Download - Congruencias y solución de problemas
![Page 1: Congruencias y solución de problemas](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082202/5866e3221a28abad3f8b90f5/html5/thumbnails/1.jpg)
Congruencias y solución de problemas
Instituto de VeranoAFAMaC 2010Arturo Portnoy
![Page 2: Congruencias y solución de problemas](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082202/5866e3221a28abad3f8b90f5/html5/thumbnails/2.jpg)
Congruencias
● Supongamos que en este momento son las 10:00 am. ¿Qué hora será dentro de 2500 horas? ¿Y qué hora fue hace 2500 horas?
![Page 3: Congruencias y solución de problemas](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082202/5866e3221a28abad3f8b90f5/html5/thumbnails/3.jpg)
Congruencias
● Decimos que a≡b (mod n) si n|a-b.● La congruencia induce una relación de
equivalencia en los enteros.● Encontrar las clases de equivalencia módulo 4.
![Page 4: Congruencias y solución de problemas](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082202/5866e3221a28abad3f8b90f5/html5/thumbnails/4.jpg)
Congruencias
● Encontrar 2 enteros positivos y 2 negativos ≡ 38 (mod 3).
![Page 5: Congruencias y solución de problemas](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082202/5866e3221a28abad3f8b90f5/html5/thumbnails/5.jpg)
Congruencias
● Propiedades algebráicas de la congruencia.
![Page 6: Congruencias y solución de problemas](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082202/5866e3221a28abad3f8b90f5/html5/thumbnails/6.jpg)
Congruencias
● Encontrar el residuo módulo 5 de 37^4+49(801)+120.
![Page 7: Congruencias y solución de problemas](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082202/5866e3221a28abad3f8b90f5/html5/thumbnails/7.jpg)
Congruencias
● Principio de sustitución: en sumas y productos en una congruencia podemos sustituir cantidades congruentes.
● OJO: 12^6≡2^6 (mod 5) pero 2^6 no es congruente a 2^1 (mod 5).
![Page 8: Congruencias y solución de problemas](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082202/5866e3221a28abad3f8b90f5/html5/thumbnails/8.jpg)
Congruencias
● Demostrar que módulo 3 y módulo 9, cualquier número es congruente a la suma de sus dígitos. Estos son los criterios de divisibilidad para el 3 y 9.
![Page 9: Congruencias y solución de problemas](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082202/5866e3221a28abad3f8b90f5/html5/thumbnails/9.jpg)
Congruencias
● Encontrar el dígito de las unidades de 2(325)+3(8^7)+5104+123^5.
![Page 10: Congruencias y solución de problemas](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082202/5866e3221a28abad3f8b90f5/html5/thumbnails/10.jpg)
Congruencias
● Encontrar el dígito de las unidades de 3^2008+3^2006.
![Page 11: Congruencias y solución de problemas](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082202/5866e3221a28abad3f8b90f5/html5/thumbnails/11.jpg)
Congruencias
● Deducir el criterio de divisibilidad del 11, usando congruencias.
![Page 12: Congruencias y solución de problemas](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082202/5866e3221a28abad3f8b90f5/html5/thumbnails/12.jpg)
Congruencias
● Se tienen 2003 tarjetas numeradas. Se remueven de 3 consecutivas en 3 consecutivas hasta quedar 2. Juan dice que quedó la tarjeta 1002. ¿Miente o dice la verdad?
![Page 13: Congruencias y solución de problemas](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082202/5866e3221a28abad3f8b90f5/html5/thumbnails/13.jpg)
Congruencias
● Conjuntos de residuos: Zn.● Operaciones en Zn.
![Page 14: Congruencias y solución de problemas](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082202/5866e3221a28abad3f8b90f5/html5/thumbnails/14.jpg)
Congruencias
● Probar que en cualquier colección de 7 o más enteros siempre hay dos cuya suma o diferencia es divisible entre 11.
![Page 15: Congruencias y solución de problemas](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082202/5866e3221a28abad3f8b90f5/html5/thumbnails/15.jpg)
Congruencias
● Escribir tabla de suma y producto para Z2, Z3, Z4, Z5 y Z6. Observar inversos aditivos y multiplicativos.
![Page 16: Congruencias y solución de problemas](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082202/5866e3221a28abad3f8b90f5/html5/thumbnails/16.jpg)
Congruencias
● Encontrar el inverso multiplicativo de 3 módulo 17.
![Page 17: Congruencias y solución de problemas](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082202/5866e3221a28abad3f8b90f5/html5/thumbnails/17.jpg)
Congruencias
● Encontrar el inverso multiplicativo de 12 módulo 15.
![Page 18: Congruencias y solución de problemas](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082202/5866e3221a28abad3f8b90f5/html5/thumbnails/18.jpg)
Congruencias
● Aparear cada uno de los elementos invertibles bajo el producto de Z12 con sus inversos. Repetir para Z17.
![Page 19: Congruencias y solución de problemas](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082202/5866e3221a28abad3f8b90f5/html5/thumbnails/19.jpg)
Congruencias
● Encontrar, si existen, las soluciones de 4x≡5 (mod 7).
● Repetir para 4x≡5 (mod 6).● Repetir para 4x≡8 (mod 6).
![Page 20: Congruencias y solución de problemas](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082202/5866e3221a28abad3f8b90f5/html5/thumbnails/20.jpg)
Congruencias
● Un vendedor de naranjas quiere saber cuantas naranjas tenía ayer. Solo recuerda que eran mas de 100 pero menos de 150 y que cuando hacía montones de 2, 3, 4, 5, 6 naranjas siempre sobraba 1.
![Page 21: Congruencias y solución de problemas](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082202/5866e3221a28abad3f8b90f5/html5/thumbnails/21.jpg)
Congruencias
● Si S(n) denota la suma de los dígitos de un número natural n, encuentre todas las soluciones de n(S(n)-1)=2010, mostrando que son las únicas. (Problema 1, XII OMCC)
![Page 22: Congruencias y solución de problemas](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082202/5866e3221a28abad3f8b90f5/html5/thumbnails/22.jpg)
Congruencias
● Solución de Marcos Pertierra (estudiante de OMPR).
● Sabemos que S(n)≡n (mod 9).
● n(S(n)-1)≡n(n-1)≡2010≡3 (mod 9).
● n²-n-3≡n²-n-12≡0 (mod 9).
● (n+3)(n-4)≡0 (mod 9).
● Por lo tanto, n≡6 (mod 9) o n≡4 (mod 9).
● Además, como n|2010, los únicos factores que satisfacen lo anterior son 6, 15, 67, 402, 670 y 1005.
● Probando cada uno vemos que el único que sirve es 402.