Download - Conic section-clip vidva
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
1
เรขาคณติวเิคราะห์ และภาคตดักรวย
ในเรื่องเรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย เปนบทท่ีเอาไปประยุกตใชตอในหลายๆเรื่องท่ีเกี่ยวกับรูปทรงตางๆในวิชาตางๆท้ัง ฟสิกส หรือคณิตศาสตร นองๆหลายคนมีปญหากับบทนี้นะครับวาคอนขางยากเนื่องจากสูตรเยอะ ประยุกตคอนขางมาก และทําขอสอบไมทัน พี่มั่นใจวาถาต้ังใจเรียนซะหนอยปญหาเหลานี้นาจะหมดไปนะครับ
เรขาคณิตวิเคราะห และภาคตัวกรวย
1. จุด
3. วงกลม
6. พาราโบลา
2. เสนตรง
1.1) ระยะหางระหวางจุดสองจุด
4. วงรี
5. ไฮเพอรโบลา
1.2) จุดกึ่งกลางระหวางจุดสองจุด
1.3) จุดที่แบงระยะทางเปนระยะ m:n
1.4) จุดตัดเสนมัธยฐานสามเหลี่ยม
2.1) ความชัน
2.2) สมการเสนตรง
2.3) ระยะหางระหวางจุดกับเสนตรง
2.4) ระยะหางระหวางเสนตรงคูขนาน
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
2
1. จุด
การเขียนช่ือจุดนิยมใชตัวอักษรใหญ เชน จุด P,จุด Q และอาจเขียนกํากับดวยคูอันดับในพิกัดฉาก ใน
รูป P(x,y) เชน Q(2,-4) ใชแทนจุดท่ีช่ือ Q และ มีพิกัดเปน (2,-4)
1.1 ระยะหางระหวางจุดสองจุด สัญลักษณท่ีใชแทนระยะทางระหวางจุด P กับ Q คือ PQ หรือ PQ
2 2
2 1 2 1PQ (x x ) (y y )= − + −
(ท่ีมา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)
1.2 จุดก่ึงกลางระหวางจุดสองจุด
1 2 1 2x x y yR( , )
2 2
+ +
(ท่ีมา: คณิต มงคลพิทักษสุข , “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)
1.3 จุดที่แบงระยะทางเปนระยะ m:n
1 2 1 2mx nx my nyR( , )
m n m n
+ ++ +
(ท่ีมา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)
Q(x2,y2)
P(x1,y1)
Q(x2,y2)
P(x1,y1)
Q(x2,y2)
P(x1,y1)
n
m
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
3
ตัวอยาง กําหนดพิกัดจุด P(1,-2) และ Q(-5,4)
ก.ระยะ PQ เทากับเทาใด
ข.ใหหาจุดกึ่งกลางของ PQ
ค.ใหหาพิกัดจุด R ท่ีทําให PR : RQ 2 : 3=
1.4 จุดตัดของเสนมัธยฐานสามเหลี่ยม
(ท่ีมา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
4
ตัวอยาง กําหนดสามเหล่ียมรูปหนึ่งมีจุดยอดอยูท่ี A(2,8), B(6,12), C(-2,-4) ถาจุด P และ Q อยูบนดาน A B และ BC ตามลําดับ โดยมีอัตราสวน AP : PB 1 : 3= และ BQ : BC 3 : 4= ใหหาคาของ PQ
ตัวอยาง ขอความตอไปนี้ถูกหรือผิด
ก.จุด A(10,5), B(3,2), C(6,-5) เปนจุดมุมของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก
ข.จุด D(1,2), E(-3,10), F(4,-4) อยูบนเสนตรงเดียวกัน
ค.จุด A(-2,3), B(-6,1), C(-10,-1) อยูบนเสนตรงเดียวกัน
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
5
ตัวอยาง ใหหาจุด P บนแกน X ซึ่งอยูหางจากจุด P1 (1,-2) และP2 (3,5) เปนระยะเทากัน
ตัวอยาง ถา (m,n) เปนจุดตัดของเสนมัธยฐานของสามเหล่ียมรูปหนึ่งซึ่งมีจุดยอดอยูท่ี (4,5), (-4,7)
และ (4,1) แลว คา m-n เทากับเทาใด
2. เส้นตรง
2.1 ความชัน (slope; m) ของเสนตรง ความชันของเสนตรง คือ อัตราสวนระหวางคา y ท่ีเปล่ียนแปลงไป ตอคา x ท่ีเปล่ียนแปลงไป ใช
สัญลักษณ m โดยคา m อาจะเปนบวก หรือลบ หรือเปนศูนยก็ได
- ถา m>0 แสดงวา เสนตรงนี้เฉียงข้ึนทางขวา
- ถา m<0 แสดงวา เสนตรงนี้เฉียงลงทางขวา
- ถา m=0 แสดงวา เปนเสนนอนขนานแกน x
- และสําหรับเสนต้ังขนานกับแกน y นั้น m หาคาไมได (เปนอนันต)
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
6
(ท่ีมา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)
2.2 สมการของเสนตรง รูปท่ัวไปท่ี1 ของสมการเสนตรงคือ Ax+By+C = 0 ( โดยท่ี A,B,C เปนจํานวนจริงใดๆ )
รูปท่ัวไปท่ี2 ของสมการเสนตรงในรูป y=mx+c โดย m คือความชัน และ c คือระยะตัดแกน y
(ท่ีมา: คณิต มงคลพิทักษสุข , “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)
จากสมการท่ัวไปท่ี1 และ 2 เราสามารถสรุปไดวา
สมการรูปท่ัวไปท่ี1ของเสนตรง สามารถจัดใหอยูในลักษณะ A C
y xB B
= − − จึงทําใหทราบวา คา
ความชัน m = A
B− และระยะตัดแกนy c=
C
B− เสมอ
ขอควรรู
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
7
ตัวอยาง กําหนดพิกัดจุด P(1,3) และ Q(5,9)
ก . ความชันของเสนตรงท่ีผานจุด P และ Q เทากับเทาใด
ข.ใหหาสมการเสนท่ีตรงท่ีผานจุด P และ Q
ตัวอยาง กําหนดพิกัดจุด P(1,3) และ Q(5,9) ใหหาสมการของเสนตรง L ซึ่งต้ังฉากกับ เสนตรงPQ
และผานจุดกึ่งกลางของเสนตรง PQ
2.3 ระยะหางระหวางจุดกับเสนตรง
(ท่ีมา: คณิต มงคลพิทักษสุข , “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
8
สมการระยะหางนี้มีการแทนคาจุด (x1,y1) ลงในสมการเสนตรงในรูป Ax+By+C=0 ซึ่งจะสอดคลอง
กับความรูพื้นฐานท่ีวา ถาแทนคาแลวไดเทากับ 0 หมายถึงจุดๆนี้อยูบนเสนตรงพอดี จากสูตรก็จะไดระยะทาง
เทากับ 0 ดวย
2.4 ระยะหางระหวางเสนตรงคูขนานทั้งสองเสน
(ท่ีมา: คณิต มงคลพิทักษสุข , “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)
ตัวอยาง กําหนดเสนตรง L1 : 2x+3y-24 = 0
ก.ระยะทางจากจุด S(-2,5) ไปยังเสนตรง L1 เทากับเทาใด
ข.ใหหาสมการเสนตรงท่ีอยูหางจาก L1 เปนระยะ 2 13 หนวย
ขอสังเกต
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
9
ค.ใหหาจุดบนเสนตรง L2 : 2x+y-6 = 0 ซึ่งอยูหางจาก L1 เปนระยะ 2 13 หนวย
ตัวอยาง กําหนดสมการเสนตรง L3 : 3x y 2 3+ = และ L4 : 3x 3y 18+ =
ก.เสนตรงท่ีขนานกับ L3 จะตองมีความชันเทาใด
ข.มุมระหวาง L4 กับแกน x ท่ีเปนมุมแหลม มีขนาดกี่องศา
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
10
3. วงกลม
วงกลม คือ “เซตของคูอันดับท่ีอยูหางจากจุดคงท่ีจุดหนึ่ง เปนระยะเทากัน” เรียกจุดคงท่ีนั้นวา จุด
ศูนยกลาง (Center; C) และเรียกระยะทางนั้นวา รัศมี (Radius; r)
สมการวงกลม
สมการของวงกลม ถูกสรางข้ึนจากสมการระยะทางระหวางจุดสองจุด โดยอาศัยหลักการวา ระยะทาง
จากจุด (x,y) ใดๆท่ีอยูบนวงกลม ไปยังจุดศูนยกลาง จะตองมีคาคงท่ีเทากับความยาวรัศมีเสมอ
(ท่ีมา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)
ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆของรูปวงกลมท่ีมีสมการเปน 2 2x y 2x 4y 10 0+ + − − =
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
11
ตัวอยาง ใหสมการวงกลมท่ีมีจุดศุนยกลางอยูท่ี (1,-2) และผานจุด (2,1) และตอบในรูป
Ax2+By2+Dx+Ey+F=0 โดยสัมประสิทธิ์ทุกตัวเปนจํานวนเต็ม
ตัวอยาง ใหหาสมการท่ัวไปของวงกลมท่ีมีลักษณะดังแตละขอตอไปนี้
ก.มีจุดศูนยกลางอยูท่ี (3,4) และผานจุด (1,1)
ข.ผานจุด (1,-5) และผานจุดตัดท้ังสองของวงกลม 2 2x y 2x 2y 8 0+ − + − = กับ2 2x y 3x 3y 8 0+ + − − =
ขอสังเกต
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
12
ค.เสนผานศูนยกลางเสนหนึ่ง เช่ือมระหวางจุด (1,1) กับ (2,2)
3.1 เสนสัมผัสวงกลม เสนสัมผัสวงกลม คือ เสนตรงท่ีลากผานจุดบนวงกลมเพียงจุดเดียวเทานั้น โดยเรียกจุดๆ นี้วาจุด
สัมผัส มีสมบัติทางเรขาคณิตอยางหนึ่งของรูปวงกลมท่ีกลาววา เสนสัมผัสวงกลมจะต้ังฉากกับรัศมี ณ จุด
สัมผัสนั้นเสมอ
(ท่ีมา: คณิต มงคลพิทักษสุข , “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)
ตัวอยาง ใหหาความยาวของเสนสัมผัสท่ีลากจากจุด (0,1) ไปยังจุดสัมผัสบนวงกลม
3x2+3y2+11x+15y = -9
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
13
ตัวอยาง ใหหาสมการของเสนตรง ท่ีสัมผัสวงกลม 2 2x y 8+ = ท่ีจุด (2,2)
ตัวอยาง ใหหาคา k ท่ีทําให 2 2x y 6x 8y k 0+ − + + = เปนวงกลม
ตัวอยาง เสนตรงเสนหนึ่งมีความชันเทากับ 4 3− และผานจุดศูนยกลางวงกลม 2 2x y 4x 2y 1 0+ − + + = ถาเสนตรงเสนนี้ตัดกับวงกลมนี้ท่ีจุด A กับ B และกําหนดจุด D(-1,-2) แลว
พื้นท่ีของสามเหล่ียม ABD เทากับเทาใด
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
14
4. วงร ี
วงรี คือ “เซตของคูอันดับท่ี ผลรวมของระยะทางไปยังจุดคงท่ีสองจุดมีคาเทากัน” เรียกจุดคงท่ีสอง
จุดนั้นวา จุดโฟกัส (F1, F2) และนอกจากนี้ระยะทางรวมซึ่งเปนคาคงท่ีนั้น จะมีคาเทากับความยาวของแกน
เอก (2a) พอดี
แกนเอก (Major Axis) คือเสนแสดงความยาวของวงรี ( 1 2V V ) ยาว 2a หนวย และ แกนโท (Minor
Axis) คือเสนแสดงความกวางของวงรี ( 1 2B B ) ยาว 2b หนวย โดยท่ี a > b เสมอ
คา a และ b เทียบไดกับรัศมีวงกลม, แกนเอกและแกนโท เทียบไดกับเสนผานศูนยกลางของวงกลม
ตางกันตรงท่ีแนวนอนและแนวต้ังของวงรีจะยาวไมเทากัน
สมการวงรี
(ท่ีมา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
15
เมื่อพิจารณารูปวงรีทีละดาน จะมีลักษณะโคงคลายรูปถวย ซึ่งแตละรูปนั้นจะมีจุดโฟกัสอยูภายในโคง
ดวย และระยะโฟกัส c สามารถหาไดจากคา a กับ b โดยมีความสัมพันธกันในรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ซึ่งมีดาน
a ยาวท่ีสุด นั่นคือ 2 2c a b= −
ตัวอยาง ใหสมการวงรีท่ีมีจุดศูนยกลางอยูท่ี (2,1) มีจุดโฟกัสอยูท่ี (2,4) และจุดยอดอยูท่ี (2,-4) และ
ตอบในรูป 2 2Ax By Dx Ey F 0+ + + + = โดยสัมประสิทธิ์ทุกตัวเปนจํานวนเต็ม
ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆของรูปวงรีซึ่งมีสมการเปน 2 27x 16y 28x 96y 60 0+ + − + =
และต้ังฉากกับเสนตรง 3x+4y = 5
ขอควรรู
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
16
ตัวอยาง ใหหาสมการรูปท่ัวไปของวงรี ท่ีมีลักษณะดังแตละขอตอไปนี้
ก.จุดศูนยกลางอยูท่ี (3,-1) แกนเอกขนานกับแกน y และยาว 8 หนวย โดยแกนโทยาว6 หนวย
ข.จุดยอดอยูท่ี (-4,2) และ (2,2) โดยแกนโทยาว 4 หนวย
ค.จุดศูนยกลางอยูท่ี (-2,1) มีจุดโฟกัสท่ี (-2,4) และผานจุด (-6,1)
ตัวอยาง ใหหาสมการเสนตรงท่ีผานจุดศูนยกลางของวงรี 2 24x 9y 48x 72y 144 0+ − + + =
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
17
ตัวอยาง ระยะหางระหวางเสนตรงคูขนานท่ีทํามุม 45° กับแกน x และผานจุดโฟกัสท้ังสองของวงรี 2 2x 3y 4x 2 0+ − − =
ANET50 ถา k, l และ m เปนจํานวนจริงท่ีทําใหวงรี 2 2kx ly 72x 24y m 0+ − − + = มีจุด
ศูนยกลางอยูท่ีจุด (4,3) และสัมผัสแกน y แลว ขอใดตอไปนี้ผิด
ก.ความยาวแกนเอกเทากับ 12 หนวย
ข.ความยาวแกนโทเทากับ 8 หนวย
ค.ระยะหางระหวางจุดโฟกัสท้ังสองเทากับ 4 5 หนวย
ง.จุด (2,6) อยูบนวงร ี
ANET 49 วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนยกลาง อยูท่ีจุดศูนยกลางของวงรีท่ีมีสมการเปน 2 29x 4y 36x 24y 36 0+ − − + = ถาวงกลมวงนี้สัมผัสกับเสนตรงท่ีผานจุด (1,3) และ (5,0) แลวรัศมีของ
วงกลมวงนี้เทากับเทาใด
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
18
5. ไฮเพอร์โบลา
ไฮเพอรโบลา คือ “เซตของคูอันดับท่ี ผลตางของระยะทางไปยังจุดคงท่ีสองจุดมีคาเทากัน” เรียกจุด
คงท่ีสองจุดนั้นวา จุดโฟกัส (F1,F2) และผลตางระยะทางซึ่งเปนคาคงท่ีนั้น จะมีคาเทากับความยาวของแกน
ตามขวาง (2a) พอดี
แกนตามขวาง ( Transversal Axis) 1 2V V ยาว 2a หนวย และ แกนสังยุค (Conjugate Axis) 1 2B B
ยาว 2b หนวย (โดย a กับ b ยาวเทาใดก็ได) ใชประกอบกันในการสราง เสนกํากับ (Asymptote) 2 เสน เพื่อ
บังคับความกวางของไฮเพอรโบลา
สมการไฮเพอรโบลา
(ท่ีมา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
19
ไฮเพอรโบลามุมฉากเอียง
ไฮเพอรโบลาท่ีมีคา a=b (กรอบส่ีเหล่ียมจัตุรัส)นั้น รูปวงรีในกรอบจะกลายเปนวงกลม และเสนกํากับ
2 เสนต้ังฉากกันพอดี เรียกไฮเพอรโบลาแบบนี้วาเปน ไฮเพอรโบลามุมฉาก (Rectangular Hyperbola)
(ท่ีมา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)
ขอสังเกต
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
20
ตัวอยาง ใหสรางสมการไฮเพอรโบลาท่ีมีจุดศูนยกลางท่ี (2,1) มีจุดโฟกัสท่ี (2,-4) และจุดยอดท่ี (2,4)
และตอบในรูป 2 2Ax By Dx Ey F 0+ + + + = โดยสัมประสิทธิ์ทุกตัวเปนจํานวนเต็ม
ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆของรูปไฮเพอรโบลาท่ีมีสมการเปน 2 2x 5y 10y 25 0− + − =
ตัวอยาง ใหหาสมการท่ัวไปของไฮเพอรโบลา ท่ีมีลักษณะดังแตละขอตอไปนี้
ก.จุดศูนยกลางอยูท่ี (-3,1) มีจุดยอดท่ี (2,1) และแกนสังยุคยาว 6 หนวย
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
21
ข.จุดโฟกัสอยูท่ี (-1,-6) และ (-1,4) โดยแกนตามขวางยาว 6 หนวย
ตัวอยาง ถาภาคตัดกรวยรูปหนึ่งมีสมการเปน 2 29x 16y 18x 64y 199 0− − − − = แลวผมรวม
ของระยะทางจาดจุกโฟกัสท้ังสองไปถึงเสนตรง 3x+4y = 8 เปนเทาใด
ตัวอยาง กําหนดไฮเพอรโบลา 2 29(x 1) 4(y 2) 36− − − = ใหหาสมการวงรีซึ่ง ผลบวกของ
ระยะทางจากจุดใดๆบนวงรี ไปยังจุดท่ีไฮเพอรโบลาตัดแกน x ท้ังสองจุด เปน 8 หนวย
ตัวอยาง กําหนด E แทนวงรี 2 26x 5y 12x 20y 4 0+ + − − = ใหหาสมการไฮเพอรโบลาท่ีมีจุด
ศูนยกลางรวมกับ E มีจุดยอดอยูท่ีเดียวกับจุดโฟกัสของ E และมีความยาวแกนสังยุคเทากับความยาวแกนโท
ของ E พอดี
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
22
PAT1 ก.ค.53 กําหนดวงกลมรูปหนึ่งมีจุดปลายของเสนผานศูนยกลางอยูบนจุดศูนยกลางและจุดโฟกัสดาน
หนึ่งของไฮเพอรโบลา 2 29x 16y 90x 64y 17 0− − + + = แลววงกลมดังกลาวมีพื้นท่ีเทากับขอใดตอไปนี้
ANET 50 ถาเสนกํากับของไฮเพอรโบลา 2 216x 9y 32x 36y 164 0− + + − = ตัดแกน x ท่ีจุด A
และ B แลว ระยะระหวาง A, B ยาวกี่หนวย
PAT1มี.ค. 53 กําหนดใหวงรีรูปหนึ่งมี สมการเปน 2 225x 21y 100x 42y 404 0+ + − − = แลว
ไฮเพอรโบลาท่ีมีจุดยอดอยูท่ีจุดโฟกัสท้ังสองของวงรีและผานจุด ( 3,1 8 )− + มีสมการตรงกับขอใดตอไปนี้
ก. 2 25y 4x 10 8y 32x 25 0− − − − =
ข. 2 23y 2x 6 8y 8x 15 0− − − + =
ค. 2 2y 4x 2y 16x 19 0− − − − =
ง. 2 2y 7x 2y 28x 28 0− − − − =
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
23
6. พาราโบลา
พาราโบลา คือ “เซตของคูอันดับท่ีมีระยะหางจากจุดคงท่ีจุดหนึ่ง เทากับระยะไปยังเสนตรงคงท่ีเสน
หนึ่ง” เรียกจุดคงท่ีจุดนั้นวา จุดโฟกัส (Focus; F) เรียกเสนตรงคงท่ีเสนนั้นวา ไดเรกตริกซ (Directrix; เสน
บังคับ)
รูปก ราฟท่ีไดจะมีลักษณะเปนเสนโคงคลายถวย สองดานสมมาตรกัน โดยเสนสมมาตรจะผานจุดโฟกัส
และต้ังฉากกับเสนไดเรกตริกซ เรียกเสนนี้วา แกน (Axis) ของพาราโบลา และจุกวกกลับของพาราโบลาจะ
เรียกวา จุดยอด (Vertex) อยูกึ่งกลางระหวางจุดโฟกัสกับเสนไดเรกตริกซพอดี (ตามนิยามท่ีไดกลาวขางตน)
สมการพาราโบลา
(ท่ีมา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
24
ตัวอยาง ใหหาสมการรูปท่ัวไปของพาราโบลา ท่ีมีลักษณะดังนี้
ก.จุดยอดอยูท่ี (-2,3) และจุดโฟกัสอยูท่ี (5,3)
ข.จุดยอดอยูท่ี 0 และผานจุด (-4,-6) โดยมีแกน x เปนแกนสมมาตร
ค.จุดโฟกัสอยูท่ี (2,2) และมีสมการไดเรกตริกซเปน x+2=0
ขอสังเกต
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
25
ง.ผานจุด (1,3), (9,1) และ (51,-2) โดยแกนสมมาตรขนานกับแกน x
ตัวอยาง คอรดท่ีเกิดจากเสนตรง 2x-y=8 ตัดกับพาราโบลา y2=8x มีความยาวเทาใด
ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆของรูปพาราโบลาท่ีมีสมการเปน 2x 2x 2y 3 0− − − =
ตัวอยาง ใหสรางสมการพาราโบลาท่ีมีจุดยอดอยูท่ี (1,-2) และผานจุด (2,1) โดยมีแกนสมมาตรแนวต้ัง
และตอบในรูป 2 2Ax By Dx Ey F 0+ + + + = โดยสัมประสิทธิ์ทุกตัวเปนจํานวนเต็ม
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
26
ตัวอยาง ใหหาสมการพาราโบลาท่ีผานจุดของเสนตรง x=y กับวงกลม x2+y2+6x=0 โดยมีแกน x เปน
แกนสมมาตร
ตัวอยาง จุดบนโคง 24y (x 1)= − ซึ่งอยูหางจากจุดโฟกัส 13 หนวย จะอยูหางจากแกน x เทาใด
PAT1มี.ค. 54 ใหเสนตรง x-y+2=0 ตัดกับวงกลม 2 2x y 6x 4y 4 0+ + − + = ท่ีจุด A และ จุด B ถา
(a,b) เปนจุดโฟกัสของพาราโบลาซึ่งมีเสนตรง y=2 เปนแกนของพาราโบลาและพาราโบลานี่ผานจุด A และจุด
B แลว a+b เทากับเทาใด
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
27
ANET 51 ให A และ B เปนจุดยอดของไฮเพอรโบลา 2 24x y 24x 6y 11 0− − + + = สมการของ
พาราโบลาท่ีมี เสนตรงAB เปนเลตัสเรกตัม และมีกราฟอยูเหนือแกน x คือสมการในขอใดตอไปนี้
ก. 2(x 3) 4(y 2)− = − ข. 2(x 3) 8(y 1)− = −
ค. 2(x 2) 4(y 2)− = − ง. 2(x 2) 8(y 1)− = −
ENTมี.ค. 48 กําหนดใหพาราโบลารูปหนึ่งมีสมการเปน 2y 16x 4y 12 0− − − = ถา L เปนเสนตรงท่ี
ผานโฟกัสของพาราโบลารูปนี้ และต้ังฉากกับเสนตรง 3x-2y+5 = 0 แลว ระยะตัดแกน y ของเสนตรง L มีคา
เทากับเทาใด
ENTต.ค. 46 ให H เปนไฮเพอรโบลา 2 24x 12y 16x 72y 44 0− + + + + = ซึ่งมีจุดโฟกัสคือ F1 และ
F2 ให E เปนวงรีซึ่งมีจุดศูนยกลางรวมกับ H โดยมี F1 และ F2 เปนจุดยอด และสัมผัสแกน y ถา E ตัดแกน x
ท่ีจุด A และ B แลว AB ยาวเทากับเทาใด
คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
28
เอกสารอางอิง
คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554.
สมัย เหลาวานิชย, รศ., “ตะลุยคลังขอสอบเขามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร สาระการเรียนรูพื้นฐานและ
เพิ่มเติม”, สํานักพิมพไฮเอ็ด พับบลิชช่ิง.
http://kruaun.wordpress.com/testbank/pat1/
http://th.wikipedia.org/wiki/เรขาคณิตวิเคราะห