CONTROLE AVANÇADO PARA NANOPOSICIONAMENTO RÁPIDO E
PRECISO
Alexandre Seixas Soares
Projeto de Graduação apresentado ao Curso
de Engenharia de Controle e Automação
da Escola Politécnica, Universidade Federal
do Rio de Janeiro, como parte dos
requisitos necessários à obtenção do título
de Engenheiro.
Orientadores: Liu Hsu
José Paulo Vilela Soares da
Cunha
Rio de Janeiro
Abril de 2011
CONTROLE AVANÇADO PARA NANOPOSICIONAMENTO RÁPIDO E
PRECISO
Alexandre Seixas Soares
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO
CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO DA ESCOLA
POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO
PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE
ENGENHEIRO DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO.
Examinado por:
Prof. Liu Hsu, Docteur D’Eat
Prof. José Paulo Vilela Soares da Cunha, D.Sc.
Prof. Antonio Candea Leite, M.Sc.
Prof. Eduardo Vieira Leão Nunes, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
ABRIL DE 2011
Soares, Alexandre Seixas
Controle Avançado para Nanoposicionamento rápido
e preciso/Alexandre Seixas Soares. – Rio de Janeiro:
UFRJ/Escola Politécnica, 2011.
XVI, 107 p.: il.; 29,7cm.Orientadores: Liu Hsu
José Paulo Vilela Soares da Cunha
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/
Curso de Engenharia de Controle e Automação, 2011.
Referências Bibliográficas: p. 101 – 104.
1. Nanoposicionamento. 2. Atuador Piezoelétrico.
3. Histerese. 4. Controle Avançado. I. Hsu,
Liu et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,
Escola Politécnica, Curso de Engenharia de Controle e
Automação. III. Título.
iii
Este trabalho é dedicado
primeiramente a Deus pela
oportunidade da existência.
Agradeço o apoio da minha família
e em especial da minha namorada
pela paciência e pelas infinitas
conversas que me deram folêgo para
concluir a graduação. Obrigado
também turma de Engenharia de
Controle e Automação de 2006 da
UFRJ, sem essa segunda família
seria impossível caminhar, hoje,
como Engenheiro.
Obrigado por ajudar a formar o
meu caráter, Tio Nicolau (in
memoriam).
iv
Agradecimentos
Agradeço ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico
(CNPq) e ao Centro de Pesquisas da Petrobrás (CENPES) não somente pelas
oportunidades de desenvolver atividades na área de pesquisa como também
pelo apoio financeiro que me foi concedido.
v
Resumo
Transdutores piezoelétricos são dispositivos de alta resolução e de ampla
banda passante, aplicados nas mais diversas áreas, tais como medicina, óp-
tica, mecânica de precisão e microeletrônica. Porém, o controle preciso desse
atuador torna-se difícil na medida em que os efeitos das não-linearidades as-
sociadas à sua dinâmica, tais como creep e histerese, se tornam aparentes. Não
obstante à essa dificuldade, o controlador ainda precisa estabilizar o sistema
mesmo na presença de atraso causado predominantemente pelo processamento
nos circuitos eletrônicos de acionamento do piezoelétrico e de medição da sua
posição.
Este trabalho consiste da apresentação individual dos dispositivos que com-
põem o sistema experimental utilizado, acompanhado de sua modelagem e
do projeto de um controlador adaptativo robusto capaz de obter um desem-
penho satisfatório ainda que a frequência do sinal de referência seja grande. O
termo robusto empregado juntamente com a adaptação paramétrica atua no sen-
tido de compensar as incertezas associadas ao modelo e distúrbios de variação
lenta. Esse controlador tem seu desempenho comparado um controlador com
ações proporcional e integral, um controlador adaptativo baseado no modelo
de referência e um controlador proporcional-integral com feedforward baseado
no modelo de referência identificado. Para a comparação são usadas métricas
do erro de rastreamento. O estudo comparativo entre os resultados obtidos com
esses indicadores comprova a eficiência e precisão do esquema proposto para
operações em alta frequência.
vi
Abstract
Piezoelectric transducers are devices of high resolution and wide bandwidth,
applied in several areas, such as medicine, optics, precision engineering and
microelectronics. However, the precisely control of the actuator can be diffi-
cult in that the effects of nonlinearities associated with their dynamics, such
as creep and hysteresis become perceptible. Notwithstanding this difficulty,
the controller still needs to stabilize the system even in the presence of rela-
tively time delay predominantly to the electronic processing existing on the
piezoelectric`s activation driver.
This work consists of an individual presentation of devices that compose the
experimental system used, together with its modelling and the project of a
robust adaptive controller that can satisfactory achieve a performance even
at high frequencies. The robust term applied mutually with the parametric
adaptation acts to compensate uncertainties associated to the model and slow
variation disturbances. Such controller has its performance compared with
other designs like proporcional and integral controller, adaptative controller
and proportional-integral with feedforward based on the identified reference
model, using metrics associated with the tracking error. The comparative study
between the results obtained by these indicators proves the efficiency and
accuracy for high frequency operations.
vii
Sumário
Agradecimentos v
Resumo vi
Abstract vii
Lista de Figuras xi
Lista de Tabelas xvi
1 Introdução 1
1.1 Aplicações dos Nanoposicionadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Microscopia de Força Atômica . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Microscopia de Tunelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Estrutura do Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Fundamentos Físicos 7
2.1 Efeito Piezoelétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Apresentação das Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Fundamentos Elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Fundamentos Mecânicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Sistemas de Nanoposicionamento 13
3.1 Atuadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.1 Magnetoestritivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.2 Baseados em sistemas microeletromecânicos eletrostáticos . 14
3.1.3 Baseados em sistemas microeletromecânicos com superfície
eletrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.4 Baseados em sistemas microeletromecânicos shuffle . . . . . 16
3.1.5 Baseados em sistemas microeletromecânicos eletromagnéticos 17
3.1.6 Baseados em sistemas microeletromecânicos térmicos . . . . 17
viii
3.1.7 Piezoelétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Sistemas de Amplificação do Deslocamento . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Amplificação do Deslocamento por mecanismo de alavanca 19
3.2.2 Amplificação do Deslocamento por elemento flexitensional 20
3.3 Sensores de Posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.1 Sensores Capacitivos de Posição . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.2 Sensores Térmicos de Posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Aparato Experimental 25
4.1 Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.1 Piezoatuador P-753.1C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.2 Amplificador E-665.CR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.3 Sistema de Aquisição de Dados Quanser Q8 . . . . . . . . . . 30
4.1.4 Instrumentos de Controle e Comunicação . . . . . . . . . . . 31
4.2 Digitalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Calibração do Sensor de Posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Modelagem do Sistema de Posicionamento 34
5.1 Procedimentos de Estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Identificação dos blocos do Modelo do Sistema . . . . . . . . . . . . 35
5.2.1 Bloco Linear do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2.2 Histerese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.3 Creep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2.4 Atraso de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6 Controle do Nanoposicionador 57
6.1 Controlador PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.1.1 Lei de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1.2 Resultados de Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1.3 Resultados Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2 Controlador Adaptativo por modelo de referência baseado no erro
de rastreamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2.1 Lei de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2.2 Resultados de Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2.3 Resultados Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3 Controlador PI com termo Feedforward . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.3.1 Lei de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.3.2 Resultados de Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.3.3 Resultados Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.4 Controlador Adaptativo Robusto (ARC) . . . . . . . . . . . . . . . . 77
ix
6.4.1 Lei de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.4.2 Resultados de Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.4.3 Resultados Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.5 Análise dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7 Conclusões e Perspectivas 99
7.1 Contribuições do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2 Sugestões para trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Referências Bibliográficas 101
A Procedimentos Experimentais 105
A.1 Fixação do Piezoelétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
A.2 Ajuste do Amplificador E-665.CR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
A.3 Configuração do Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
x
Lista de Figuras
1.1 Esquemas de varredura. Em (a) sem contato e em (b) com contato. 3
2.1 Arranjo cristalino do titano-zirconato de chumbo. . . . . . . . . . . 9
2.2 Disposição dos domínios de Weiss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1 Microatuadores eletrostáticos: (a) de pentes interdigitados e (b) de
placas paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Microatuador com superfície eletrostática. Um exemplo de padrão
de tensão é mostrado nos eletrodos. A variação de tensão faz o
transdutor se movimentar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Ciclo ABCDA‘ de movimento de um atuador shuffle de uma dimen-
são. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Atuador piezoelétrico usado na injeção de combustível em au-
tomóveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5 Sistema de amplificação do deslocamento por alavanca. . . . . . . . 19
3.6 Esquema da configuração em paralelogramo do elemento flexiten-
sional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.7 Arquitetura do sensor capacitivo de deslocamento. . . . . . . . . . 22
3.8 Em (a) a arquitetura do sensor térmico de posição e em (b) o fluxo
de corrente representado por setas no mesmo. . . . . . . . . . . . . 23
3.9 Em (a) a condução de calor pelo ar em direção a superfície inferior.
Em (b) deslocamento da superfície inferior, implicando o aumento
da resistência elétrica do mesmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1 Diagrama de blocos da configuração experimental. . . . . . . . . . . 25
4.2 Atuador piezoelétrico P-753.1CD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 Amplificador de potência E-665.CR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4 Diagrama de blocos do amplificador E-665.CR. . . . . . . . . . . . . 29
4.5 Resposta frequencial do amplificador E-665.CR. . . . . . . . . . . . 30
4.6 Placa de conversão Analógica/Digital Q8. . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.7 Ruído do sistema. Leitura da saída na ausência de um sinal de
entrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
xi
5.1 Diagrama de blocos referente à modelagem do sistema. . . . . . . . 34
5.2 Janela do System Identification Toolbox. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3 Tela inicial de estimação, carregamento dos iddatas e identificação
do modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.4 Gráfico de respostas simulada e medida. . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.5 Experimento com frequência de corte do sensor capacitivo em
1 kHz. Resposta do nanoposicionador a um degrau negativo de
1 V de amplitude aplicado em 1 segundo. . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.6 Resposta em frequência medida para a frequência de corte de 1 kHz
do sensor capacitivo. Observa-se o pólo do sistema em 541 Hz. . . . 40
5.7 Experimento com frequência de corte do sensor capacitivo em
3 kHz. Resposta ao degrau negativo de 1 V de amplitude aplicado
em 1 segundo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.8 Resposta frequencial: em vermelho a resposta frequencial simu-
lada; em azul a resposta frequencial experimental. . . . . . . . . . . 42
5.9 Diagrama de blocos base para modelagem da histerese. . . . . . . . 42
5.10 Gráfico entrada(u) × saída(y) para variação de amplitude com fre-
quência de 10 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.11 Gráfico entrada(u) × saída(y) para variação de frequência com am-
plitude de 0,5 V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.12 Gráfico entrada(u) × saída compensada por Bode para a variação
de amplitude(u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.13 Gráfico entrada(u) × saída compensada por Bode para a variação
de frequência(u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.14 Gráfico entrada(u) × saída compensada iterativamente para a vari-
ação de amplitude(u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.15 Gráfico entrada(u) × saída compensada iterativamente para a vari-
ação de frequência(u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.16 Diagrama de blocos do modelo de histerese de Bouc Wen. . . . . . . 50
5.17 Resposta experimental, em azul, e simulada, em cinza, para as
referências de 0,1 V, 0,3 V, 0,5 V e 1,0 V. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.18 Resíduos das referências de 0,1 V, 0,3 V, 0,5 V e 1,0 V. . . . . . . . . . 52
5.19 Respostas frequenciais: experimental, do modelo linear e do mod-
elo linear com histerese. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.20 Análise no domínio do tempo. Em azul a resposta simulada com o
modelo completo e em cinza a resposta experimental medida. . . . 55
6.1 Resultado de simulação do controlador PI para o sinal de referência
de 10 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
xii
6.2 Resultado de simulação do controlador PI para o sinal de referência
de 50 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3 Resultado de simulação do controlador PI para o sinal de referência
de 100 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.4 Resultado de simulação do controlador PI para o sinal de referência
de 200 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.5 Resultado experimental do controlador PI para a referência de fre-
quência de 10 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.6 Resultado experimental do controlador PI para a referência de fre-
quência de 50 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.7 Resultado experimental do controlador PI para a referência de fre-
quência de 100 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.8 Resultado experimental do controlador PI para a referência de fre-
quência de 200 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.9 Resultado de simulação do controlador adaptativo para o sinal de
referência de 10 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.10 Resultado de simulação do controlador adaptativo para o sinal de
referência de 50 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.11 Resultado de simulação do controlador adaptativo para o sinal de
referência de 100 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.12 Resultado de simulação do controlador adaptativo para o sinal de
referência de 200 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.13 Resultado experimental do controlador adaptativo para o sinal de
referência de 10 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.14 Resultado experimental do controlador adaptativo para o sinal de
referência de 50 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.15 Resultado experimental do controlador adaptativo para o sinal de
referência de 100 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.16 Resultado experimental do controlador adaptativo para o sinal de
referência de 200 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.17 Resultado de simulação obtido com o controlador baseado no erro
de rastreamento para a referência de 10 Hz. . . . . . . . . . . . . . . 73
6.18 Resultado de simulação obtido com o controlador baseado no erro
de rastreamento para a referência de 50 Hz. . . . . . . . . . . . . . . 73
6.19 Resultado de simulação obtido com o controlador baseado no erro
de rastreamento para a referência de 100 Hz. . . . . . . . . . . . . . 74
6.20 Resultado de simulação obtido com o controlador baseado no erro
de rastreamento para a referência de 200 Hz. . . . . . . . . . . . . . 74
xiii
6.21 Resultado experimental obtido com o controlador baseado no erro
de rastreamento para a referência de 10 Hz. . . . . . . . . . . . . . . 75
6.22 Resultado experimental obtido com o controlador baseado no erro
de rastreamento para a referência de 50 Hz. . . . . . . . . . . . . . . 75
6.23 Resultado experimental obtido com o controlador baseado no erro
de rastreamento para a referência de 100 Hz. . . . . . . . . . . . . . 76
6.24 Resultado experimental obtido com o controlador baseado no erro
de rastreamento para a referência de 200 Hz. . . . . . . . . . . . . . 76
6.25 Diagrama de blocos do sistema de simulação do controlador adap-
tativo robusto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.26 Filtro de segunda ordem do sinal de referência. . . . . . . . . . . . . 83
6.27 Diagrama de blocos do controlador adaptativo robusto. . . . . . . . 84
6.28 Resultado de simulação com o ARC para a referência de 10 Hz. . . 85
6.29 Estimativa de simulação dos parâmetros do ARC para a referência
de 10 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.30 Resultado de simulação com o ARC para a referência de 50 Hz. . . 86
6.31 Estimativa de simulação dos parâmetros do ARC para a referência
de 50 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.32 Resultado de simulação com o ARC para a referência de 100 Hz. . . 87
6.33 Estimativa de simulação dos parâmetros do ARC para a referência
de 100 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.34 Resultado de simulação com o ARC para a referência de 200 Hz. . . 88
6.35 Estimativa de simulação dos parâmetros do ARC para a referência
de 200 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.36 Resultado experimental com o ARC para a referência de 10 Hz, com
θ3 fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.37 Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 10 Hz, com
θ3 fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.38 Resultado experimental com o ARC para a referência de 50 Hz, com
θ3 fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.39 Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 50 Hz, com
θ3 fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.40 Resultado experimental com o ARC para a referência de 100 Hz,
com θ3 fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.41 Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 100 Hz,
com θ3 fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.42 Resultado experimental com o ARC para a referência de 200 Hz,
com θ3 fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
xiv
6.43 Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 200 Hz,
com θ3 fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.44 Resultado experimental com o ARC para a referência de 10 Hz. . . 93
6.45 Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 10 Hz. . . . 93
6.46 Resultado experimental com o ARC para a referência de 50 Hz. . . 94
6.47 Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 50 Hz. . . . 94
6.48 Resultado experimental com o ARC para a referência de 100 Hz. . . 95
6.49 Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 100 Hz. . . 95
6.50 Resultado experimental com o ARC para a referência de 200 Hz. . . 96
6.51 Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 200 Hz. . . 96
A.1 Exemplo de diagrama de blocos utilizados nos experimentos. In-
terface entre o Simulink e a máquina virtual da Quanser. . . . . . . . 107
xv
Lista de Tabelas
2.1 Apresentação dos parâmetros físicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.1 Especificações Técnicas do P-735.1CD. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Especificações do Material do P-735.1CD. . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Especificações do Conversor Analógico/Digital Quanser Q8. . . . . 31
5.1 Acerto percentual do modelo para as diversas referências. . . . . . 38
5.2 Parâmetros da histerese segundo o modelo de Bouc Wen. . . . . . . 51
5.3 Erro de modelagem da histerese segundo o modelo de Bouc Wen. . 51
5.4 Parâmetros do creep segundo o modelo não-linear. . . . . . . . . . . 53
6.1 Tabela de parâmetros do controlador adaptativo robusto. . . . . . . 83
6.2 Tabela de Indicadores do Erro de Rastreamento. . . . . . . . . . . . 97
xvi
Capítulo 1
Introdução
Conforme sugere seu prefixo, a nanotecnologia é uma ciência que trata da ma-
nipulação de estruturas da matéria em escala inferior a 100 nanômetros. Esse
processo consiste do dimensionamento, do posicionamento, da modelagem e
do controle do sistemas que utilizam nanotecnologia. Embora o termo nan-
otecnologia seja considerado novo, a existência de dispositivos funcionais e
estruturas nanométricos é tão antiga quanto a própria vida no planeta. Por
exemplo, o molusco da família Haliotidae constrói sua concha de maneira re-
sistente por meio da organização de tijolos nanoestruturados de carbonato de
cálcio unidos por uma cola feita de uma mistura de proteína e carboidrato [1].
A fim de se alcançar a precisão e a acurácia exigidas para a operação desses
dispositivos em dimensão atômica, são utilizados nanoposicionadores normal-
mente acionados por atuadores piezoelétricos. Esses sistemas são mecanica-
mente projetados para atingir um controle ultra-preciso de movimento. Sendo
empregados principalmente em aplicações de microscopia. As principais metas
de nanoatuação são a alta banda passante, resposta rápida, alta resolução e esta-
bilidade. Se o sistema de posicionamento atinge as metas mencionadas a priori,
a exatidão e a repetibilidade da operação em escala nanométrica são garantidas.
Um transdutor piezoelétrico consiste de um elemento de cerâmica ou cristal
capaz de converter energia elétrica em mecânica e vice-versa, de maneira quase
que imediata, por meio do efeito piezoelétrico inverso. A dinâmica relacionada
à essa conversão de energia apresenta consideráveis fenômenos não-lineares.
Como o creep e a histerese, os quais revelam sua influência de maneira mais
marcante quando o sistema é submetido a sinais de referência com amplitudes
elevadas e frequências baixas. Se operado em malha aberta, o nanoatuador
1
sofre perdas na repetibilidade em função de suas dinâmicas não-lineares. No
entanto, para sinais de referência com amplitudes baixas, a parcela dinâmica
predominante é linear e apresenta um par de pólos pouco amortecidos que irá
gerar um modo ressonante [2].
Em termos de aplicação da nanotecnologia, o que se destaca nesse contexto
é a vasta gama de possibilidades existentes. As principais áreas que fazem
uso desses instrumentos de precisão atômica são: tecnologia de semicondu-
tores, biotecnologia, microscopia, automação, aeronáutica, processamento de
imagens, astronomia, óptica adaptativa, metrologia, sistemas a laser, usinagem
de precisão, torneamento de diamantes, óptica integrada, fotônica, telecomuni-
cações e nanorobótica. Uma vez exposto o panorama geral, na próxima seção
serão tratadas algumas aplicações com mais profundidade.
1.1 Aplicações dos Nanoposicionadores
Os microscópios de escaneamento consistem de uma família composta por uma
ampla gama de instrumentos baseados em AFM (Atomic Force Microscope) e
SPM (Scanning Probe Microscope), desenvolvidos para vários tipos de apli-
cações científicas e industriais. Alguns tipos de microscopia que empregam
nanoposicionadores são:
1. STM Scanning Tunneling Microscopy,
2. AFM Atomic Force Microscopy,
3. FFM Friction Force Microscopy,
4. SEFM Scanning Electrostatic Force Microscopy,
5. SFAM Scanning Force Acoustic Microscopy,
6. SMM Scanning Magnetic Microscopy,
7. SNOM Scanning Near Field Optical Microscopy,
8. SThM Scanning Thermal Microscopy,
9. SEcM Scanning Electrochemical Microscopy,
10. SKPM Scanning Kelvin Probe Microscopy,
11. SCPM Scanning Chemical Potencial Microscopy,
2
12. SICM Scanning Ion Conductance Microscopy e
13. SCM Scanning Capacitance Microscopy.
Para a vasta família de microscópios de escaneamento (SPMs) que surgiram
após a descoberta do microscópio de tunelamento (Scanning Tunneling Micro-
scope, STM) e do microscópio de força atômica, (Atomic Force Microscopy) AFM,
o nanoposicionamento é um aspecto chave, pois determina diretamente o de-
sempenho do microscópio [3],[4],[5],[6],[7],[8] e [9]. Por exemplo, ao se escanear
uma superfície utilizando-se um AFM, a imagem é gerada em função da inter-
ação do elemento sensor (probe) com a superfície da amostra. Quão mais preciso
for o controle de posição do sensor, maior será a resolução da imagem gerada.
O esquema referente ao STM pode ser observado na Figura 1.1(a) enquanto que
o do AFM é evidenciado na Figura 1.1(b).
Figura 1.1: Esquemas de varredura. Em (a) sem contato e em (b) com contato.Figura extraída e modificada de [2].
Desse modo, o posicionamento preciso é também um fator determinante para a
manutenção da integridade do dispositivo de escaneamento e da superfície da
amostra. Tal fato é decorrente da possibilidade de danos tanto na probe quanto
na superfície da amostra se a força de interação entre essas for elevada. Como
medida preventiva, usa-se o controle realimentado da força entre a amostra e
o elemento sensor. Esse fenômeno vai ao encontro da observação do amplo
alcance das aplicações que fazem uso da nanotecnologia.
3
Neste contexto, sistemas com nanoposicionadores são utilizados, por exem-
plo, em litografia no alinhamento das máscaras de materiais foto-resistivos
tanto positivos (polímeros solúveis quando expostos à luz) quanto negativos
(polímeros insolúveis quando expostos à luz). No preciso posicionamento de
wafers (camadas de material semicondutor) podendo ser dopadas ou não. E por
fim na inspeção de semicondutores, verificando se a sua construção foi feita de
maneira adequada para garantir as propriedades necessárias à sua operação.
1.1.1 Microscopia de Força Atômica
Microscópios de força atômica podem ser utilizados para estudar tanto superfí-
cies condutoras de eletricidade quanto isolantes. São comumente empregados
na manipulação individual de átomos de xenônio. Esse instrumento é capaz
de medir forças demasiadamente pequenas, menores que um micro Newton,
presentes entre a superfície de sua ponta de prova ou probe e a da amostra [10].
Primeiramente, a força é estimada com base na deflexão do elo entre o AFM
e sua probe, que é proporcional a força, por meio de detectores ópticos como
apresentado em [10]. Após esse procedimento, a informação estimada é inje-
tada na malha de realimentação a fim de ajustar a posição vertical da probe
almejando manter a deflexão do elo no valor desejado. Uma vez mantida uma
pequena deflexão constante no elo, a força de interação do elemento sensor com
a superfície da amostra é mantida constante durante o escaneamento. Assim, o
posicionamento preciso da ponta de prova é necessário à manutenção da força
no nível desejado durante o escaneamento por meio do microscópio de força
atômica.
Existem diversas variantes do princípio apresentado acima que utilizam outras
propriedades físico-químicas do material para inferir a força de interação entre
a probe e a superfície da amostra [11], [12] e [13]. Contudo, o cerne comum
entre todas essas maneiras de se realizar o escaneamento é a dependência do
posicionamento preciso da ponta de prova em relação ao substrato analisado.
1.1.2 Microscopia de Tunelamento
O microscópio de tunelamento, que foi desenvolvido por Gerd Binnig e sua
equipe em 1981 no laboratório de pesquisas da IBM em Zurique na Suíça, é
4
o primeiro instrumento capaz de obter de maneira direta uma imagem tridi-
mensional de superfícies sólidas com resolução atômica. Tais dispositivos só
podem ser utilizados para estudar apenas superfícies que possuam algum grau
de condutividade elétrica [14].
Esses instrumentos são utilizados na formação de nanocaracterísticas por meio
da localização de calor ou da indução de reações químicas na área de atuação
de sua ponta de prova. A ampliação capaz de ser realizada por SMPs e AFMs
é da ordem de mil a um bilhão de vezes em sua faixa de trabalho, obtendo da
amostra imagens de alta resolução e informações de espectroscopia [14]. Em
escaneamentos realizados utilizando microscopia de tunelamento, a vibração
natural do dispositivo utilizado implica a distorção da imagem formada [3].
Em função de sua dualidade onda-partícula, o elétron pode sofrer o fenômeno
de tunelamento. Tal fenômeno consiste da probabilidade de um elétron atraves-
sar uma barreira potencial em situações em que, segundo a mecânica clássica,
ele deveria ser totalmente impedido. Esse fenômeno, é utilizado como princípio
de funcionamento do microscópio de tunelamento. Ao se aproximar a sonda
da amostra, se ambos forem condutores, uma corrente de tunelamento pode ser
medida. É constatado que a corrente de tunelamento permanece constante uma
vez mantida a distância entre ambos. Conforme a sonda percorre a amostra, a
variação dessa corrente se torna proporcional à topografia do objeto de estudo
e ao potencial elétrico empregado entre esses [15]. Por fim, essa informação é
utilizada na composição da imagem tridimensional da amostra.
1.2 Objetivos
As principais metas do estudo desenvolvido neste trabalho são realizar a mod-
elagem do nanoatuador e o projetar um controlador que apresente um bom
desempenho para operações rápidas e precisas. Sabendo que a chave para o
sucesso do nanoposicionamento é a acurácia e a precisão no sensoreamento da
posição e o controle em malha-fechada do sistema [2], a proposta deste trabalho
é avaliar as melhorias advindas do emprego de algoritmos de controle avançado
(e.g., controle adaptativo, controle robusto), na presença de dinâmicas não lin-
eares como a histerese, o creep e as vibrações, que contribuem para a degradação
do desempenho do sistema.
5
1.3 Estrutura do Texto
A organização do conteúdo desse trabalho é feita segundo a descrição atribuída
a cada capítulo pelos itens abaixo:
• No Capítulo 2 os conceitos físicos associados a dinâmica do nanoatuador
são apresentados. Tanto os fundamentos mecânicos quanto os elétricos
são colocados de forma a explicar como a dinâmica que será descrita na
modelagem pode ser embasada fisicamente.
• A classificação dos atuadores piezoelétricos é considerada no Capítulo 3.
Descrevem-se nesse capítulo, os mecanismos de amplificação do movimento
e o sistema de medição desse deslocamento.
• No Capítulo 4 é apresentado o sistema experimental bem como os procedi-
mentos de configuração que devem preceder a sua operação.
• A modelagem experimental do sistema exposta no item acima é detalhada
no Capítulo 5. Tal procedimento analisa o problema de modelagem segundo
uma composição da contribuição de três parcelas fundamentais, a dinâmica
linear, o creep e a histerese, considera-se que o efeito do ruído de medição é
desprezível.
• No Capítulo 6 o projeto de quatro controladores é realizado. As etapas de
desenvolvimento das leis de controle, bem como os resultados de simulação
do modelo encontrado no Capítulo 5 e os resultados experimentais são
apresentados.
• O Capítulo 7 apresenta as conclusões obtidas a partir do estudo desen-
volvido.
• No Apêndice, detalhes sobre a montagem dos experimentos, a utilização
dos equipamentos e dos softwares são descritos.
6
Capítulo 2
Fundamentos Físicos
O termo piezo deriva da palavra grega que significa pressão. Em 1880, Jacques
e Pierre Curie descobriram que um potencial elétrico pode ser gerado ao se
pressionar um cristal de quartzo. A partir dessa descoberta foi possível inferir
a existência de um fenômeno físico associado a alguns materiais, denominado
efeito piezoelétrico.
Historicamente, eram utilizados cristais de quartzo acoplados a massas metáli-
cas, porém era necessária alta tensão para excitar os transdutores. Após a
primeira guerra mundial, as principais cerâmicas piezoelétricas utilizadas eram
o titano-zirconato de chumbo ou PZT (nos EUA) e o titanato de bário (pela URSS
e pelo Japão). O ponto de partida das análises posteriores é a utilização de en-
saios com cristais de quartzo constituídos de microestruturas com propriedades
ferroelétricas [2].
Este capítulo trata dos fenômenos associados à dinâmica do atuador
piezoelétrico sob a perspectiva da física. Os fundamentos aqui apresentados
estão descritos em [16].
2.1 Efeito Piezoelétrico
De acordo com a descoberta dos irmãos Curie, é possível definir o efeito do
principal fenômeno associado ao PZT como efeito piezoelétrico. Esse efeito diz
respeito à propriedade de que um potencial elétrico pode ser gerado por meio
da aplicação de pressão em cristais com propriedades ferroelétricas. O efeito
piezoelétrico inverso descreve o comportamento da mudança das dimensões do
cristal quando submetido a um potencial elétrico.
7
2.2 Apresentação das Constantes
Os parâmetros físicos utilizados para descrever a dinâmica do atuador
piezoelétrico são apresentados na Tabela 2.1. Os seus significados físicos são
descritos a seguir.
Tabela 2.1: Apresentação dos parâmetros físicos.Parâmetros Significado Físico
s [m] distensãol0 [m] comprimento da cerâmica
E [V/m] intensidade do campo elétricoI0 [m] comprimento do atuadords [m] distância entre os eletrodos
n número de camadas I0/ds
A [m2] área de superfície do eletrodo de uma camadaε As
Vm constante dielétricadi j [m/V] coeficiente de distensão do material piezoelétrico∆l0 [m] distensão máxima sem força externa
kt [N/m] constante elástica do piezoelétricoks [N/m] constante elástica da mola externaFmax [N] máxima força
Fmax−e f f [N] máxima força efetivaFdyn [N] força dinâmica∆l [m] distensão pico a picof0 [Hz] frequência de ressonância do atuador sem carga
Me f f [kg] massa efetiva (1/3 da massa da cerâmica com o invólu-cro mais a massa de qualquer peça instalada)
M′e f f
[kg] Massa adicional M+Me f f
ϕ ângulo de fase (graus)f [Hz] frequência de operação
Tmin [s] tempo em segundosia [A] corrente média da saída do amplificador
imax [A] corrente de pico da saída do amplificadorfmax [A] frequência de operação máximaC [F] capacitância do piezo atuador
Up−p [V] voltagem pico a pico aplicadaPa [W] potência média
Pmax [W] potência de picoUmax [V] Voltagem nominal máxima do amplificador
8
2.3 Fundamentos Elétricos
Antes da polarização, cristais de PZT tem células unitárias cúbicas simétricas.
Para valores de temperatura inferiores à temperatura de Curie (ou ponto de
Curie), suas estruturas cristalinas tornam-se deformadas e assimétricas. As
células unitárias apresentam polarização instantânea. Os grupos de células
que possuem a mesma orientação são denominados domínios de Weiss. Por ser
um fenômeno estocástico, a distribuição aleatória da orientação dos domínios
não pode ter seus efeitos observáveis macroscopicamente. O efeito descrito em
termos de arranjo cristalino é observado na Figura 2.1.
Figura 2.1: Arranjo cristalino do titano-zirconato de chumbo em (a) arranjo
simétrico, acima da temperatura de Curie e em (b) arranjo assimétrico, abaixo
da temperatura de Curie. Figura extraída de [16].
Devido à natureza ferroelétrica do material, é possível forçar um alinhamento
permanente dos domínios de Weiss por meio do uso de um campo elétrico
forte. Esse processo é denominado poling. Após esse procedimento, a cerâmica
9
apresenta propriedades piezoelétricas uma vez que possui uma polarização
remanescente. Essa cerâmica passa a mudar de dimensão quando submetida
a um potencial elétrico. O efeito do poling sobre os domínios é ilustrado na
Figura 2.2.
Figura 2.2: Disposição dos domínios de Weiss: (a) antes do poling, (b) durante o
poling e (c) após o poling. Figura extraída de [16].
Com respeito à análise da dinâmica do piezoatuador sob o ponto de vista de
fenômenos elétricos, é possível apontar seis equações principais capazes de
descrevê-la sucintamente. Quando operado abaixo da frequência de ressonân-
cia, o piezoatuador se comporta como um capacitor. Sua distensão é propor-
cional à carga armazenada. A capacitância do atuador depende não somente da
área (A) e da espessura da cerâmica (ds) como também das propriedades desse
material [16].
A capacitância do atuador (C) para sinais pequenos é estimada pela expressão:
C = n εAds. (2.1)
A corrente média em operação com referência senoidal é dada por:
ia = f C Up−p. (2.2)
Por meio da equação (2.2), é derivada a equação do pico de corrente para a
operação senoidal:
imax = π f C Up−p. (2.3)
10
A frequência máxima de operação ( fmax) com uma onda triangular é determinada
pela expressão:
fmax = imax (2 C Up−p)−1. (2.4)
As potências média (Pa) e de pico (Pmax) necessárias para a operação com refer-
ência senoidal são calculadas respectivamente pelas expressões:
Pa = C Umax Up−p f , (2.5)
Pmax = π C Umax Up−p f . (2.6)
2.4 Fundamentos Mecânicos
Os atuadores piezoelétricos têm suas distensões primariamente dependentes
do campo elétrico aplicado, de seu comprimento, das forças aplicadas sobre
esse e das propriedades do material piezoelétrico utilizado em sua fabricação.
Nesta seção são apresentadas as principais equações que governam a dinâmica
de atuadores piezoelétricos sob o ponto de vista da mecânica [16].
Quando não é aplicada uma carga ao transdutor, a alteração de sua distensão é
estimada pela equação:
∆l s l0 ≈ E di j l0. (2.7)
A força efetiva que o piezoatuador gera é dada pela equação:
Fmax−e f f = kt ∆l0
[
1− kt
(kt+ ks)
]
. (2.8)
Todas as vezes que uma tensão é aplicada a um piezoelétrico, esse muda de
dimensão. Em função da inércia da massa do piezoatuador e de qualquer carga
sobre o mesmo, a movimentação rápida irá gerar uma força agindo nesse [16].
A máxima força disponível para acelerar a massa do piezo e qualquer massa
adicional:
Fmax = ±kt ∆l0. (2.9)
11
A força dinâmica que atua em um piezoelétrico em operação senoidal com
frequência f é obtida pela seguinte expressão:
Fdyn = ±4 π2 Me f f
(
∆l2
)
f 2. (2.10)
Em geral, a frequência de ressonância de qualquer sistema massa-mola é uma
função da massa efetiva e da constante elástica do sistema. No entanto, nos
dados técnicos do material, a frequência de ressonância refere-se à operação
do atuador sem carga e com uma de suas extremidades rigidamente fixada.
Considerando os sistemas de nanoposicionamento, o atuador sem carga é fixado
de maneira firme a uma massa significantemente maior que a sua própria. Assim
a frequência de ressonância é calculada pelas equações que seguem, tanto com
massa adicional acoplada ao atuador piezoelétrico:
f0 = (1/(2 π))(
ktMe f f
)1/2, (2.11)
quanto sem massa adicional,
f = f0
Me f f
M′e f f
1/2
. (2.12)
Um piezoelétrico pode alcançar a distensão nominal de aproximadamente um
terço do período da sua frequência de ressonância, se o controlador puder
fornecer a corrente necessária, o que é demonstrado pela expressão a seguir:
Tmin =1
(3 f0). (2.13)
12
Capítulo 3
Sistemas de Nanoposicionamento
Neste capítulo são descritas as principais partes de sistemas de nanoposiciona-
mento: atuadores, amplificação de deslocamento e sensores de posição.
3.1 Atuadores
A seguir são descritas as principais classes de atuadores.
3.1.1 Magnetoestritivos
Em materiais magnetoestritivos ou piezomagnéticos, a magnetização em um
campo externo induz uma alteração dimensional do material [17]. Diversos
tipos de materiais magnetoestritivos são empregados na indústria na forma
de atuadores, em função de sua capacidade de converter energia elétrica em
mecânica.
Normalmente, a passagem de corrente através de uma bobina localizada ao
redor de uma haste magnetostrictiva produz o campo magnético necessário
para a atuação. O posicionamento de precisão pode ser alcançado mediante
um bom desempenho no controle da corrente. Esse mecanismo de atuação é
importante quando grandes forças devem ser obtidas em pequenas distâncias.
Terfenol-D é um material bem conhecido com um alto coeficiente de magne-
tostricção que foi desenvolvido em 1960. Filmes magnetoestritivos depositados
por pulverização catódica se apresentam como uma oportunidade interessante
para atuação em micromáquinas que requerem uma operação de alta frequên-
cia sem contato. Os requisitos de energia para a magnetostricção são maiores
do que para materiais piezoelétricos, mas a atuação oferece uma maior faixa de
13
deslocamento e a relação massa por unidade de força é maior do que com um
atuador PZT.
Atuadores magnetoestritivos assim como atuadores piezoelétricos, apresentam
a histerese como uma dinâmica que dificulta o controle de posição [18] e [19].
De maneira alternativa, uma outra proposta de atuação se dá por meio da
utilização de levitação eletromagnética [20] que é capaz de alcançar precisão em
escala nanométrica.
3.1.2 Baseados em sistemas microeletromecânicos eletrostáticos
Microatuadores eletrostáticos são bem estabelecidos no campo dos MEMS (sis-
temas microeletromecânicos) em função de sua facilidade de fabricação e a
única condição é que seu material estrutural precisa ser condutor. Os atuadores
eletrostáticos são compostos por duas estruturas de pente interdigitados, sendo
uma fixa e outra móvel. Um potencial elétrico aplicado entre os dois pentes gera
uma força tanto no sentido que aumenta a sobreposição dos mesmos quanto na
direção em que aumenta a distância entre os eletrodos, conforme ilustrado na
Figura 3.1.
Figura 3.1: Microatuadores eletrostáticos: (a) de pentes interdigitados e de (b)placas paralelas. Figura extraída e modificada de [2].
O primeiro é denominado atuador de pentes interdigitados, já o último é o
atuador de placas paralelas. Ambos são, em princípio, fáceis de fabricar. Um
único nível de máscara e uma camada de DRIE (deep-reactive-ion-etch) são
suficientes para delinear todo o sistema. Para controle de posição em malha
fechada, a posição da estrutura móvel é estimada por meio da capacitância
entre o par de pentes. Microatuadores eletrostáticos têm sido intensamente
explorados como atuadores secundários em sistemas de discos rígidos com dois
14
estágios, especialmente no controle do elo e nas configurações dos cabeçotes
acionados [14]. Como desvantagens, esses atuadores necessitam de alta tensão
em seu acionamento e a força que são capazes de gerar é baixa.
3.1.3 Baseados em sistemas microeletromecânicos com superfície
eletrostática
Este tipo de atuador se baseia num princípio semelhante ao do motor de passo.
Também consiste de dois eletrodos, um fixo e outro móvel. Em oposição à
unidade de pentes interdigitados, os eletrodos são planares e se posicionam
um de frente para o outro. Ao se mover o transdutor (estrutura móvel) para
posições estáveis, em que as sequências de eletrodos estão alinhadas, as forças
no plano são geradas entre elas. Essas forças são determinadas pela relação
de fase espacial entre os dois conjuntos de eletrodos periódicos e as tensões
aplicadas neles, conforme a Figura 3.2.
Figura 3.2: Microatuador com superfície eletrostática. Um exemplo de padrãode tensão é mostrado nos eletrodos. A variação de tensão faz o transdutor semovimentar. Figura extraída e modificada de [2].
Para o movimento contínuo, cada superfície tem vários eletrodos intercalados
que podem ser sucessivamente ativados para criar uma onda de tensão a fim
de mover o transdutor no sentido desejado. No entanto, esse tipo de atuador
também exerce forças no eixo vertical, o que deve ser considerado na concepção
das molas usadas para prender o transdutor acima do estator. Aqui, como no
caso de outros atuadores de passo, a posição do transdutor é conhecida dentro
de um único passo sem um sensor de posição independente a menos que a
força de atuação seja superada por uma força externa. Para um atuador com
sete eletrodos uma precisão de cinco nanômetros pode ser alcançada [21].
A força eletrostática em cada passo de posição age como uma força restauradora.
Na operação, a rigidez no plano global do transdutor pode ser muito maior do
15
que a rigidez das molas necessárias para mantê-lo no seu lugar. Assim, mo-
las relativamente macias podem ser utilizadas para uma melhor eficiência en-
ergética se uma grande força de retenção é mantida para combater perturbações
externas.
3.1.4 Baseados em sistemas microeletromecânicos shuffle
O atuador shuffle (também conhecido como atuador lagarta) é um projeto ele-
trostático com base em uma proposta de fixação e deslizamento. Este projeto
consiste de dois pés, independentemente fixados ao substrato por meio de força
eletrostática, e uma membrana que pode ser recolhida reversamente por outra
força de mesma natureza [22]. Seu ciclo de movimentos é ilustrado na Figura 3.3.
Figura 3.3: Ciclo ABCDA‘ de movimento de um atuador shuffle de uma dimensão.Figura extraída e modificada de [2].
A medida que o elemento móvel é sempre preso por pelo menos um pé, esse ex-
ibe alta imunidade a distúrbios externos, tanto dentro quanto fora do plano de
rigidez, sem requerer uma haste mais rígida ou aumento do consumo de potên-
cia. Até agora, somente dispositivos em uma dimensão foram construídos,
porém versões em duas dimensões são concebíveis. Um dos potenciais prob-
lemas dessa abordagem é o desgaste da haste em função do seu movimento de
flexão.
16
3.1.5 Baseados em sistemas microeletromecânicos eletromag-
néticos
Aqui, a atuação gera uma força por meio do fluxo de corrente através de uma
bobina de fio condutor, na presença de um campo magnético. Este conceito é am-
plamente utilizado devido à sua força e eficiência em atuadores macroscópicos
convencionais. Métodos convencionais de fabricação com bobinas de fio enro-
lado podem ser utilizados para construir miniaturas eletromagnéticas eficientes
de motores e atuadores, mesmo para dispositivos pequenos com dimensão de
um milímetro [23]. Embora do ponto de vista de fabricação, bobinas planares
integradas e ímãs criados por deposição de filmes magnéticos parecem ser mais
adequados para Scanners MEMS (não obstante à limitação de espaço físico do
sistema), o projeto e a fabricação desses dispositivos com o número suficiente
de enrolamentos e com a massa de material magnético suficiente para gerar
grandes forças de maneira eficiente é difícil. Portanto soluções híbridas de
fabricação são frequentemente empregadas. As técnicas MEMS são utilizadas
na fabricação dos elementos mecânicos passivos ao passo que as técnicas con-
vencionais se dedicam aos elementos eletromagnéticos ativos [24], [25] e [26].
3.1.6 Baseados em sistemas microeletromecânicos térmicos
O mecanismo de condução na atuação térmica é tanto o efeito bilaminar ou o uso
de braços quente-frio [27], [28] e [29]. Na última abordagem, microestruturas
com material de camada única podem produzir movimento no plano por causa
da diferença de dilatação de um estreito braço quente e um largo braço frio. Sis-
temas microeletromecânicos térmicos para aplicações de nanoposicionamento
têm seu interesse renovado na pesquisa não somente porque geram grande de-
flexão e força como também porque o seu processo de fabricação é compatível
com o do circuito CMOS (Complementary metal-oxide-semiconductor) padrão.
Por exemplo, o projeto da estrutura do atuador em forma de U oferece maior de-
formação e maior eficiência elétrica do que o atuador vertical tradicional, graças
a utilização de um caminho de retorno da corrente ativa. Independentemente
do efeito físico empregado no mecanismo de atuação, transdutores baseados em
sistemas microeletromecânicos térmicos são, em princípio, sensíveis à tempe-
ratura ambiente e, portanto, seu uso em aplicações nanoposicionamento pode
ser limitado.
17
3.1.7 Piezoelétricos
Atuadores piezoelétricos são onipresentes em aplicações de nanoposiciona-
mento tais como SPMs e micromotores. Eles têm considerável largura de banda
operacional, podem gerar grandes forças mecânicas com pequenas quantidades
de energia e são compactos, como é evidenciado na figura 3.4. Contudo os mes-
mos têm a desvantagem de possuir uma faixa de deslocamento relativamente
pequena. Dispositivos piezoelétricos baseados na cerâmica de titano-zirconato
de chumbo já são usuais. Recentemente começaram a aparecer várias aplicações
com dispositivos de filme fino (thin-film-based) [30] e [31].
Figura 3.4: Atuador piezoelétrico usado na injeção de combustível em au-tomóveis. Figura extraída e modificada de http://global.kyocera.com.
3.2 Sistemas de Amplificação do Deslocamento
As excursões do movimento que sistemas piezoatuados alcançam são demasi-
adamente pequenas. De maneira a se atingir uma boa resolução por meio do
uso desses dispositivos em adição ao aumento de sua faixa de operação, são em-
pregados sistemas de amplificação do seu deslocamento. Mediante a utilização
desses amplificadores, é possível construir dispositivos mais compactos, que
demandam menor corrente de operação para um determinado deslocamento e
ainda melhorar a amplitude de saída dos mesmos.
Em contrapartida, a adição desses mecanismos de amplificação diminui a
rigidez do dispositivo e faz com que a sua frequência de ressonância torne-
se menor, o que complica sua operação em frequências altas. Dois são os
principais métodos de amplificação utilizados comercialmente, por alavanca e
por elemento flexitensional, que são descritos a seguir.
18
3.2.1 Amplificação do Deslocamento por mecanismo de alavanca
Piezoatuadores podem ser projetados de maneira a serem integrados com o
mecanismo de alavanca de amplificação do deslocamento. Para manter a reso-
lução subnanométrica com a faixa de deslocamento aumentada, o mecanismo
de alavanca deve ser extremamente rígido, sem folga nem atrito, o que exclui
a utilização de rolamentos. Hastes flexíveis são ideais como elementos de li-
gação. Por meio do seu uso é possível projetar sistemas de posicionamento de
múltiplos eixos com excelentes características de deslocamento guiado.
Nenhuma rigidez é perdida na interface de ligação entre a pilha do piezoelétrico
e a alavanca. Um equilíbrio entre rigidez, massa e custos deve ser encontrado,
mantendo o atrito nulo e sem condições de folga entre o mecanismo de alavanca
e o atuador piezoelétrico em zero. O engate deve ser muito duro na direção que
empurra a alavanca, porém deve ser macio em todos os outros graus de liberdade
a fim de evitar danos à cerâmica. Uma ilustração esquemática desse conceito
segue na Figura 3.5.
Figura 3.5: Sistema de amplificação do deslocamento por alavanca. Figura ex-traída de [16].
Contudo, a adição do mecanismo de amplificação do deslocamento tem suas
vantagens e desvantagens em relação ao atuador padrão. Como vantagens se
encontram: faixa de deslocamento maior, tamanho compacto comparado aos
atuadores de mesma faixa de deslocamento e capacitância reduzida. Já as
19
desvantagens são: rigidez reduzida e frequência de ressonância inferior, uma
vez que a frequência de ressonância padrão é dividida pela razão de transmissão
da alavanca [16].
3.2.2 Amplificação do Deslocamento por elemento flexitensional
Elementos flexitensionais se apresentam como soluções satisfatórias para apli-
cações em que o movimento é retilíneo em um ou mais eixos e apenas nanômet-
ros ou microradianos de desvio são tolerados em relação à trajetória ideal. O el-
emento flexitensional é um dispositivo que não apresenta atrito pois é baseado
na deformação elástica de um material sólido e os efeitos de deslizamento e
rolamento são completamente eliminados. Em adição, esses dispositivos de
flexão podem ser projetados com elevada rigidez, alta capacidade de carga e
baixo desgaste. Esses elementos são menos sensíveis a choques e vibrações
do que outros sistemas de amplificação. Como vantagem, não necessitam de
manutenção, podem ser fabricados a partir de materiais não-magnéticos, não
necessitam de lubrificantes ou combustíveis e, portanto, ao contrário dos man-
cais de almofada de ar, são adequados para o funcionamento a vácuo [16].
Figura 3.6: Esquema da configuração em paralelogramo do elemento flexiten-sional. Figura extraída de [16].
Elementos flexitensionais dispostos em configuração de paralelogramo,
Figura 3.6, possuem excelentes características de orientação e direcionamento
do deslocamento. Dependendo de sua complexidade e de suas tolerâncias,
eles possuem valores de retidão/nivelamento em escala nanométrica ou ainda
menor. Essa configuração em paralelogramo fornece uma movimentação em
arco que introduz um erro de fuga do plano de movimento da ordem de 0,1%
20
da faixa de distenção [16]. Esse erro pode ser estimado pela equação que segue
a partir das distâncias definidas pelas cotas da figura 3.6:
∆H ≈(
±∆L2
)2 12H. (3.1)
3.3 Sensores de Posição
A velocidade e a acurácia do posicionamento absoluto em vários sistemas de
nanoposicionamento depende crucialmente do mecanismo sensor de posição.
No entanto, a geração de informação sobre o posicionamento em escala
nanométrica é por si um desafio, particularmente em operações em banda larga
e com ampla faixa dinâmica que são requisitos indispensáveis para várias apli-
cações em nanotecnologia, como por exemplo a litografia e o armazenamento
de dados [2]. Diversas técnicas são empregadas na realização desse sensoria-
mento, dentre elas encontram-se a indutiva, a piezoresistente, extensométrica,
a capacitiva e por meio de medidas ópticas.
Neste trabalho são focadas duas técnicas de sensoreamento de posição,os sen-
sores capacitivos e térmicos devido à sua facilidade em serem integrados com
matrizes de nanoatuadores MEMS. Principalmente, o piezoatuador PI-753 uti-
lizado neste trabalho, descrito no Capítulo 4 a seguir, dotado de um sensor
capacitivo. A detecção capacitiva é uma das técnicas mais populares no sensori-
amento de posição de microatuadores e é capaz de atingir resoluções nanométri-
cas. Recentemente, os sensores de posição feitos de silício, baseados na con-
dução de calor entre duas superfícies através do ar ambiente, têm apresentado
resoluções inferior a 1nm.
3.3.1 Sensores Capacitivos de Posição
Transdutores de posição capacitivos são muito populares na indústria, pois
fornecem uma técnica simples de se implementar a medição da posição sem
contato. O princípio de funcionamento desse método é baseado em dois eletro-
dos, um móvel e outro fixo.
Ao se medir a variação de capacitância, a posição do eletrodo móvel em relação
ao fixo pode ser determinada. Convertendo-se a capacitância para tensão por
meio de um circuito eletrônico, a variação da capacitância devido ao movimento
do eletrodo fornece uma tensão de saída que é função do deslocamento tratado
conforme segue no esquema da Figura 3.7.
21
Figura 3.7: Arquitetura do sensor capacitivo de deslocamento. Figura extraída de[16].
É possível provar que, para a configuração de pentes interdigitados do elemento
sensor, a relação entre a tensão e o deslocamento é linear. Contudo, para a
configuração em arranjo de placas paralelas dos sensores capacitivos, a tensão
de saída e o deslocamento estão relacionados de maneira não-linear. Esse
comportamento não-linear pode ser linearizado até certa medida utilizando-se
uma configuração diferencial de placas paralelas [2].
Para microatuadores eletrostáticos que fazem uso de sensores capacitivos no
controle de posição, a variação da capacitância é da ordem de 100 f F/µm. No
sentido de alcançar resolução nanométrica, o circuito deve ser capaz de detectar
variações da ordem de 0,1 f F mesmo na presença de capacitâncias parasitas. No
que diz respeito aos sensores de posição capacitivos o circuito de detecção é o
componente mais importante.
3.3.2 Sensores Térmicos de Posição
A concepção básica do sensor térmico de posição é o uso de um filamento
alongado em forma de U livre para se deslocar, conforme a Figura 3.8. Os
dispositivos são feitos de silício monocristalino usando a tecnologia de micro-
usinagem padrão global. O elemento sensor é um aquecedor resistivo feito de
silício pouco dopado apoiado por pernas feitas do mesmo material altamente
dopado as quais atuam como condutores elétricos. A aplicação de tensão entre
as pernas do dispositivo resulta numa corrente que flui através do aquecedor, o
que ocasiona um aumento de temperatura do mesmo [2].
22
Figura 3.8: Em (a) a arquitetura do sensor térmico de posição e em (b) o fluxo decorrente representado por setas no mesmo. Figura extraída e modificada de [2].
Para usar o dispositivo descrito no parágrafo anterior como um sensor de deslo-
camento, ele deve ser posicionado diretamente acima de uma borda ou um
degrau sobre o objeto de interesse com o eixo longo alinhado paralelamente ao
eixo do movimento. Além disso, a lâmina deve ser perpendicular à direção do
movimento a ser medido e a superfície do sensor deve ser paralela à do objeto
de interesse, da maneira que é evidenciada na Figura 3.9.
Figura 3.9: Em (a) a condução de calor pelo ar em direção a superfície inferior.Em (b) deslocamento da superfície inferior, implicando o aumento da resistênciaelétrica do mesmo. Figura extraída de [2].
23
No sentido de medir o deslocamento do objeto, o fenômeno explorado é a
correlação entre a temperatura e a resistência elétrica do material de silício.
Uma fração do calor gerado pelo aquecimento resistivo é conduzido através do
ar ambiente para uma tabela de escaneamento, que atua como um dissipador
de calor. O deslocamento dessa tabela sensível ao calor dá origem a mudanças
na eficiência desse mecanismo de arrefecimento. Essa variação na eficiência do
mecanismo resulta na mudança de temperatura do aquecedor e portanto, uma
alteração da sua resistência elétrica.
Os sensores são acionados por uma tensão constante, sendo medidas as mu-
danças na corrente resultante por meio de um conversor de corrente para tensão.
Para reduzir os efeitos do drift, os sensores são operados aos pares usando uma
configuração diferencial. Entretanto, esses dispositivos são bastante simples e
a linearidade, o limite de ruído e o desempenho do drift que podem ser alcança-
dos são satisfatórios. Em particular, uma resolução de deslocamento inferior a
1 nm e uma faixa dinâmica de mais de 100µm foram obtidos em uma largura
de banda de 10 kHz. O consumo de potência do dispositivo é da ordem de
10mW por sensor e o tempo de resposta medido é descrito por uma exponencial
simples com uma constante de tempo de cerca de 100µs [2].
24
Capítulo 4
Aparato Experimental
4.1 Componentes
A configuração experimental é descrita pela Figura 4.1, na qual são expostas
todas as conexões entre os dispositivos que compõem o sistema de nanoposi-
cionamento. Os seguintes sinais são definidos: a referência (r), o sinal de
controle (u) e o sinal de saída medido (y).
Sinal de
ReferênciaControlador D/A
A/D
x 10 Atuador
Sensor
Microcomputador
Q8 Amplificador
E-665.CR
P-753.1CD
u
y
r
Figura 4.1: Diagrama de blocos da configuração experimental.
4.1.1 Piezoatuador P-753.1C
O P-753.1CD (Figura 4.2) é um atuador linear de alta velocidade. Esse é equipado
com sensor capacitivo, sem atrito, sistema orientador de flexão de duas hastes e
drives que proporcionam um desempenho de varredura na faixa de 12µm, com
tempo de assentamento rápido e erro de orientação da extremidade pequeno.
25
Figura 4.2: Atuador piezoelétrico P-753.1CD [16].
O projeto de tração direta em conjunto com a atenção especial dedicada à re-
dução de massa resultam na significativa redução das forças inerciais de recol-
himento aplicadas nas estruturas de suporte. Com isso, a resposta geral do
sistema melhora, sua banda passante aumenta, e se obtém um tempo de assen-
tamento da ordem de milissegundos. Os dados técnicos estão na Tabela 4.1:
Tabela 4.1: Especificações Técnicas do P-735.1CD.Eixo Ativo X
Tipo de Sensor Integrado CapacitivoExcursão máxima em malha fechada 12µm
Resolução 0,05nmLinearidade em Malha Fechada 0,03%
Rigidez 45 N/µmCapacidade de Carga 100N(Compressão) e 20N(Extensão)
Carga Máxima 10kgCarga Lateral Máxima 2kg
Inclinação da extremidade ±5µradCapacitância Elétrica 1,5µF±20%
Coeficiente dinâmico de corrente operacional 12µA/(Hz µm)Frequência de ressonância sem carga 5,6kHz±20%
Frequência de ressonância com carga de 200 g 2,5kHz±20%Temperatura de operação −20C a +80C
O P-753.1CD é um atuador monolítico de cerâmica em multicamadas. Por ser um
atuador da categoria PICMA [16], o mesmo é feito de um material cerâmico no
qual as propriedades físicas tais como a rigidez, a capacitância, o deslocamento,
a sensibilidade à temperatura e a vida útil são combinadas.
26
As camadas de cerâmica mencionadas anteriormente são do tipo 252 do fabri-
cante (Physik Instrumente) a qual tem suas características físicas muito próximas
as do tipo 255, o que consiste de um material PZT modificado com elevada tem-
peratura de Curie, alta permissividade, elevado fator de acoplamento e alta
carga constante. Esse material foi otimizado para aplicações dinâmicas em
temperatura ambiente elevada. Suas constantes físicas são evidenciadas na
Tabela 4.2.
Tabela 4.2: Especificações do Material do P-735.1CD.Propriedades Físicas e Dielétricas Parâmetros
Densidade 7,80(g/cm3)Temperatura de Curie 350(C)
Permissividade na direção da polarização (ǫT33/ǫ0) 1750Permissividade perpendicular à polarização (ǫ/ǫ) 1650
Fator de Perdas Dielétricas (tanδ) 20Fator de Acoplamento (kp) 0,62Fator de Acoplamento (kt) 0,47Fator de Acoplamento (k31) 0,35Fator de Acoplamento (k33) 0,69Fator de Acoplamento (k15) 0,66
Constante Piezoelétrica de Carga (d31) −180(10−12 ·C/N)Constante Piezoelétrica de Carga (d33) 400(10−12 ·C/N)Constante Piezoelétrica de Carga (d15) 550(10−12 ·C/N)Constante Piezoelétrica de Tensão (g31) −11,3(10−3 ·V ·m/N)Constante Piezoelétrica de Tensão (g33) 25(10−3 ·V ·m/N)
Constante de Frequência (Np) 2000(Hz ·m)Constante de Frequência(N1) 1420(Hz ·m)Constante de Frequência (Nt) 2000(Hz ·m)
Constante Elástica (SE11) 16,1(10−12 ·m2/N)
Constante Elástica (SE33) 20,7(10−12 ·m2/N)
Fator Mecânico de Qualidade (Qm) 80Coeficiente de Temperatura de ǫ33 4( 10−3/K)Constante Dielétrica Relativa (C) −1,0% por década
Fator de Acoplamento (CK) −1,0% por década
4.1.2 Amplificador E-665.CR
O E-665.CR é um equipamento de bancada para a operação de transdutores
piezoelétricos de baixa tensão (em inglês: low voltage lead zirconate titanate
LVPZT) que é apresentado na Figura 4.3. Esse equipamento possui interfaces
RS-232 e analógica para a conexão com o microcomputador, um amplificador
27
de potência, um condicionador de sinais para um sensor capacitivo de deslo-
camento, um sistema de leiturados sinais de entrada (tensão) e saída (posição),
um filtro notch e um servo controlador proporcional-integral.
Figura 4.3: Amplificador de potência E-665.CR. Figura extraída de [16].
O amplificador integrado pode fornecer pico de corrente de 360 mA e corrente
média de 120 mA por uma faixa de tensão de -20 a 120 V. O sistema conectado a
esse amplificador pode operar tanto em malha aberta quanto em malha fechada.
Visto que os transdutores LVPZTs têm capacitâncias grandes, o acionador é pro-
jetado adequadamente para suprir os elevados picos de corrente para aplicações
dinâmicas.
O modo de operação escolhido para este trabalho é o analógico. Nesse tipo de
utilização do equipamento, a tensão de saída é controlada pela tensão aplicada
na entrada do dispositivo somada com à tensão DC de offset. Tal offset é
ajustado pelo potenciômetro no painel frontal do amplificador. A faixa de
tensão do sinal de comando do PZT é estritamente positiva, variando de 0 a
100 V. Contudo, a excursão total do amplificador é de -2 a 12 V com um fator
de amplificação do sinal de entrada do amplificador de potência de 10 vezes.
Assim, durante o projeto desenvolvido, as entradas no amplificador do sistema
de nanoposicionamento são saturadas de 0 a 10 V a fim de não danificar o
equipamento.
O diagrama de blocos referente à dinâmica eletrônica embarcada no E-665.CR
é observada na Figura 4.4.
28
Figura 4.4: Diagrama de blocos do amplificador E-665.CR [16].
29
Enquanto que sua resposta frequencial é apresentada na Figura 4.5, para difer-
entes valores de capacitâncias acopladas ao amplificador.
Figura 4.5: Resposta frequencial do amplificador E-665.CR para diferentes valoresde capacitâncias acopladas. Figura extraída e modificada de [16].
4.1.3 Sistema de Aquisição de Dados Quanser Q8
O amplificador E-665.CR é conectado ao sistema de aquisição de dados do
fabricante Quanser modelo Q8 (Figura 4.6). Esse é responsável por realizar a
interface entre o microcomputador, os sinais de tensão analógicos enviados ao
transdutor piezoelétrico e os sinais de tensão recebidos do sensor capacitivo.
Figura 4.6: Placa de conversão Analógica/Digital Q8. Figura extraída dehttp://www.quanser.com.
30
As principais características do conversor A/D que são pertinentes de serem
abordadas nesse trabalho são apresentadas na Tabela 4.3.
Tabela 4.3: Especificações do Conversor Analógico/Digital Quanser Q8.Características Valores
Entradas Analógicas 8Resolução da entrada analógica 14 bits
Faixa de Tensão das entradas analógicas ±10 VMáxima Frequência de Amostragem das entradas analógicas 192 kHz
Resolução da entrada analógica em tensão 2,4 mVTempo de Conversão da entrada analógica 5,2µs
Saídas Analógicas 8Resolução da saída analógica 12 bits
Faixa de Tensão das saídas analógicas ±10VSlew Rate 2,5V/µs
Tempo de Conversão da saída analógica 0,62µs
A operação do Q8 em tempo real faz uso de uma máquina virtual. O sistema de
controle é descrito pelo usuário por meio de um diagrama de blocos no Simulink.
Os arquivos gerados no The MathWorks Inc. são compilados via linguagem
de programação C e depois carregados na máquina virtual desenvolvida pela
Quanser. Uma vez compilado, o algoritmo de controle pode ser inicializado na
máquina virtual e executado normalmente por intermédio do Simulink.
4.1.4 Instrumentos de Controle e Comunicação
A conexão entre o conversor A/D e o amplificador E-665.CR é feita por meio de
dois cabos coaxiais nos quais em uma extremidade existe um conector BNC e
na outra um conector RCA. A extremidade referente ao conector BNC é ligada
ao amplificador E-665.CR, ao passo que o conector RCA é conectado à placa
Q8. Observou-se que o ruído presente nesse sistema pode ser aumentado ou
reduzido de acordo com a qualidade do cabo que é utilizado nessa conexão.
Os algoritmos de controle, implementados por meio do Simulink, são realizados
num microcomputador com processador Intel Core 2 Quad, com 2,99 GB de
memória RAM e espaço físico em disco rígido de 300 GB. O sistema operacional
utilizado é o Windows XP.
31
4.2 Digitalização
A fim de abordar os elementos básicos referentes à digitalização, nesta seção
é tratada de maneira objetiva a maneira como a amostragem e a quantização
são realizadas no sistema de nanoposicionamento. A amostragem é sempre
realizada em intervalos de 50µ s. Mesmo estando abaixo da capacidade máxima
do conversor, a frequência de amostragem de 20 kHz se mostrou compatível
tanto com os atrasos de processamento do Matlab/Simulink, no gerenciamento
das suas filas de dados quanto com as constantes de tempo associadas à dinâmica
do nanoposicionador identificada no Capítulo 5.
Já no que diz respeito à quantização, as operações são sempre realizadas com
tensões de polaridade positiva. No entanto, o conversor A/D está configurado
para a excursão máxima do sinal de tensão de ±10V, o que ao se associar com
os 14 bits de resolução fornece o resultado de que cada bit pode representar
uma faixa de 1,2 mV. Contudo, como é evidenciado na Figura 4.7, os dois bits
menos significativos estão sempre flutuando. Assim, a resolução percebida
pelo usuário do conversor decai pela metade, sendo essa a referenciada pelo
fabricante de 2,4 mV.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.026
0.027
0.028
0.029
0.03
0.031
0.032
Ten
são
em v
olts
aqu
isita
da p
ela
Q8
Tempo em segundos
Figura 4.7: Ruído do sistema. Leitura da saída na ausência de um sinal de entrada.
O valor pico a pico do ruído é 2,4 mV, já o valor RMS do mesmo se encontra
na faixa de 0,85 mV. Dessa maneira, para os experimentos realizados neste
estudo, essa faixa de ruído não deteriora significativamente os resultados a
serem alcançados, contudo não pode ser desprezada.
32
4.3 Calibração do Sensor de Posição
Nesse trabalho, tentou-se realizar um procedimento de calibração. Porém, uma
vez que o amplificador havia sido calibrado para outro atuador piezoelétrico e
não havia acesso a equipamentos de precisão necessários à calibração da saída
de volts para microns, não foi possível se realizadar a calibração. Contudo,
segundo o fabricante, é garantido que a tensão lida pelo amplificador é linear-
mente relacionada com o deslocamento do sensor.
Assim, tomando como hipótese a garantia dada pelo fabricante, os procedimen-
tos experimentais realizados nesse trabalho tratam a saída do sistema como uma
tensão proporcional ao deslocamento a menos de um ganho. Para a análise do
controle baseada em variações, as influências desse coeficiente linear não têm
impacto sobre o desempenho dos controladores que são implementados.
33
Capítulo 5
Modelagem do Sistema de
Posicionamento
Neste capítulo é descrito o procedimento para determinar um modelo dinâmico
do sistema de nanoposicionamento. A estratégia adotada é a de estruturar
separadamente os principais fenômenos lineares e não-lineares envolvidos,
estimando os parâmetros referentes a cada parte de maneira independente. O
modelo proposto é representado no diagrama de blocos na Figura 5.1, conforme
a dissertação [32].
Figura 5.1: Diagrama de blocos referente à modelagem do sistema.
Pode-se observar na Figura 5.1 que a histerese mencionada no Capítulo 1 é in-
cluída no modelo como um distúrbio de entrada dependente do sinal de entrada
aplicado. A dinâmica linear tratada será identificada por meio de um método de
estimação. Já o fenômeno de creep mencionado no Capítulo 1 é incluído como
um distúrbio aditivo da saída do sistema. Nas seções seguintes são descritos os
procedimentos empregados na identificação dos blocos do modelo.
34
5.1 Procedimentos de Estimação
O software utilizado na modelagem do sistema é o Matlab. Mais especifica-
mente dois procedimentos são empregados na estimação dos parâmetros. O
System Identification Toolbox é utilizado no tratamento dos dados experimen-
tais a fim de determinar os parâmetros que por simulação tentam aproximar ao
máximo a resposta do modelo simulado com a resposta da planta. Por meio do
uso da ferramenta de estimação de parâmetros do Simulink, é realizada a busca
dos valores que modelam os fenômenos não-lineares associados.
Tanto o System Identification Toolbox quanto a estimação de parâmetros do
Simulink se baseiam no erro entre os dados que são simulados a partir da
entrada dada e a saída que é fornecida para os seus processamentos. A dife-
rença básica é que o segundo, no ambiente do Simulink se utiliza de rotinas
tradicionais de busca por métodos tradicionais tais quais: mínimos quadrados
não-lineares, simplex, dentre outros, podendo ser utilizado para a busca de
qualquer parâmetro. Já o primeiro é orientado à busca por modelos, ou seja é
voltado ao procedimento de identificação. Assim, informações sobre a ordem,
a presença de atraso e o objetivo do modelo são ponderados na estimação. O
objetivo do modelo deve ser entendido como a meta de o mesmo ser melhor
para prever o comportamento futuro ou para aproximar ao máximo as respostas
da simulação e da planta.
5.2 Identificação dos blocos do Modelo do Sistema
5.2.1 Bloco Linear do Modelo
Identificação pela resposta ao degrau
A parte linear do modelo do sistema de posicionamento é estimada pela resposta
ao degrau do sistema e pelo programa System Identification Toolbox do Matlab.
Na realidade, utiliza-se um trem de pulsos do sistema, por meio dos métodos
clássicos de análise dos mesmos e a ordem do modelo é estimada. O sinal
empregado na estimação se justifica por ter todas as componentes de frequência,
o que é capaz de excitar todos os modos naturais presentes no sistema. Ao
se observar a resposta do sistema ao trem de degraus, é possível notar que
aproxima-se satisfatoriamente da resposta de um sistema de primeira ordem,
pois não apresenta sobrepasso, oscilações ou algum ponto de inflexão durante o
transiente, o que é apresentado na figura 5.4. Em conjunção ao que foi exposto,
35
ainda observa-se que durante um período de 0,2 ms o sistema não responde à
entrada, sendo esse fenômeno caracterizado como um atraso.
Em uma determinada janela desse Toolbox, apresentada na Figura 5.2, o usuário
é capaz de repassar os dados referentes aos números de pólos e zeros, bem como
se há atraso ou não. Ainda à respeito dos pólos é possível dizer se os mesmos
são sub-amortecidos ou não. A opção de estimar a covariância entre a resposta
simulada obtida e a saída fornecida faz menção ao fato de que a incerteza do
modelo estimado também será computada e a sua região de confiança poderá
ser exibida pelo usuário.
Figura 5.2: Janela do System Identification Toolbox.
Os dados que formam o conjunto de amostras a ser utilizado na identificação
são as saídas bem como as referências de trens de pulsos com as seguintes
características: 0,2 V, 0,3 V e 0,6 V de amplitude com 4 ms de período e 0,2 V, 0,3 V
e 0,6 V com 8 ms de período, optou-se por utilizar tais amplitudes consideradas
36
pequenas a fim de que a histerese não tenha efeitos consideráveis na estimação
do bloco linear. Ao se observar o comportamento das respostas do sistema
aos trens de pulsos aplicados, pode-se inferir que o comportamento da planta
se assemelha ao de um modelo de primeira ordem com atraso. A partir dessa
inferência, a janela de identificação com base no modelo de processo, Figura 5.2,
é configurada.
Figura 5.3: Tela inicial de estimação, carregamento dos iddatas e identificação domodelo.
O modelo é estimado com base na minimização da discrepância entre a reposta
experimental passada ao Toolbox e a resposta simulada que o algoritmo realiza
por meio do teste de valores para os parâmetros já mencionados. Os dados são
transmitidos para o System Identification Toolbox por meio de uma estrutura
que organiza os arrays de valores de tensão na forma de iddata. Assim, ao se
iniciar a identificação, essas iddatas são os valores experimentais das respostas
da planta bem como as referências aplicadas na mesma o que é observado na
Figura 5.3. Tal procedimento consiste de aproximações para os valores dos
parâmetros do ganho da planta, de seu pólo e do valor do atraso, mediante a
informação fornecida de que o processo a ser identificado é de primeira ordem
e com atraso. Nesse sentido, a estimativa para a função de transferência que
melhor representa a planta é:
P(s) = e−0,0002 s 1172s+3400
. (5.1)
37
Desse modo é cabível retratar o percentual de acerto ([saída-simulação]/saída)
desse modelo na reprodução da resposta do sistema a cada referência que foi
citada no parágrafo anterior, essa informação é fornecida na Tabela 5.1. A
maneira como os gráficos da resposta simulada versus resposta experimental
são apresentados pode ser ilustrada na Figura 5.4, tendo em mente que esse é o
exemplo para a referência de 0,2 V de amplitude e período de 4 ms.
Tabela 5.1: Acerto percentual do modelo para as diversas referências.Acerto Percentual Referência
93,55% Trem de Pulsos 0,2V com 4ms93,43% Trem de Pulsos 0,3V com 4ms92,10% Trem de Pulsos 0,6V com 4ms93,62% Trem de Pulsos 0,2V com 8ms94,93% Trem de Pulsos 0,3V com 8ms94,52% Trem de Pulsos 0,6V com 8ms
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
Tempo em segundos
Ten
são
[V]
Resposta ExperimentalResposta Simulada
Figura 5.4: Gráfico de respostas simulada e medida.
Resposta Frequencial
De posse do modelo estimado para a dinâmica linear da planta, o passo seguinte
foi de analisar a sua resposta em frequência. Ao se comparar a resposta em fre-
quência experimental estimada usando o chirp de acordo com [32] com a do
bloco linear identificado, é possível comprovar a qualidade do modelo obtido
38
em termos de resposta em frequência. Ao fim desse da identificação do bloco lin-
ear, as duas respostas frequenciais são comparadas, tanto a identificada quanto
a da planta.
Para obter a resposta em frequência experimentalmente, foi aplicado na entrada
do sistema um sinal rico em variadas frequências, do tipo chirp [33, pp. 478–482],
e de baixa amplitude a fim de que se possa desprezar os efeitos da histerese. Por
meio do processamento das transformadas discretas de Fourier da referência e
de saída é possível que a resposta em frequência seja obtida [32]. A função de
transferência é:
G( jω) =y( jω)u( jω)
. (5.2)
As faixas de frequência de interesse desse procedimento são realizadas por
etapas, considerando diferentes janelas de frequências para serem analisadas,
a fim de que não ocorram problemas com o gerenciamento de dados em fila
(perda de dados) na máquina virtual da Quanser utilizada pelo Matlab. Em
suma, as janelas consideradas foram:
• 1-10 Hz;
• 10-100 Hz;
• 100-1000 Hz;
• 1000-3000 Hz.
Sabendo que a frequência de amostragem do experimento é de 20 kHz todas
as janelas, a partir do módulo e do ângulo de fase fornecidos pelos dados
da transformada de Fourier é possível reconstruir a resposta em frequência
da planta. Em frequências mais elevadas, o resultado se torna mais ruidoso
em função da deterioração da relação sinal-ruído. A amplitude da referência
diminui com o aumento da frequência por questões associadas à saturações
dos mecanismos de acionamento, tanto da placa Q8 quanto do amplificador
E-665.CR, fazendo com que o efeito do ruído se torne mais evidente.
É observado que nessa parte do estudo do sistema de posicionamento as con-
figurações eletrônicas do amplificador E-665.CR são vitais para a coerência dos
resultados. O fator mais importante dessas configurações para tais experimen-
tos é a configuração da banda passante do sensor que é ajustada a partir do
amplificador. Se essa banda estiver configurada para 1 kHz os resultados po-
dem chegar a induzir no sistema uma resposta de fase não-mínima [32], exposto
39
na Figura 5.5 e ainda impossibilitar o acesso à informações sobre a dinâmica
do sistema acima dessa frequência (Figura 5.6). Cabe mencionar que todos os
experimentos desse trabalho são realizados para a frequência de corte da banda
passante do sensor em 3 kHz, exceto aqueles que forem explicitados no texto.
Figura 5.5: Experimento com frequência de corte do sensor capacitivo em 1 kHz.
Resposta do nanoposicionador a um degrau negativo de 1 V de amplitude apli-
cado em 1 segundo.
101
102
103
−80
−60
−40
−20
0
Frequência [Hz]
Mód
ulo
em d
B
101
102
103
−600
−400
−200
0
Frequência [Hz]
Fas
e em
Gra
us
Figura 5.6: Resposta em frequência medida para a frequência de corte de 1 kHz
do sensor capacitivo. Observa-se o pólo do sistema em 541 Hz.
40
O atuador piezoelétrico utilizado em [32], apresenta três fundamentais diferen-
ças em relação ao que compõe o sistema de nanoposicionamento deste estudo.
A faixa de excursão do atuador P-753.1CD, utilizado no presente trabalho, é
cinco vezes menor do que a do P-620.ZCD. Além disso, a resposta dinâmica do
P-753.1CD é mais rápida e não apresenta o fenômeno de fase não-mínima. A
explicação comprovada nesse estudo para a dinâmica de fase não-mínima en-
contrada no processo de identificação em [32] é a utilização da banda passante
do sensor capacitivo em 1 kHz.
Ao se utilizar a frequência de corte de 3 kHz para a banda passante do sensor, os
efeitos de fase não-mínima desaparecem e a resposta frequencial para valores
acima de 1 kHz se torna clara (em contraposição ao ruído no outro caso). Tais
fatos podem ser observados nas Figuras 5.7 e 5.8.
Figura 5.7: Experimento com frequência de corte do sensor capacitivo em 3 kHz.Resposta ao degrau negativo de 1 V de amplitude aplicado em 1 segundo.
Nesse sentido, é abordada a comparação entre as respostas frequenciais do
modelo e do experimento descrito anteriormente. A partir da Figura 5.8, é
possível evidenciar a proximidade entre as duas respostas o que deve se tornar
ainda mais evidente conforme são modeladas as não-linearidades associadas,
tais como histerese e creep.
41
101
102
103
−400
−300
−200
−100
0
Frequência [Hz]
Fas
e em
Gra
us
101
102
103
−40
−30
−20
−10
0
Frequência [Hz]
Mód
ulo
em d
B
Resposta Frequencial ExperimentalResposta Frequencial Simulada
Figura 5.8: Resposta frequencial: em vermelho a resposta frequencial simulada;em azul a resposta frequencial experimental.
5.2.2 Histerese
Para simplificar essa análise as notações são apresentadas no diagrama de blocos
da Figura 5.9, em que u é a tensão de entrada na planta, u é a entrada adicionada
ao efeito da histerese, y é a saída de tensão da planta e u é a saída compensada, ou
seja multiplicada pelo inverso da dinâmica linear da planta. Esse diagrama de
blocos é basicamente composto pelo elemento de modelagem associado à não-
linearidade de histerese, podendo ser desprezado o creep mediante a aplicação
de sinais periódicos rápidos [2].
P(s)
P-1(s)
u
û
yu_
Histerese
+
Figura 5.9: Diagrama de blocos base para modelagem da histerese.
42
O modelo da parte linear tratado no texto é:
P(s) = e−0,0002·s 1172s+3400
. (5.3)
Nesse caso, como os experimentos são realizados em malha aberta, u é igual a
referência e o sinal u só difere do sinal de referência pela dinâmica relativa à
histerese. Esse fato é considerado e trabalhado nas análises posteriores.
Neste capítulo apresentam-se as figuras entrada × saída (u× y) da planta em
malha aberta inicialmente para deixar as análises posteriores mais claras. O
modelo de histerese utilizado nesse trabalho (Bouc Wen) tem a sintonia de
seus parâmetros baseada em características das curvas de entrada × saída. A
inclinação e a deformação nas extremidades são exemplos dos padrões que
determinam as relações entre os parâmetros. Por essa razão, de maneira prelim-
inar são realizados experimentos que apresentam essas curvas para o sistema
experimental tratado.
Primeiramente, para um frequência fixa em 10 Hz varia-se a amplitude do sinal
de referência de 0,1 a 2 V e observam-se as saídas para essa variação. A poste-
riori, mantem-se uma amplitude fixa em 0,5 V e a frequência é modificada de
5 a 200 Hz. Segundo a notação do diagrama de blocos já apresentado o grá-
fico corresponde a u× y. Os respectivos resultados podem ser observados nas
Figuras 5.10 e 5.11.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Tensão da Entrada [V]
Ten
são
de S
aída
[V]
0,1 V de Amplitude0,3 V de Amplitude0,5 V de Amplitude1,0 V de Amplitude1,5 V de Amplitude2,0 V de Amplitude
Figura 5.10: Gráfico entrada(u) × saída(y) para variação de amplitude com fre-quência de 10 Hz.
43
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Tensão da Entrada [V]
Ten
são
de S
aída
[V]
Variando−se a Frequência do sinal de referência com 0.5 V
05 Hz de Frequência10 Hz de Frequência20 Hz de Frequência50 Hz de Frequência100 Hz de Frequência200 Hz de Frequência
Figura 5.11: Gráfico entrada(u) × saída(y) para variação de frequência com am-plitude de 0,5 V.
Sendo o efeito do creep desprezível para referências com sinais periódicos rápi-
dos, ao se considerar que a dinâmica linear da planta já foi modelada, é possível
refinar os resultados apresentados a priori a fim de que seja considerado um grá-
fico da estimativa u× u. Assim, o efeito da histerese é evidenciado de maneira
mais clara, excetuando-se outros efeitos presentes na dinâmica do sistema.
Vale ressaltar que duas métricas existentes para modelar o efeito da histerese
sobre um sistema se baseiam nos gráficos de u× y que estão sendo apresentados.
Uma métrica consiste do cálculo do perímetro da elipse gerada no gráfico. Outra
métrica se baseia na área dessa elipse. A partir desse raciocínio é possível
constatar a importância da figura u× y para a análise do fenômeno de histerese.
Para realizar essa estimativa de u utizam-se dois métodos, o primeiro consiste
apenas da compensação do atraso de fase e da distorção do ganho extraído
do diagrama de Bode da parte linear do modelo pela equação (5.4). Visto
que a saída é compensada offline é possível que a mesma seja adiantada e
dividida pelo ganho referente a frequência fundamental que compõe a mesma.
O resultado gerado por esse procedimento é evidenciado nas Figuras 5.12 e 5.13
que seguem:
u( jω) = P−1( jω) y( jω) . (5.4)
44
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
1
2
3
4
5
6
Tensão da Entrada [V]
Ten
são
de S
aída
Com
pens
ada
pelo
Bod
e [V
]
0,1 V de Amplitude0,3 V de Amplitude0,5 V de Amplitude1,0 V de Amplitude1,5 V de Amplitude2,0 V de Amplitude
Figura 5.12: Gráfico entrada(u) × saída compensada por Bode para a variação deamplitude(u).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Tensão da Entrada [V]
Ten
são
de S
aída
Com
pens
ada
pelo
Bod
e [V
]
05 Hz de Frequência10 Hz de Frequência20 Hz de Frequência50 Hz de Frequência100 Hz de Frequência200 Hz de Frequência
Figura 5.13: Gráfico entrada(u) × saída compensada por Bode para a variação defrequência(u).
45
Outro caminho para se estimar u foi a implementação de um método iterativo
baseado na aproximação de Tustin para derivadas e integrais. Essa abordagem
foi considerada a fim de explorar uma alternativa ao procedimento adotado
em [32]. Contudo o ganho com a sua utilização será avaliado a posteriori.
Considera-se a função de transferência e a aproximação de Tustin (trapezoidal)
com os seguintes valores para os parâmetros:
h = 5 ·10−5 s , a = 1172 , b = 3400rad/s .
Ao se passar (5.3) para o tempo discreto pela aproximação de Tustin obtém-se:
u(z)y(z)= z4 ·
2·z−2+h·z·b+h·bh·z+h
a, (5.5)
Por conseguinte, o método se baseia em isolar o u(z) atual em função de y(z) e
dos u(z′) anteriores, o que é feito nas equações:
u(z)y(z)=
z4
a ·h·2 · (z−1)+b ·h · (z+1)
z+1, (5.6)
u(z) · (1+ z−1) = (y(z) ·z4
a ·h) · ((2+b ·h)+ (b ·h−2) · z−1) . (5.7)
Sendo a recursão do algoritmo de estimação de u(k ·h) dada pela equação:
u(k ·h) = y(k ·h+4 ·h) ·2+b ·h
a ·h+ y(k ·h+3 ·h) ·
b ·h−2a ·h
− u(k ·h−h) . (5.8)
Uma vez implementada a iteração não-causal acima, possível visto que é reali-
zada de maneira offline, os resultados obtidos são filtrados de maneira que não
se altera a fase dos dados. Essa diferença entre o número de amostras é oriunda
do fato de que esse filtro tem sua frequência de corte reduzida ao passo que se
aumenta o número de amostras utilizadas. Após essa etapa, o resultado do u
gerado é traçado contra a referência fornecendo os resultados apresentados nas
Figuras 5.14 e 5.15.
46
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Tensão da Entrada [V]
Ten
são
de S
aída
com
pens
ada
itera
tivam
ente
[V]
0,1 V de Amplitude0,3 V de Amplitude0,5 V de Amplitude1,0 V de Amplitude1,5 V de Amplitude2,0 V de Amplitude
Figura 5.14: Gráfico entrada(u) × saída compensada iterativamente para a vari-ação de amplitude(u).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Tensão da Entrada [V]
Ten
são
de S
aída
com
pens
ada
itera
tivam
ente
[V]
05 Hz de Frequência10 Hz de Frequência20 Hz de Frequência50 Hz de Frequência100 Hz de Frequência200 Hz de Frequência
Figura 5.15: Gráfico entrada(u) × saída compensada iterativamente para a vari-ação de frequência(u).
47
Observa-se que no gráfico da Figura 5.15 o sinal de saída se torna demasiada-
mente ruidoso. O fenômeno que gera esse efeito é a derivação de um sinal
com ruído, o que faz com que o mesmo se amplifique. Visto que o processo
de derivação se encontra inserido na recursão demonstrada previamente com o
método de Tustin. Assim, não se obtém vantagem por meio da utilização desse
procedimento iterativo e os resultados são melhores apenas compensando a
dinâmica linear pelos gráficos de Bode.
Após essa etapa inicial de determinação dos efeitos da histerese conforme mo-
delado no diagrama de blocos o passo seguinte consistirá da escolha de um mo-
delo matemático para a representar a histerese do atuador de maneira compacta
e fiel. Devido à simplicidade e facilidade de implementação computacional, o
modelo de Bouc Wen foi escolhido para representar o bloco de histerese [34].
O modelo de histerese de Bouc Wen faz uso de uma representação da his-
terese por meio de uma equação diferencial não-linear. Esse modelo teve
sua proposição feita por R. Bouc e foi generalizado por Y. K. Wen e outros
pesquisadores. Predominantemente, na literatura, a dinâmica desse modelo se
assemelha a de um sistema massa-mola com amortecedor viscoso, relacionando
a força restauradora com a deformação da mola [32].
A descrição da dinâmica desse modelo tem sua base na equação (5.9), que segue
abaixo.
x = f (x, x,z,u) = u−2ξωnx−αω2nx− (1−α)ω2
nz, (5.9)
determinando as constantes da equação (5.9) como:
x é a posição da massa;
z é a variável de histerese;
u é a força de excitação normalizada (N/kg);
ξ é a fator de amortecimento viscoso elástico linear (0 ≤ ξ ≤ 1);
α é a fator de rigidez (0 ≤ α ≤ 1);
ωn é a frequência natural do sistema (rad/s).
Sabendo que a variável de histerese z é proporcional à força restauradora que
atua no oscilador, a equação diferencial não-linear de primeira ordem (5.10) é
formada:
z = ax−βx|z|n−γ ˙|x||z|n−1z, (5.10)
48
em que as constantes são:
a é o parâmetro de controle da amplitude da histerese;
β,γ,n são parâmetros de controle da forma de curva da histerese (n ≥ 1).
A variável z de histerese mencionada é um deslocamento virtual que se rela-
ciona com o real no sentido em que considera a dependência linear da força
restauradora com a memória de todo o movimento em questão. Já os parâme-
tros α, n, β e γ, determinam as características da curva de histerese, desde o seu
escalamento até a sua forma. Na equação (5.10), ao se tomar n = 1, a dinâmica
de histerese é reescrita com uma equação diferencial ordinária cuja resolução é
dada por x e z. Desse modo, quando se considera n→ 1, os laços de histerese
convergem para a solução (5.11):
z =12
x[
sgn (z+ a)− sgn (z− a)]
. (5.11)
Em se tratando da modelagem de sistemas piezoatuados é comum a reformu-
lação da equação (5.10) para (5.14) ao se considerar que na literatura é usual
escrever a modelagem (5.12), como é referenciado em [33]. Contudo, para o
modelo identificado neste trabalho, a dinâmica do piezoatuador é de primeira
ordem. Neste caso, a equação válida para esse estudo é (5.13). As fórmulas
auxiliares são:
mx+bx+ kx+dx = k (ru− z)+ kx0, (5.12)
x+px+dx = K [ru(t− td)− z(t− td)]+Kx0, (5.13)
z = αu−βu|z|n−γ|u||z|n−1z. (5.14)
Tomando a variação de posição como função somente da entrada aplicada, os
parâmetros e as variáveis são definidas da maneira que segue:
m é a massa;
b é o coeficiente de amortecimento;
k é o coeficiente elástico;
x0 é o deslocamento inicial para u = 0;
dx é a perturbação na posição em função do acoplamento de uma carga externa
ao atuador;
r é a razão de deslocamento por tensão de entrada aplicada;
49
K é o ganho do sistema de primeira ordem identificado;
td é o atraso identificado para o sistema de nanoposicionamento;
p é a frequência do pólo da dinâmica de primeira ordem identificada;
α,β,γ e n são os parâmetros de forma e escala das curvas de histerese.
Ao se considerar n = 1 na equação (5.14), a fim de que z tenha uma solução da
forma expressa em (5.11), o modelo de Bouc Wen se reduz à equação diferencial
que trata o fenômeno de histerese como uma perturbação na entrada do sistema
dependente da dinâmica do sinal u, tanto para o sistema de primeira ordem
quanto para o de segunda ordem. O sistema experimental tem sua dinâmica de
histerese descrita pela equação que segue, conforme [34]:
vh(t) = αu(t)−βu(t)|vh(t)| −γ|u(t)|vh(t), (5.15)
na qual:
vh(t) é a tensão de histerese na entrada do sistema;
u(t) é a tensão de entrada do sistema;
α,β,γ são os parâmetros de forma e escala das curvas de histerese.
A fim de implementar computacionalmente o modelo de histerese de Bouc Wen,
o diagrama de blocos da Figura 5.16 é utilizado. No mesmo, evidencia-se que a
histerese é tratada como uma perturbação de entrada dependente da dinâmica
do sinal que é enviado ao piezoelétrico u(t).
Figura 5.16: Diagrama de blocos do modelo de histerese de Bouc Wen.
50
O algoritmo usado para a sintonia dos parâmetros de histerese é o de busca
pelo gradiente. Sabendo-se que o gradiente fornece a maior taxa de variação
de uma função, a sua direção orienta a busca pelo mínimo erro entre a saída ex-
perimental e a simulada. A mudança dos valores correntes dos parâmetros α, β
e γ, que é definida pelo Matlab como algoritmo do active-set, equivale a noção
de um algoritmo com um conjunto ativo o qual consiste de diferentes grupos
de valores para serem testados no lugar desses parâmetros. Esse algoritmo é
empregado em conjunção com o método de busca pelo gradiente a fim de que
sejam sintonizados os parâmetros citados acima.
Os parâmetros desse modelo são utilizados para aproximar os dados gerados
por esse das curvas de histerese do sistema a ser modelado. Por meio de
simulações que têm como base os sinais experimentais enviados ao atuador e
recebidos do mesmo, os parâmetros α,β e γ são ajustados e seus valores seguem
na Tabela 5.2.
Tabela 5.2: Parâmetros da histerese segundo o modelo de Bouc Wen.Parâmetros da histereseAlpha (α) −0,035Beta (β) 1,294V−1
Gama (γ) 0,000V−1
O procedimento de ajuste consiste da busca pelo menor erro de modelagem
entre o sinal de saída experimental e o simulado que é gerado pelos valores
atribuídos aos parâmetros. Assim, a Tabela 5.3 apresenta os resultados desse
procedimento.
Tabela 5.3: Erro de modelagem da histerese segundo o modelo de Bouc Wen.Referência Erro percentual máximo
0,1 V de Amplitude e 10 Hz de Frequência 8,5%0,3 V de Amplitude e 10 Hz de Frequência 4,7%0,5 V de Amplitude e 10 Hz de Frequência 5,4%1,0 V de Amplitude e 10 Hz de Frequência 9,3%
51
Os gráficos referentes aos resíduos do modelo em relação aos experimentos
retratados na Tabela 5.3 segue na Figura 5.18. Já as respostas experimental e
simulada utilizadas para a estimação dos parâmetros do modelo seguem na
figura 5.17. Ambos comprovando os valores inseridos na tabela que fazem
menção aos erros de modelagem da histerese por meio do uso do modelo de
Bouc Wen.
0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.90,1
Out
1
0 0.05 0.1 0.15 0.2
0,3
0 0.05 0.1 0.15 0.2
0,5
0 0.05 0.1 0.15 0.2
1
Tempo em segundos (sec)
Am
plitu
de [V
]
Figura 5.17: Resposta experimental, em azul, e simulada, em cinza, para asreferências de 0,1 V, 0,3 V, 0,5 V e 1,0 V.
0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.07
−0.06
−0.05
−0.04
−0.03
−0.02
−0.01
0
0.010,1
Out
1
0 0.05 0.1 0.15 0.2
0,3
0 0.05 0.1 0.15 0.2
0,5
0 0.05 0.1 0.15 0.2
1
Tempo em segundos (sec)
Err
o [V
]
Figura 5.18: Resíduos das referências de 0,1 V, 0,3 V, 0,5 V e 1,0 V.
52
5.2.3 Creep
O Creep é uma propriedade indesejável inerente aos atuadores piezoelétri-
cos. Esse fenômeno acarreta perdas significativas de precisão quando se deseja
manter a posição do atuador fixa por longos períodos de tempo. Em operações
lentas, SPMs têm sua imagem gerada significativamente distorcida em função
do efeito de creep [2].
Creep piezoelétrico está relacionado ao efeito de se aplicar tensão na piezo-
cerâmica que possui uma polarização remanescente. Se a tensão de operação
se eleva, a polarização remanescente do atuador piezoelétrico também é incre-
mentada. Tal fenômeno se manifesta macroscopicamente como um lento creep
após o término da mudança na tensão de operação. Essa dinâmica ocorre tanto
para tensões positivas quanto para negativas [2].
Modelo de Creep Não-Linear
Diversas abordagens foram propostas para lidar com esse tipo de fenômeno.
Uma dessas abordagens é baseada na descrição aproximada do efeito do creep
pela equação não-linear (5.16) como em [16], que segue abaixo.
y(t) = y0
1+γ log10
( tt0
)
; na qual t > t0. (5.16)
Em que t0 representa o tempo a partir do qual o efeito do creep se torna aparente,
y0 é o valor da distensão no nanoatuador no tempo t0 e γ é a taxa de creep a qual
se apresenta como uma constante sendo identificada observando-se a resposta
ao degrau do atuador.
Após executar as simulações com base nos dados experimentais, os parâmetros
do modelo do creep são estimados. O método de busca utilizado para esses val-
ores foi o Simplex com base na função de custo SAE (Soma de Erros Absolutos),
também baseado na minimização do resíduo entre o resultado experimental e
o simulado. Seus respectivos resultados seguem na Tabela 5.4.
Tabela 5.4: Parâmetros do creep segundo o modelo não-linear.Parâmetros do creep
Tempo inicial (t0) 1 msGama (γ) 0,015
53
No tocante a análise frequencial do modelo completo, segue na Figura 5.19 o
resultado experimental em contraposição ao obtido por simulação com o modelo
linear associado ao de histerese. Observa-se que, ao encontro do ocorrido
com a resposta ao degrau no domínio do tempo, no domínio da frequência os
resultados se apresentam de maneira consistente.
101
102
103
−40
−30
−20
−10
0
Frequência [Hz]
Mód
ulo
em d
B
Resposta Frequencial
101
102
103
−400
−300
−200
−100
0
Frequência [Hz]
Fas
e em
Gra
us
Resposta Frequencial ExperimentalResposta Frequencial do Modelo LinearResposta Frequencial do Modelo Linear associado ao modelo de Histerese de Bouc Wen
Figura 5.19: Respostas frequenciais: experimental, do modelo linear e do modelolinear com histerese.
O creep não foi considerado no levantamento dessa resposta frequencial pois
o mesmo pode ser desprezado para sinais de referência periódicos rápidos[16].
Esse modelo de creep não é considerado na obtenção da resposta frequencial
do sistema identificado completo. Isso ocorre porque para incluir o creep nesse
levantamento seria necessário reiniciar o contador de tempo associado à esse, a
cada transição na amplitude do sinal de entrada, o que torna o modelo inviável
para essa operação.
Por fim, segundo a análise temporal do modelo completo estimado, segue a
Figura 5.20 a resposta ao degrau experimental em contraposição à do modelo
estimado. A consistência do modelo completo é comprovada, não somente no
domínio frequência como na Figura 5.19 como também no domínio do tempo
com erros da ordem de 2,86% em relação ao valor da resposta ao degrau consi-
derada.
54
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Respostas ao degrau: Experimental e Simulada
Resposta ao Degrau ExperimentalResposta ao Degrau do Modelo Completo
Figura 5.20: Análise no domínio do tempo. Em azul a resposta simulada com omodelo completo e em cinza a resposta experimental medida.
A parte linear do modelo é utilizada no projeto dos controladores, contudo o
modelo com a histerese é utilizado em adição para gerar um erro de rastreamento
mais próximo do que ocorre na planta, podendo também o seu inverso ser
empregado na compensação do fenômeno de histerese. Assim, para efeitos de
comparação entre erros esperado e medido, os modelos linear e de histerese
são utilizados em conjunção. O modelo de Creep não é muito empregado visto
que os sinais de referência testados são periódicos rápidos, o que diminui a
relevância do seu efeito.
5.2.4 Atraso de fase
Durante o procedimento de identificação da parcela linear da dinâmica do
sistema de nanoposicionamento, é observado um atraso. Possíveis explicações
para esse atraso são levantadas, contudo nenhuma delas se apresenta de maneira
conclusiva. Cabe mencionar que dentre as causas mais prováveis de atraso são:
• Processamento eletrônico feito no amplificador E-665.CR ao receber o sinal
de tensão oriundo do sensor capacitivo;
• Conversão A/D realizada pela placa da Quanser Q8 ou ainda;
• O processamento eletrônico do amplificador e o tempo de resposta do cristal
piezoelétrico.
55
Em relação ao processamento eletrônico embarcado no amplificador de potência
E-665.CR, não há muito como evitar uma vez que o mesmo não fornece a opção
de bypass do seu polinômio linearizador de segunda ordem e do seu filtro
notch. Já no que diz respeito à suspeita de atraso gerado pelo conversor A/D
um teste simples foi realizado, e ao se visualizar apenas o seu sinal de tensão
gerado pelo próprio conversor no seu terminal de entrada, apenas um passo de
amostragem de atraso foi evidenciado. Descartando assim, a hipótese de que a
fonte de atraso estaria na placa Q8.
Por fim, na literatura, não é encontrado nenhuma menção de que haja atraso
em relação à dinâmica de contração e distensão do cristal piezoelétrico, ou
seja, pelo menos esse fenômeno não é considerado pelos autores em quaisquer
artigos sobre o assunto. Ao que tudo indica, o atraso encontrado de 0,2ms está
concentrado no caminho que o sinal de tensão percorre entre o nanoatuador e
a interface do amplificador de potência com o conversor A/D.
56
Capítulo 6
Controle do Nanoposicionador
Nesse capítulo são apresentados os projetos de quatro controladores distintos.
O controlador proporcional e integral (PI) utilizado pelo fabricante, o con-
trolador adaptativo proposto por [35], o projeto de controle linear com termo
estabilizante e o controlador adaptativo robusto. O PI tem um desempenho
aquém do desejado em altas frequências, o adaptativo apresenta um transiente
pior que o primeiro contudo em regime rastreia a referência com um menor
erro. Já o controlador linear supera o desempenho dos anteriores mas ainda
apresenta margem para melhorias. Nesse contexto, o projeto do controlador
adaptativo robusto é inserido resultando em rastreamentos de elevada precisão
para frequências altas de operação (100 e 200 Hz).
6.1 Controlador PI
A motivação para o uso do controlador com ações proporcional e integral é sua
facilidade de implementação e adequação ao controle de sistemas de primeira
ordem. A sua ação proporcional ao erro age no sentido de eliminar o erro
de rastreamento ao passo que a parcela integral, além de eliminar o erro em
regime, contribui para anular o efeito do drift. Provavelmente por estas razões,
o fabricante do sistema de nanoposicionamento (Physik Instrumente) inclui nos
módulos de acionamento do PZT um controlador PI.
No projeto do compensador proporcional integral não se considerou as não-
linearidades inerentes ao sistema de nanoposicionamento nem o seu atraso. A
dinâmica linear identificada para o sistema é dada pela função de transferência
G(s) = 1172s+3400 e sendo utilizada para o projeto do controlador. Uma vez que
os sinais de referência aplicados nos experimentos são periódicos e rápidos, o
efeito do Creep não influi de maneira considerável sobre a resposta do sistema e
57
pode ser compensado pela ação integral do controlador. Contudo sua histerese
e o atraso (de tempo) introduzem atrasos de fase nas respostas obtidas.
6.1.1 Lei de Controle
Para ajustar os parâmetros do controlador, o seu zero é posicionado de maneira
a ocupar a mesma frequência do pólo da função de transferência do nanoposi-
cionador. Assim, o único parâmetro do compensador a ser sintonizado é o
ganho proporcional. Esse valor é aproximado, primeiramente, de maneira a
fazer com que o sistema composto pela parte linear do modelo e pelo contro-
lador tenha uma margem de fase de 60, desprezando o atraso representado
na função de transferência (5.3). Após esse procedimento, um ajuste fino do
mesmo via simulação, em que se considera o atraso e a histerese, é realizado a
fim de melhorar o seu desempenho (diminuir o erro de rastreamento).
A lei de controle é apresentada da maneira que segue:
u = K ·s+3400
s. (6.1)
A priori, o valor encontrado para o ganho K definido na equação (6.1) é de 2,2.
No entanto, durante o processo de ajuste fino, por meio do uso de simulações,
esse ganho é reduzido até 1,4.
6.1.2 Resultados de Simulação
As simulações são realizadas para os sinais de referência de 10, 50, 100 e 200 Hz,
desprezando-se as ações de distúrbios. Os resultados são obtidos com o modelo
completo identificado no Capítulo 5. A seguir são apresentados os resultados da
ação de controle, do erro e da resposta medida em comparação com a referência.
58
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
2
4C
ontr
ole
[V]
Tempo [s]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.1
0
0.1
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Sinal de referênciaSaída Medida
Figura 6.1: Resultado de simulação do controlador PI para o sinal de referênciade 10 Hz.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
2
4
Con
trol
e [V
]
Tempo [s]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.5
0
0.5
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Sinal de referênciaSaída Medida
Figura 6.2: Resultado de simulação do controlador PI para o sinal de referênciade 50 Hz.
59
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
2
4C
ontr
ole
[V]
Tempo [s]
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−0.5
0
0.5
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Sinal de referênciaSaída Medida
Figura 6.3: Resultado de simulação do controlador PI para o sinal de referênciade 100 Hz.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
2
4
Con
trol
e [V
]
Tempo [s]
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−0.5
0
0.5
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Sinal de referênciaSaída Medida
Figura 6.4: Resultado de simulação do controlador PI para o sinal de referênciade 200 Hz.
60
6.1.3 Resultados Experimentais
Os resultados experimentais são organizados de acordo com as frequências das
referências que são aplicadas na planta. De acordo com a orientação seguida
pelos experimentos descritos na literatura como em [2] e [32] os ensaios são
realizados para referências de 10, 50, 100 e 200 Hz. A seguir são apresentados
os resultados da ação de controle, do erro e da resposta medida em comparação
com a referência.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
2
4
Con
trol
e [V
]
Tempo [s]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.1
0
0.1
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Saída MedidaSinal de referência
Figura 6.5: Resultado experimental do controlador PI para a referência de fre-quência de 10 Hz.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
2
4
Con
trol
e [V
]
Tempo [s]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.2
0
0.2
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Saída MedidaSinal de referência
Figura 6.6: Resultado experimental do controlador PI para a referência de fre-quência de 50 Hz.
61
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
2
4C
ontr
ole
[V]
Tempo [s]
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−0.2
0
0.2
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Saída MedidaSinal de referência
Figura 6.7: Resultado experimental do controlador PI para a referência de fre-quência de 100 Hz.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
2
4
Con
trol
e [V
]
Tempo [s]
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−0.5
0
0.5
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Saída MedidaSinal de referência
Figura 6.8: Resultado experimental do controlador PI para a referência de fre-quência de 200 Hz.
62
As Figuras de 6.5 a 6.8 representam os resultados experimentais para os sinais de
referência de 10, 50, 100 e 200 Hz. Tais resultados são obtidos ao se implementar
o controle PI na planta.
Conforme pode ser observado pelas Figuras 6.5, 6.6, 6.7 e 6.8, o desempenho
de rastreamento do controlador se deteriora de maneira considerável com o
aumento da frequência do sinal de referência. Isso ocorre porque quão mais
elevada é a frequência de operação, maior é o efeito de defasagem da saída em
função do atraso, uma vez que a histerese, por experimentos, não é dependente
da frequência.
Nesse sentido ocorre a necessidade de se investir em novas estratégias de con-
trole para que a operação em alta frequência seja viável. Nas seções que seguem,
essas novas abordagens são tratadas tais como: o termo de feedforward em
adição ao controle PI, a adaptação de parâmetros da planta e da ação de controle
e, por fim, a consideração de um termo robusto.
Comprova-se que os resultados de simulação vão ao encontro dos resultados
experimentais. Dessa maneira, é cabível comprovar a concordância do modelo
identificado no Capítulo 5 com o sistema experimental. A dinâmica modelada
é a que a planta apresentou durante os experimentos realizados nessa Seção 6.1.
6.2 Controlador Adaptativo por modelo de referência
baseado no erro de rastreamento
Nessa seção é avaliado o desempenho do controlador adaptativo para um sis-
tema de primeira ordem. A referência bibliográfica utilizada para a sua imple-
mentação é [35]. A estratégia se baseia no método de controle adaptativo por
modelo de referência (MRAC), levando em consideração a adaptação de dois
termos que descrevem a dinâmica da planta.
6.2.1 Lei de Controle
Supondo que os parâmetros que modelam a dinâmica de primeira ordem sejam
constantes e dados por:
y = −apy+bpu, (6.2)
63
em que y é a saída da planta, u é a sua entrada e ap e bp são parâmetros constantes
da mesma.
No problema de controle adaptativo assume-se que os termos ap e bp são des-
conhecidos. O desempenho desejado para o sistema adaptativo de controle é
especificado por um modelo de referência de primeira ordem:
ym = −amym+bmr(t), (6.3)
na qual am e bm são parâmetros constantes e r(t) é um sinal de referência limitado.
O parâmetro am deve ser positivo para que o modelo de referência seja estável.
Já o parâmetro bm pode ser tomado como positivo sem perda de generalidade.
O modelo de referência pode ser representado por:
ym =M(s)r, (6.4)
em que
M(s) =bm
s+ am, (6.5)
sendo s a variável de Laplace.
O objetivo da arquitetura de controle adaptativo é formular uma lei de controle
e uma lei de adaptação tais que o erro de rastreamento do modelo resultante
y(t)− ym convirja assintoticamente para zero. Nesse sentido, assume-se que o
sinal de b é conhecido. Essa hipótese é frequentemente satisfeita na prática.
Como primeiro passo no controle adaptativo, define-se a lei de controle da
maneira que segue:
u = ar(t)r+ ay(t)y, (6.6)
em que ar e ay são ganhos de realimentação variáveis. Com essa lei de controle,
a dinâmica resultante em malha fechada é:
y = −(ap− aybp)y+ (arbp)r(t). (6.7)
A razão da escolha da lei de controle expressa em (6.6) se torna evidente ao se
analisar a expressão (6.7), possibilitando casamento perfeito do modelo. De
64
fato, se os parâmetros da planta são conhecidos, os parâmetros ideais podem
ser calculados por:
a∗r =bm
bp, a∗y =
ap− am
bp, (6.8)
o que leva a seguinte dinâmica em malha fechada:
y = −amym+bmr, (6.9)
que é idêntica ao modelo de referência e leva o erro de rastreamento para zero.
Nesse caso, o primeiro termo da lei de controle apresentada em (6.6) resulta
no ganho DC certo, enquanto que o segundo termo atinge dois objetivos, o de
cancelar o termo (−apy) e impor o pólo desejado em −amy.
No problema de controle adaptativo adotado, como ap e bp são desconhecidos, o
controle atinge esses objetivos adaptando esses parâmetros. A lei de adaptação
vai continuamente buscar os ganhos certos, baseada no erro de rastreamento
y− ym, fazendo com que y tenda a ym assintoticamente.
Para escolher a lei de adaptação de ar e ay, define-se o erro de rastreamento
como:
e = y− ym. (6.10)
O erro de adaptação paramétrica é definido como a diferença entre os parâmetros
estimados pela lei de adaptação e os valores ideais dos mesmos.
a(t) =
ar
ay
=
ar− a∗ray− a∗y
. (6.11)
A dinâmica do erro de rastreamento pode ser obtida subtraindo-se a equação
(6.7) de (6.3),
e = −am(y− ym)+ (am− ap+bpay)+ (bpar−bm)r (6.12)
= −ame+bp(arr+ ayy),
que pode ser convenientemente representada por,
e =bp
s+ am(arr+ ayy) =
1a∗r
M(arr+ ayy). (6.13)
65
Tendo em mente a expressão (6.13) a lei de adaptação sugerida em [35] é:
˙ar = −sgn(bp)γer ; ˙ay = −sgn(bp)γey, (6.14)
em que γ é uma constante positiva representando o ganho de adaptação. De
(6.14) é possível observar que o termo sgn(bp) determina a direção de busca para
os parâmetros adequados do controlador.
Com as leis de controle e adaptação escolhidas anteriormente, a análise de
estabilidade e convergência usando a teoria de Lyapunov é feita tomando-se a
seguinte candidata a função potencial:
V(e,φ) =12
e2+1
2γ|bp|(a2
r + a2y). (6.15)
Derivando-se a função potencial acima, é facilmente demonstrado que:
V = −ame2. (6.16)
Assim, o sistema resultante é globalmente estável, os sinais e, ar e ay são limita-
dos. Então, a convergência global assintótica para o sinal e(t) é garantida pelo
Lema de Barbalat. Portanto a limitação de e, ar e ay implica a limitação de e e
assim, a continuidade uniforme de V.
Lema de Barbalat. Se uma função diferenciável f possui um limite finito a medida que
t→∞, e se ˙f é uniformemente contínua, então ˙f (t)→ 0 para t→∞.
Os parâmetros de sintonia do controlador usado nos experimentos e nas sim-
ulações são: am = 3400, bm = 3400 e γ = −5000 e foram escolhidos a fim de que
o modelo responda com a mesma velocidade que a identificação do Capítulo 5
apontou para a planta e para que o ganho DC seja unitário. Assim, o modelo
de referência age no sentido de fazer o sistema em malha fechada responder
o mais rápido possível segundo a identificação e sem distorcer a amplitude do
sinal de referência aplicado.
6.2.2 Resultados de Simulação
Mantendo a orientação seguida anteriormente de simulação com o modelo com-
pleto e desprezando os distúrbios, as simulações são feitas para as referências
de 10, 50, 100 e 200 Hz. A seguir são apresentados os resultados da ação de
controle, do erro e da resposta medida em comparação com a referência.
66
As Figuras de 6.9 a 6.12 evidenciam os resultados obtidos por simulação para
o controlador adaptativo baseado no erro de rastreamento. O desempenho
desse compensador é melhor do que o do PI por apresentar um menor erro de
rastreamento, principalmente para operações em frequências mais elevadas.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
2
4
Con
trol
e [V
]
Tempo [s]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.05
0
0.05
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.5
1
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Sinal de referênciaSaída Medida
Figura 6.9: Resultado de simulação do controlador adaptativo para o sinal dereferência de 10 Hz.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
2
4
Con
trol
e [V
]
Tempo [s]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.05
0
0.05
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
0.5
1
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Sinal de referênciaSaída Medida
Figura 6.10: Resultado de simulação do controlador adaptativo para o sinal dereferência de 50 Hz.
67
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
2
4C
ontr
ole
[V]
Tempo [s]
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−0.1
0
0.1
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
0.5
1
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Sinal de referênciaSaída Medida
Figura 6.11: Resultado de simulação do controlador adaptativo para o sinal dereferência de 100 Hz.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
2
4
Con
trol
e [V
]
Tempo [s]
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−0.2
0
0.2
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Sinal de referênciaSaída Medida
Figura 6.12: Resultado de simulação do controlador adaptativo para o sinal dereferência de 200 Hz.
68
6.2.3 Resultados Experimentais
Ao encontro da seção experimental do compensador PI, os resultados experi-
mentais são organizados de acordo com as frequências das referências que são
aplicadas na planta. Os ensaios são realizados para referências de 10, 50, 100 e
200 Hz, apresentados respectivamente nas Figuras 6.13, 6.14 , 6.15 e 6.16.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
2
4
Con
trol
e [V
]
Tempo [s]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.5
0
0.5
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Saída MedidaSinal de referência
Figura 6.13: Resultado experimental do controlador adaptativo para o sinal dereferência de 10 Hz.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
2
4
Con
trol
e [V
]
Tempo [s]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.5
0
0.5
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Saída MedidaSinal de referência
Figura 6.14: Resultado experimental do controlador adaptativo para o sinal dereferência de 50 Hz.
69
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
2
4C
ontr
ole
[V]
Tempo [s]
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−0.5
0
0.5
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Saída MedidaSinal de referência
Figura 6.15: Resultado experimental do controlador adaptativo para o sinal dereferência de 100 Hz.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
2
4
Con
trol
e [V
]
Tempo [s]
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−0.5
0
0.5
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Saída MedidaSinal de referência
Figura 6.16: Resultado experimental do controlador adaptativo para o sinal dereferência de 200 Hz.
70
Observa-se, em comparação com o compensador de ação proporcional e integral,
que o controlador adaptativo, para a frequência de 200 Hz apresenta 25% de
erro do sinal de referência, já o PI apresenta 62,5% de erro. Assim a melhora é
consistente, no entanto ainda não fornece o erro desejado de rastreamento. Por
essa razão, ainda é necessária uma investigação de novas técnicas de controle.
Os resultados de simulação e os resultados experimentais se apresentaram de
maneira consistente a menos do transiente, em função do nível que o sinal de
saída do sensor capacitivo possui. Dessa maneira, no início do rastreamento
ocorre a maior discrepância entre os resultados esperados entre a simulação e
o experimento. Ambos estão próximos mesmo ao se considerar as incertezas
inerentes à identificação.
6.3 Controlador PI com termo Feedforward
O projeto desse controlador é baseado na dinâmica linear de primeira ordem
que compõe parte da dinâmica da planta. Assim, o atraso de tempo, o creep
e a histerese não são considerados explicitamente. Contudo, o efeito do creep
é compensado pela ação integral proposta, bem como incertezas da planta e
distúrbios com variação lenta.
6.3.1 Lei de Controle
Considerando que há um distúrbio aditivo na entrada do sistema que se soma
a ação de controle, a equação que rege a dinâmica linear do sistema é:
y = −apy+Kp(u+d). (6.17)
O sinal de erro é definido:
e = y− yd. (6.18)
De (6.17), subtraindo-se a derivada da referência de ambos os termos da equação
e ainda somando-se u∗ a ação de controle e subtraindo esse fator da mesma, de
maneira a não alterá-la, tem-se:
y− yd = −yd− apy+Kp(u∗+u−u∗+d). (6.19)
71
Dessa maneira, definindo-se u = u−u∗ e K1 como o ganho proporcional ao erro
do controlador, a seguinte equação é escrita:
e = −KpK1e+Kp(u), (6.20)
mediante a atribuição da seguinte expressão para u∗:
u∗ = K−1p (apy+ yd)−d−K1e. (6.21)
A fim de tornar a lei de controle capaz de se sobrepor a distúrbios de variação
lenta e a incertezas na modelagem dos parâmetros da planta, um termo integral
é introduzido, modificando a lei de controle para:
u∗ = K−1p (apy+ yd)−d−K1e+Ki
∫
e dt. (6.22)
Tomando-se u+Ki
∫
e dt = u∗ a equação do erro é:
e = −KpK1e−Ki
Kp
∫
e dt. (6.23)
Pelo processo de modelagem descrito no Capítulo 5, os parâmetros da parcela
linear da dinâmica da planta são definidos como Kp = 1172 e ap = 3400. A partir
desses valores e dos ajustes dos ganhos proporcional e integral, os parâmetros
do controlador são sintonizados, a expressão da lei de controle após a sintonia
segue, considerando o distúrbio desprezível:
u =1
1172(3400y+ yd)−8e−10000
∫
e dt. (6.24)
6.3.2 Resultados de Simulação
As Figuras de 6.17 a 6.20 evidenciam os resultados obtidos por simulação para o
controlador de rastreamento de trajetórias. O desempenho desse compensador
é melhor do que o do PI por apresentar um menor erro de rastreamento, e
ainda supera, para operações em frequências, o desempenho do controlador
adaptativo.
72
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
2
4C
ontr
ole
[V]
Tempo [s]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.5
0
0.5
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Saída MedidaSinal de referência
Figura 6.17: Resultado de simulação obtido com o controlador baseado no errode rastreamento para a referência de 10 Hz.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
2
4
Con
trol
e [V
]
Tempo [s]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.5
0
0.5
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Saída MedidaSinal de referência
Figura 6.18: Resultado de simulação obtido com o controlador baseado no errode rastreamento para a referência de 50 Hz.
73
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
2
4C
ontr
ole
[V]
Tempo [s]
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−0.5
0
0.5
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Saída MedidaSinal de referência
Figura 6.19: Resultado de simulação obtido com o controlador baseado no errode rastreamento para a referência de 100 Hz.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
2
4
Con
trol
e [V
]
Tempo [s]
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−0.5
0
0.5
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Saída MedidaSinal de referência
Figura 6.20: Resultado de simulação obtido com o controlador baseado no errode rastreamento para a referência de 200 Hz.
74
6.3.3 Resultados Experimentais
Mantendo a mesma avaliação dos resultados anteriores, os resultados experi-
mentais são organizados de acordo com as frequências das referências que são
aplicadas na planta. Os ensaios são realizados para referências de 10, 50, 100 e
200 Hz. A seguir, nas Figuras 6.21, 6.22, 6.23 e 6.24, são apresentados os resul-
tados da ação de controle, do erro e da resposta medida em comparação com a
referência.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
2
4
Con
trol
e [V
]
Tempo [s]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.5
0
0.5
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Saída MedidaSinal de referência
Figura 6.21: Resultado experimental obtido com o controlador baseado no errode rastreamento para a referência de 10 Hz.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
2
4
Con
trol
e [V
]
Tempo [s]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.5
0
0.5
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Saída MedidaSinal de referência
Figura 6.22: Resultado experimental obtido com o controlador baseado no errode rastreamento para a referência de 50 Hz.
75
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
2
4C
ontr
ole
[V]
Tempo [s]
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−0.5
0
0.5
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Saída MedidaSinal de referência
Figura 6.23: Resultado experimental obtido com o controlador baseado no errode rastreamento para a referência de 100 Hz.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
2
4
Con
trol
e [V
]
Tempo [s]
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−0.5
0
0.5
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Saída MedidaSinal de referência
Figura 6.24: Resultado experimental obtido com o controlador baseado no errode rastreamento para a referência de 200 Hz.
76
Os resultados de simulação e experimentais se apresentam de maneira coer-
ente. Contudo, durante o transiente, a oscilação apresentada pelo sistema de
nanoposicionamento é mais acentuada do que a evidenciada na simulação. Isso
ocorre porque o modelo possui incertezas em relação à planta e ainda o exper-
imento ocorre na presença de ruídos. Desse modo, conforme as Seções 6.1.3 e
6.2.3, o modelo identificado apresenta previsões coerentes para os resultados
esperados por parte da planta, mas ainda sim, discrepâncias são encontradas.
6.4 Controlador Adaptativo Robusto (ARC)
A estratégia de controle utilizada nessa seção consiste da adaptação da lei de
controle de rastreamento de trajetórias, eliminando a sua ação integral e adicio-
nando um termo robusto dependente da adaptação. A ação integral é retirada da
lei de controle pois atrasa o procedimento de adaptação, e se torna redundante
uma vez que a adaptação possui um caráter integral. Já o termo robusto atua
principalmente durante o transiente, permitindo que o ganho proporcional ao
erro seja elevado até certo ponto que será discutido a posteriori sem causar o
efeito oscilatório na ação de controle [36].
6.4.1 Lei de Controle
Tendo como base a modificação da lei PI com termo Feedforward (6.22) com
a retirada de sua ação integral, a seguinte lei de controle é proposta para ser
adaptada:
u = −K1e+ apK−1p y+K−1
p yd−d, (6.25)
em que, K1 é o ganho proporcional do compensador, ap é a frequência em que
se encontra o pólo da dinâmica linear da planta, d é a variável que representa
o distúrbio, a ser tratada a posteriori, Kp é o ganho da planta e yd é a trajetória
desejada (de referência).
A partir da equação (6.25), é possível definir o vetor regressor ω e a partir dos
valores encontrados em (6.24) o valor inicial dos parâmetros a serem adaptados
também é escolhido. Dessa maneira, seguem tanto o vetor regressor quanto os
77
valores iniciais para a estimação dos parâmetros.
ω =
−y
−yd
1
, θ0 =
ap/Kp
1/Kp
0,3
. (6.26)
Observou-se experimentalmente que o sinal de tensão proporcional ao deslo-
camento apresentava um nível médio. Uma vez que esse nível médio pode
atrapalhar a adaptação, primeiramente, optou-se por considerá-lo no parâmetro
θ3 e deixá-lo fixo a fim de eliminá-lo. Logo, o parâmetro θ3 não é adaptado, no
primeiro conjunto de experimentos, já no segundo a sua adaptação é realizada.
Em adição a esse desenvolvimento, um termo robusto dependente do método
de adaptação adotado também é considerado. A lei de controle proposta até o
presente momento é definida por:
u = −K1e+ apK−1p y+K−1
p yd−d+vs,
que pode ser reorganizada como:
u = −θTω−K1e+vs+∆, (6.27)
em que vs é a parcela de controle robusto, ∆ é o limite superior dos efeitos
relacionados a distúrbios e θ é o vetor de parâmetros estimados. Os efeitos
de parâmetros desconhecidos e distúrbios limitados de variação lenta são com-
pensados pela estratégia de controle adaptativo robusto. Utiliza-se a projeção
descontínua baseada no método de estimação de parâmetros em tempo real,
como ferramenta para a realização da adaptação [37].
O projeto da lei de controle tratada em (6.27) difere do apresentado em [36]
basicamente por duas hipóteses. A primeira é de que em [36] a planta é mode-
lada por meio de uma dinâmica de grau relativo zero, o que é contradito pelo
estudo realizado no Capítulo 5. O segundo ponto de discordância entre os dois
projetos é que a ação de controle no artigo ZHONG e YAO [36] é integrada
antes de ser aplica à planta, o que não é feito no projeto de controle adaptativo
robusto aqui descrito. Dessa maneira, o vetor regressor do projeto dessa seção
é distinto do apresentado pela referência mencionada.
78
O algoritmo ARC utiliza estratégias robustas para atenuar os efeitos das in-
certezas do modelo no sentido de garantir um transitório suave e com erro
de rastreamento pequeno e acurácia no rastreamento final da trajetória. Já a
adaptação de parâmetros é usada para reduzir as incertezas do modelo [36].
A seguinte hipótese é assumida nesse desenvolvimento, a medida das in-
certezas paramétricas são conhecidas, o que é descrito matematicamente pela
condição expressa a seguir:
θ ∈Ωθ∆= θ : θmin < θ < θmax, (6.28)
∆ ∈Ω∆∆= ∆ : ‖∆‖ ≤ δ∆.
Em que:
θmin =
θ1min
θ2min
θ3min
, θmax =
θ1max
θ2max
θ3max
e δ∆ (6.29)
são todos conhecidos.
Se a hipótese acima é válida, a projeção descontínua baseada na técnica adap-
tativa robusta de controle pode ser aplicada para resolver o problema de ras-
treamento de trajetórias.
Considerando a estimativa deθ, ou seja θ, então o erro de estimação é θ= (θ−θ).
O parâmetro estimado θ é atualizado segundo a lei de adaptação paramétrica
que segue:˙θ = Projθ(Γτe), (6.30)
na qual Γ é a matriz positiva definida simétrica da taxa de adaptação (assumida
como diagonal nesse projeto) e τe é a função de adaptação.
79
O operador de projeção é definido da maneira descrita a seguir:
Projθ(•) =
Projθ1(•1)
Projθ2(•2)
Projθ3(•3)
Projθi(•i) =
0 , se
θi = θimax e •i > 0
ou
θi = θimin e •i < 0
•i , nos demais casos
. (6.31)
[37] Tal projeção possui as propriedades descritas:
(P1) θ ∈ Ωθ =
θ : θmin < θ < θmax
(P2) θT(Γ−1 Projθ(Γ•)−•) ≤ 0 , ∀• . (6.32)
A arquitetura do controlador adaptativo robusto é definida pelo seguinte de-
senvolvimento matemático com base no erro de rastreamento apresentado pelo
sistema. Definindo-se o erro como:
e = y− yd, (6.33)
a dinâmica do erro é dada por:
e = KpωTθ+Kpu+Kp∆. (6.34)
Reescrevendo a lei de controle em função do vetor regressor e dos parâmetros
estimados, a dinâmica do erro obtida é:
e = KpωTθ+Kp(−ωTθ−K1e+vs+∆), (6.35)
organizando a expressão anterior em termos do erro de estimação, tem-se:
e = −KpωTθ−KpK1e+Kpvs+Kp∆, (6.36)
Diante dessa lei de controle expressa em (6.27) duas condições devem ser obe-
decidas:
Condição (1): e [−ωT θ+vs] ≤ ǫ
Condição (2): evs ≤ 0,
80
na qual ǫ é igual ao parâmetro positivo que representa o nível de atenuação das
incertezas do modelo. Na condição 1 está presente o fato de que o parâmetro
vs deve ser sintetizado para dominar as incertezas do modelo, sejam essas de
origem paramétrica ou das não-linearidades. Esse parâmetro garante que o
nível de atenuação ǫ seja atingido. A condição 2 é imposta a fim de assegurar
que vs é um termo dissipativo e não interfere na convergência do processo de
adaptação paramétrica.
Diversas formas específicas de vs satisfazem as condições impostas. Dentre
essas, uma das formas mais simples do ponto de vista da implementação com-
putacional é a que segue em:
vs = −1
4ǫh2 e, (6.37)
em que:
h ≥ ‖θmax−θmin‖‖ω‖+δ. (6.38)
A arquitetura ARC desenvolvida até agora nesse estudo fornece em teoria o
seguinte desempenho:
Teorema 1: Se a função de adaptação em (6.30) é escolhida como:
τe = ωe, (6.39)
então a lei de adaptação de parâmetros garante as propriedades A e B.
A. Comumente, a magnitude do erro de rastreamento é limitada superiormente
por:
|e|2 ≤ exp(
−2KpK1 t)
2Kp|e(0)|2+ǫ
2KpK1
[
1−exp(
−2KpK1 t)]
. (6.40)
A taxa de convergência exponencial é (2KpK1) e o tamanho do erro de rastrea-
mento final (|e(∞)| ≤√
(ǫ/2KpK1)) pode ser livremente ajustado pelos parâmetros
do controlador ǫ e KpK1.
B. Se após um tempo finito, somente existir incertezas paramétricas (ex., ∆ =
0,∀t ≥ t0), então em adição aos resultados da propriedade A, o erro nulo de
rastreamento é alcançado (ex., e→ 0 ao passo que t→∞). A prova para essa
afirmação é observada em (6.43).
81
Prova: Adotando a função positiva definida Vs = (1/2)e2 e a diferenciando, ao
passo que se considera a condição 1, tem-se:
Vs = (1/2Kp)e2 (6.41)
Vs = (1/Kp)ee
= e[
−K1e+vs+∆−ωTθ
]
≤ −K1e2+ǫ
= −2KpK1Vs+ǫ.
Assim, sabendo que Vs ≤ exp−(2KpK1)tVs(0) + (ǫ/2KpK1)[1 − exp−(2KpK1)t] e
|e|2 = 2KpVs, ao se substituir uma equação na outra, chega-se a propriedade
A. Quando ∆ = 0 define-se outra função positiva definida Va, isto é:
Va = (1/2Kp)e2+ (1/2)θTΓ−1θ (6.42)
Va = ee+ θTΓ−1 ˙θ
= e[
−K1e+vs−ωTθ
]
+ θTΓ−1 ˙θ.
Notando a condição 2 e a função de adaptação de (6.39) tem-se:
Va = −K1e2+vse+ θT(Γ−1 ˙θ−ωe) (6.43)
≤ −K1e2+ θT(Γ−1 ˙θ−ωe)
= −K1e2+ θT(Γ−1Projθ(Γωe)−ωe)
≤ −K1e2
≤ 0,
o que leva ao rastreamento assintótico da propriedade B que é provado
aplicando-se o Lema de Barbalat [37]. Os parâmetros que são utilizados pelo
controlador adaptativo robusto são apresentados na Tabela 6.1 com a matriz de
ganhos de adaptação dada por:
Γ =
7 ·103
0,4
1 ·103
. (6.44)
82
Tabela 6.1: Tabela de parâmetros do controlador adaptativo robusto.Parâmetros Valores
K1 6,5h 5
θ0
[
2 3 ·10−3 0,3]T
θmin
[
0 0 −1]T
θmax
[
5 5 ·10−2 1]T
ǫ 8 ·106
δ 2
6.4.2 Resultados de Simulação
O diagrama de blocos desenvolvido do sistema para implementar o contro-
lador adaptativo robusto segue na Figura 6.25. Em que se encontram os blocos
de referência, um bloco de filtro para a mesma, o compensador e o modelo de
primeira ordem, considerado no desenvolvimento do ARC. O sinal de referên-
cia é obtido filtrando-se a trajetória desejada por um filtro de segunda ordem a
fim de se reduzir o erro de rastreamento. Os valores dos parâmetros desse filtro
são ζ = 1 e ωn = 100 e esse pode ser observado na Figura 6.26.
Figura 6.25: Diagrama de blocos do sistema de simulação do controlador adapta-tivo robusto.
Figura 6.26: Filtro de segunda ordem do sinal de referência.
Com respeito ao projeto do controlador, seu bloco pode ser expandido, possibil-
itando a apresentação de seus componentes principais. Dentre esses destacam-
83
se: em azul as projeções dos parâmetros estimados, em verde o cálculo do termo
robusto e em laranja o vetor regressor. O diagrama de blocos do controlador
adaptativo robusto segue na Figura 6.27.
Figura 6.27: Diagrama de blocos do controlador adaptativo robusto.
Em acordo com as apresentações anteriores, os resultados de simulação são
organizados de acordo com as frequências das referências que são aplicadas
no modelo. A seguir, nas Figuras 6.28, 6.30, 6.32 e 6.34, são apresentados os
resultados da ação de controle, do erro e da resposta medida em comparação
com a referência. Adicionalmente, as informações sobre as adaptações estão
expressas nas Figuras 6.29, 6.31, 6.33 e 6.35.
84
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
2
4
Con
trol
e [V
]Tempo [s]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.05
0
0.05
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Sinal de referênciaSaída Medida
Figura 6.28: Resultado de simulação com o ARC para a referência de 10 Hz.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12
3
4
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.01
0
0.01
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2
0
2
Tempo [s]
θ F
ixo
θ3
Figura 6.29: Estimativa de simulação dos parâmetros do ARC para a referência de 10 Hz.
85
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
2
4
Con
trol
e [V
]Tempo [s]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.05
0
0.05
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Sinal de referênciaSaída Medida
Figura 6.30: Resultado de simulação com o ARC para a referência de 50 Hz.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.22
3
4
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ1
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.01
0
0.01
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ2
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−2
0
2
Tempo [s]
θ F
ixo
θ3
Figura 6.31: Estimativa de simulação dos parâmetros do ARC para a referência de 50 Hz.
86
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
2
4
Con
trol
e [V
]Tempo [s]
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−0.1
0
0.1
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
0.5
1
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Sinal de referênciaSaída Medida
Figura 6.32: Resultado de simulação com o ARC para a referência de 100 Hz.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.12
3
4
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ1
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
0.005
0.01
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ2
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−2
0
2
Tempo [s]
θ F
ixo
θ3
Figura 6.33: Estimativa de simulação dos parâmetros do ARC para a referência de 100 Hz.
87
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
2
4
Con
trol
e [V
]Tempo [s]
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−0.1
0
0.1
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
0.5
1
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Sinal de referênciaSaída Medida
Figura 6.34: Resultado de simulação com o ARC para a referência de 200 Hz.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.052
3
4
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ1
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
5x 10
−3
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ2
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−2
0
2
Tempo [s]
θ F
ixo
θ3
Figura 6.35: Estimativa de simulação dos parâmetros do ARC para a referência de 200 Hz.
6.4.3 Resultados Experimentais
Os resultados experimentais são organizados de acordo com as frequências das
referências que são aplicadas na planta. A seguir, nas Figuras de 6.36 a 6.42, são
apresentados os resultados da ação de controle, do erro e da resposta medida
em comparação com a referência. Adicionalmente, as informações sobre as
adaptações estão expressas nas Figuras de 6.37 a 6.43. Essas informações são
referentes ao primeiro conjunto de experimentos em que não se adapta o θ3.
88
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
2
4C
ontr
ole
[V]
Tempo [s]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.05
0
0.05
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Saída MedidaSinal de referência
Figura 6.36: Resultado experimental com o ARC para a referência de 10 Hz, comθ3 fixo.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12.2
2.4
2.6
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12
4
6x 10
−3
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2
0
2
Tempo [s]
θ F
ixo
θ3
Figura 6.37: Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 10 Hz, comθ3 fixo.
89
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
2
4C
ontr
ole
[V]
Tempo [s]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.05
0
0.05
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Saída MedidaSinal de referência
Figura 6.38: Resultado experimental com o ARC para a referência de 50 Hz, comθ3 fixo.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.22.2
2.4
2.6
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ1
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
2
4x 10
−3
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ2
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−2
0
2
Tempo [s]
θ F
ixo
θ3
Figura 6.39: Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 50 Hz, comθ3 fixo.
90
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
2
4C
ontr
ole
[V]
Tempo [s]
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−0.05
0
0.05
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
0.5
1
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Saída MedidaSinal de referência
Figura 6.40: Resultado experimental com o ARC para a referência de 100 Hz, comθ3 fixo.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.12.2
2.4
2.6
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ1
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.11
2
3x 10
−3
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ2
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−2
0
2
Tempo [s]
θ F
ixo
θ3
Figura 6.41: Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 100 Hz, comθ3 fixo.
91
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
1
2
Con
trol
e [V
]Tempo [s]
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−0.05
0
0.05
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
0.5
1
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Saída MedidaSinal de referência
Figura 6.42: Resultado experimental com o ARC para a referência de 200 Hz, comθ3 fixo.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.052.2
2.4
2.6
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ1
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.051
2
3x 10
−3
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ2
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−2
0
2
Tempo [s]
θ F
ixo
θ3
Figura 6.43: Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 200 Hz, comθ3 fixo.
Observa-se que os resultados do controlador adaptativo robusto são superiores
aos demais controladores principalmente em operação com frequências mais
elevadas. Para uma referência de 100 Hz, o erro obtido é da ordem de 1,2% do
sinal de referência e para 200 Hz o erro é da ordem de 2,5%. Tais medidas tão
reduzidas revelam o bom desempenho para o problema servo do controlador
ARC.
92
Ao passo que para o segundo conjunto de experimentos em que se adapta o
parâmetro θ3, os resultados experimentais são apresentados nas Figuras de 6.44
a 6.51.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
2
4
Con
trol
e [V
]
Tempo [s]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.05
0
0.05
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Sinal de referênciaSaída Medida
Figura 6.44: Resultado experimental com o ARC para a referência de 10 Hz.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11
2
3
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.005
0.01
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.2
0.4
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ3
Figura 6.45: Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 10 Hz.
93
Nota-se na Figura 6.45 que a adaptação dos parâmetros não converge. Tal
limitação do controlador robusto adaptativo pode ser explicada pela pouca
excitação do sistema nessa frequência de 10 Hz. O parâmetro referente ao
distúrbio não é capaz de ser adaptado, o que interfere também no processo de
adaptação dos demais parâmetros. No restante dos experimentos, a adaptação
tem sucesso e os parâmetros convergem, pois com o aumento da frequência da
referência, a excitação do sistema é aumentada.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
2
4
Con
trol
e [V
]
Tempo [s]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.05
0
0.05
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
1
2
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Sinal de referênciaSaída Medida
Figura 6.46: Resultado experimental com o ARC para a referência de 50 Hz.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.21
2
3
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ1
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
0.005
0.01
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ2
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
0.2
0.4
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ3
Figura 6.47: Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 50 Hz.
94
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
2
4
Con
trol
e [V
]Tempo [s]
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−0.1
0
0.1
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
0.5
1
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Sinal de referênciaSaída Medida
Figura 6.48: Resultado experimental com o ARC para a referência de 100 Hz.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.11
2
3
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ1
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
0.005
0.01
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ2
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
0.2
0.4
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ3
Figura 6.49: Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 100 Hz.
95
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
1
2
Con
trol
e [V
]Tempo [s]
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−0.1
0
0.1
Err
o [V
]
Tempo [s]
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
0.5
1
Tempo [s]
Ten
são
[V]
Sinal de referênciaSaída Medida
Figura 6.50: Resultado experimental com o ARC para a referência de 200 Hz.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.051
2
3
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ1
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
5x 10
−3
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ2
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
0.2
0.4
Tempo [s]
Est
imat
iva
de θ
θ3
Figura 6.51: Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 200 Hz.
No caso das simulações para o controlador adaptativo robusto, o modelo apre-
senta o maior grau de erro pois o mesmo não considera o nível do sinal da saída.
Contudo, esse nível é adaptado pelo controlador. Ao se adaptar uma dinâmica
inexistente no modelo, a simulação acaba apresentando maior discrepância em
relação ao resultado experimental.
96
6.5 Análise dos Resultados
É cabível inferir que os modelos estimados para a dinâmica da planta são con-
sistentes, uma vez que os resultados das simulações, a menos de incertezas
aceitáveis de modelagem, vão ao encontro dos experimentos. Não há ne-
nhuma discrepância considerável entre os resultados simulados e experimen-
tais mesmo na presença de ruído no segundo caso.
Como discussão central do trabalho, encontra-se a questão do desempenho de
rastreamento dos controladores apresentados no Capítulo 6. A fim de tornar
a análise dessa performance mais consistente, três métricas (indicadores) de
análise do erro são a seguir consideradas:
L[2] =
√
(1/T f )∫ T f
0|e(t)|2dt, (6.45)
eM =maxt|e(t)|, (6.46)
eF = maxT f−2T≤t≤T f
|e(t)|. (6.47)
em que: T f é o tempo em que se encerra o experimento (tempo final), e(t) é o
erro de rastreamento apresentado pela planta, t é o tempo em segundos no qual
o experimento se encontra e T é o tempo de um período do sinal de referência
aplicado na planta.
Em meio a ampla gama de ensaios realizados para cada controlador, buscando
a concisão, a análise do erro se dará para a referência de 100 Hz de frequência.
Os quatro controladores têm seu erro avaliado pelas métricas acima expostas.
Dessa maneira, na Tabela 6.2 os valores dos indicadores são observados.
Tabela 6.2: Tabela de Indicadores do Erro de Rastreamento.Métricas PI Adaptativo PI + FF ARC (θ3 f ixo) ARC
L[2] 0,1211V3/2 0,0929V3/2 0,0283V3/2 0,0103V3/2 0,0243V3/2
eM 0,1797 V 0,4668 V 0,2764 V 0,0669 V 0,1967 VeF 0,1779 V 0,1118 V 0,0273 V 0,0174 V 0,0276 V
É possível concluir, a partir dos indicadores, que o desempenho evolui na
medida em que os controladores se tornam mais complexos. Em relação ao erro
97
máximo observado é possível inferir que o controlador adaptativo apresenta um
desempenho inferior ao PI, o que é compensado ao se analisar o erro final (do
último período analisado). Dessa maneira, mesmo apresentando um transiente
pior do que o do PI, o adaptativo no geral consegue atingir um desempenho
melhor depois que a adaptação de seus parâmetros é realizada.
A estrutura do compensador baseado no rastreamento de trajetórias se diferen-
cia do PI pela presença de um termo de feedforward. Em meio ao fornecimento
de mais informações sobre como a sua referência se comporta para o contro-
lador, o mesmo consegue melhorar a sua capacidade de rastreamento. Contudo,
a contrapartida evidenciada é o detrimento do transiente, como é evidenciado
por eM.
Em suma, para encerrar a análise de desempenho dos compensadores, cabe
mencionar que o controlador adaptativo robusto tem a capacidade de contornar
o problema da adaptação que é a deterioração do transiente. Essa robustez no
transiente é oriunda da utilização do termo vs que considera a dinâmica do
vetor regressor e os limites das projeções em que ocorre a adaptação. O melhor
desempenho é de fato do controlador adaptativo robusto entre os demais estu-
dados. Contudo, a sua complexidade de projeto também deve ser considerada
como um aspecto negativo de sua utilização.
98
Capítulo 7
Conclusões e Perspectivas
Neste trabalho foi modelada a dinâmica não-linear (com creep e histerese) de
sistemas piezoatuados, e foram implementadas e comparadas algumas estraté-
gias de controle para o posicionamento preciso e rápido: PI, adaptativo e PI
com feedforward e adaptativo robusto. A lei de controle que obtém o melhor
desempenho em alta frequência é a adaptativa robusta.
7.1 Contribuições do Trabalho
As principais contribuições deste trabalho são:
• Estudo do controle do nanoposicionamento por computador.
• Modelagem da dinâmica de um sistema experimental de nanoposicionamento com
atuador piezoelétrico, incluindo as dinâmicas lineares e não-lineares envolvidas.
• Identificação da origem da dinâmica de fase não-mínima em [32] que é dependente
do ajuste da frequência de corte da eletrônica associada ao processamento do sinal
do sensor capacitivo.
• Implementação da estratégia de controle adaptativo robusto, a partir dos seguintes
elementos: lei de controle de rastreamento, projeção descontínua, síntese de um
termo robusto conforme [36] e sintonia deste controlador de acordo com a dinâmica
do nanoposicionador.
• Comparação por simulação e experimento entre as diversas estratégias de controle
estudadas.
O aumento da frequência de corte do sensor capacitivo, permitiu uma grande
melhoria do desempenho. Não somente eliminou a dinâmica de fase não-
mínima apontada por [32], como também a resposta frequencial obtida forneceu
99
informações sobre a dinâmica do sistema em uma faixa maior do que com
frequência de 1 kHz.
O erro de rastreamento diminui consideravelmente na medida em que são
utilizados controladores de maior complexidade. No Capítulo 6, Seção 6.5, são
apresentados os resultados de métricas associadas aos erros de rastreamento.
Mais especificamente na Tabela 6.2, essa diminuição do erro de rastreamento se
torna evidente. Assim, o esforço empregado na sofisticação dos controladores
se justificou.
7.2 Sugestões para trabalhos futuros
• Avaliação dos efeitos de perturbações sobre o sistema controlado pela estratégia
adaptativa robusta.
• Determinar a fonte do ruído de medição no sistema de nanoposicionamento.
• Estudar os efeitos da adaptação de leis de controle sobre plantas não-lineares, e.g.
[37].
• Estudar a viabilidade da elaboração de uma lei de controle que não dependa do termo
de feedforward baseado em sinais de referência que comumente não estão disponíveis
para as operações de posicionamento da ponta de prova dos AFM.
Um horizonte a ser trabalhado futuramente é a adição de perturbação e avaliação
da capacidade de o controlador compensar os efeitos desse sinal indesejado.
Essa abordagem se justifica quando se orienta o nanoposicionamento para a
operação de microscopia, pois, a força entre a ponta de prova e a superfície deve
ser mantida constante independentemente da topografia do substrato analisado.
Assim, as rugosidades do substrato podem ser tratadas como perturbações por
parte do controlador que atua para manter a força constante.
O estudo sobre as possíveis fontes de ruído pode ser detalhado de maneira
mais profunda. Esse procedimento poderia melhorar as condições de operação
do sistema de nanoposicionamento de forma que, sempre que possível, sejam
isoladas e reduzidas as fontes do ruído no ambiente em que o piezoelétrico
executa suas tarefas.
100
Referências Bibliográficas
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Issues in Nanopositioning”, IEEE Control Systems Technology, v. 15, n. 5,
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ing microscopy”, Review of Scientific Instruments, v. 70, n. 12, pp. 4600–
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[4] CROFT, D., SHED, G., DEVASIA, S. “Creep, Hysteresis, and Vibration Compensa-
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Dynamic Systems, Measurement, and Control, v. 123, n. 1, pp. 35–43,
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104
Apêndice A
Procedimentos Experimentais
Nessa seção são descritos os procedimentos que envolvem a preparação do
equipamento experimental que deve ser realizada antes de qualquer utiliza-
ção do sistema de nanoposicionamento. Os equipamentos envolvidos nesses
ajustes são: a massa em que o piezoelétrico se encontra fixado, o amplificador
E-665.CR e o microcomputador (Matlab).
A.1 Fixação do Piezoelétrico
Uma vez que a dinâmica do piezoelétrico é sensível a vibrações, é necessário
que o equipamento esteja fixado a uma massa bem maior que a dele. Essa
fixação funciona como um suporte à operação do piezoelétrico no sentido de
amenizar os efeitos das vibrações a que o P-753.1CD possa estar sujeito. Cabe
mencionar que as edificações vibram, as mesas de laboratório também, e por
isso, essas vibrações se comportam como fonte de ruído para os sinais referentes
ao posicionamento do nanoatuador.
A.2 Ajuste do Amplificador E-665.CR
O amplificador de potência necessita de uma alimentação de 220 V. Após ser
alimentado, é necessário realizar o ajuste do zero do sensor capacitivo. Para isso,
um potenciômetro que é acessado pelo painel frontal do equipamento deve ser
sintonizado da melhor maneira possível. Esse ajuste é responsável por retirar
quaisquer níveis que estejam presente na saída de tensão (proporcional ao
deslocamento) do sensor capacitivo.
Como a repetibilidade desse ajuste não é garantida, tal fator se apresenta como
uma razão adicional ao uso da adaptação no controlador. Essa característica é
105
explorada no Capítulo 6.
Por razões referentes à velocidade de atuação e disponibilidade da placa de
conversão analógico/digital Q8, a interface de operação do amplificador esco-
lhida é a analógica. Mediante essa opção de operação, os sinais de controle
são enviados via cabo RCA/Coaxial da saída 7 da placa Q8 para o amplificador
E-665.CR. Já os sinais de tensão oriundos do sensor capacitivo saem via cabo
coaxial/RCA do amplificador para a entrada 7 da placa Q8.
Para todos os experimentos são utilizados os mesmos cabos e as mesmas en-
tradas e saídas da placa Q8. Esse cuidado foi tomado a fim de garantir a maior
repetibilidade possível entre os experimentos.
A.3 Configuração do Matlab
A interface entre o microcomputador e a placa de conversão analógica/digital é
o programa Matlab/Simulink. Na janela inicial do Simulink, para que este se co-
munique com a Q8, é necessário que os blocos de configuração da Quanser sejam
adicionados, bem como os blocos de envio do sinal de controle e recebimento
do sinal de tensão da placa. Um ponto crucial é que os blocos selecionados para
a comunicação sejam do tipo HIL - Hardware in the loop, que representam para
o programa e para a placa, a maior velocidade de comunicação possível. Sem
essa escolha, não é possível realizar operações em alta frequência.
Seguindo as orientações aqui descritas, o diagrama de blocos montado no
Simulink deve ter a seguinte aparência evidenciada na Figura A.1. Por questões
relacionadas à dinâmica do sistema de nanoposicionamento, a frequência de
amostragem escolhida para todos os experimentos foi de 20 kHz. A qual, além
de fornecer um passo de 50µs, suficientemente menor do que a constante de
tempo relacionada à dinâmica linear do sistema de 294µs, ainda se encontra
dentro da faixa em que a máquina virtual da Quanser e o microcomputador
conseguem trocar informações sem perda de dados.
106
Figura A.1: Exemplo de diagrama de blocos utilizados nos experimentos. Inter-face entre o Simulink e a máquina virtual da Quanser.
O fundo de escala da tensão que pode ser gerada a partir da Q8 é de ±10V.
Contudo para o amplificador E-665.CR a faixa de tensão utilizada para atuar no
piezoelétrico é de 0 a 10 V, o que é garantido ao se adicionar uma saturação à
entrada da planta. A quantização é feita de maneira automática pela Q8, não
fornecendo ao usuário acesso aos seus parâmetros.
107