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第二章排列与组合
集合的排列和组合
多重集排列北航计算机学院:李建欣
Tel:82339274(G506)E-mail:[email protected]://act.buaa.edu.cn/lijx
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主要内容
集合的循环排列
集合的组合
多重集的排列
应用例子
排列
线性排列
循环排列
排列
普通集排列
多重集排列
组合?
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回顾
加法原理:设集合S划分为S1, S2,…, Sm。则:
|S|=|S1|+|S2|+…+|Sm |
乘法原理设S是P和Q的乘积(即S=P×Q),则
|S|=|P|×|Q|
集合的线性排列
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排列计数
C2
C1
C5
C4
C3
25
40
45
60 55
80
120
50
60
70
多少所有可能不同的巡回路径?
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几个热身问题? 10个人排成一列,其中2个人不愿彼此相邻,有多少种排法?
解法:共P(10,10)种,减去有5个(?)位置相邻,两次先后位置换2,P(10,10)-5x2xP(8,8)
10个人围坐一个圆桌,其中2个人不愿彼此挨着就座,问有多少种座位摆放方法?
10颗珠子做一个项链,其中2颗珠子不能被串在一起,问有多少种项链构成样式?
4321 109
P(10,10)-2*9*P(8,8)
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什么是循环排列?
定义:把元素排成首尾相连的一个圈,只考虑元素间的相对顺序的排列称循环排列。
1
2
3
4
6
5
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循环排列计数
定理2.2.2 n个元素集合的循环r排列个数为:
特别地,n元素的循环排列个数=(n1)!)!(
!),(rnr
nr
rnP
证明思路:利用除法原理,把线性r-排列的集合划分成若干部分。
思考:该问题应用除法原理的条件是什么?
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应用
例3:10个人围坐一个圆桌,其中2个人不愿彼此挨着就座,问有多少种座位摆放方法?
解1:总的排列数除去不满足条件的排列数。总的排列数为(101)!
2个连续情况的排列数:2×(9-1)!即:9!-2×8!=7×8!
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解2:设P1,P2不挨着坐,固定其中一个P1的位置,那么, P2可选位子是7, 然后,余下8人可任意坐,按线性排列方法计数:7×8!
P1
P2P2
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2.3 集合的组合
定义:从n个元素中无序地取出r个元素,称n元素集合的r-组合。
用 表示n元素集合的全部r-组合数。
约定:(1) =1(2)当r>n时, =0
r
n
00
r
n
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定理2.3.1:组合公式
定理2.3.1:对于整数n和r, r n, 有:
P(n, r)=r!
即
rn
)!(!!
rnrn
rn
如何证明?
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证明:对P(n, r)计数可分为两步:
1)从集合中无序选取r个元素:
2)对选取的元素排序计数:r!
由乘法原理得到:
P(n, r)=r!
r
n
r
n
定理2.3.1的证明
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推论2.3.1
推论2.3.1: 对于整数r,0r n,
=
n-r
n
r
n
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应用
例:平面上25个点,假设不存在3点共线情况,问这些点可以组成多少条直线?多少个三角形?
225
325
解:1)每两个点确定一条直线:
2)每三个点确定一个三角形:
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练习:
例:如果每个词都包含3,4或5个元音,那么字母表中26个字母可以构造多少个8字母词?
假设每个词中的字母使用次数没有限制
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定理2.3.2:下述公式成立: n
nnnnn
2210
证明:对n元集合S的所有组合用不同方法计数。1)对所有r-组合运用加法原理得:
nnnnn
210
2)对于S的每一个元素编号,那么对任何一个组合C,S的一个元素x有2种可能,由乘法原理,n个元素共有2n。即完成定理证明。
n21
定理2.3.2证明
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无限重复数多重集的排列
定理2.4.1:令S是多重集,它有k个不同的
元素,每个元素都有无限重复次数,那么,S的r-排列个数为kr
注:若S的每种元素的重数都大于或等于r,结论同样成立。
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证明:S的一个r-排列的第一项可选择k种元素中任何一种,其他r1项同样有k种选择,由乘法原理共有kr种。
注:问题等价于k个数字r-排列(允许重复)
个数。
r21kkk
定理2.4.1的证明
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例1:具有4位数字的三进制数的个数是多少?
4321
问题等价于:多重集{0, 1, 2}的4-排列个数。有34个。
无限重复数多重集:练习
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定理2.4.2:令S是多重集,它有k个不同的元素,每个元素的重复数分别为n1,n2,…,nk,那么,S的排列数等于
其中n= n1+n2+…+nk
!!!!
21 knnnn
(有限)多重集的排列
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定理2.4.2证明设S={n1a1, n2a2,…, nkak},S的n-排列。问题相当于将所有这些元素放到n个有序位置的方法。
n1个a1的放置方法有 种,
n2个a2的放置位置剩下nn1个,因此,有种。
继续下去,运用乘法原理。
n32
1
1nn
2
1
nnn
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S的排列总数为:
=
=
k
k
nnnn
nnn
nn 11
2
1
1
)!(!)!(
)!(!)!(
)!(!!
1
11
212
1
11 kk
k
nnnnnnn
nnnnnn
nnnn
!!!!
21 knnnn
定理2.4.2证明(续)
对角线项相约去!
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应用
例:求字母多重集{1M, 4I, 4S, 2P }的排列数。
n=1+4+4+2=11,排列总数为: !2!4!4!1!11
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小结
集合循环排列
多重集排列
无限重复数多重集排列
有限重复数多重集排列
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作业
2.7习题
8,10, 11