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Efectos de segundo orden
Columnas Largas
Cuando una columna
esta sometida a
momento y carga axial a
lo largo de su longitud
no soportada, se
desplaza lateralmente
en el plano de flexión.
El resultado será un
incremento del
momento igual a la
carga axial multiplicado
por le desplazamiento
lateral o excentricidad
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Efectos de segundo orden
Columnas Largas
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Amplificación de momentos de columnas en pórticos indesplazables
Columnas Largas
Las ecuaciones para el diseño aproximado de columnas esbeltas para pórticos
indesplazables se basan en el concepto de un factor de amplificación de
momentos, δns, que se aplica al mayor de los momentos mayorados, M2, de ambos
extremos del elemento comprimido. Luego la columna se diseña para la carga axial
mayorada Pu y el momento amplificado Mc, siendo Mc
min,22 MMM nsnsc
0.1
75.01
cr
u
mns
P
PC
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Amplificación de momentos de columnas en pórticos indesplazables
Columnas Largas
•La carga crítica Pc se calcula para condición indesplazable usando un factor de longitud efectiva, k, menor o igual que 1,0. Cuando k se determina usando los nomogramas o las ecuaciones de R10.12, en los cálculos se deben usar los valores de E e I de 10.11.1. Observar que el factor 0,75 de la Ecuación (10-9) es un factor de reducción de la rigidez (ver R10.12.3).
•Para definir la carga crítica de una columna, la principal dificultad radica en elegir un parámetro de rigidez EI que aproxime razonablemente las variaciones de la rigidez debidas a la fisuración, la fluencia lenta y la no linealidad de de la curva
esfuerzo deformación del concreto .
2
c 2
u
EIP
kl
c g s se c g
conservativelyd d
0.2 0.4
1 1
E I E I E IEI EI
aamplificad axial fuerza Max.aamplificad sostenida axial fuerza Max.d
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Amplificación de momentos de columnas en pórticos indesplazables
Columnas Largas
El término Cm es un factor de corrección para momentos equivalentes. Para
elementos sin cargas transversales entre sus apoyos, el término Cm es:
En los elementos con cargas transversales entre sus apoyos, es posible que el
momento máximo ocurra en una sección alejada de los extremos del elemento. En
este caso, el mayor momento calculado que ocurre en cualquier sección de la
longitud del elemento se debería amplificar aplicando δns, y Cm se debe tomar
igual a 1,0.
1m
2
0.6 0.4 0.4M
CM
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Amplificación de momentos de columnas en pórticos indesplazables
Columnas Largas
•Si en la Ecuación el momento M2 calculado es pequeño o nulo, el diseño de una columna indesplazable se debe basar en el momento mínimo M2,min
hPM u 3.05.1min,2
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Amplificación de momentos de columnas en pórticos indesplazables
Columnas Largas
Ejemplo: Diseñar una columna de 7.00 m de altura, que lleva soporta una carga muerta de servicio de 500 kN y una carga viva de servicio de 400
140KN.m
80KN.m
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Amplificación de momentos de columnas en pórticos indesplazables
Columnas Largas
Ejemplo:
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Amplificación de momentos de columnas en pórticos indesplazables
Columnas Largas
Ejemplo:
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Amplificación de momentos de columnas en pórticos indesplazables
Columnas Largas
Ejemplo:
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Amplificación de momentos de columnas en pórticos desplazables
Columnas Largas
Los momentos de diseño M1,max and M2,max en los extremos de los
miembros en compresión deben tomarse como:
M1ns = Momento amplificado en el extremo de la columna en el cual actúa M1 y
que se debe a cargas que no causan desplazamiento lateral apreciable,
M2ns = momento amplificado en el extremo de la columna en el cual actúa M2 y
que se debe a cargas que no causan desplazamiento lateral apreciable.
M1s = Momento amplificado en el extremo de la columnas en el cual actúa M1 y
que se debe a cargas que causan un desplazamiento lateral apreciable
M2s = Momento amplificado en el extremo de la columnas en el cual actúa M2
y que se debe a cargas que causan un desplazamiento lateral apreciable
Todos lo momentos se calculan empleando un análisis estructural elástico de
primer orden
ssns
ssns
MMM
MMM
22max,2
11max,1
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Amplificación de momentos de columnas en pórticos desplazables
Columnas largas
δs = factor de amplificación del momento en pórticos no arriostrados contra
desplazamiento lateral, refleja el desplazamiento lateral causado por las
cargas gravitacionales y laterales
Calculo de δs Ms
Existen tres maneras para calculara los momentos amplificados δs Ms
1. Empleando un análisis elástico de segundo orden
2. Método aproximado en base a factores de amplificación (P-∆)
Donde,
ΣPu = La suma de todas las cargas verticales en el nivel estudiado
ΣPcr = la suma de todas las cargas criticas de pandeo de las columnas resistentes
a desplazamiento lateral en el nivel
Para el calculo de las rigideces ,
1
75.01
1
cr
us
P
P
storytheinshearfactored total
storytheinshearsustainedfactored max.d
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Amplificación de momentos de columnas en pórticos desplazables
Columnas largas
3. Análisis de segundo orden aproximado (análisis iterativo P-∆)
Si δs excede 1.5, entonces δs Ms, debe calcularse usando el método 1 o 2.
Columnas esbeltas con elevadas cargas axiales
En columnas esbeltas con elevadas cargas axiales, el máximo momento puede
ocurrir en un punto ubicado entre ambos extremos de las columnas, esto
sucederá cuando
En estos casos la columna se diseñara para la carga axial factorada Pu y Mmax =
δns M2 , donde : M2=M2ns+ δs M2s
cu
ous lV
PQdonde
Q
,11
1
g
u
u
AfcPr
l
'
35
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Ejemplo 1Ejemplo 1Para el pórtico que se muestra en la figura, diseñe la columna EF para
soportar las cargas mostradas Use fc’ = 280 Kg/cm2 y fy = 4200 Kg/cm2
wD=6 ton/m , wL=4 ton/m
PW=4 ton
8 m 8 m
5 m
A
B
C
D
E
F
0.5m0.5m 0.5m
0.6m 0.6m
Columnas 0.5x0.3 y vigas 0.6x0.3
Columnas Largas
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SoluciónSolución1. Calculo de las fuerzas en los miembros estructurales
Momentos de inercia efectivos
Iviga=0.35(0.3)(0.6)3/12=1.89x10-3
Icolumna=0.7(0.3)(0.5)3/12=2.188x10-3
El modulo de elasticidad del concreto esUsando el RISA 3D, las fuerzas normales y momento son:
2/25099828015000 cmkgEc
Caso 1 U = 1.2D.L+1.6L.LWu=1.2(6)+1.6(4)=13. 6 ton/m
A C E
B
D
F
42 .4 ton-m
48 .8 ton120 .ton48 .8 ton
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SoluciónSolución
Case 2 U = 1.2D.L+1.0L.L+1.6W.L
1.2(6+)1.0(4=)11.2 ton/m
A C E
B
D
F
34 .9 ton-m
40 .2 ton98 .8 ton40 .2 ton
A C E
B D
F
89 .0 ton-m
2.0 ton2 .0 ton
1.6(4=)6.4 ton
(a )Carga 1.2D.L+1.0L.L (b )Carga 1.6W.L
EL desplazamiento horizontal del punto B es = 2. 832 cm, (RISA 3D)
Columnas Largas
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SoluciónSolución
Caso 3 U = 0.9D.L+1.3W.L
0.9(6= )5.4 ton/m
A C E
B
D
F
16.80 ton-m
19 .40 ton47 .70 ton19 .4 ton
A C E
B D
F
7 .3 ton-m
1.6 ton1 .6 ton
1.3(4.0=)5.2 ton
(a )Carga 0.9 D.L (b )Carga 1.3W.L
El desplazamiento horizontal del punto B es = 2. 30 cm (RISA 3D)
Columnas Largas
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SoluciónSolución
2. Comprobando que las columnas forman parte de pórtico
Indesplazable o desplazable
Caso (1) 1.2D+1.6L
En esta caso el pórtico es Indesplazable .
Caso (2) 1.2D+1.0L+1.6W
El índice de estabilidad es ,
i.e., el entrepiso es desplazable.
Caso (3) 0.9D+1.3W
Índice de estabilidad,
i.e., el entrepiso es desplazable.
05.0159.0)500(4.6
)0832.2(2.179 Q
05.0076.0)500(2.5
)03.2(50.86 Q
Columnas Largas
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SoluciónSolución
3. Verificando si la columna es corta o larga
For column EF,
Caso (1) 1.2D+1.6L
Usando la carta de alineamiento apropiada (Indesplazable, k = 0.9, y
Lu = 5.0-0.3= 4.7m
Para que la columna sea corta,
i.e la columna es corta.
KOr
lk u .40344.42
012342.28
)5.0(3.0)7.4(9.0
)10usar , practicos propósitos para(sarticulado extremos
85.18/)10(89.15/)10(188.2
3
3
para
y
E
F
4012342
1 M
M
r
lk u
bbb
ccc
lIE
lIE
/
/
Columnas Largas
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SoluciónSolución
Caso (2) 1.2D+1.0L+1.6W y Caso (3) 0.9D+1.3W
Usando la apropiada carta de alineamiento (desplazable), k = 2.1, y
Para que la columna sea corta,
i.e columna larga
4. Momentos , pórtico Indesplazable y desplazable
Mns =42. 4 ton , Ms =0 ton-m y Pu = 48. 80 ton
Mns =34. 90 ton-m , Ms =89.2 ton-m y Pu = 42. 20 ton
Mns =16.80 ton-m , Ms =7. 30 ton-m y Pu = 21.0 ton
228.65)5.0(3.0
)7.4(1.2
r
lk u
22r
lk u
Case (1) 1.2D+1.6L
Case (2) 1.2D+1.0L+1.6w
Case (3) 0.9D+1.3w
Columnas Largas
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SoluciónSolución
1
75.01
1
cr
us
P
P
tonP
tomandoCD
tonP
KEFyAB
cmkgEI
cmkgfE
a
cr
D
c
cr
cc
d
91.409)1000()47085.1(
)10)(14.3(
y 1.85, k , apropiada oalinemaint de carta la Empleando
926.0]8/)10(89.1[2
5/)10(188.2
10,columna la para
12.318)1000()4701.2(
)10)(14.3(
1.2,columna la para
)10(14.3)0.01(12
)30()50)(250998(4.0
2/2509982815000'15000
0.0oamplificad cortante Max.
entrepiso del oamplificad sostenido cortante x.m
2
102
3
3
2
102
2103
x
x
2
c 2
u
EIP
kl
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SoluciónSolución
3.1
91.40912.318275.0
2.1791
1
75.01
1
xcr
us
P
P
Caso (2) 1.2D+1.0L+1.6w
12.1
91.40912.318275.050.86
1
1
75.01
1
xcr
us
P
P
Caso (3) 0.9D+1.3w
5. Calculo de los momentos amplificados
Caso (1) 1.2D+1.6L
Mmax =42. 4 ton-m y Pu = 48. 80 ton
Caso (2) 1.2D+1.0L+1.6W
Mmax =34.90+1.3(89.0)=150.6 ton-m y Pu = 42.20 ton
Case (3) 0.9D+1.3W
Mmax =16.80+1.13(7.30)=25.05 ton-m y Pu = 21.0 ton
Columnas Largas
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SoluciónSolución
6. Determinando si los máximos momentos ocurren entre los extremos
de la columna
i.e., el máximo momento se presenta en uno de los extremos de la columna, y
el momento M2 no tiene que ser modificado por δns .
7.102
28.0)1500(8.48
35
'
35
33.31)50(3.0
470
fcA
P
r
l
g
u
u
Columnas Largas
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12Φ1”
0.50
0.30Φ3/8¨
Columnas Largas