançade medida
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
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H. Dreifus Cálculo Estocástico
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