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Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica
- Mestrado
CONTROLE ADAPTATIVO APLICADO EM DOIS ELOS DE UM
ROBÔ MANIPULADOR ELETROPNEUMÁTICO DE TRÊS GRAUS
DE LIBERDADE CARTESIANO
por
Oldineia Batista de Souza
Dissertação de Mestrado apresentada à Universidade Federal da Paraíba
para obtenção do grau de Mestre.
João Pessoa - Paraíba Agosto/2010
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica
MESTRADO
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OLDINEIA BATISTA DE SOUZA
CONTROLE ADAPTATIVO APLICADO EM DOIS ELOS DE UM
ROBÔ MANIPULADOR ELETROPNEUMÁTICO DE TRÊS GRAUS
DE LIBERDADE CARTESIANO
Dissertação apresentada ao programa de
Pós-Graduação em Engenharia
Mecânica da Universidade Federal da
Paraíba, em cumprimento às exigências
para obtenção do Grau de Mestre.
Orientador: Prof. Dr. José Antonio Riul
João Pessoa – Paraíba Agosto/2010
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S729c Souza, Oldineia Batista de..
Controle adaptativo aplicado em dois elos de um robô manipulador eletropneumático de três graus de liberdade cartesiano / Oldineia Batista de Souza.- João Pessoa, 2010.
63f.
Orientador: José Antonio Riul
Dissertação (Mestrado) – UFPB/CT
1. Manipuladores robóticos. 2. Robótica. 3. Identificação. 4. Controle adaptativo. 5. Engenharia Mecânica.
UFPB/BC CDU: 621.865.8(043)
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Dedico este trabalho aos meus pais José
Batista de Souza e Maria José de Souza,
responsáveis pelo alicerce no qual
estruturei a minha vida produtiva, às
minhas irmãs Ingrid, Andréa e Ethiane,
pelo companheirismo e amizade.
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AGRADECIMENTOS
A Deus, simplesmente por ser o Tudo.
Ao professor José Antônio Riul pelo incansável apoio e preciosos ensinamentos.
Ao professor Paulo Henrique de Miranda Montenegro, pelas inestimáveis
colaborações no decorrer deste trabalho.
A professora Marizete, pelo incentivo e colaboração em vários estágios da minha
vida acadêmica.
Aos professores de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal Rural de
Pernambuco, na qual fiz minha graduação.
A todos os professores, que lecionam no curso de Pós-Graduação de Eng.
Mecânica, que colaboraram para que eu pudesse alcançar esta etapa tão importante da
minha vida profissional.
Aos amigos que consegui conquistar entre os colegas da Pós-graduação, pela
companhia e espírito de solidariedade demonstrada no decorrer deste trabalho.
A Josinaldo Calixto “Russo” pelo companheirismo e incentivo de sempre.
Ao CNPq pelo apoio financeiro.
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CONTROLE ADAPTATIVO APLICADO EM DOIS ELOS DE UM
ROBO MANIPULADOR ELETROPNEUMÁTICO DE TRÊS GRAUS
DE LIBERDADE CARTESIANO
RESUMO
O objetivo do presente trabalho é modelar e controlar em tempo real dois elos de um robô
manipulador eletropneumático de três graus de liberdade (3GDL) cartesiano. O robô manipulador é
constituído basicamente por três válvulas eletropneumáticas proporcionais e por três cilindros
pneumáticos, e seus parâmetros são identificados em tempo real pelo algoritmo dos Mínimos
Quadrados Recursivos (MQR). De posse do modelo do sistema, controladores adaptativos de
Dahlin-Variância Mínima (DMV) são projetados e implementados visando o controle de posição
do órgão efetuador do robô manipulador. Finalizando, são apresentados resultados experimentais,
como avaliação do desempenho obtido pelo robô manipulador.
Palavras chaves: Robótica, Identificação, Controle adaptativo.
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ADAPTIVE CONTROL APPLIED TO TWO LINKS OF A
CARTESIAN ELETROPNEUMATIC MANIPULATOR ROBOT WITH
THREE DEGREES OF FREEDOM
ABSTRACT
The objective of this work is to model and to control in real-time two links of a cartesian
electropneumatic manipulator robot with three degrees of freedom (3DOF). The manipulative robot
basically consists of three proportional eletropneumatic valves and three pneumatic cylinders, and
their parameters are identified in real-time by the Recursive Least Squares (RLS) method. In the
possession of the system’s model, adaptive of Dahlin Minimum Variance (DMV) are planned and
implemented aiming the position control of the manipulative robot’s effecter organ. Finally,
experimental results are presented, as a way to assess the manipulative robot’s performance.
Keywords: Robotics, Identification, Self-tuning controller
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SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 ..................................................................................................................... 01
1.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 01
1.2 CARACTERÍSTICAS DO ROBÔ MANIPULADOR ............................................ 01
1.3 HISTÓRICO ............................................................................................................ 02
1.4 JUSTIFICATIVA E PROPOSTA DO MESTRADO ............................................. 04
1.5 METODOLOGIA .................................................................................................... 05
1.6 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ...................................................................... 05
CAPÍTULO 2 ..................................................................................................................... 07
2.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 07
2.2 DESCRIÇÃO DO RÔBO MANIPULADOR ELETROPNEUMÁTICO DE
TRÊS GRAUS DE LIBERDADE ........................................................................... 07
2.2.1 Bancada de Testes e compressor........................................................................... 08
2.2.2 Principais componentes que compõem o Robô Manipulador............................... 10
2.2.3 Sistema de aquisição de dados .............................................................................. 13
2.3 CONCLUSÃO ......................................................................................................... 14
CAPÍTULO 3 ..................................................................................................................... 15
3.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 15
3.2 IDENTIFICAÇÃO DO ROBÔ MANIPULADOR ................................................. 16
3.3 ESCOLHA DA ESTRUTURA DO MODELO.......................................................20
3.4 ESTRUTURA DO MODELO ................................................................................. 30
3.5 CONCLUSÃO ......................................................................................................... 31
CAPÍTULO 4 ...................................................................................................................... 32
4.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 32
4.2 HISTÓRICO ............................................................................................................ 32
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44.2.1 Controle Auto-Ajustável com base na estratégia de Variância Mínima ............. 34
4.2.2 Controle de Dahlin ................................................................................................ 37
4.2.3 Controlador DMV ................................................................................................. 38
4.3PROCEDIMENTOS PARA O PROJETO DO CONTROLADOR DMV
COM ALTERAÇÃO ................................................................................................ 40
4.4 RESULTADOS........................................................................................................ 45
4.5 CONCLUSÃO ......................................................................................................... 53
CAPÍTULO 5 ...................................................................................................................... 54
5.1 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................ 54
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ................................................................................ 56
APÊNDICE A...................................................................................................................... 58
A.1 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS ......................................................................... 58
A.2 LISTAGEM DOS PROGRAMAS EM MATLAB .................................................. 60
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1- Diagrama de bloco do controlador STR explícito e de planta...........................04
Figura 2. 1- Robô manipulador eletropneumático de 3 GDL..............................................08
Figura 2.2- Bancada de Testes.............................................................................................09
Figura 2.3- Compressor........................................................................................................10
Figura 3.1-Modelos para o elo X do robô manipulador.......................................................24
Figura 3.2-Modelos para o elo Z do robô manipulador.......................................................24
Figura 3.3. Excitação no elo X do Robô Manipulador........................................................26
Figura 3.4. Excitação no elo Z do Robô Manipulador.........................................................27
Figura 3.5. Saída estimada com o MQR e real, do elo X do robô manipulador..................27
Figura 3.6. Saída estimada com o MQR e real, do elo Z do robô manipulador..................28
Figura 3.7. Erro de previsão para o modelo de segunda ordem do elo X do
robô manipulador................................................................................................................28
Figura 3.8. Erro de previsão para o modelo de segunda ordem do elo Z do
robô manipulador...............................................................................................................29
Figura 3.9. Parâmetros estimados do elo X do robô manipulador.....................................29
Figura 3.10. Parâmetros estimados do elo Z do robô manipulador....................................30
Figura 4.1- Estrutura do controlador DMV e planta..........................................................39
Figura 4.2- Estrutura do controlador DMV com alteração e planta...................................40
Figura 4.3- Sinal de referência do elo X do robô manipulador..........................................46
Figura 4.4- Sinal de referência do elo Z do robô manipulador...........................................46
Figura 4.5 – Referência e resposta do elo X do robô manipulador, sob ação do
controlador DMV com alteração........................................................................................47
Figura 4.6 – Referência e resposta do elo Z do robô manipulador, sob ação do
controlador DMV com alteração........................................................................................47
Figura 4.7– Erro de posição do elo X do robô manipulador..............................................49
Figura 4.8 – Erro de posição do elo Z do robô manipulador..............................................50
Figura 4.9 – Variável de controle do elo X do robô manipulador......................................51
Figura 4.10 – Variável de controle do elo Z do robô manipulador....................................51
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Figura 4.11 – Parâmetros estimados xa e xb , do elo X do robô manipulador....................52
Figura 4.12 – Parâmetros estimados za e zb , do elo Z do robô manipulador.....................52
Figura A.1- Procedimento geral para identificação de processos........................................59
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LISTA DE TABELAS
Tabela. 2.1. Dados técnicos do compressor.........................................................................10
Tabela. 2.2. Dados técnicos dos cilindros pneumáticos.......................................................11
Tabela. 2.3. Dados técnicos das válvulas proporcionais eletropneumáticas........................12
Tabela. 2.4. Dados técnicos das réguas potenciométricas...................................................12
Tabela 3.1-Parâmetros de inicialização do programa computacional Identmqr..................19
Tabela 3.2- Parâmetros do modelo do sistema referentes aos elos X e Z do
robô manipulador.................................................................................................................23
Tabela 3.3. Índice de desempenho do elo X.....................................................................25
Tabela 3.4. Índice de desempenho do elo Z.....................................................................25
Tabela. 4.1. Parâmetros de inicialização do programa
computacional controledmvcompleto1................................................................................45
Tabela. 4.2. Especificações de desempenho impostas ao sistema......................................45
Tabela. 4.3. Desempenho do elo X do robô manipulador, relativo às especificações
de desempenho estabelecidas.............................................................................................48
Tabela. 4.4. Desempenho do elo Z do robô manipulador, relativo às especificações
de desempenho estabelecidas.............................................................................................48
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LISTA DE SIMBOLO E ABREVIATURAS
- erro de previsão
( 1)K t - ganho do estimador
'( 1)K t - ganho do estimador com fator de esquecimento
( )P t - matriz de covariância
'( )P t -matriz de covariância com fator de esquecimento
ˆMQ - vetor de parâmetros estimados pelo MQ
ˆ( 1)t - vetor de parâmetros estimados pelo MQR
A (Z-1
), B(Z-1
) e C(Z-1
)- polinômios característicos do sistema
AIC- critério de informação de Akaike
-fator de esquecimento
p-
parâmetro dos projetos dos controladores “ajuste de Dahlin”
Q - parâmetro dos projetos dos controladores
R²- coeficiente de correlação múltipla
SEQ- somatório do erro quadrático
aT -tempo de amostragem
u(t) - variável de controle
y (t) - saída do sistema
e(t)- representa um ruído branco filtrado
pn -representa o número de parâmetros
an -representa o número de pólos
bn -representa o número de zeros
k -representa o atraso de transporte
ARMAX – Modelo Auto-regressivo com média móvel e entradas exógenas.
ARX- Modelo auto-regressivo com entradas externas
DMV- Dahlin- Variância Mínima
GMV- Variância Mínima Generalizada
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GPC- controlador Preditivo generalizado
MDMV - Dahlin- Variância Mínima Modificado
MIMO-Sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas.
MQR- Mínimos Quadrados Recursivos
MV- Variância Mínima
PID- Controlador proporcional integral derivativo
SISO-sistema com única entrada e única saída
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1
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1 INTRODUÇÃO
Este trabalho tem como objetivo modelar e controlar em tempo real dois elos de um
robô manipulador eletropneumático de três graus de liberdade (3GDL) cartesiano. Este
capítulo apresenta na seção 1.2 características dos robôs manipuladores, na seção 1.3 um
breve histórico sobre controle de sistemas com ênfase em controladores adaptativos. A
seção 1.4 apresenta a justificativa e proposta do mestrado, bem como os objetivos e
contribuições, a seção 1.5 discorre sobre a metodologia adotada e por fim a seção 1.6 a
organização do trabalho.
1.2 CARACTERÍSTICAS DO ROBÔ MANIPULADOR
Os robôs industriais são manipuladores formados por cadeias de corpos (elos), em
cuja extremidade é fixada uma ferramenta ou garra (órgãos efetuadores), através do qual é
possível o robô executar determinadas tarefas. Por exemplo, uma determinada carga pode
ser transportada seguindo uma determinada trajetória para uma posição, ambas pré-
estabelecidas. Os elos que formam a cadeia são interligados por meio de juntas que, de
acordo com o movimento relativo entre os elos, podem ser de translação ou de rotação. O
movimento da ferramenta é o resultado do movimento das juntas, realizado pelos atuadores
e monitorado por sensores. Os atuadores podem ser hidráulicos e pneumáticos; hidráulicos;
pneumáticos, eletromagnéticos. O atuador pneumático é muito utilizado em robôs
industriais que operam com movimentação de cargas entre posições bem definidas,
limitadas por batentes mecânicos, o que caracteriza o movimento ponto-a-ponto, não muito
recomendado quanto a controle de posicionamento entre as posições-limites (ROMANO,
2002).
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2
Com relação à estrutura mecânica os robôs são classificados como sendo de
coordenadas cartesianas pórtico, coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas, Scara,
articulado ou antropomórfico e paralelo. O robô de coordenadas cartesianas /pórtico possui
três juntas prismáticas, cujos eixos do movimento são coincidentes com um sistema de
referência cartesiano (ROMANO, 2002).
O controle de posição do órgão efetuador de um robô pode ser realizado por
técnicas convencionais e não convencionais. Projetos de controladores convencionais e não
convencionais, podem utilizar modelos do sistema do tipo caixa branca, caixa preta ou
caixa cinza. Os modelos de robôs do tipo caixa branca normalmente são não lineares,
enquanto que os do tipo caixa preta normalmente são lineares e podem ser determinados de
duas formas: “off line” ou “on line”. Os modelos “caixa preta” são utilizados em projetos
de controladores adaptativos explícitos, e usam os parâmetros estimados do sistema em
tempo real. Os controladores adaptativos operam em tempo real e assim resolvem
problemas de variação de parâmetros e não linearidades de sistemas.
1.3 HISTÓRICO
ASTROM (1996a) cita que uma das primeiras referências sobre controle adaptativo se
deu na década de 50. Na época a maior aplicação foi na indústria Aeronáutica, e sua maior
motivação foi a utilização de estruturas adaptativas de controle no desenvolvimento de
pilotos automáticos, já que o controle convencional com ganho fixo se comportava bem
para um determinado tipo de condições, quando estas se alteravam, o sistema apresentava
resultados indesejáveis. Porém, a falta de computadores adequados, de uma fundamentação
teórica e um grave acidente ocorrido em um teste de vôo, fez com que o controle
adaptativo não obtivesse muito sucesso (ASTROM, 1989).
Na década de 60, houve um grande esforço e desenvolvimento da comunidade
científica na teoria de controle, em particular, controle adaptativo. Surgiram novas teorias
como a de espaço de estados e a estabilidade, ainda que, sobre pressupostos muito
restritivos, e com os primeiros computadores digitais, fez reascender o interesse pelo
controle adaptativo (ASTROM, 1989).
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Nas décadas de 70 e 80, se consolidou bastante os resultados, impulsionados pelo
advento dos microcomputadores. O fato importante desta época foi pelo pioneirismo de
ASTROM e WITTENMARCK na aplicação do processo de dinâmica desconhecida.
Na década de 90 ocorreu um bom desenvolvimento de controle adaptativo para
sistemas não-lineares, bem como a abordagem sobre robustez desses controladores.
À medida que os controladores vêm sendo aprimorados novos recursos são
incorporados para permitir maior flexibilidade e atender as classes mais amplas.
SEBORG (1986) apresenta uma classificação para as diversas técnicas de controle
adaptativo, dividindo-se em quatro categorias: (I) controladores projetados através de
Funções-Custo Quadráticas; (II) métodos de projeto na Teoria da Estabilidade; (III)
Técnicas e Alocação de Pólos e (IV) outras abordagens.
Na classe I, estão inclusas as estratégias de: Variância Mínima (MV), Variância
Mínima Generalizada (GMV), Dahlin- Variância Mínima (DMV) e o controlador (GPC).
A estratégia de Variância Mínima (MV) será utilizada neste trabalho no Capítulo 4 em
conjunto com outro controlador para a obtenção da lei de controle.
Adaptar significa mudar um comportamento para se ajustar às novas circunstâncias.
Um sistema adaptativo é qualquer sistema que tem sido projetado com um ponto de vista
adaptativo. Assim, um controlador adaptativo é definido como um controlador que pode
modificar seu comportamento em resposta às mudanças na dinâmica do processo e na
característica do distúrbio (ASTROM e WITTENMARK, 1995).
ASTROM e WITTENMARK (1995), ISERMANN et.al (1992) definem controlador
adaptativo como sendo um controlador com parâmetro ajustáveis e um mecanismo de
ajuste. O controlador auto-ajustável (STR) automatiza as tarefas de modelagem
matemática, projeto e implementação da lei de controle.
Para combinar a ação da identificação com o procedimento de projeto de controle, a
técnica de controle (STR) contempla dois métodos: algoritmos auto-ajustáveis diretos ou
explícitos e algoritmos auto-ajustáveis indiretos ou implícitos. O explícito combina um
estimador recursivo para obter os parâmetros do modelo do sistema, a partir dos dados de
entrada e saída. A Figura (1.1) mostra o digrama de blocos do controlador STR explícito e
de planta.
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4
Figura 1.1- Diagrama de bloco do controlador STR explícito e de planta.
1.4 JUSTIFICATIVA E PROPOSTA DO MESTRADO
Atualmente existem muitas pesquisas com controladores baseados na estratégia de
Variância Mínima, porém há uma necessidade de realização de maiores investigações que
envolvam servoatuadores em acompanhamento de trajetórias, sobretudo os pneumáticos.
Outro fator importante que motivou a realização desta pesquisa é que poucos trabalhos
práticos têm apresentado propostas para controle digital em tempo real, principalmente em
robôs manipuladores eletropneumáticos.
A estratégia de Variância Mínima apresenta algumas desvantagens, como
impossibilidade de tratar de sistemas de fase não-mínima, a impossibilidade de penalizar
ações excessivas de controle, a não garantia de erro médio nulo em regime permanente e a
falta de parâmetros de projetos do controlador. Porém, é bem flexível para combinações
com outras estruturas, como exemplo pode-se citar a estratégia de controle proposta
inicialmente por KHALIL (1992) que tinha como objetivo combinar as estratégias de
Dahlin e Variância Mínima.
Este trabalho tem como proposta de estudo a estratégia de Dahlin- Variância Mínima
(DMV), com possíveis alterações, para o controle de posicionamento em tempo real de
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5
dois elos de um robô manipulador eletropneumático de (3GDL). Alguns trabalhos mais
recentes envolvendo controle adaptativo serão evidenciados no decorrer desta dissertação.
O trabalho de pesquisa será conduzido teórica e experimentalmente, envolvendo uma
revisão bibliográfica; estudados algoritmos aplicados a identificação, bem como dos
controladores adaptativos existentes; projeto e implementação do DMV com alteração e
por fim, avaliação do comportamento de dois elos do robô sob a ação do controlador. A
seção 4.2 do capítulo 4 apresenta um breve histórico sobre o controlador DMV.
1.5 METODOLOGIA
Para o desenvolvimento da dissertação, serão seguidas as etapas:
Etapa 1- Definição da estrutura do modelo para o manipulador, uma vez definida e
validada a estrutura de modelo, os elos do manipulador serão identificados recursivamente
por meio do estimador (MQR).
Etapa 2- Projeto do controlador DMV com alteração, para isso se faz necessário a lei de
controle, levando em consideração os parâmetros identificados a cada instante de
amostragem.
Etapa 3- Realização dos testes experimentais sob a ação dos controladores projetados.
1.6 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
Esta dissertação consta de quatro capítulos e um apêndice.
O capítulo 1 apresenta as características do robô manipulador eletropneumático; um
breve histórico sobre controle, em particular o controle adaptativo; a justificativa e
proposta da dissertação, incluindo os objetivos e contribuições; e por fim a metodologia a
ser aplicada para conduzir e alcançar os objetivos esperados.
O capítulo 2 apresenta uma breve descrição do sistema experimental em estudo, o
“Robô Manipulador Eletropneumático de Três Graus de Liberdade cartesiano”.
O capítulo 3 trata do modelamento de dois elos do robô manipulador eletropneumático
de três graus de liberdade (3 GDL) cartesiano. É definida a estrutura do modelo,
identificação e validação do modelo matemático do manipulador em estudo.
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6
O capítulo 4 aborda a estratégia de controle de Dahlin-Variância Mínima (DMV)
aplicado para o projeto de controle de posição dos elos X e Z do Robô Manipulador
Eletropneumático de Três Graus de Liberdade (3 GDL) cartesiano.
No capítulo 5 as conclusões finais desse trabalho são apresentadas.
O apêndice A aborda as principais etapas evolvidas na identificação de sistemas
dinâmicos, bem como a listagem de programação para identificação e controle do robô
manipulador.
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CAPÍTULO 2
DESCRIÇÃO DO SISTEMA EXPERIMENTAL
2.1 INTRODUÇÃO
Este capítulo apresenta uma breve descrição do sistema experimental em estudo, o
“Robô Manipulador Eletropneumático de Três Graus de Liberdade”. A seção 2.2 apresenta
o rôbo manipulador. Na seção 2.2.1 apresenta-se a bancada de testes utilizada para
realização dos ensaios, com os seus principais componenetes, e a comunicação do sistema
computacional com o robô manipulador em estudo, além do compressor utilizado para o
acionamento das válvulas proporcionais eletropneumáticas instaladas no rôbo. Na seção
2.2.2 comenta-se sobre os componentes que compõem o rôbo, suas características e
especificações técnicas e em seguida na seção 2.2.3 é apresentado o sistema de aquisição
de dados responsável pela conversão, aquisição de sinais e comunicação do robô
manipulador com o sistema computacional no qual é inserido o programa computacional
de identificação e o de controle do sistema. A seção 2.3 apresenta uma breve conclusão
sobre o capítulo. O robô manipulador proposto em estudo, encontra-se localizado no
Laboratório de Dinâmica do Departamento de Engenharia Mecânica do Centro de
Tecnologia da Universidade Federal da Paraíba (UFPB).
2.2 DESCRIÇÃO DO RÔBO MANIPULADOR ELETROPNEUMÁTICO DE
TRÊS GRAUS DE LIBERDADE
O robô manipulador eletropneumático de três graus de liberdade (3GDL), conforme
mostrado na Fig. (2.1) é composto por três elos paralelos aos eixos: X, Y e Z do sistema de
referência. Esse robô é cartesiano e possui três juntas prismáticas, resultando num
movimento composto de três translações, cujos eixos de movimento são conincidentes com
um sistema de referência cartesiano; desta forma os modelos dos elos são desacoplados.
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Neste trabalho, os elos que se deslocam nas direções X e Z, serão denominados de elos X e
Z, terão suas posições controladas enquanto que o elo na direção Y permanecerá numa
posição fixa.
O robô manipulador funciona da seguinte forma: o compressor fornece ar comprimido
para as válvulas eletropneumáticas proporcionais (5) de tensão de 24 VDC e sinais
analógicos em tensão de 0 a 5 VDC, que acionam os cilindros pneumáticos (1) de dupla
ação e haste simples, dando o movimento ao órgão efetuador. Uma placa de entrada e saída
de dados é usada para exitar as válvulas eletropneumáticas proporcionais e captar os sinais
medidos pelas réguas potenciométricas (2).
1-cilindros pneumáticos; 2-réguas potenciométricas; 3-guias lineares; 4-patinas; 5-
válvulas proporcionais eletropneumáticas; 6-dutos de condução dos fluxos de ar.
Figura 2. 1- Robô manipulador eletropneumático de 3 GDL
2.2.1 Bancada de Testes e compressor
A Figura (2.2) apresenta uma visão geral da bancada de testes. A bancada de testes é
composta por: um robô manipulador eletropneumático, uma fonte variável de corrente
contínua, um sistema de aquisição de dados e um computador (PC). No computador a
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identificação do modelo e implementação da lei de controle do robô manipulador é
realizada através de programas computacionais desenvolvidos nas plataformas LabVIEW e
Matlab. A Figura. (2.3) apresenta o compressor de ar da marca SHUZ, modelo MSL 10
ML/175 e a Tab. (2.1) as suas especificações. O compressor fornece o ar comprimido que
aciona as válvulas proporcionais eletropneumáticas (5) através dos dutos de condução dos
fluxos de ar (6).
Figura 2.2- Bancada de Testes
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Figura 2.3-Compressor de ar
Tabela. 2.1. Dados técnicos do compressor de ar
Modelo/Fabricante
MSL 10 ML-175 /
SCHUZ
Peso Bruto
Peso líquido
90 kg
81 kg
Deslocamento teórico 10 pés3/min- 283 l/min
Pressão de operação
máxima 8,3 MPa (83 bar)
Potência 2 hp-1,5 kw
Volume do reservatório 178 l
RPM 3430
2.2.2 Principais componentes que compõem o Robô Manipulador
A Figura (2.1) apresenta uma visão geral do sistema, composto pelos seguintes
componentes:
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Três cilindros pneumáticos de dupla ação corforme as especificações da Tab. (2.2).
Os elos X e Z, ambos com 400 mm de curso, e o elo Y, com 200 mm de curso.
Cilindro pneumático: são cilindros de dupla ação, com ação do ar comprimido nos
dois sentidos de movimento; avanço e retorno. São comandados por válvulas
proporcionais eletropneumáticas de 4 ou 5 vias.
Tabela. 2.2. Dados técnicos dos cilindros pneumáticos
Modelo/Fabricante
CWEA 03273310X0400/WERK-
SCHOTT
CWEA 03273310X0200/WERK-
SCHOTT
Tipo
Diâmetro
Curso efetivo
Tirantado
32 mm
400 mm e 200 mm, respectivamente
Material da haste
Pressão
Tipo de vedação/êmbolo
SAE 1045
até 1,0 MPa (10 bar)
Bruna –N/sem êmbolo magnético
Tipo de montagem Montagem básica
Êmbolo/ Camisa Ambos de alumínio
Fluido Ar comprimido filtrado
Temperatura ambiente
Força Teórica a 6 bar, retorno
Força Teórica a 6 bar, avanço
-10°C a +80°C (Bruna-N)
414,70 N
482,55 N
Três válvulas eletropneumáticas proporcionais conforme as especificações da Tab.
(2.3). A válvula proporcional de vazão é utilizada para aplicações nas quais faz-se
necessário o controle da velocidade do atuador e de sua direção mediante um sinal
de entrada elétrico analógico em tensão de 0 a 10 VDC ou em corrente de 4 a 20
mA.
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Tabela. 2.3. Dados técnicos das válvulas proporcionais eletropneumáticas
Modelo/Fabricante MPYE-5-1/8-HF-010-B/FESTO
Diâmetro
Tipo de acionamento
Pressão absoluta de trabalho
6 mm
elétrico
0 a 1,0 MPa (10bar)
Vazão nominal padrão 700 l/min
Temperatura do meio 5°C a 40°C
Temperatura ambiente 0°C a 50°C
Meio operacional Ar comprimido filtrado, não lubrificado,
grau de filtração 5µm
Sentido do fluxo
Função de válvula
Não reversível
5/3 fechado
Três réguas potenciométricas corforme as especificações da Tab. (2.4). Os sistemas
de medição de curso são empregados em combinação com atuadores para o
posicionamento ou para o amortecimento eletrônico nas posições finais de curso.
Acoplado longitudinalmente no cilindro a régua potenciométrica ou sensor de
posição, como também pode ser chamado, garante a leitura efetiva do
posicionamento do atuador sendo parte essencial no conceito de controle em malha
fechada para posicionadores pneumáticos
.
Tabela. 2.4. Dados técnicos das réguas potenciométricas
Modelo/Fabricante MLO-POT-500-TFL/ FESTO
Curso
Princípio de medição: régua
potenciométrica
500 mm
analógico
Sinal de saída analógico
Resolução do trajeto 0,01 mm
Conexão elétrica De 4 pinos Forma A, conector da
forma DIN 43650, design quadrangular
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Como os resultados obtidos pelas réguas potenciométricas são em tensão (V), criou-se
uma função linear da seguinte forma, dada uma excitação , obtêm-se um valor do
deslocamento do cursor do cilindro pneumático em Volts através da régua potenciométrica,
em seguida mede-se com uma escala métrica o quanto o cursor se deslocou sobre o
cilindro peneumático. Este procedimento é para diversas excitações. Com esses dados em
Volts e em milímetros fez-se um ajuste de curvas, obtendo-se:
mm vX 88,690 X 1,829 (2.1)
mm vZ 98,794 Z 5,378 (2.2)
Onde:
vX e vZ - tensões medidas nos cursos móveis dos transdutores potenciométricos.
X e Z - deslocamentos medidos nos cursos móveis dos transdutores/hastes dos cilindros em
milímetros.
Fonte variável de corrente contínua, modelo MPL-3303 do fabricante Minipa,
possui duas saídas variavéis e uma saída especial de 5 V fixa. É um equipamento
utilizado para alimentar a válvula proporcional a uma tensão de 24 V, além das
tensões auxiliares de alimentação dos transdutores de posição potenciométrica.
2.2.3 Sistema de aquisição de dados
O processo de aquisição e controle do manipulador é realizado através de uma placa NI
USB 6009 fabricada pela National Instruments. A resolução é de 14 bits, taxa de
amostragem 48 KS/s, faixa de tensão de entrada ±1 VDC a ±20 VDC, faixa de tensão de
saída de 0 a 5 VDC, quatro canais de entradas diferenciais analógicos ou 8 simples e 2
canais de saída.
A placa faz a comunicação entre a planta e os algoritmos de identificação e controle
através conversores digitais e analógicos. Para efeito de estudo, desprezando o elo Y, na
bancada de testes foram usados quatro sinais analógicos: dois sinais de entrada e dois
sinais de saída.
Um computador PC utilizando os programas computacionais LabView e Matlab para
identificar os parâmetros do rôbo e implementar as ações de controle do manipulador em
tempo real, através da placa de entrada e saída de dados.
-
14
2.3 CONCLUSÃO
Neste capítulo foi apresentado o robô manipulador eletropneumático de três graus de
liberdade (3GDL) cartesiano. Neste trabalho, os elos nas direções X e Z , terão suas
posições controladas enquanto que o elo na direção Y permanecerá numa posição fixa. Foi
descrito o princípio de funcionamento do robô, dando-se ênfase aos elementos que o
compõem, além de descrever suas especificações técnicas.
Nas Equações (2.1) e (2.2) foram apresentadas as funções lineares que convertem os
deslocamentos obtidos pelas réguas potenciométricas em Volts (V), para unidade métrica
em milímetros (mm).
-
15
CAPÍTULO 3
MODELAGEM MATEMÁTICA DO SISTEMA
3.1 INTRODUÇÃO
Este capítulo trata do modelamento de dois elos do robô manipulador eletropneumático
de três graus de liberdade (3 GDL) cartesiano. Os dois elos a serem analisados são
paralelos aos eixos X e Z do sistema de referência mostrado na Fig. (2.1). A modelagem
matemática de um sistema pode ser obtida através de leis físicas, conhecida como
identificação caixa branca ou modelagem caixa branca; por técnicas de identificação
paramétricas, conhecida como identificação caixa preta ou modelagem caixa preta e que
dependem de dados reais do sistema, ou por identificação caixa cinza (AGUIRRE, 2007),
como uma técnica que busca combinar as vantagens das duas identificações supracitadas.
A modelagem caixa branca resulta em modelos não lineares (SPONG E
VIDYASAGAR, 1989), enquanto que a modelagem caixa preta gera modelos lineares
(AGUIRRE, 2007, ASTROM & WITTENMARK, 1995, ISERMANN, 1992), que podem
ser usados para projeto e implementação de controladores adaptativos. Os modelos são
obtidos em tempo real, e representam de forma satisfatória a dinâmica não linear do
sistema, visto que esta é avaliada para cada instante de tempo, em função do tempo de
amostragem utilizado. As modelagens caixa branca, quando utilizadas em projetos de
controladores, exige um conhecimento amplo dos parâmetros físico dos sistemas, uma
quantidade elevada de cálculos, o que torna necessário o uso de máquinas de grande porte,
tendo em vista o esforço computacional requerido (KOIVO E GUO, 1983). Na utilização
da modelagem caixa preta, geralmente empolgada, a estrutura é definida a priori e a
escolha de modelos de primeira ou segunda ordem representa bem os sistemas reais, e
requerem baixo esforço computacional. A identificação caixa cinza, utiliza-se de
informações auxiliares que facilita a escolha da estrutura e estimação de parâmetros, além
de relacionar características do modelo com a dinâmica do sistema (AGUIRRE, 2007).
-
16
Neste trabalho a técnica de identificação paramétrica é utilizada na obtenção dos
parâmetros do sistema. Modelagem matemática paramétrica de sistemas é largamente
utilizada em projetos de controladores adaptativos explícitos, dado que a atualização dos
parâmetros a cada período de amostragem visa à adequação das características do sistema e
as variações na sua dinâmica. O sistema será identificado pelo algoritmo dos Mínimos
Quadrados Recursivos (MQR) (AGUIRRE, 2007). Para avaliação da qualidade dos
modelos matemáticos obtidos através do algoritmo supracitado usam-se os índices de
desempenho, a saber: coeficiente de correlação múltipla (R²), somatório do erro quadrático
(SEQ) e o critério de informação de Akaike (AIC).
3.2 IDENTIFICAÇÃO DO ROBÔ MANIPULADOR
A identificação de sistemas é uma área do conhecimento que estuda técnicas
alternativas de modelagem matemática. Uma das características de uma dessas técnicas é
que pouco ou nenhum conhecimento prévio do sistema é necessário e, conseqüentemente,
tais métodos são referidos como modelagem (ou identificação) caixa preta ou modelagem
empírica. (AGUIRRE, 2007). A identificação tipo caixa preta é utilizada no modelamento
do robô manipulador sob análise. Neste modelamento, o algoritmo dos mínimos quadrados
recursivos (MQR) é utilizado em tempo real para a identificação dos parâmetros do
sistema. O robô manipulador é cartesiano, então os movimentos dos seus elos são
desacoplados, logo a identificação é realizada de forma independente para cada elo; e
assim o MQR apresentado a seguir de forma genérica, é utilizado para identificação de
cada um dos dois elos.
Para um sistema físico de uma entrada, uma saída (SISO) e uma perturbação, existem
algumas reapresentações matemáticas especialmente adequadas à identificação de sistemas
usando-se algoritmos conhecidos para estimação de parâmetros.
Neste trabalho, os modelos para ambos os elos que compõem o manipulador robótico
em estudo será do tipo ARX (Modelo auto-regressivo com entradas externas). (AGUIRRE,
2007; COELHO E COELHO, 2004; WITTENMARK, 1995 e LJUNG, 1999) e é da forma:
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )kA Z y t Z B Z u t e t (3.1)
-
17
Onde:
1 1
1( ) 1 ...na
naA Z a Z a Z (3.2)
1 10 1( ) ...nb
nbB Z b b Z b Z (3.3)
A representação da Eq. (3.1) na forma de equações a diferenças é dada por:
1 2 0 1( ) ( 1) ( 2)... ( ) ( ) ( 1) ... ( ) ( )na nby t a y t a y t a y t na b u t k bu t k b u t k nb e t
(3.4)
A Eq. (3.4) pode ser apresentada por:
( ) ( ) ( ) ( )Ty t t t e t (3.5)
Onde:
( ) ( 1) ( 2) ... ( ) ( ) ( 1) ... ( )T t y t y t y t na u t k u t k u t k nb (3.6)
1 2 0 1( ) ... ...na nbt a a a b b b (3.7)
( )T t - vetor de medidas
( )t - vetor de parâmetros
( )u t - entrada do sistema
( )y t - saída do sistema
( )e t - ruído branco filtrado
ia - pólos do sistema, 1 i na
jb -zeros do sistema, 1 j nb
na - número de pólos do sistema
nb - número e zeros do sistema
k - atraso de transporte
Para um número N de medidas, tem-se que:
Y E (3.8)
Y - vetor de saída
- matriz de observação
A estimativa de vetor de parâmetros é dada pelo procedimento dos mínimos quadrados
(MQ), onde a melhor previsão da saída do sistema é calculada por:
-
18
ˆŶ (3.9)
O MQ é obtido pela minimização da função custo dado pela Eq. (3.10)
2minJ
(3.10)
Onde:
ˆY Y (3.11)
- erro de previsão
O estimador dos mínimos quadrados (MQ), também conhecido por estimador linear é
dada pela Eq. (3.12)
1ˆ T TMQ Y
(3.12)
Onde:
ˆMQ - vetor de parâmetros estimados pelo MQ
A precisão das estimativas está associada com o tamanho dos elementos da matriz de
covariância, que por definição é dada por:
1TP
(3.13)
O MQ é adaptado resultando no algoritmo MQR. No MQR, as estimativas
calculadas no instante de tempo t, são atualizadas para obtenção dos parâmetros ˆ( 1)t .
ˆ ˆ( 1) ( ) ( 1) ( 1)t t K t t (3.14)
Onde:
( ) ( 1)( 1)
1 ( 1) ( ) ( 1)TP t t
K tt P t t
(3.15)
ˆ( 1) ( 1) ( 1) ( )Tt y t t t (3.16)
( ) ( 1) ( 1) ( )( 1) ( )
1 ( 1) ( ) ( 1)
T
T
P t t t P tP t P t
t P t t
(3.17)
( 1)K t - ganho do estimador MQR
-
19
( )P t - matriz de covariância do estimador MQR
( 1)t - erro de previsão do estimador MQR
ˆ( 1)t - vetor de parâmetros estimados pelo MQR
Para aumentar a sensibilidade do estimador MQR na presença de variações de
parâmetros do sistema, implementa-se o fator de esquecimento ( ) evitando que os
elementos da matriz de covariância tendam para zero, mantendo o estimador em alerta para
rastrear dinâmicas variantes. Para 1 , tem-se a mesma ponderação para as medidas e
para 0,9 1 as medidas atuais terão ponderação maior.
O algoritmo de estimação dos mínimos quadrados recursivos (MQR) com fator de
esquecimento apresenta a seguinte forma (Ljung, 1999):
ˆ ˆ( 1) ( ) '( 1) ( 1)t t K t t (3.18)
Onde:
'( ) ( 1)'( 1)
( 1) '( ) ( 1)TP t t
K tt P t t
(3.19)
1 '( ) ( 1) ( 1) '( )'( 1) '( )
( 1) '( ) ( 1)
T
T
P t t t P tP t P t
t P t t
(3.20)
'( 1)K t - ganho do estimador MQR com fator de esquecimento
'( )P t -matriz de covariância do estimador MQR com fator de esquecimento
O programa computacional utilizado neste processo foi o Identmqr, escrito em
linguagem Matlab e implementado na plataforma LabVIEW, (veja Apêndice A).
A Tabela. (3.1) mostra os parâmetros de inicialização do programa Identmqr.
Tabela 3.1-Parâmetros de inicialização do programa computacional Identmqr.
Parâmetros Valores Iniciais
Vetor (0)
Matriz (0)P
0,0
510 * I
-
20
Fator de Esquecimento 0,97
A qualidade do modelo estimado pode ser verificada utilizando várias técnicas, dentre
elas, tem-se o somatório do erro quadrático (SEQ), dado pela Eq. (3.21) e o coeficiente de
correlação múltipla (R²), dado pela Eq. (3.22) (COELHO e COELHO, 2004).
2
1
ˆ( ) ( )N
j
SEQ y j y j
(3.21)
2
12
2
1
ˆ( ) ( )
1
( ) ( )
N
j
N
j
y j y j
R
y j y j
(3.22)
Quando o valor de R² é igual a um, indica uma exata adequação do modelo para os
dados medidos do processo e para R² entre 0,9 e 1,0; o modelo pode ser considerado
suficiente para muitas aplicações práticas para controle.
Valor mais baixo do SEQ para o conjunto de dados de teste indica o melhor modelo.
Os modelos matemáticos para os elos que compõem o manipulador robótico em estudo
são obtidos através da identificação paramétrica em tempo real, utilizando o MQR. Os
dados coletados são as excitações enviadas do computador para as duas válvulas
eletropneumáticas proporcionais; ux(t), uz(t) e as respostas obtidas que são as posições das
duas hastes dos cilindros pneumáticos; x(t) e z(t).
3.3 ESCOLHA DA ESTRUTURA DO MODELO
Algumas ferramentas podem auxiliar na decisão da escolha da estrutura do modelo: o
sinal de excitação, a determinação da taxa de amostragem e a ordem do sistema,
-
21
necessárias à identificação. As principais etapas envolvidas na identificação estão
ilustradas no Apêndice A.
Os sinais usados para excitar o sistema com mais de uma entrada, não devem estar
correlacionadas entre si. Pois se os sinais de entrada estiverem correlacionados entre si, o
algoritmo de identificação não saberá a que entrada atribuir um determinado efeito
observado numa determinada saída. Características dinâmicas e estáticas do sistema que
não forem excitadas não apareceram nos dados. O que não estiver nos dados não pode ser
identificado (AGUIRRE, 2007).
Uma regra prática que normalmente funciona bem é, tendo-se definido o tempo de
amostragem, manter constante cada valor escolhido aleatoriamente por um tempo, em
torno de 3 a 5 intervalos de amostragem (AGUIRRE, 2007).
Após a realização de alguns ensaios e levando em consideração os parágrafos
anteriores, foram obtidos os sinais de excitação para os elos X e Z do robô manipulador
conforme mostrado na Fig. (3.3) e Fig. (3.4).
Para se determinar o tempo de amostragem existem vários critérios e um deles é o de
Isermann citado por MALIK et al. (1991), que sugere que o tempo de amostragem aT
possa ser escolhido segundo um critério que é baseado no tempo de estabelecimento da
resposta à entrada degrau aplicada ao sistema. O valor de aT pode ser escolhido entre os
intervalos mostrados na Eq. (3.23).
95% 95%
15 5a
t tT (3.23)
Onde:
aT : tempo ou período de amostragem;
95%t : tempo necessário para que a resposta do sistema à entrada degrau atinja 95% do
seu valor final.
Este critério garante que pelo menos cinco amostras do sinal de saída ao longo de sua
trajetória de subida podem ser captadas pelo sistema de aquisição de dados.
O procedimento para a definição do tempo de amostragem foi dado da seguinte forma:
o sistema foi posicionado na origem (posição inicial do movimento), depois os elos X e Z
-
22
foram excitados de um pulso e mediu-se o tempo com um cronômetro, que cada elo gastou
para atingir 95% da resposta final. O tempo de amostragem ( aT ) é dado pelo tempo total
( t ) dividido pelo número de amostras ( ) conforme (3.24).
at T (3.24)
O Tempo de amostragem determinado de acordo com a Eq. (3.23) que abrange os dois
elos, nas direções X e Z, foi de 200 ms.
A escolha da ordem do sistema é uma importante tarefa na estimação dos parâmetros,
se um modelo de ordem é empregado incorretamente, pode causar aumento no tempo de
processamento do algoritmo. No trabalho foi utilizado o critério de Akaike (Akaike
Information Criterion-AIC), dado pela Eq. (3.25), para a escolha da ordem dos modelos.
ln[ ] 2NAIC N J p (3.25)
Onde: N é o número de medidas da experimentação e p é o número de parâmetros do
modelo estimado. NJ é determinado por:
2
1
1ˆ( ) ( )
N
N
j
J y j y jN
(3.26)
Inicialmente é escolhido um modelo de baixa ordem e posteriormente aumenta-se a
ordem do modelo estimado e o AIC é avaliado para cada incremento da ordem do modelo.
Assim, a estrutura adequada do modelo estimado é a que proporciona a menor taxa de
variação do critério de informação.
A Tabela. (3.2) apresenta os valores numéricos de AIC para os elos X e Z, onde pn
representa o número de parâmetros por elo de cada uma das estruturas selecionadas, an
representa o número de pólos, bn representa o número de zeros e k representa o atraso de
transporte.
-
23
Tabela 3.2- Parâmetros do modelo do sistema referentes aos elos X e Z do robô
manipulador.
Modelo an bn k AIC (eloX) AIC(eloZ) pn
01 1 0 1 -524,64 -700,0 2
02 1 1 1 -535,48 -716,9 3
03 1 1 2 -547,21 -803,4 4
04 2 1 1 -647,15 -786,8 4
05 2 1 2 -650,07 -687,4 4
06 2 2 2 -770,91 -800,2 5
07 3 1 1 -647,73 -800,8 5
08 3 1 2 -655,34 -719,1 5
09 3 2 1 -752,81 -835,4 6
Tomando a Tab.(3.2) como base, tem-se:
M1 é composto pelo os modelos de primeira ordem, ou seja, modelos (01), (02), (03).
M2 é composto pelo os modelos de segunda ordem, ou seja, modelos (04), (05), (06).
M3 é composto pelo os modelos de terceira ordem, ou seja, modelos (07), (08), (09).
Verifica-se na Tab.(3.2) para os conjuntos M1, M2 e M3, separadamente, que com o
aumento do número de parâmetros do modelo o valor de AIC diminuiu como era de se
esperar. Quando o número de parâmetros for igual nos conjuntos M1, M2, M3, considera-
se o menor valor de AIC, tanto para o elo X, quanto para o elo Z.
As Figuras (3.1) e (3.2), representam o critério de informação Akaike para os conjuntos
M1, M2 e M3.
-
24
Figura 3.1-Modelos para o elo X do robô manipulador
Figura 3.2-Modelos para o elo Z do robô manipulador
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
0,1
1M 2M 3M
Ordema1
Ordema2
Ordema3
Cri
téri
o d
e In
form
ação
de
Akai
ke
(AIC
)
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
0,1
1M 2M 3M
Ordema1
Ordema2
Ordema3
Cri
téri
o d
e In
form
ação
de
Akai
ke
(AIC
)
-
25
As menores taxas de variação do critério de informação que podem ser avaliados para
manter a ordem do sistema da planta estimada tão simples quanto possível (princípio da
parcimônia) (COELHO E COELHO, 2004), foi para o sistema de segunda ordem.
As Tabelas (3.3) e (3.4) apresentam os valores numéricos para os conjuntos M1, M2,
M3 do somatório do erro quadrático (SEQ) dado pela Eq.(3.21) e o coeficiente de
correlação múltipla (R²) dado pela Eq. (3.22).
Tabela 3.3. Índice de desempenho do elo X
Modelo an bn k SEQ R
2
01 1 0 1 0,778 0,9953
02 1 1 1 0,443 0,9965
03 1 1 2 0,562 0,9964
04 2 1 1 0,219 0,9986
05 2 1 2 0,119 0,9987
06 2 2 2 0,092 0,9993
07 3 1 1 0,203 0,9986
08 3 1 2 0,176 0,9988
09 3 2 1 0,074 0,9995
Tabela 3.4. Índice de desempenho do elo Z
Modelo an bn k SEQ R
2
01 1 0 1 0,153 0,9989
02 1 1 1 0,131 0,9984
03 1 1 2 0,050 0,9996
04 2 1 1 0,054 0,9996
05 2 1 2 0,139 0,9990
06 2 2 2 0,070 0,9994
07 3 1 1 0,051 0,9996
08 3 1 2 0,095 0,9930
09 3 2 1 0,034 0,9997
-
26
Conforme os resultados da Tab. (3.3) e da Tab. (3.4) verifica-se que os modelos com
três pólos, dois zeros e um atraso de transporte, têm os melhores índices de desempenho,
porém, todos os modelos apresentaram um coeficiente de correlação múltipla entre o
intervalo de 0,99 a 1, o que credencia quaisquer das configurações acima como aptas para
serem utilizadas para o projeto de controle (COELHO E COELHO, 2004). Para realização
do experimento foi utilizado um modelo com dois pólos, um zero e um atraso de
transporte, baseado no que foi definido anteriormente pelo critério de AIC e pelos
resultados da Tab. (3.3) e Tab. (3.4) que o credenciam para utilização no projeto de
controle.
Na realização dos experimentos utilizou-se: tempo de amostragem Ts = 200 ms; como
excitação para o elo X, a seqüência mostrada na Fig. (3.3) e para o elo Z, a seqüência
mostrada na Fig. (3.4); valores iniciais nulos para os parâmetros ia e jb dos dois elos; na
estimação com o MQR fator de esquecimento = 0,97. O sistema funciona da seguinte
forma: duas válvulas eletropneumáticas excitam os dois elos do robô, X e Z e suas
posições são medidas. De posse desses dados; ux(t), uz(t), x(t), z(t), os estimadores MQR
estimam os parâmetros dos elos X e do elo Z utilizando o modelo ARX, com dois pólos,
um atraso e um zero.
0 5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Tempo (s)
Excitação n
o E
lo X
(V
)
-
27
Figura 3.3. Excitação no elo X do Robô Manipulador.
0 5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Tempo (s)
Excitação n
o E
lo Z
(V
)
Figura 3.4. Excitação no elo Z do Robô Manipulador.
A Figura (3.5) mostra a saída real e estimada com o algoritmo MQR do elo X; e a Fig.
(3.6) mostra a saída real e estimada com o mesmo algoritmo, do elo Z.
0 5 10 15 20 25-50
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Tempo (s)
Posiç
ão R
eal e E
stim
ada d
o E
lo X
(m
m)
saída estimada
saída real
Figura 3.5. Saída estimada com o MQR e real, do elo X do robô manipulador.
-
28
0 5 10 15 20 25-50
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Tempo (s)
Posiç
ão R
eal e E
stim
ada d
o E
lo Z
(m
m)
saída estimada
saída real
Figura 3.6. Saída estimada com o MQR e real, do elo Z do robô manipulador.
O erro de previsão, do modelo de segunda ordem escolhido, é apresentado nas Fig.
(3.7) e Fig. (3.8).
0 5 10 15 20 25-80
-60
-40
-20
0
20
40
Tempo(s)
Err
o d
e E
stim
ação d
o E
lo X
(m
m)
Figura 3.7. Erro de previsão para o modelo de segunda ordem do elo X do robô
manipulador.
-
29
0 5 10 15 20 25-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
Tempo(s)
Err
o d
e E
stim
ação d
o E
lo Z
(m
m)
Figura 3.8. Erro de previsão para o modelo de segunda ordem do elo Z do robô
manipulador.
As Figuras (3.9) e (3.10), mostram a evolução dos parâmetros ia e jb estimados em
tempo real através do programa Identmqr, referentes ao elo X e Z, considerando os
modelos escolhidos.
0 10 20 30-2
-1.5
-1
-0.5
0
Tempo (s)
Parâ
metr
o a
1x
0 10 20 30-0.5
0
0.5
1
Tempo (s)
Parâ
metr
o a
2x
0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Tempo (s)
Parâ
metr
o b
1x
0 10 20 30-0.05
0
0.05
0.1
0.15
Tempo (s)
Parâ
metr
o b
2x
Figura 3.9. Parâmetros estimados do elo X do robô manipulador.
-
30
0 10 20 30-1.5
-1
-0.5
0
Tempo (s)
Parâ
metr
o a
1z
0 10 20 30-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Tempo (s)
Parâ
metr
o a
2z
0 10 20 300
0.2
0.4
0.6
0.8
Tempo (s)
Parâ
metr
o b
1z
0 10 20 30-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Tempo (s)
Parâ
metr
o b
2z
Figura 3.10. Parâmetros estimados do elo Z do robô manipulador.
3.4 ESTRUTURA DO MODELO
Definindo a priori a estrutura do modelo do robô manipulador, conforme determinação
realizada anteriormente, e os índices x e z para as variáveis u, y e , considerando que
cada elo, tem dois pólos, um zero e um atraso de tempo, tem-se da Eq.(3.4):
1 2 1 2( ) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( )x x x x x x xy t a x t a x t b u t b u t e t (3.27)
1 2 1 2( ) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( )z z z z z z zy t a z t a z t b u t b u t e t (3.28)
Com a solução da Eq. (3.18), obtêm-se os parâmetros ˆ ( )x t e ˆ ( )z t do robô
manipulador, conforme as Eq. (3.29) e Eq. (3.30).
1 2 1 2ˆ ( )x x x x xt a a b b (3.29)
1 2 1 2ˆ ( )z z z z zt a a b b (3.30)
-
31
As respostas estimadas ˆ ( )xy t e ˆ ( )zy t são obtidas pela Eq. (3.31) e Eq. (3.32).
ˆˆ ( ) ( ) ( )Tx x xy t t t (3.31)
ˆˆ ( ) ( ) ( )Tz z zy t t t (3.32)
3.5 CONCLUSÃO
Este capítulo apresentou a identificação de dois elos de um robô manipulador de 3
(GDL) cartesiano, acionado por sistemas eletropneumáticos.
Neste modelamento, o algoritmo MQR é utilizado em tempo real para a identificação
dos parâmetros do sistema. O robô manipulador é cartesiano, então os movimentos dos
seus elos são desacoplados, logo a identificação é realizada de forma independente para
cada elo. O MQR foi implementado por meio do programa Identmqr e o processo
estimativo em tempo real se deu utilizando os dados da Tab.(3.2).
O bom desempenho do MQR na estimação dos parâmetros em tempo real foi
constatado a partir das Fig. (3.5) e Fig. (3.6) referentes aos elos X e Z, respectivamente.
Para avaliação da qualidade do modelo matemático obtido através do algoritmo foi
verificado que o coeficiente de correlação múltilpla ficou muito próximo da unidade e que
o somatório do erro quadrático (SEQ) teve valor bem pequeno.
Tomando por base os resultados obtidos, pode-se afirmar que os modelos determinados
conforme as Eq.(3.29) e Eq.(3.30) podem ser utilizados para projetos de controladores
adaptativos
-
32
CAPÍTULO 4
PROJETO DO CONTROLADOR DMV PARA OS ELOS X E Z DO
ROBÔ MANIPULADOR DE TRÊS GRAUS DE LIBERDADE (3 GDL)
CARTESIANO
4.1 INTRODUÇÃO
Este capítulo aborda a estratégia de projeto do controlador de Dahlin-Variância
Mínima (DMV) utilizado no controle de posição, dos elos X e Z, do Robô Manipulador
Eletropneumático de Três Graus de Liberdade cartesiano (3 GDL). A seção 4.2 apresenta
alguns trabalhos sobre a estratégia de controle DMV. As seções 4.2.1, 4.2.2 e 4.2.3
apresentam a estratégia de variância mínima, o controle de Dahlin e o controlador DMV,
respectivamente. A seção 4.3 apresenta os procedimentos de projeto do controlador DMV
para obtenção da lei de controle do manipulador robótico em estudo, assim como as
especificações impostas para o projeto do controlador. A seção 4.4 apresenta os resultados
experimentais e a seção 4.5 a conclusão.
4.2 HISTÓRICO
DAHLIN (1968) propôs uma estratégia de controle para solucionar sistemas MIMO,
denominada Método de Síntese Direta (DMV), a mesma têm como objetivo, fazer com que
a dinâmica do sistema em malha fechada comporte-se como um sistema de primeira ordem
com atraso de transporte. A desvantagem desta estratégia dá-se a seu fraco desempenho em
relação à fase não-mínima, porém tem bom desempenho frente a atrasos de transporte,
simplicidade analítica e controle do tempo de convergência para referência através de um
único parâmetro de projeto.
A estratégia de controle do DMV, proposta inicialmente por KHALIL (1992), tinha
como objetivo combinar as estratégias de Dahlin e variância mínima, resultando em um
-
33
controlador robusto, flexível e com desempenho competitivo. Esta combinação garantia
erro nulo em regime permanente entre a saída do processo e a referência, mas possuía
dificuldade em controlar sistemas de fase não-mínima. Este problema foi solucionado por
AL-CHALABI E KHALIL (1994), propondo uma alteração na lei de controle para
contornar a limitação.
VAZ E COELHO (1996 a e b) propõem uma modificação ao controlador DMV para
garantir erro médio nulo em regime permanente entre a saída original do processo e a
referência, quando se atribui uma constante Q ao parâmetro do controlador de AL-
CHALABI E KHALIL (1994). Esta nova estrutura é conhecida como controlador de
Dahlin-Variância Mínima Modificado (MDMV).
VAZ (1999) propôs uma análise das técnicas de controle para garantir erro médio em
regime permanente para os controladores de Variância Mínima Generalizada (GMV) e de
Dahlin-Variância Mínima (DMV). Os resultados obtidos confirmam que ambos os
controladores apresentam tempo de estabilizações similares, porém o GMV apresentou um
índice de desempenho melhor do que o DMV. Como foram poucos os casos estudados não
se estabeleceu uma regra entre as duas abordagens. Dentre o DMV com Q incremental, o
DMV Modificado (VAZ E COELHO, 1996 a e b) e o DMV de Favier e Hassini (FAVIER
e HASSANI, 1982). O DMV com Q incremental apresentou melhor variância do sinal de
controle (variância da diferença entre o sinal de controle e sua média), porém pior
variância das saídas (variância da diferença entre a saída do processo e a referência). Por
outro lado, os resultados obtidos para o DMV não permitiram indicar uma estratégia com
melhor desempenho geral.
ALMEIDA et al. (1999) propuseram em seu artigo o uso do controlador preditivo de
variância mínima de Dahlin combinado a um controlador PID nebuloso com ganho
escalonado. A intenção era explorar a combinação de um conjunto de regras nebulosas que
leva a saída do sistema, com uma rápida convergência para a referência, com a capacidade
preditiva e de robustez do controlador preditivo de Dahlin. Os resultados obtidos
confirmam que com a abordagem combinada, foi possível explorar melhor as
características de cada método.
-
34
4.2.1 Controle Auto-Ajustável com base na estratégia de Variância Mínima
Esse tipo de controle tem como objetivo minimizar a variância na saída de um sistema
que é submetido a uma perturbação estocástica.
Considerando o sistema descrito pelo modelo ARMAX (Modelo Auto-regressivo com
média móvel e entradas exógenas) e com função de transferência discreta linear, conforme
Eq. (4.1) (AGUIRRE, 2007; COELHO E COELHO, 2004; WITTENMARK, 1995 e
LJUNG, 1999).
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kA Z y t Z B Z u t C Z e t (4.1)
Onde: ( )u t é a variável de controle, ( )y t é a saída do sistema e representa um ruído
branco filtrado incidente sobre o sistema. A, B e C na Eq. (4.2) são polinômios
característicos do sistema.
1 1
1( ) 1na
naA Z a Z a Z
1 1
0 1 0( ) , 0nb
nbB Z b b Z b Z b (4.2)
1 1
1( ) 1nc
ncC Z c Z c Z
A formulação da Lei de controle pode ser expressa em termos de otimização por uma
função-custo dada por:
2[ ( )]J E y t k (4.3)
Após algumas operações matemáticas e considerando o sistema da Eq. (4.1) no instante
t+k, tem-se:
1 1
1 1
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
B Z C Zy t k u t e t k
A Z A Z
(4.4)
-
35
Que pode ser re-expressa em função da perturbação como:
1 1
1
1 1
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
C Z G Ze t k F Z e t k e t
A Z A Z
(4.5)
Note que a perturbação foi convenientemente dividida em duas seqüencias:
1( ) ( )F Z e t k e1
1
( )( )
( )
G Ze t
A Z
, que representam respectivamente os valores futuros não
disponíveis neste instante e a outra composta por informações até e incluindo o instante t.
Conseqüentemente C
A da Eq. (4.5) pode ser expressa como:
kC GF ZA A
(4.6)
A Equação (4.6) é definida como identidade polinomial. (VAZ, 1999), onde:
1 ( 1)
1 11 ...k
kF f Z F Z
1
0 1 ...ng
ngG g g Z g Z (4.7)
max ( 1, )g a cn n n k
de tal forma que F representa os primeiros k termos da expressão de C
A.
Manipulando adequadamente (4.1), (4.4) e (4.6) tem-se:
( ) [ ( ) ( )] ( ) ( 1)[ ( ) ( )]y t k BFu t Gy t Fe t k C y t k Fe t k (4.8)
Se o controle aplicado é escolhido de forma que
( ) ( ) 0BFu t Gy t (4.9)
-
36
Então o último termo da Eq. (4.8) desaparece. (ÂSTROM AND WITTENMARK,
1973), dando:
( ) [ ( ) ( )] ( )y t BFu t k Gy t k Fe t (4.10)
E, a Eq.(4.9) é a lei de controle que minimiza a função custo J. (ÂSTROM AND
WITTERMARK, 1973). Logo, da Eq.(4.9), tem-se:
( ) ( )G
u t y tBF
(4.11)
Observa-se que o controlador resultante na Eq.(4.11) incorpora o cancelamento de
zeros do sistema em malha aberta, ou seja, o polinômio B deve possuir todos os zeros
dentro do círculo unitário (sistema de fase-mínima). Caso contrário, qualquer variação
paramétrica conduz em um comportamento instável do sistema em malha fechada, como
no caso de sistema de fase não-mínima, mesmo que a estratégia descrita anteriormente o
conduza para um desempenho de variância mínima. O que torna a estratégia de variância
mínima numa técnica não robusta. Outras suposições para o desenvolvimento do
controlador que devem ser respeitadas é o conhecimento do atraso do transporte e a ordem
do sistema que deve ser conhecida ou pelo menos limitada.
Dado um sinal de referência ( )ry t , a função de transferência de malha fechada do
sistema de controle é dada por:
( ) [ ( ) ( )] ( )k rB G C
y t Z y t y t e tA BF A
(4.12)
Usando a Eq. (4.6) na Eq. (4.12) e realizando algumas operações matemáticas, tem-se:
( ) ( ) ( )k rBF
y t Z y t Fe tC
(4.13)
-
37
4.2.2 Controle de Dahlin
O projeto do controlador de DAHLIN (1968) baseia-se no cancelamento da dinâmica
do sistema, de modo que em malha fechada o mesmo se comporte como um sistema de
primeira ordem com o atraso de transporte.
A saída do sistema utilizando o controlador proposto por Dahlin, que visa reduzir o erro
de estado estacionário por um ajuste, é dada por:
ry(t)=py(t-1)+(1-p)y (t-k'-1) (4.14)
Onde: k' é um inteiro truncado d
sT
, d é o atraso de transporte, sT é o período de
amostragem, Tsp e ,
1
, é o parâmetro de ajuste de Dahlin e é a constante de
tempo do sistema. Quando tende a um valor muito alto, p se aproxima de zero e o
controle é mais rápido, e para valores de pequenos, p tende para a unidade e o controle é
mais lento. Por este fato, defini-se o parâmetro p como o ajuste de Dahlin, por possuir
valores numa faixa limitada. Assim, o parâmetro p pode ser ajustado para obter a
velocidade da resposta desejada.
O critério de Dahlin para a dinâmica do sistema em malha fechada pode ser expresso
pela função de transferência em malha fechada dada pela Eq. (4.15):
1
r
Y (1 )
Y 1
kp Z
pZ
(4.15)
A Eq. (4.15) pode ser equivalentemente convertida em uma estrutura em malha aberta
(ZAFIRIOU E MORARI, 1985). O algoritmo de controle equivalente em malha aberta,
0D , é então usado para obter a resposta desejada em malha fechada.
-
38
A equação de síntese para o controlador de Dahlin considerando o algoritmo de
controle equivalente em malha aberta é dado por:
0
0
1
r
YD
G Y (4.16)
Usando a Eq. (4.15) na Eq.(4.16), tem-se:
0 1
0
1 (1 )
1
kp ZD
G pZ
(4.17)
Na Equação. (4.17), 0G é a função de transferência do sistema, dada na Eq. (4.13),
desprezando o termo relacionado à perturbação, conforme Eq. (4.18):
0
k BFG ZC
(4.18)
4.2.3 Controlador DMV
O controlador DMV combina o controlador de Dahlin com o controlador de variância
Mínima, cuja lei de controle é dada por:
( ) ( )rCX G
u y t y tBF CX
(4.19)
Substituindo a Eq.(4.18) na Eq.(4.17), tem-se:
0
CXD
BF
(4.20)
E,
1
(1 )
(1 )
pX
pZ
(4.21)
-
39
A Figura (4.1) mostra a estrutura do controlador DMV e planta, através do diagrama de
blocos.
Figura 4.1- Estrutura do controlador DMV e planta
A desvantagem dessa estrutura é a impossibilidade de controlar sistemas de fase não-
mínima. AL-CHALABI e KHALIL (1994) contornaram esta limitação com uma alteração,
que consistia em adicionar uma parcela CQ no denominador do bloco direto do
controlador. Dessa forma a Eq. (4.20), transforma-se em:
0 ff
CXD
BF CQ
(4.22)
E a nova lei de controle alterada para tratar de sistemas de fase não mínima é dada por:
( ) ( )rCX G
u y t y tBF CQ CX
(4.23)
-
40
A função de transferência suplementar; Eq. (4.24) foi introduzida na estrutura de
controle, como mostra o digrama de blocos da Fig. (4.2).
/ks
CQ FG Z
A
(4.24)
Figura 4.2- Estrutura do controlador DMV com alteração e planta.
4.3 PROCEDIMENTOS PARA O PROJETO DO CONTROLADOR DMV COM
ALTERAÇÃO
Para obtenção das leis de controle dos elos X e Z do robô manipulador a ser
implementada no programa computacional Labview e Matlab foi definida inicialmente a
estrutura da planta obtida no Capítulo 3: modelo ARX com dois pólos, um zero e um
atraso de transporte, conforme Eq. (4.25).
A estrutura definida para a planta.
-
41
1 11
0 1
1 1 2
1 2
( )( )
( ) (1 )
k Z b b ZY B ZZU A Z a Z a Z
(4.25)
Da Eq. (4.25) tem-se:
1 2
1 2
1 2
1 21
b Z b ZY
U a Z a Z
(4.26)
Considerando a estrutura do modelo definida para cada elo do robô manipulador, tem-
se:
1( ) 1C Z (4.27)
0cn
1 1 2
1 2( ) 1A Z a Z a Z
(4.28)
1 1
0 1( )B Z b b Z
(4.29)
max( 1, 1) max(2 1,0 1) 1g a cn n n
1 1 1 0fn k
1( ) 1 oF Z f
(4.30)
1 1
0 1( )G Z g g Z
(4.31)
Substituindo as Equações (4.27), (4.28), (4.30) e (4.31) em (4.6), tem-se que:
1 2 1 1
1 2 0 0 11 (1 )(1 ) ( )a Z a Z f Z g g Z
(4.32)
Resolvendo a Eq. (4.32) e com algumas operações matemáticas conforme Eq.(4.33) e
Eq. (4.34), chega-se ao conjunto de parâmetros dados pela Eq. (4.35) e Eq.(4.36).
1 2 1 2 1 2
1 2 0 1 0 2 0 0 11 1 a Z a Z f a f Z a f Z g Z g Z
(4.33)
-
42
1 2
0 1 1 0 0 2 2 0 11 (1 ) ( ) ( )f a a f g Z a a f g Z
(4.34)
0 0f
0 1g a
(4.35)
1 2g a (4.36)
Substituindo (4.35) e (4.36) em (4.30) e (4.31), tem-se:
1( ) 1F Z (4.37)
1 1
1( ) oG Z g g Z
(4.38)
Substituindo as Equações (4.21), (4.27), (4.29), (4.37), (4.38) em (4.19), obtém-se a lei
de controle DMV conforme Eq.(4.39).
110 1
1
0 11
1
1( ) ( ) ( )
1( )
1
r
p
g g ZpZu t y t y t
pb b Z
pZ
(4.39)
Da Eq. (4.39), obtém-se:
1 1
0 1
1 1
0 1
( ) ( )(1 ) ( )1( )
(1 )( ) 1
ry t g g Z pZ y tpu tpZ b b Z p
1 1
0 1
1 1
0 1
(1 ) ( ) ( )(1 ) ( )1( )
(1 )( ) 1
rp y t g g Z pZ y tpu tpZ b b Z p
1 1 1 1
0 1 0 1( ) (1 )( ) (1 ) ( ) ( )(1 ) ( )ru t pZ b b Z p y t g g Z pZ y t
1 1 2 1 1 2
0 1 0 1 0 0 1 1( )( ) (1 ) ( ) ( ) ( )ru t b b Z pb Z pb Z p y t g g pZ g Z g pZ y t
0 1 0 1 0 0 1
1
( ) ( ) ( 1) ( 2) (1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1)
( 2)
ru t b b pb u t pb u t p y t g y t g p g y t
g py t
1 0 1 0 0 1
0
1
1( ) [ ( ) ( 1) ( 2) (1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1)
( 2)]
ru t b pb u t pb u t p y t g y t g p g y tb
g py t
(4.40)
-
43
Considerando agora o polinômio Q de projeto dado abaixo:
1
0 1Q q q Z
(4.41)
Para a escolha do parâmetro Q foi levado em consideração um estudo proposto por
VAZ (1999). O mesmo relata que o controlador de AL-CHALABI E KHALIL (1994)
apresenta deficiências com relação à garantia de erro nulo em regime permanente entre a
saída do processo original e a referência, quando se atribui uma constante ao parâmetro Q .
Para o projeto do controlador em estudo, foi verificada esta deficiência, por este motivo foi
adotado um polinômio Q de primeira ordem. Para a sintonia dos parâmetros Q de projeto,
os parâmetros p foram pré-fixados e variou todas as possibilidades possíveis para Q .
E, substituindo as Equações (4.21), (4.27), (4.29), (4.37), (4.38), (4.41) em (4.23),
obtém-se a lei de controle do controlador DMV com alteração, conforme Eq. (4.42).
110 1
1 1
0 1 0 11
1
1( ) ( ) ( )
1( ) ( )
1
r
p
g g ZpZu t y t y t
pb b Z q q Z
pZ
(4.42)
Da Eq. (4.42), obtém-se:
1 1
0 1
1 1 1
0 1 0 1
(1 ) ( ) ( )(1 ) ( )1( )
(1 )( ) 1
rp y t g g Z pZ y tpu tpZ b b Z q q Z p
1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1( )(1 )( ) (1 ) ( ) ( )(1 ) ( )ru t pZ b b Z q q Z p y t g g Z pZ y t
1 1 2
0 0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( )
( ) ( 1) ( 2)
ru t b q b q Z p b q Z p b q Z p y t g y t
g p g y t g py t
0 0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 1
( )( ) ( ) ( 1) ( ) ( 2) (1 ) ( ) ( )