Download - Controle de sistemas
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
.
Controle discreto e introducao ao controle
otimo e robusto
Alberto Luiz Serpa
2006
Este material caracteriza as notas de aulas preparadas nos ultimos anosquando ministrei a disciplina ES728 - Controle Avancado de Sistemas paraalunos do curso de Engenharia de Controle Automacao da UNICAMP.
Esta versao e a primeira editada em computador no sentido de permitircorrecoes e atualizacoes com mais facilidade e permitir a disponibilizacao noambiente de Ensino Aberto da UNICAMP.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 1
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
Sumario
1 Fundamentos dos sistemas discretos 51.1 Sinais discretos importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Filtros FIR e IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Equacao a diferencas de coeficientes constantes 132.1 Solucao de equacoes a diferencas (lineares, coeficientes cons-
tantes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1 Solucao homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2 Solucao particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.3 Solucao completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Comportamento da solucao homogenea . . . . . . . . . . . . . 192.3 Regioes de estabilidade no plano complexo . . . . . . . . . . . 22
3 Transformada Z 223.1 Transformada Z de entradas padronizadas . . . . . . . . . . . 243.2 Principais propriedades da transformada Z . . . . . . . . . . . 263.3 Inversa da transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4 Transformada Z unilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.1 Algumas propriedades da transformada Z unilateral . . 303.5 Solucao de equacao de diferencas . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Funcao de transferencia discreta 324.1 Polos e zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Interpretacao da funcao de transferencia discreta . . . . . . . . 33
5 Discretizacao de plantas analogicas 335.1 Modulacao com impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2 Segurador de ordem zero (ZOH) . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6 Mapeamento s z 386.1 Mapeamentos importantes para projeto . . . . . . . . . . . . . 396.2 Metodos de integracao numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.2.1 Transformacao Euler para tras . . . . . . . . . . . . . . 436.2.2 Transformacao Euler para a frente . . . . . . . . . . . . 446.2.3 Transformacao bilinear - Tustin . . . . . . . . . . . . . 466.2.4 Transformacao pelo metodo do impulso invariante . . . 49
7 Analise de erro estacionario 52
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 2
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
8 Resposta em frequencia 568.1 Problemas com a discretizacao ZOH . . . . . . . . . . . . . . . 568.2 Warping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.3 Pre-warping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608.4 Frequencia crtica de pre-warping . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9 Projeto no plano z 649.1 Controle PID - Metodo Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . . 649.2 PID - projeto analtico com base no lugar das razes . . . . . . 699.3 Compensacao avanco-atraso - projeto analtico . . . . . . . . . 75
10 Transformada w 8210.1 Projeto avanco-atraso analtico na frequencia . . . . . . . . . . 85
11 Modelo de estado discreto 9211.1 Transformacao pelo metodo do degrau invariante . . . . . . . 92
12 Diagrama de blocos 97
13 Realimentacao de estados 10013.1 Controlabilidade e formula de Ackermann . . . . . . . . . . . 102
14 Observador (estimador de estados) 10214.1 Estimador de ordem completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10414.2 Observabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10514.3 Efeito do observador na malha fechada . . . . . . . . . . . . . 106
15 Controle otimo 10715.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10715.2 Otimizacao de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10815.3 Condicoes de otimalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11015.4 Equacoes de Euler Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11115.5 Condicoes de otimalidade e Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . 11315.6 Controle linear quadratico - LQR . . . . . . . . . . . . . . . . 11715.7 Controle otimo multivariavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
15.7.1 Matriz hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
16 Introducao ao controle robusto 12316.1 Caso SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12416.2 Resposta em frequencia multivariavel . . . . . . . . . . . . . . 12716.3 Modelagem da incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13316.4 Estabilidade robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 3
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
17 Controle H 14617.1 Estabilidade segundo Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 15317.2 H via Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
18 Bibliografia 162
19 Exerccios 16319.1 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16319.2 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16419.3 Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16519.4 Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16619.5 Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16719.6 Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16819.7 Lista 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16919.8 Lista 8 - Roteiro para MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . 17219.9 Lista 9 - Roteiro para MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . 17419.10Lista 10 - Roteiro para MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . 17519.11Lista 11 - Roteiro para MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . 17619.12Lista 12 - Roteiro para MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 4
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
1 Fundamentos dos sistemas discretos
Um sinal contnuo e uma funcao do tempo (um valor real para cada valor detempo), como mostrado na Figura 1.
tt
tt
f(t)
f(t) f(t)
f(t)
periodica transiente
senoidal aleatoria
Figura 1: Alguns sinais contnuos.
Um sistema contnuo relaciona uma entrada contnua a uma sada contnua,conforme ilustrado na Figura 2.
x(t) y(t)contnuacontnua
entrada sadaSistemaContnuo
Figura 2: Sistema contnuo.
Um sinal e uma sequencia, ou uma funcao, definida para numeros inteiros,ou seja,
x(n) = xR(n) + jxI(n),
e quando xI(n) = 0, entao x(n) e uma sequencia real.Um sistema discreto e um mapeamento do conjunto discreto de entradas
para o conjunto discreto de sada, conforme ilustrado na Figura 3.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 5
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
x(n) y(n)
SistemaDiscreto
Figura 3: Sistema discreto.
Um sinal digital e um sinal discreto cujos valores pertencem a um conjuntofinito. Por exemplo, um sinal digital para valores de {3,2,1, 0, 1, 2, 3}e ilustrado na Figura 4.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
n
y(n)
Figura 4: Sinal digital.
Um sistema digital e aquele que relaciona um sinal digital de entrada aum sinal digital de sada.
1.1 Sinais discretos importantes
Uma sequencia real e denotada como
{x(n), n = , . . . ,1, 0, 1, . . . ,+}.Se um sinal contnuo x(t) e amostrado a cada T segundos, uma sequencia
{x(nT )} resulta. Para simplificar a notacao sera usada apenas a simbologiax(n), i.e.,
{x(nT )} x(n).
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 6
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
Alguns sinais discretos importantes sao listados a seguir.
1. O impulso unitario discreto, Figura 5, e definido como
(n) =
{1 se n = 0,0 se n 6= 0.
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n
(n)
Figura 5: Impulso unitario.
2. O degrau unitario discreto e definido como
u(n) =
{1 se n 0,0 se n < 0,
e esta ilustrado na Figura 6.
3. Uma sequencia exponencial real e dada por
x(n) = an.
4. Uma sequencia senoidal e dada por
x(n) = Asen(w0n).
Um sinal discreto periodico e aquele em que x(n) = x(n + P ) com Pinteiro. O menor valor de P que satisfaz a condicao de periodicidade eo perodo do sinal. A figura 7 mostra uma senoide discreta.
A sequencia senoidal e periodica se w02
e racional (razao de dois inteiros).Se w0
2nao e racional, entao a sequencia nao e periodica.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 7
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n
u(n)
Figura 6: Degrau unitario discreto.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 201
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
x(n)
Figura 7: Senoide discreta, x(n) = sen(100n).
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 8
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
1.2 Algumas propriedades
1. Energia. A energia de uma sequencia e definida como
E =+
n=x(n)x(n) =
+n=
|x(n)|2,
onde x(n) e o complexo conjugado de x(n).
Se x(n) = x(n), ou seja, x(n) e uma sequencia real, entao
E =+
n=x2(n).
2. Sinal em funcao de impulsos. Um sinal discreto pode ser escrito como
x(n) =
k=x(k)(n k).
Exemplo: O sinal da Figura 8 pode ser escrito como
y(n) = y(2)(n+ 2) + y(0)(n) + y(1)(n 1) + y(4)(n 4).
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
n
y(n)
Figura 8: y(n) = y(2)(n+ 2) + y(0)(n) + y(1)(n 1) + y(4)(n 4).
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 9
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
3. Linearidade. Um sistema discreto pode ser caracterizado por umatransformacao (ou operador) T que relaciona a sada y(n) a` entradax(n), ou seja,
y(n) = T [x(n)].
Um sistema discreto e linear quando se aplica o princpio da super-posicao, ou seja,
T [a1x1(n) + a2x2(n)] = a1T [x1(n)] + a2T [x2(n)].
4. Invariancia no tempo. Um sistema discreto e invariante no tempoquando seus coeficientes nao variam com o tempo, ou seja, se y(n) =T [x(n)] entao,
T [x(n n0)] = y(n n0).5. Resposta de sistemas lineares em termos da resposta impulsiva. Seja a
resposta do sistema T () ao um impulso aplicado no tempo k dada por
hk(n) = T [(n k)].
A resposta do sistema a uma entrada x(n) sera dada por
y(n) = T [x(n)] = T
k=
x(k)(n k) =
k=x(k)T [(nk)] =
k=
x(k)hk(n).
Portanto, a resposta de um sistema discreto linear pode ser escritacomo uma soma ponderada de hk(n) pela entrada x().
6. Convolucao. Se x(n) e a entrada de um sistema linear e invariantecaracterizado por T [], entao a sada y(n) e dada por
y(n) =
k=x(k)h(n k) =
k=
x(n k)h(k),
onde h(n) = T [(n)] e a resposta ao impulso.
Esta soma e conhecida como soma de convolucao e e denotada por
y(n) = x(n) h(n) = h(n) x(n).
Algumas propriedades da convolucao sao:
(a) x(n) y(n) = y(n) x(n)
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 10
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
(b) x(n) (y(n) z(n)) = (x(n) y(n)) z(n)(c) x(n) (y(n) + z(n)) = x(n) y(n) + x(n) z(n)(d) x(n) (n) = (n) x(n) = x(n)(e) x(n) (n k) = x(n k)
7. Estabilidade BIBO (bounded-input, bounded-output). A sequenciax(n) e limitada se existe um M finito tal que
|x(n)| < M, para todo n.
Um sistema discreto e BIBO estavel se toda sequencia limitada deentrada x(n) produz uma sada tambem limitada.
Um sistema linear e invariante com resposta h(n) ao impulso e BIBOestavel se e somente se
S =
k=|h(k)|
e finito (soma absoluta finita).
Prova: suponha que a entrada x(n) e limitada, ou seja |x(n)| < M .A sada e do sistema e dada por
y(n) =
k=h(k)x(n k).
Logo,
|y(n)| =
k=
h(k)x(n k)
k=
|h(k)x(n k)|,
|y(n)|
k=|h(k)||x(n k)| n.Pode-se escrever que
y(n) =n
k=x(k)h(n k),
de onde se verifica que a resposta y(n) so depende de valores passadosou do valor presente da entrada.
1.3 Filtros FIR e IIR
Um filtro FIR (finite impulse response) e um sistema linear e invariante quepossui uma resposta finita ao impulso, ou seja,
h(n) =
{valores nao nulos para n1 n n2,0 para os demais,
onde h(n) e a resposta ao impulso.Um filtro IIR (infinite impulse response) e um sistema em que a resposta
ao impulso unitario e de duracao infinita.Um sistema causal linear e invariante caracterizado por
Nk=0
aky(n k) =Mr=0
brx(n r),
sera FIR se a0 6= 0 e ak = 0 para k = 1, 2, . . . , N . Caso contrario podera serIIR ou FIR.
Prova: Seja ak = 0, k = 1, 2, . . . , N . Logo,
a0y(n 0) =Mr=0
brx(n r),
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 12
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
y(n) =Mr=0
(bra0
) h(r)
x(n r),
que representa uma convolucao.Portanto,
h(n) =
{bna0
0 n M,0, caso contrario,
que e de duracao finita.
2 Equacao a diferencas de coeficientes cons-
tantes
O comportamento dinamico de sistemas contnuos e descrito por equacoesdiferenciais. O comportamento dinamico de sistemas discretos e descrito porequacoes a diferencas.
Um sistema discreto linear e invariante no tempo e aquele em que aentrada x(n) e a sada y(n) satisfazem uma equacao a diferencas com coefi-cientes lineares e constantes do tipo
Nk=0
aky(n k) =Mm=0
bmx(nm), a0 6= 0,
ou tambem,
y(n) = Nk=1
aka0y(n k) +
Mr=0
bra0x(n r).
Exemplo: Resolver e equacao y(n)ay(n1) = x(n), com y(n) = 0 paran < 0, e tendo como entrada x(n) = (n) um impulso unitario.
Este problema pode ser resolvido diretamente, ou seja,
n = 0 y(0) = ay(1) + x(0) = 0 + 1 = 1n = 1 y(1) = ay(0) + x(1) = a 1 + 0 = an = 2 y(2) = ay(1) + x(2) = a a+ 0 = a2
... y(n) = an.
Como nao existe resposta para n < 0, escreve-se a solucao como
y(n) = anu(n),
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 13
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
que representa a resposta ao impulso procurada. Usa-se o degrau unitario,u(n), para assegurar valores nulos para n < 0.
Exemplo: Determinar o modelo para descrever uma colonia de bacteriasduplicando a populacao a cada 12h (T = 12h).
E possvel escrever que
y(n) = 2y(n 1), y(0) = c.Logo,
y(1) = 2c, y(2) = 4c, y(3) = 8c, . . .
que caracteriza um comportamento explosivo.
Exemplo: Problema do banqueiro. Seja o intervalo T = 1 mes associadoa uma taxa de juros de i%.
O modelo que descreve este problema e
v(n) =(1 +
i
100
)v(n 1),
onde v(n) e o valor no mes n.
Exemplo: Modelo de um integrador numerico pela regra dos trapezios.Seja o esquema da Figura 9.
t
f(t)
tntn1
fn
fn1
In1
In
Figura 9: Integracao pela regra dos trapesios.
A area de um elemento trapezoidal e dada por
A = tntn1
f(t)dt T (fn + fn1)2
,
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 14
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
onde T = tn tn1 e a base do trapezio.Logo, a integral da curva pode ser aproximada por
In = In1 +T (fn + fn1)
2.
2.1 Solucao de equacoes a diferencas (lineares, coefici-entes constantes)
A solucao de equacoes a diferencas segue um procedimento semelhante ao dasolucao de equacoes diferenciais lineares e com coeficientes constantes.
Seja uma equacao a diferencas denotada por
Nk=0
aky(n k) =Mk=0
bkx(n k),
ou tambem
a0y(n) + a1y(n 1) + a2y(n 2) + . . .+ aNy(nN) =
= b0x(n) + b1x(n 1) + . . .+ bMx(nM).
2.1.1 Solucao homogenea
A equacao homogenea (entrada nula) e dada por
Nk=0
aky(n k) = 0.
Seja uma solucao do tipo y(n) = cn. Logo,
Nk=0
akcnk = 0,
e entaoa0c
n + a1cn1 + a2cn2 + . . .+ aNcnN = 0,
(a0N + a1
N1 + a2N2 + . . .+ aN)cnN = 0,
a0N + a1
N1 + a2N2 + . . .+ aN = 0,
que e o polinomio caracterstico, cujas razes sao 1, 2, . . . , N .A solucao homogenea yh(n) sera funcao do tipo das razes, ou seja,
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 15
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
para razes distintas a solucao homogenea e
yh(n) = c1n1 + c2
n2 + . . .+ cN
nN ,
com c1, c2, . . ., cN determinados atraves das condicoes iniciais.
para razes com multiplicidade, por exemplo 1 de multiplicidade l, asolucao homogenea e do tipo
yh(n) = (c1n1 + c2n
n1 + c3n
2n1 + . . .+ clnl1n1 ) + d2
n2 + . . .+ dN
nN .
para um par complexo conjugado, por exemplo 1,2 = a bj, tem-se
1 = ej, 2 = e
j,
e a solucao e do tipo cn, ou seja,
c1(ej)n + c2(e
j)n = c1nejn + c2nejn = Cnsen(n+ ).
Verifica-se que o comportamento muda em funcao do valor de comoilustrado nas Figuras 10 e 11.
0 5 10 15 20 25 30 35 400.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
n
y(n)
Figura 10: Solucao Cnsen(n+ ) para < 1.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 16
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
0 5 10 15 20 25 30 35 4040
30
20
10
0
10
20
30
n
y(n)
Figura 11: Solucao Cnsen(n+ ) para > 1.
Tabela 1: Solucoes particulares tpicas.entrada x(n) solucao particular yp(n)A (constante) K (constante)
AMn KMn
AnM K0nM +K1n
M1 + . . .+KMAnnM An(K0n
M +K1nM1 + . . .+KM){
Acos(w0n)Asen(w0n)
}K1cos(w0n) +K2sen(w0n)
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 17
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
2.1.2 Solucao particular
A solucao particular da equacao a diferencas depende da forma da entrada,ou seja, e do mesmo tipo da entrada. Alguns exemplos sao ilustrados naTabela 1.
2.1.3 Solucao completa
A solucao completa da equacao a diferencas sera a soma da solucao particularcom a solucao homogenea, isto e,
y(n) = yh(n) + yp(n).
Exemplo: Toma-se emprestado em n = 0 o capital C0. Este capital deveser pago em N prestacoes mensais iguais e ser remunerado com uma taxa ide juros mensais. Calcular o valor da prestacao mensal como funcao de N , ie C0.
Sejam d(n) a dvida no momento n e P o valor da prestacao. Pode-seescrever que
d(n) = (1 + i)d(n 1) P d(n) (1 + i)d(n 1) = P,
com d(0) = C0, ou seja, a dvida em n = 0 e o capital C0.A solucao homogenea e dada por dh(n) = c
n que substituda na equacaoa diferencas leva a
cn (1 + i)cn1 = 0 cn1[ (1 + i)] = 0,
ou seja (1 + i) = 0 = 1 + i.
Portanto, a solucao homogenea e
dh(n) = cn = c(1 + i)n.
A solucao particular e dada por
dp(n) = A,
que substituda na equacao a diferencas leva a
A (1 + i)A = P A = Pi.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 18
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
A solucao completa e dada por
d(n) = dh(n) + dp(n) = c(1 + i)n +
P
i.
Aplicando a condicao inicial tem-se que
d(0) = c(1 + i)0 +P
i= C0 c = C0 P
i,
e consequentemente
d(n) =(C0 P
i
)(1 + i)n +
P
i.
Para pagar a dvida tem-se que d(N) = 0. Logo, o valor da prestacaosera dado por
(C0 P
i
)(1 + i)N +
P
i= 0 P = iC0
1 1(1+i)N
.
2.2 Comportamento da solucao homogenea
Para razes distintas a solucao homogenea e composta de termos do tipo cn,e em funcao de os seguintes casos sao possveis.
Para real tem-se os seguintes casos:1. > 1, situacao instavel como ilustrado na Figura 12.
2. 0 < < 1, situacao estavel como ilustrado na Figura 13.
3. 1 < < 0, situacao estavel oscilante como na Figura 14.4. < 1, situacao instavel oscilante como na Figura 15.
Para complexo (pares conjugados) tem-se a solucao na forma
Cnsen(n + ).
Verifica-se que:
1. Para 0 < < 1, tem-se situacao estavel;
2. Para > 1, tem-se situacao instavel.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 19
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
2
4
6
8
10
12
14
n
y(n)
Figura 12: Situacao instavel, cn para > 1.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n
y(n)
Figura 13: Situacao estavel, cn para < 1.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 20
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
y(n)
Figura 14: Situacao estavel oscilante, cn para 1 < < 0.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1015
10
5
0
5
10
15
n
y(n)
Figura 15: Situacao instavel oscilante, cn para < 1.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 21
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
estavel
estavel
estavel
instavel
instavelinstavel
oscilanteoscilante 11
= 1
Im[]
Re[]
Figura 16: Regioes de estabilidade e instabilidade.
2.3 Regioes de estabilidade no plano complexo
Com base na analise realizada na secao anterior nota-se que a estabilidadee assegurada se as razes estiverem dentro de um crculo unitario conformeilustrado na Figura 16.
Salienta-se que mesmo no caso de razes multiplas, o termo exponencialpredomina e a estabilidade ocorre para razes dentro do crculo unitario.
3 Transformada ZA transformada Z bilateral de uma sequencia x(n) e
X(z) := Z[x(n)] :=+
n=x(n)zn,
onde z e uma variavel complexa.O conjunto dos valores de z para os quais X(z) converge (e finita) e
chamado de Regiao de Convergencia (RC) e e dado por
r0 |z| R0.
Exemplo: Determinar a transformadaZ para a sequencia x(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1}.O numero sublinhado refere-se ao valor para n = 0.
X(z) =3
n=2x(n)zn = x(2)z2+x(1)z1+x(0)z0+x(1)z1+x(2)z2+x(3)z3 =
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 22
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
= z2 + 2z + 5z0 + 7z1 + 0 z2 + z3 = z2 + 2z + 5 + 7z1 + z3.A regiao de convergencia (RC), neste caso, e todo o plano complexo
exceto z = 0 e z = .
Exemplo: Determinar a transformada Z para x(n) =(12
)nu(n) com u(n)
um degrau unitario.
x(n) =
{1,1
2,(1
2
)2, . . . ,
(1
2
)n, . . .
},
X(z) = 1z0 +1
2z1 +
(1
2
)2z2 + . . .+
(1
2
)nzn + . . . =
=n=0
(1
2
)nzn =
n=0
(1
2z1
)n.
Nota: usou-se que
1 + A+ A2 + A3 + . . . =1
1 A,
se |A| < 1 (soma de PG).Logo, para |1
2z1| < 1, ou |z| > 1
2, X(z) converge para X(z) = 1
1 12z1
, e
a regiao de convergencia e |z| > 12.
Exemplo: Transformada Z para a equacao do integrador trapezoidal, ouseja,
y(n) = y(n 1) + T2[x(n) + x(n 1)] .
Multiplicando-se por zn tem-se
y(n)zn = y(n 1)zn + T2
[x(n)zn + x(n 1)zn
],
e fazendo o somatorio de todos os termos tem-se que
+n=
y(n)zn =+
n=y(n1)zn+ T
2
[+
n=x(n)zn +
+n=
x(n 1)zn],
+n=
y(n)zn = z1+
n=y(n1)z(n1)+T
2
[+
n=x(n)zn + z1
+n=
x(n 1)z(n1)].
Seja k = n 1. Logo,
n=y(n)zn = z1
k=
y(k)zk +T
2
n=
x(n)zn + z1
k=x(k)zk
,
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 23
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
e usando a definicao de transformada Z escreve-se que
Y (z) = z1Y (z) +T
2
[X(z) + z1X(z)
],
(1 z1)Y (z) = T2
(1 + z1
)X(z),
que corresponde a` transformada Z da equacao a diferencas.A relacao entre a entrada e a sada pode ser escrita em termos de uma
funcao de transferencia discreta H(z), ou seja,
Y (z) =T
2
(1 + z1
1 z1)
H(z)
X(z),
e uma respresentacao usual esta mostrada na Figura 17.
X(z) Y (z)
H(z)
Y (z) = H(z)X(z)
Figura 17: Representacao de uma funcao de transferencia.
3.1 Transformada Z de entradas padronizadas1. Degrau unitario. O degrau unitario e definido como
u(n) =
{1 se n 0,0 se n < 0.
A transformada Z do degrau e dada por
Z[u(n)] =
n=u(n)zn =
n=0
u(n)zn =
= 1z0 + 1z1 + 1z2 + . . . + 1zn + . . . =1
1 z1 ,
onde foi utilizada a formula da soma de uma PG de razao z1.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 24
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
Portanto,
U(z) =1
1 z1 =z
z 1 ,cuja regiao de convergencia e |z1| < 1.
2. Rampa de inclinacao a. Uma rampa e definida como
r(n) =
{an se n 0,0 se n < 0.
A transformada Z sera dada por
Z[r(n)] =
n=anzn =
n=0
anzn = 0z0 + az1 + 2az2 + . . . =
= z1a[1 + 2z1 + 3z2 + . . .] =
= az1[(1+z1+z2+. . .)+z1(1+z1+z2+. . .)+z2(1+z1+z2+. . .)+. . .] =
= az1[(1 + z1 + z2 + . . .)(1 + z1 + z2 + . . . 1
1z1
)].
Portanto,
= Z[r(n)] = az1[
1
(1 z1)2]= az1
1
1 2z1 + z2 =
=az
z2 2z + 1 =az
(z 1)2 ,
cuja regiao de convergencia e |z1| < 1.3. Impulso unitario. A transformada Z do impulso unitario e dada por
Z[(n)] =
n=(n)zn = (0)z0 = 1 1 = 1.
4. Exponencial. A exponencial discreta e dada por
x(n) = nu(n) =
{n se n 0,0 se n < 0.
A transformada Z e dada por
X(z) =
n=nu(n)zn =
n=0
nzn =n=0
(z1)n.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 25
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
Se |z1| < 1, ou |z| > ||, esta serie converge para 11z1 . Portanto,
X(z) =1
1 z1 =z
z ,
com uma regiao de convergencia dada por |z| > .Nota: se = ea, entao x(n) = eanu(n). Logo, X(z) = z
zea , o quepermite calcular Z[sen(wn)u(n)] e Z[cos(wn)u(n)].
3.2 Principais propriedades da transformada Z1. Linearidade. Sejam Z[x1(n)] = X1(z) e Z[x2(n)] = X2(z), entao,
Z[a1x1(n) + a2x2(n)] = a1X1(z) + a2X2(z),cuja regiao de convergencia esta contida em RCX1 RCX2 .
2. Deslocamento em atraso. Se Z[x(n)] = X(z) com regiao de con-vergencia RCX , entao,
Z[x(n k)] = zkX(z),com regiao de convergencia RCX
3. Escalamento. Se Z[x(n)] = X(z), com RC: r1 < |z| < r2, entao,Z[anx(n)] = X[a1z],
com RC: |a|r1 < |z| < |a|r2.4. Reversao de tempo. Se Z[x(n)] = X(z), com RC: r1 < |z| < r2, entao,
Z[x(n)] = X(z1),com RC: 1
r2< |z| < 1
r1.
5. Diferenciacao. Se Z[x(n)] = X(z) com RCX , entao,
Z[nx(n)] = zdX(z)dz
,
com RCX mantida.
6. Convolucao. Sejam Z[x1(n)] = X1(z) com RCX1 , e Z[x2(n)] = X2(z)com RCX2 , entao,
Z[x1(n) x2(n)] = X1(z)X2(z),com RC contida em RCX1 RCX2 .
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 26
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
7. Teorema do valor inicial. Se x(n) e causal, x(n) = 0 para n < 0, entao,
x(0) = limzX(z).
8. Teorema do valor final. Se limn x(n) existe (sequencia estavel, queconverge), entao,
limnx(n) = limz1
[(z 1)X(z)].
3.3 Inversa da transformada ZA inversa da transformada Z e dada por
x(n) = Z1[X(z)] = 1j2
cX(z)zn1dz.
Contudo, e pouco pratico calcular uma transformada inversa pela de-finicao anterior. Em geral, a transformada inversa e obtida atraves da ex-pansao em fracoes parciais quando X(z) e uma funcao racional (razao dedois polinomios).
Observa-se que as transformadas em geral possuem z no seu numerador,de forma que um fator z pode ser fatorado primeiramente. Aplica-se entao omesmo procedimento da expansao em fracoes parciais usado na transformadade Laplace.
Exemplo: Determinar a anti-transformada x(n) para
X(z) =z
(3z2 4z + 1) .
Seja a expansao em fracoes parciais
F (z) =X(z)
z=
1
3z2 4z + 1 =1
3(z2 43z + 1
3)=
=1
3(z 1)(z 13)=
A
z 1 +B
z 13
.
As constantes podem ser calculadas como
A = F (z)(z 1)|z=1 =1
3(z 13)
z=1
=1
2,
B = F (z)(z 13)z= 1
3
=1
3(z 1)
z= 1
3
= 12.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 27
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
Logo,
F (z) =X(z)
z=
12
z 1 +1
2
z 13
,
X(z) =12z
z 1 +1
2z
z 13
.
Consultando uma tabela de transformada Z verifica-se que para |z| > 1 obtem-se
x(n) = Z1[
12z
z 1
]+ Z1
[ 12z
z 13
],
x(n) =1
2u(n) 1
2
(1
3
)nu(n).
para |z| < 13tem-se que
x(n) = Z1[
12z
z 1
]+ Z1
[ 12z
z 13
],
x(n) = 12u(n 1) 1
2
[(1
3
)nu(n 1)
].
para 13< |z| < 1 tem-se que
x(n) = Z1[
12z
z 1
]+ Z1
[ 12z
z 13
],
x(n) = 12u(n 1) 1
2
(1
3
)nu(n).
Verifica-se atraves do exemplo anterior a importancia da regiao de con-vergencia para assegurar a unicidade da anti-transformada Z.
Exemplo: Determinar a anti-transformada Z para
X(z) =z3
(z + 1)(z 1)2 .
Esta funcao possui uma das razes do denominador com multiplicidadedois. A expansao em fracoes parciais deve levar isso em conta, mantendo acaracterstica em termos desta multiplicidade, ou seja,
X(z)
z=
z2
(z + 1)(z 1)2 =A1z + 1
+A2
(z 1)2 +A3z 1 ,
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 28
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
A constante A1 da expansao pode ser obtida atraves de
(z + 1)X(z)
z= A1 + (z + 1)
A2(z 1)2 + (z + 1)
A3(z 1) ,
fazendo-se z = 1, ou seja,
A1 = (z + 1)X(z)
z
z=1
=1
4.
A constante A2 pode ser obtida atraves de
(z 1)2X(z)z
= (z 1)2A1 + A2 + (z 1)2 A3(z 1) , (1)
fazendo-se z = 1, ou seja,
A2 = (z 1)2X(z)z
z=1
=1
2
Derivando (1) tem-se
d
dz
[(z 1)2X(z)
z
]=
d
dz
[(z 1)2A1 + A2 + (z 1)A3
],
d
dz
[(z 1)2X(z)
z
]=
d
dz
[(z 1)2A1
]+ A3,
e fazendo z = 1, tem-se que,
A3 =d
dz
[(z 1)2X(z)
z
]z=1
=3
4.
Note que:
d
dz
[(z 1)2A1
]|z=1 = 2(z 1)A1|z=1 = 0.
Logo,X(z)
z=
14
z + 1+
12
(z 1)2 +34
(z 1) ,
e a transformada inversa pode ser calculada considerando as respectivasregioes de convergencia.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 29
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
3.4 Transformada Z unilateralA transformada Z unilateral e definida como
X+(z) = Z+[x(n)] =n=0
x(n)zn.
Nota-se que a transformada unilateral nao requer que o sinal seja definidopara n < 0.
Esta transformada e usada na solucao de equacoes a diferencas comcondicoes iniciais nao nulas, e e identica a` transformada bilateral do sinalx(n)u(n).
Exemplo: Determinar a transformada Z unilateral para
x1(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1}.
A solucao eX+1 (z) = 5z
0 + 7z1 + 0z2 + 1z3.
Exemplo: Determinar a transformada Z unilateral para
x2(n) = {2, 4, 5, 7, 0, 1}.
A solucao eX+2 (z) = 5z
0 + 7z1 + 0z2 + 1z3.
Note que, nos dois ultimos exemplos, X+1 e X+2 sao iguais embora x1(n)
e x2(n) sejam distintas, ou seja, a transformada unilateral nao e unica parasinais nao causais. Ela e unica apenas para sinais causais.
3.4.1 Algumas propriedades da transformada Z unilateral1. Propriedade do atraso no tempo. Seja X+(z) = Z+[x(n)], entao,
Z+[x(n k)] = zk(X+(z) +
kn=1
x(n)zn), k > 0.
Se x(n) e causal, entao:
Z+[x(n k)] = zkX+(z).
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 30
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
2. Propriedade do avanco no tempo. Seja X+(z) = Z+[x(n)], entao,
Z+[x(n+ k)] = zk(X+(z)
k1n=0
x(n)zn), k > 0.
3. Teorema do valor final. Seja X+(z) = Z+[x(n)], entao,limnx(n) = limz1
[(z 1)X+(z)].
3.5 Solucao de equacao de diferencas
Exemplo: Seja a sequencia de Fibonacci {1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .}. Qual suaformula?
Esta sequencia pode ser gerada por
y(n) = y(n 1) + y(n 2),com as seguintes condicoes iniciais,
y(0) = y(1) + y(2) = 1,y(1) = y(0) + y(1) = 1,
pelas quais se determina que y(1) = 0 e y(2) = 1.Aplicando a transformada Z unilateral e usando a propriedade do atraso
tem-se
Y +(z) = z1[Y +(z) +
1n=1
y(n)zn]+ z2
[Y +(z) +
2n=1
y(n)zn]=
= z1[Y +(z) + 0z1
]+ z2
[Y +(z) + 0z1 + 1z2
]=
= z1Y +(z) + z2Y +(z) + 1.
Logo,
Y +(z)(1 z1 z2) = 1 Y +(z) = 11 z1 z2 =
z2
z2 z 1 ,
cujas razes do denominador sao p1 =1+5
2= 1.618 e p2 =
152
= 0.618.Uma expansao em fracoes parciais e
Y +(z)
z=
z
z2 z 1 =A1
(z p1) +A2
(z p2) ,
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 31
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
de onde se obtem
A1 =p15= 0.724, A2 = p2
5= 0.276.
Logo,
Y +(z) =1 +
5
25
zz (1+
5
2)
+ [(1
5)]
25
zz (1
5
2)
,
y(n) =
[1 +
5
25
(1 +
5
2
)n 1
5
25
(15
2
)n]u(n).
4 Funcao de transferencia discreta
Seja q o operador avanco unitario, i.e.,
qx(n) = x(n+ 1),
e q1 o operador atraso unitario, i.e.,
q1x(n) = x(n 1).Aplicando a transformada Z nesta ultima equacao tem-se que
Z[q1x(n)] = Z[x(n 1)] =
n=x(n 1)zn =
= z1
n=x(n 1)z(n1) = z1X(z).
Uma equacao a diferencas pode ser escrita como
(a0+a1q1+a2q2+ . . . +anqn)y(n) = (b0+b1q1+b2q2+ . . . +bmqm)x(n).
Aplicando a transformada Z na equacao a diferencas tem-se(a0+a1z
1+a2z2+ . . .+anzn)Y (z) = (b0+b1z1+b2z2+ . . .+bmzm)X(z).
A funcao de tranferencia dicreta (relacao entra a entrada e a sada) e
H(z) =Y (z)
X(z)=
b0 + b1z1 + b2z2 + . . . + bmzm
a0 + a1z1 + a2z2 + . . . + anzn.
Nota: deve-se ter n m para sistema nao antecipativo.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 32
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
4.1 Polos e zeros
Os zeros de X(z) sao os valores de z tais que X(z) = 0, ou seja, sao as razesdo numerador de X(z).
Os polos de X(z) sao os valores de z tais que X(z) = , ou seja, asrazes do denominador de X(z) quando nao ocorrem cancelamentos entre onumerador e o denominador.
4.2 Interpretacao da funcao de transferencia discreta
Seja a relacao entre entrada e sada
Y (z) = H(z)X(z).
Se a entrada e um impulso unitario, X(z) = Z[(n)] = 1, entao Y (z) =H(z). Portanto, a funcao de transferencia H(z) representa a resposta dosistema ao impulso unitario. Ou ainda, se a resposta ao impulso unitario eh(n) entao
Z[h(n)] = H(z),e a funcao de transferencia do sistema.
5 Discretizacao de plantas analogicas
A maioria dos controladores atuais faz uso de computadores digitais. AFigura 18 mostra um esquema generico de malha de controle usando umcontrolador digital.
A/D D/A
entrada sadaplanta
computadordigital
sensor
controlador
Figura 18: Esquema de controle digital.
O controlador esta representado como na Figura 19 e seus principais ele-mentos sao:
A/D: conversor analogico-digital; H(z): funcao de tranferencia discreta do controlador;
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 33
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
D/A: conversor digital-analogico.
A/D D/AH(z)
Figura 19: Elementos do controlador digital.
E sabido que um controlador analogico (contnuo) e representado poruma funcao de tranferencia em s, ou ainda, uma equacao diferencial. Deforma semelhante, o controlador discreto e representado por uma funcao detranferencia em z, ou ainda, uma equacao a diferencas.
5.1 Modulacao com impulso
Uma funcao contnua x(t) pode ser amostrada usando um trem de impulsoscomo ilustrado na Figura 20, gerando-se a funcao x(t).
modulador
x(t)
x(t)
tt
x(t)
x(t)
T (t)
Figura 20: Modulacao com trem de impulsos.
O trem de impulsos, ilustrado na Figura 21, pode ser escrito como
T (t) =k=0
(t kT ).
A funcao amostrada x(t) e dada por
x(t) = x(t)T (t) =k=0
x(kT )(t kT ),
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 34
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
tempo
impulsos
0 1 2 3 4 . . .
Figura 21: Trem de impulsos.
x(t) x(t)
T
Figura 22: Ilustracao do processo de amostragem como chaveamentoperiodico.
que pode ser representada atraves do processo de chaveamento ilustrado naFigura 22.
Aplicando a transformada de Laplace a` funcao amostrada tem-se que
X(s) = L[x(t)] = 0
[ k=0
x(kT )(t kT )]estdt =
=k=0
x(kT ) 0
(t kT )estdt =k=0
x(kT )eskT .
Definindo z = esT pode-se escrever que
X(s) =k=0
x(kT )zk = X(z),
que e a relacao entre a transformada de Laplace e transformada Z, ou seja,a transformada Z pode ser vista como a respectiva transformada de Laplacede um sinal discretizado.
5.2 Segurador de ordem zero (ZOH)
No processo de discretizacao e usual que seja feito alguma consideracao sobreo comportamento da funcao entre dois pontos de amostragem. A forma usuale manter o valor da funcao constante, caracterizando o que se conhece porsegurador de ordem zero (ZOH - zero order holder do ingles), como ilustradona Figura 23.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 35
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
ZOHT
amostragem
x(t)
x(t)
y(t)
y(t)
tt kT
x(t)
Figura 23: Ilustracao do segurador de ordem zero.
Do ponto de vista matematico, o segurador de ordem zero recebe umimpulso e deve manter seu valor constante ate a chegada do proximo impulso.Isso esta ilustrado na Figura 24.
ZOH
T
(t) = u(t) u(t T )
(t)
tt
(t)
(t)
Figura 24: Operacao do segurador de ordem zero.
Nota-se que a entrada e um impulso (t) e a sada corresponde a um pulsodado por (t) = u(t)u(tT ). Aplicando a transformada de Laplace tantona entrada como na sada tem-se a funcao de transferencia do segurador deordem zero dada por
L[(t)] = H(s)L[(t)] H(s) = 1s(1 esT ).
Seja uma planta sujeita a um sinal de entrada discretizado e precedidapor um ZOH conforme ilustrado na Figura 25.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 36
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
X(s)
amostragem
H(s) = 1s(1 esT ) G(s) Y (s)X
(s)
Figura 25: Efeito do ZOH sobre uma planta.
A relacao entre Y (s) e X(s), incluindo o segurador de ordem zero, e
Y (s) =1
s(1 esT )G(s)
GZOH(s)
X(s) = GZOH(s)X(s).
Verifica-se que
Y (s) = [GZOH(s)X(s)] = GZOH(s)X(s),
e aplicando a transformada Z tem-se queY (z) = GZOH(z)X(z).
O calculo de GZOH(z) pode ser realizado como
GZOH(z) = Z[GZOH(s)] = Z[G(s)
s esT G(s)
s
]=
= Z[G(s)
s
]Z
[esT
G(s)
s
]= (1 z1)Z
[G(s)
s
],
onde constatou-se que esT G(s)s
representa um atraso de G(s)s
de T , e portanto,associa-se um z1.
Uma sequencia para encontrar a transformada Z de uma funcao de tran-ferencia P (s) e
P (s)L1 p(t) p(nT ) Z P (z).
Exemplo: Determinar a funcao de transferencia GZOH(z) para a planta
G(s) =1
s+ 1.
Da definicao de GZOH(s) tem-se que
GZOH(z) = (1 z1)Z[G(s)
s
]= (1 z1)Z
[1
s(s+ 1)
].
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 37
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
Calculando da anti-transformada de Laplace de G(s)s
tem-se
L1[
1
s(s+ 1)
]= (1 et)u(t).
Discretizando o sinal e aplicando a transformada Z tem-se queZ[(1 enT )u(nT )
]= Z[u(nT )]Z[enTu(nT )] =
=z
z 1 z
z eT =z(1 eT )
(z 1)(z eT ) .Consequentemente,
GZOH(z) = (1 z1) z(1 eT )
(z 1)(z eT ) =1 eTz eT .
Nota: o processo de amostragem somado ao efeito de um segurador deordem zero e chamado de transformacao do degrau invariante.
6 Mapeamento s zDa relacao entre transformada de Laplace e transformada Z foi estabelecidoque
z = esT .
Esta relacao e usada para converter requisitos de desempenho do plano spara o plano z.
Seja inicialmente o eixo imaginario no plano s, s = jw. Logo, z = ejwT
que corresponde a um numero complexo de modulo unitario e angulo de fasewT . Nota-se que ao se variar w, percorre-se o crculo unitario.
Seja agora uma subregiao do semi-plano esquerdo do plano s definidapelos pontos + jw, > 0, conforme ilustrado na Figura 26.
Os valores de z correspondentes sao dados por
z = e(+jw)T = eT ejwT ,
de onde se verifica, como > 0, que
|z| = eT < 1,ou seja, o mapeamento corresponde a um crculo de raio menor que um nointerior do crculo de raio unitario.
Observa-se que pontos sobre o eixo real negativo no plano s correspondema pontos no intervalo de [0, 1] do plano z, ou seja,
s = z = eT 0 < z < 1, ( > 1).
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 38
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
1
ImIm
ReRe
plano s plano z
(+ jw)
Figura 26: Mapeamento de uma subregiao do plano s para o plano z.
6.1 Mapeamentos importantes para projeto
Sao importantes para projeto os mapeamentos para o tempo de estabilizacao(te), o fator de amortecimento () e a frequencia natural (wn), que sao des-critos a seguir.
Tempo de estabilizacao, te. Seja um polo dominante dado por s = + jw. O tempo de estabilizacao a 2% pode ser aproximado porte2% =
4. O mapeamento correspondente e
z = e(+jw)T = eT ejwT = r ejwT .
Verifica-se que quando r diminui, o tempo de estabilizacao te tambemdiminui. O mapeamento correspondente esta ilustrado na Figura 27.
Fator de amortecimento, . Para um sistema de segunda ordem, ospolos sao dados por
s = wn jwn1 2.
Para uma faixa de fator de amortecimento > c, tem-se uma regiaosimetrica em relacao ao eixo real conforme mostrada na Figura 28 noplano s.
Considerando apenas o polo s = wn+jwn1 2 devido a` simetria,
tem-sez = e(wn+jwn
12)T = ewnT ejwn
12T ,
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 39
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
1
rte
ImIm
ReRe
plano s plano z
Figura 27: Mapeamento em termos de tempo de estabilizacao.
= cos
> c
Im
Re
plano s
Figura 28: Regiao correspondente a uma faixa de fator de amortecimento.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 40
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
e entao e possvel escrever o modulo e a fase como
|z| = ewnT , z = wn1 2T.
Para um valor constante e se variando wn, a magnitude de z decresceexponencialmente e a fase varia de forma linear, gerando uma espirallogartmica conforme mostrada na Figura 29.
1
ImIm
ReRe
plano s plano z
Figura 29: Mapeamento s z para constante.
Frequencia natural, wn. Para wn constante o mapeamento e mais com-plicado. Embora a magnitude de z decresca exponencialmente, a fasenao depende linearmente de .
Para = 0 entaoz = e0ejwnT = ejwnT ,
que corresponde a um ponto sobre o crculo unitario e angulo wnT .
Para = 1 entaoz = ewnT e0 = ewnT ,
que corresponde a um ponto sobre o eixo real com magnitude ewnT .
Graficamente, o mapeamento pode ser representado como na Figura30.
Requisitos multiplos. Ao se impor mais de um requisito tem-se a ins-terseccao de regioes. Por exemplo, se for especificado um tempo deestabilizacao juntamente com um requisito de frequencia natural, tem-se uma regiao no plano z como a da Figura 31.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 41
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
wn
ImIm
ReRe
plano s plano z
Figura 30: Mapeamento s z para uma frequencia natural wn.
r
Im Im
Re Re
plano s plano z
Figura 31: Regiao correspondente aos requisitos multiplos de frequencia na-tural e tempo de estabilizacao.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 42
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
6.2 Metodos de integracao numerica
Na conversao de funcoes de transferencia analogicas para funcoes de trans-ferencia discretas, existe o interesse de preservar as caractersticas da respostano tempo e em frequencia. Contudo, na maioria das vezes nao e possvel aten-der a estes dois requisitos simultaneamente. Quando se preserva a respostano tempo, normalmente perde-se na resposta em frequencia, e vice-versa.
As tecnicas usuais de transformacao sao: Euler para frente, Euler paratras e transformacao bilinear, que sao descritas brevemente a seguir.
6.2.1 Transformacao Euler para tras
Seja uma aproximacao para y(t) no tempo t = nT dada por
y(nT ) y(nT ) y(nT T )T
=y(n) y(n 1)
T,
e ilustrada na Figura 32.
y
n nn 1
y(n)
y(n 1) dydt yt
Figura 32: Aproximacao para a regra de Euler para tras.
Aplicando a transformada Z nesta equacao aproximada pode-se escreverque
Z[y(nT )] = 1 z1
TY (z).
A transformada de Laplace no caso contnuo e
L[y(t)] = sY (s).Comparando estes dois resultados, como ilustrado na Figura 33, e possvel
estabelecer a seguinte relacao
s =1 z1
T s = z 1
Tz,
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 43
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
y(n)
y(t)s
y(t) = dydt
1z1T
y(n)y(n1)T
Figura 33: Paralelo entre o caso contnuo e discreto com a aproximacao deEuler para tras.
que caracteriza a transformacao de Euler para tras para a discretizacao defuncoes de transferencia contnuas.
As relacoes s = 1z1
Te z = 1
1sT correspondem a um mapeamento entreos planos s e z.
Seja s = jw um ponto sobre o eixo imaginario. Logo,
z =1
1 jwT =1
1 + w2T 2 x
+jwT
1 + w2T 2 y
= x+ jy,
o que permite verificar que x2 + y2 = x, ou ainda, (x 12)2 + y2 = 1
4, que
corresponde a uma equacao de um crculo com raio 12. Isso significa que
pecorrer o eixo imaginario no plano s corresponde a percorrer um crculo decentro (1
2, 0) e raio 1
2no plano z.
Verifica-se ainda que a transformacao s = 1z1
Tleva pontos do semi-
plano esquerdo no plano s para o interior deste crculo de raio 12, ou seja, um
sistema contnuo estavel (polos no semi-plano esquerdo) tera seu correspon-dente discreto tambem estavel, pois este crculo esta contido no crculo deraio unitario. O mapeamento da regra de Euler para tras esta ilustrado naFigura 34.
Contudo, com o uso de regra de Euler para tras, a resposta em frequenciano caso discreto, que corresponde aos pontos sobre o crculo unitario, naoconduzem a uma representacao compatvel no plano s, o que motiva o em-prego de outras transformacoes.
6.2.2 Transformacao Euler para a frente
Seja agora a aproximacao para y(t) no tempo t = (n 1)T dada por
y(n 1) y(n) y(n 1)T
.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 44
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
1 12
ImIm
ReRe
plano s plano z
semi-planoesquerdo
Figura 34: Mapeamento da regra de Euler para tras.
Aplicando a transformada Z tem-se para esta aproximacao
z1Z[y(n)] = 1 z1
TZ[y(n)] Z[y(n)] = 1 z
1
Tz1Z[y(n)].
E possvel estabelecer o seguinte paralelo entre z e s como mostrado naFigura 35.
y(n)
y(t)
1z1Tz1
sy(t)
y(n)
Figura 35: Paralelo entre z e s na transformacao de Euler para a frente.
Portanto, escreve-se para a transformacao de Euler para a frente que
s =1 z1Tz1
=z 1T
.
A regra de Euler para a frente tem a desvantagem de nem sempre preser-var a estabilidade, o que demanda cuidado no seu uso.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 45
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
6.2.3 Transformacao bilinear - Tustin
Seja um sistema de primeira ordem dado por
a1y(t) + a0y(t) = b0x(t),
cuja funcao de tranferencia e
G(s) =b0
a1s+ a0.
E possvel escrever que
y(t) = tt0y(t)dt+ y(t0).
Seja um intervalo de tempo tal que t = nT e t0 = (n 1)T . Logo,
y(nT ) = nT(n1)T
y(t)dt+ y((n 1)T ).
Esta integral pode ser aproximada pela regra dos trapesios, ou seja,
nT(n1)T
y(t)dt T2[y(nT ) + y((n 1)T )] ,
como ilustrado na Figura 36.
area do trapezio
y(nT )
y((n 1)T )
(n 1)T nT
Figura 36: Area do trapezio.
Portanto, uma aproximacao valida e
y(nT ) = y((n 1)T ) + T2[y(nT ) + y((n 1)T )] .
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 46
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
Da equacao diferencial escreve-se que
y(t) =a0a1
y(t) +b0a1x(t),
que pode ser usada para substituir os termos y(nT ) e y((n 1)T ), ou seja,
y(nT ) = y((n1)T )+T2
[a0a1
y(nT ) +b0a1x(nT ) a0
a1y((n 1)T ) + b0
a0x((n 1)T )
],
cuja transformada Z e
Y (z) = z1Y (z) +T
2
[a0a1
Y (z) +b0a1X(z) a0
a1z1Y (z) +
b0a1z1X(z)
],
Y (z)(1 z1 + T
2
a0a1
+T
2
a0a1z1
)=
T
2
(b0a1
+b0a1z1
)X(z),
e portanto pode-se escrever que
H(z) =Y (z)
X(z)=
b0
a12T
(1z11+z1
)+ a0
.
Comparando H(z) com G(s) conclui-se que
s =2
T
(1 z11 + z1
)=
2
T
(z 1z + 1
),
ou ainda,
z =1 + sT
2
1 sT2
,
que caracteriza a transformacao bilinear ou transformacao de Tustin.O mapeamento s z obtido com a transformacao bilinear e mostrado na
Figura 37. Verifica-se que a transformacao de Tustin mapeia o semi-planoesquerdo em s para o interior do crculo unitario no plano z.
Uma verificacao pode ser feita fazendo s = jw (eixo imaginario) e obtendoa equacao correspondente em z, ou seja,
z =1 + jw T
2
1 jw T2
=
(1 + jw T
2
1 jw T2
)(1 + jw T
2
1 + jw T2
)=
1 + jwT w2 T 24
1 + w2 T2
4
,
cujo modulo e
|z| = 11 + w2 T
2
4
(1 w2T 2
4
)2+ w2T 2
1
2
= 1.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 47
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
e a fase de z e dada por
tanz =wT
1 w2 T 24
= 2wT2
1(wT2
)2 .Portanto, quando w cresce, a fase varia e o modulo permanece constante
e unitario, o que significa caminhar sobre o crculo unitario.
1
ImIm
ReRe
plano s plano z
semi-planoesquerdo
Figura 37: Mapeamento dado pela transformacao bilinear.
Exemplo: Verificar a estabilidade da planta discretizada usando as trans-formacoes de Euler para tras, Euler para a frente e bilinear para a discre-tizacao da planta
H(s) =1
s+ 1.
A planta contnua e estavel, pois seu polo e 1. Discretizacao pela regra de Euler para frente.
H(z) = H(s)|s= z1T
=1
( z1T) + 1
=T
z 1 + T ,
cujo polo e dado por z 1+T = 0, ou seja, z = 1T . Se T > 2 entaoo polo esta fora do crculo unitario, e o sistema discreto sera instavel.
Discretizacao pela regra de Euler para tras.
H(z) = H(s)| z1Tz
=1
( z1Tz
) + 1=
Tz
z 1 + Tz ,
cujo polo e dado por z 1 + Tz = 0, ou seja, z = 11+T
, o que permiteconcluir que para T > 0 a planta discretizada sera sempre estavel.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 48
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
Discretizacao pela regra de Tustin.
H(z) = H(s)| 2T (
z1z+1)
=1
2T
(z1z+1
)+ 1
=T (z + 1)
2(z 1) + T (z + 1) ,
cujo polo e dado por
2(z 1) + T (z + 1) = 0 z = 2 T2 + T
.
Para T > 0 nota-se que o sistema discretizado sera sempre estavel.
6.2.4 Transformacao pelo metodo do impulso invariante
A ideia da discretizacao pelo metodo do impulso invariante e que o sistemadiscretizado deve apresentar a mesma resposta ao impulso que o sistemacontnuo.
Seja um sistema contnuo como representado na Figura 38.
(t)sistemaG(s)
h(t)
Figura 38: Sistema contnuo - entrada impulsiva.
Seja agora um sistema discreto como representado na Figura 39.
(n)sistemaG(z)
h(n)
Figura 39: Sistema discreto - entrada impulsiva.
Para que a resposta ao impulso seja preservada, h(n) deve ser a versaoamostrada de h(t). Portanto,
G(z) = Z[h(n)] = Z [h(t)|t=nT ] = Z[(L1[G(s)]
)t=nT
].
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 49
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
Exemplo: Encontrar a planta discretizada G(z) pelo metodo do impulsoinvariante para um intervalo de amostragem T , correspondente a` planta
G(s) =A
s+ .
A resposta ao impulso do sistema contnuo e dada por
h(t) = L1[G(s)] = Aetu(t).A versao amostrada de h(t) e
h(nT ) = AenTu(nT ) = A(eT )nu(n) = h(n).
Logo,
G(z) = Z[h(n)] = Z[A(eT )nu(n)
]=
Az
z eT .
Exemplo: Verificar as respostas impulsivas do sistema contnuo e do sis-tema discreto usando a transformacao do impulso invariante para
G(s) =10
s+ 5,
com intervalo de amostragem de 0.1s.Usando a solucao do exemplo anterior, verifica-se que A = 10 e = 5, e
a funcao de tranferencia discreta sera
G(z) =Az
z eT =10z
z e5T .Como T = 0.1 tem-se que
G(z) =10z
z e0.5 =10z
z 0.6065 .As respostas impulsivas podem ser calculadas com auxlio do aplicativo
Matlab e sao mostradas na Figura 40.Um codigo Matlab que discretiza G(s) e calcula as respostas impulsivas
e
clear all; close all; clc;
s=tf(s);
gs=10/(s+1);
ts=0.1;
gz=c2d(gs,ts,imp)
impulse(gs)
hold on
impulse(gz)
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 50
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10Impulse Response
Time (sec)
Ampl
itude
Figura 40: Resposta ao impulso dos sistemas contnuo e discreto.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 51
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
Note que a resposta impulsiva foi preservada. Contudo, a resposta aodegrau dos sistemas contnuo e discreto e muito diferente como mostrado naFigura 41.
0 1 2 3 4 5 60
20
40
60
80
100
120Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
Figura 41: Resposta ao degrau dos sistemas contnuo e discreto.
7 Analise de erro estacionario
O teorema do valor final estabelece que
limn e(n) = limz1
(z 1)E(z).
Seja uma situacao de realimentacao unitaria conforme esquematizada naFigura 42.
A transformada Z do erro pode ser escrita comoE(z) = R(z) Y (z) = R(z)G(z)E(z),
E(z) =1
1 +G(z)R(z).
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 52
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
Y (z)G(z)
E(z)R(z)
Figura 42: Esquema de realimentacao unitaria.
O erro estacionario para as entradas mais usuais pode ser determinadousando o teorema do valor final como a seguir.
Para uma entrada na forma de degrau unitario, tem-se que
E(z) =
(1
1 +G(z)
)(z
z 1).
Logo,e() = lim
z1[(z 1)E(z)] =
= limz1
[(z 1)
(1
1 +G(z)
)(z
z 1)]
=1
1 +G(1)
Se G(1) e finito, o sistema de malha fechada vai apresentar um erroestacionario constante para a entrada degrau unitario. Este sistemae do tipo zero (0) e define-se a constante de erro de posicao comokpos = G(1) de forma que o erro estacionario e dado por
e() = 11 + kpos
.
Para uma entrada na forma de rampa unitaria r(n) = nT tem-se que
E(z) =
(1
1 +G(z)
)[zT
(z 1)2].
Logo,e() = lim
z1(z 1)E(z) =
= limz1
{(z 1)
(1
1 +G(z)
)[zT
(z 1)2]}
=
= limz1
{(1
1 +G(z)
)[zT
(z 1)
]}.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 53
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
Seja o caso em que G(z) nao tem polos em z = 1, ou seja,
G(z) =f(z)
(z p1)(z p2) . . . ,
com p1 6= 1, p2 6= 1, . . . . Neste caso, escreve-se que
e() = limz1
11 + f(z)
(zp1)(zp2)...
( zT
z 1) =
= limz1
{[(z p1)(z p2) . . .
(z p1)(z p2) . . .+ f(z)
] (zT
z 1)}
=,
pois, p1 6= 1, p2 6= 1, . . . . Note que o erro estacionario e infinito.Seja agora o caso em que G(z) tem um polo em z = 1, por exemplo,p1 = 1. Logo,
e() = limz1
{[(z p2) . . .
(z p1)(z p2) . . .+ f(z)
]zT
}=
=T (z p2) . . .
f(z)
z=1
=T
(z 1)G(z)
z=1
,
que caracteriza um erro estacionario finito.
Este sistema e do tipo 1 e se define a constante de erro de velocidadecomo
kvel =(z 1T
)G(z)
z=1
,
de forma que
e() = 1kvel
.
Caso geral. Para um sistema discreto com realimentacao unitaria, otipo do sistema e igual ao numero de polos em z = 1.
Para uma entrada de ordem elevada k dada por
r(n) =(nT )k
k!,
escreve-se a constante de erro respectiva como
kk =(z 1)k
T kG(z)
z=1
,
e k e o tipo do sistema.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 54
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
Nota: se G(s) e discretizada usando um ZOH entao G(s) e G(z) pos-suem a mesma constante de erro. Logo, a constante de erro pode ser obtidadiretamente no plano s.
Exemplo: Seja G(s) = 10(s+2)(s+5)
. Usando a conversao ZOH com T = 0.1s
compare as respostas ao degrau unitario de G(s) e G(z).
Resposta para G(s).
Y (s) =
[10
(s+ 2)(s+ 5)
] (1
s
)=
A
s+
B
(s+ 2)+
C
(s+ 5).
A =10
(s+ 2)(s+ 5)
s=0
= 1,
B =
[10
(s+ 5)
] (1
s
)s=2
=10
(2 + 5)(2) =53,
C =10
(s+ 2)s
s=5
=10
(5 + 2)(5) =2
3.
Logo,
Y (s) =1
s 5
3
1
(s+ 2)+
2
3
1
(s+ 5),
e entao,
y(t) = L1[Y (s)] =(1 5
3e2t +
2
3e5t
)u(t).
Resposta discretizada para T = 0.1.
y(nT ) =(1 5
3e0.2n +
2
3e0.5n
)u(nT ) = y(n).
Calculo de GZOH(z).
GZOH(z) = (1 z1)Z[G(s)
s
]= (1 z1)Z
[10
(s+ 2)(s+ 5)s
],
L1[
10
(s+ 2)(s+ 5)s
]=(1 5
3e2t +
2
3e5t
)u(t),
Z[(1 5
3e0.2n +
2
3e0.5n
)u(nT )
]=
z
z 15
3
(z
z e0.2)+2
3
(z
z e0.5),
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 55
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
GZOH(z) = (1 z1)[
z
z 1 5
3
(z
z e0.2)+
2
3
(z
z e0,5)]
=
=z 1z
[z
z 1 5
3
(z
z 0.8187)+
2
3
(z
z 0.6065)]
,
GZOH(z) = 1 53
(z 1)(z 0.8187) +
2
3
(z 1)(z 0.6065) =
=(z 0.8187)(z 0.6065) 5
3(z 1)(z 0.6065) + 2
3(z 1)(z 0.8187)
(z 0.8187)(z 0.6065) ,
GZOH(z) =0.0398z + 0.0315
z2 1.4253z + 0.4966 .
A resposta ao degrau sera dada por
y(n) = Z1[(
0.0398z + 0.0315
z2 1.4253z + 0.4966)(
z
z 1)]
.
8 Resposta em frequencia
8.1 Problemas com a discretizacao ZOH
Seja o seguinte exemplo.
Exemplo: Comparar a resposta em frequencia da planta contnua
G(s) =10
s+ 1,
com sua versao discretizada usando um ZOH para diferentes tempos de amos-tragem.
A resposta em frequencia pode ser calculada com o aplicativo Matlab e emostrada na Figura 43.
E possvel notar que:
A diminuicao do intervalo de amostragem T , ou o aumento da frequenciade amostragem, leva a` uma aproximacao do caso contnuo.
A frequencia de banda de passagem do sistema contnuo, ou seja, afrequencia em que a resposta cai em 3dB (ver Figura 44) e 1rad/s.De acordo com o teorema da amostragem, deve-se adotar pelo menoso dobro disso, ou seja, 2rad/s. Isso corresponde a um intervalo deamostragem maximo dado por Tmax = 2/2 = 3.14s.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 56
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
5
0
5
10
15
20
Mag
nitu
de (d
B)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10630
540
450
360
270
180
90
0
Phas
e (de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
contnuoT = 1T = 0.5T = 0.1
Figura 43: Respostas em frequencia para diferentes intervalos de amostra-gem.
wb
3dB w
amplitude
Figura 44: Largura de banda do filtro analogico, wb.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 57
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
Nota-se no diagrama de Bode, que mesmo para um intervalo de amos-tragem T = 1s, as respostas em frequencia sao muito diferentes.
Uma boa aproximacao somente foi conseguida para T = 0.1s, cerca de30 vezes menor que Tmax.
Neste caso, verifica-se que a resposta em frequencia e significativamentemodificada com a discretizacao do tipo ZOH, que deve ser usada com muitocriterio na discretizacao de filtros.
8.2 Warping
A transformacao bilinear causa uma distorcao no eixo da frequencia conhe-cida como warping.
A relacao entre o tempo e o respectivo ponto da sequencia gerada atravesda amostragem e dada por
t = nT =n
Fs,
onde T e o intervalo de amostragem e Fs = 1/T e a frequencia de amostragem.Existe uma relacao entre a frequencia de um sinal contnuo (F ou ) e a
frequencia do sinal discreto amostrado (f ou w). Considere o sinal analogicodado por
xa(t) = A cos(2Ft+ ),
e sua versao amostrada dada por
xa(nt) = x(n) = A cos(2FnT + ) = A cos(2Fn
Fs+
)= A cos(2fn+ ),
com f = FFs, ou ainda, = 2F e w = 2f . Logo,
w = 2F
Fs= 2
2Fs=
Fs= T.
Sejam a frequencia no plano s e w a frequencia no plano z. Usando arelacao da transformacao bilinear e as relacoes s = j, z = esT e w = T ,tem-se
j =2
T
(ejw 1ejw + 1
)=
2
T
2jsen
(w2
)2 cos
(w2
) = j 2
Ttan
(w
2
),
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 58
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
que permite escrever que
=2
Ttan
(w
2
),
ou tambem
w = 2 tan1(T
2
).
No sentido de trabalhar com frequencias equivalentes no tempo contnuo,e possvel reescrever as equacoes de warping como:
s =2
Ttan
(zT
2
),
z =2
Ttan1
(sT
2
).
As equacoes anteriores caracterizam as formulas de warping e represen-tam como a transformacao bilinear distorce o eixo de frequencias no processode discretizacao.
Seja o sistema contnuo de primeira ordem dado por
H(s) =1
sa+ 1
,
que possui a largura de banda as.Para que a largura de banda az do filtro digital seja igual a` largura de
banda as do filtro analogico escreve-se que
as =2
Ttan
(azT
2
).
Nota-se que diminuindo o intervalo de amostragem T , entao tan(azT2
)
azT2, e consequentemente az as.
Exemplo: Verificar a distorcao causada pela transformacao bilinear nadiscretizacao da planta
H(s) =2
s+ 2,
para os intervalos de amostragem de 1s e 0.5s.A comparacao pode ser feita em termos da frequencia da largura de banda.
O filtro contnuo possui largura de banda de 2rad/s.
Para T = 1s, a lagura de banda do filtro discreto e
az =2
1tan1
(2 12
)= 1.5707
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 59
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
Para T = 0.5s, a lagura de banda do filtro discreto e
az =2
0.5tan1
(2 0.5
2
)= 1.8546
Verifica-se a aproximacao dos sistemas contnuo e discretos com a dimi-nuicao do intervalo de amostragem T . A Figura 45 apresenta as curvas deamplitudes.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 535
30
25
20
15
10
5
0
Mag
nitu
de (d
B)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
contnuoT = 1T = 0.5
Figura 45: Respostas em frequencia para diferentes intervalos de amostragemna discretizacao de Tustin.
8.3 Pre-warping
E possvel compensar o efeito da distorcao causada pelo warping no filtroanalogico antes da discretizacao deste.
Seja novamente o caso de um filtro de primeira ordem dado por
H(s) =1
sa+ 1
.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 60
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
para o qual se sabe que a largura de banda e a.Este filtro analogico pode ser corrigido, escrevendo-se que
Hpw(s) =1
sa+ 1
,
onde
a =2
Ttan
(aT
2
),
e conhecida como a relacao de pre-warping.O filtro Hpw(s), ao ser discretizado pela transformacao bilinear, resultara
em um filtro digital com a mesma largura de banda que o filtro analogicooriginal H(s).
Seja agora o filtro
H(s) =k
s+ a Hpw(s) = k
s+ a,
que ao se aplicar a transformacao bilinear apresentara uma alteracao doganho estatico. Para evitar isto, divide-se inicialmente por a, colocando-se afuncao de transferencia em uma forma preparada, ou seja,
H(s) =ka
sa+ 1
H(s) = ksa+ 1
,
e entao aplica-se a correcao de pre-warping,
Hpw(s) =k
sa+ 1
.
O proximo exemplo ilustra a correcao com pre-warping.
Exemplo: Usar a transformacao bilinear com pre-warping para discretizarH(s) com T = 0.5s,
H(s) =10
s+ 2.
A forma preparada e
H(s) =5
s2+ 1
.
Para T = 0.5s, tem-se,
a =2
0.5tan
(2 0.5
2
)= 2.1852
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 61
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
e entao,
Hpw(s) =5
s2.1852
+ 1.
Aplicando a transformacao bilinear em Hpw(s) tem-se
Hz(z) =5
s2.1852
+ 1
s= 2
Tz1z+1
= 1.7665z + 1
z 0.2934 .
A Figura 46 apresenta uma comparacao da resposta em frequencia paraeste exemplo usando alguns valores de intervalo de amostragem.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1060
50
40
30
20
10
0
10
20
Mag
nitu
de (d
B)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
contnuo
T = 1T = 0.5
Figura 46: Respostas em frequencia para diferentes intervalos de amostragemna discretizacao de Tustin com pre-warping.
Note que as curvas sao proximas ate a frequencia de 2rad/s, que cor-responde a` largura de banda dos sistemas. Contudo, para outras faixas defrequencia as respostas sao muito diferentes.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 62
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
Caso H(s) nao tivesse sido colocada na forma preparada, ter-se-ia que
Hpw(s) =10
s+ 2.1852=
102.1852s
2.1852+ 1
,
que e diferente do resultado obtido com a forma preparada em termos doganho estatico, motivo pelo qual e importante trabalhar na forma preparada.
O procedimento de pre-warping nao e imediato quando se trata de filtrosde maior ordem, surgindo duvidas, por exemplo, de qual polo considerarpara fazer a correcao de pre-warping. Uma alternativa e realizar o projetodiretamente no plano z.
8.4 Frequencia crtica de pre-warping
Este procedimento e empregado quando um controlador analogico deve sersubstitudo por um equivalente e deve preservar a resposta em frequenciapara um certo valor especfico de frequencia.
Seja a transformacao bilinear, ou de Tustin, escrita como
s = kz 1z + 1
,
com k = 2Tna sua forma padrao.
A questao que se coloca e se e possvel encontrar um outro valor dek tal que a resposta em frequencia seja exata para uma certa frequenciaespecificada c.
A formula de pre-warping, considerando que se deseja as mesmas respos-tas analogica e discreta para c, pode ser escrita como
c = k tan(cT
2
),
e consequentemnete e possvel obter o seguinte valor para k:
k =c
tan(cT2
) .Neste caso, os valores das respostas em frequencia de H(s) e H(z) serao
identicos para a frequencia c.Note que quando T diminui, aproxima-se da transformacao de Tustin na
sua forma padrao.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 63
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
Exemplo: Seja um filtro notch dado por
H(s) =s2 + 0.2s+ 100
s2 + 10s+ 100.
Determinar o filtro digital que preserve o notch para T = 0.1s.O notch ocorre para a frequencia de 10rad/s que sera a considerada a
frequencia crtica. Logo,
k =10
tan(100.1
2
) = 18.305,e consequentemente determina-se do filtro discretizado como
H(z) = H(s)|s=18.305 z1z+1
=0.7098z2 0.7606z + 0.6979
z2 0.7606z + 0.4077 .
A figura 47 mostra as respostas em frequencia correspodentes ao sistemacontnuo, ao sistema discretizado pela transformacao de Tustin e ao sistemadiscretizado com pre-warping.
Verifica-se que o emprego do pre-warping preservou as caractersticas donotch.
9 Projeto no plano z
A conversao de um controlador contnuo para um controlador digital e feitausualmente atraves da regra de Tustin com ou sem pre-warping. Estastecnicas sao boas para altas frequencias de amostragem. Para baixas frequenciasde amostragem, este tipo de tecnica normalmente apresenta alguns inconve-nientes, pois a resposta do controlador digital e muito diferente da respostado controlador contnuo. Alternativamente, o projeto de forma direta noplano z permite incorporar o efeito da taxa de amostragem diretamente noprojeto.
9.1 Controle PID - Metodo Ziegler-Nichols
E sabido que:
o efeito integral aumenta o tipo do sistema, o que reduz o erro esta-cionario;
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 64
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
6 7 8 9 10 11 12 13 1435
30
25
20
15
10
5
0
Mag
nitu
de (d
B)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
contnuopre-warpingsem pre-warping
Figura 47: Respostas em frequencia com e sem pre-warping.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 65
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
o efeito derivativo aumenta o amortecimento, e consequentemente aestabilidade do sistema.
O controlador PID digital mais comum e dado por
K(z) = kp + kdz 1zT
+ kizT
z 1 ,
onde foi usada a integracao de Euler para tras.O metodo de Ziegler-Nichols pode ser usado como ferramenta de projeto,
e os seus principais passos sao:
Fazer kd = ki = 0 e determinar o ganho proporcional km tal que o sis-tema comece a oscilar (polos de malha fechada sobre o crculo unitario).
Calcularkp = 0.6km, kd =
kp
4wm, ki =
kp wm
,
onde wm e a frequencia correspondente ao ponto do ganho km.
A determinacao de wm pode ser feita atraves de:
= 0, e entao z = ejwmT . Logo, o angulo do polo z e = wmT , e entaotem-se wm =
T;
ou determinando a resposta ao degrau da malha fechada com kp = kme medindo a frequencia wm diretamente da resposta oscilatoria.
Exemplo: Projetar um controlador PID pelo metodo de Ziegler-Nicholscom T = 0.25s para controlar a planta
P (s) =10
s(s+ 2).
A planta deve ser discretizada com um ZOH, ou seja,
P (z) =0.2663z + 0.2255
z2 1.607z + 0.6065 .
O lugar das razes de P (z) e mostrado na Figura 48, e determina-se, deforma aproximada, o ponto da estabilidade marginal sobre o crculo unitariode forma que o ganho correspondente e o polo sao
km = 1.8503, z1 = 0.5569 + 0.8448j.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 66
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 12
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
km
Figura 48: Grafico do lugar da razes, projeto PID por Ziegler-Nichols.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 67
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
O angulo correspondente ao polo z1 e 0.9880, que permite determinar wmcomo
wm =0.9880
0.25= 3.9520.
Portanto, as constantes do controlador PID K(z) sao
kp = 1.1102, kd = 0.2206, ki = 1.3965.
A malha aberta e
G(z) = K(z)P (z) =0.1559z3 0.05941z2 0.1033z + 0.049750.25z4 0.6516z3 + 0.5533z2 0.1516z ,
e a malha fechada e
T (z) =0.1559z3 0.05941z2 0.1033z + 0.04975
0.25z4 0.4957z3 + 0.4939z2 0.255z + 0.04975 .
A resposta ao degrau da malha fechada e mostrada na Figura 49.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
Figura 49: Resposta ao degrau da malha fechada, projeto PID por Ziegler-Nichols.
Um codigo em Matlab para este projeto e
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 68
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
clear all; close all; clc;
s=tf(s);
ps=10/(s*(s+2));
ts=0.25;
pz=c2d(ps,ts)
axis(square)
rlocus(pz,k)
[km,polo]=rlocfind(pz)
wm=angle(polo(1))/ts
kp=0.6*km;
kd=kp*pi/(4*wm);
ki=kp*wm/pi;
z=tf(z,ts)
kz=kp+kd*(z-1)/(z*ts)+ki*z*ts/(z-1);
gz=kz*pz
tz=feedback(gz,1)
figure
step(tz,k)
damp(tz)
9.2 PID - projeto analtico com base no lugar das razes
Uma forma de um controlador PID discreto e
K(z) = kp + kdz 1zT
+ kizT
z 1 .
O esquema de controle e mostrado na Figura 50.
R YK(z) P (z)
Figura 50: Esquema de malha fechada com realimentacao unitaria.
A funcao de transferencia de malha fechada e
Y
R=
K(z)P (z)
1 +K(z)P (z).
A equacao do lugar das razes e dada por
1 +K(z)P (z) = 0,
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 69
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
e entao tem-se que
(kp + kd
z 1zT
+ kizT
z 1)P (z) = 1.
Seja ki conhecido ou obtido pelo requisito de erro estacionario, e seja z1um polo especificado de acordo com os requisitos de desempenho no tempo.Considerando ki e z1 conhecidos e possvel escrever que
kp + kdz1 1z1T
= 1P (z1)
ki z1Tz1 1 , (2)
que representa uma equacao complexa.Seja
+ j =z1 1z1T
,
e a e b as partes real e imaginaria do membro direito de (2).Logo,
kp + kd(+ j) = a+ jb,
e consequentemente,
kp + kd = a kp = a kd,
kd = b kd = b,
permitindo a obtencao das constantes do controlador PID.Exemplo: Projetar um controlador PID que satisfaca o seguintes requi-
sitos para a malha fechada: fator de amortecimento = 0.707 e frequencianatural wn = 1.414rad/s. A planta e P (s) =
10s(s+2)
e deve acompanharuma rampa unitaria com erro estacionario nulo. Considerar o intervalo deamostragem T = 0.25s.
O polo desejado no plano s e
s1 = wn + jwn1 2 = 1 + j.
A localizacao deste polo no plano z e
z1 = es1T = e(1+j)0.25 = e0.25e0.25j = 0.7788e0.25j .
Verifica-se, com o auxlio da Figura 51, que
ej = cos + jsen,
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 70
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
Im
Re
Figura 51: Representacao de ej.
e0.25j = cos(0.25) + jsen(0.25) = 0.9689 + j0.2474.
Portanto, o polo desejado no plano z, e
z1 = 0.7788(0.9689 + j0.2474) = 0.7546 + j0.1927.
Utiliza-se na discretizacao da planta um ZOH, o que permite analisar aconstante de erro diretamente no plano s. Como o sistema e do tipo 1, e oPID aumentara o tipo da malha aberta para 2, entao o erro estacionario a`rampa sera nulo. Isso fornece flexibilidade na escolha de ki.
A planta discretizada com o ZOH e
P (z) =0.2663z + 0.2255
z2 1.607z + 0.6065 .
E possvel determinar que
P (z1) = 5.6177 + 0.7359j, = 0.9764, = 1.2707,
e consequentemente
kp = 0.9531, kd = 0.4074.
A malha aberta e
G(z) = K(z)P (z) =0.1886z3 0.1208z2 0.129z + 0.091880.25z4 0.6516z3 + 0.5533z2 0.1516z ,
e a malha fechada e
T (z) =0.1886z3 0.1208z2 0.129z + 0.09188
0.25z4 0.463z3 + 0.4325z2 0.2806z + 0.09188 .
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 71
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.51.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
Figura 52: Lugar da razes de G(z), projeto PID analtico.
Tabela 2: Caractersticas dos polos de malha de fechada.polo amplitude amortecimento frequencia (rad/s)
7.55E-01 + 1.93e-01j 7.79E-01 7.07E-01 1.41E+007.55E-01 - 1.93e-01j 7.79E-01 7.07E-01 1.41E+001.71E-01 + 7.59e-01j 7.78E-01 1.83E-01 5.49E+001.71E-01 - 7.59e-01j 7.78E-01 1.83E-01 5.49E+00
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 72
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
Figura 53: Resposta ao degrau de T (z), projeto PID analtico.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 73
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
As figuras 52 e 53 apresentam o diagrama do lugar das razes de G(z e aresposta ao degrau de T (z).
Os polos da malha fechada e suas caractersticas em termos de amorteci-mento e frequencia natural sao dados na Tabela 2.
A seguir tem-se um codigo MATLAB que calcula todas as etapas doprojeto.
clear all; close all; clc;
ki=1;
s=tf(s);
ps=10/(s*(s+2));
ts=0.25;
pz=c2d(ps,ts)
s1=-1+j;
z1=exp(s1*ts)
pz1=freqresp(pz,z1)
a=-real(1/pz1+ki*z1*ts/(z1-1))
b=-imag(1/pz1+ki*z1*ts/(z1-1))
alfa=real((z1-1)/(z1*ts))
beta=imag((z1-1)/(z1*ts))
kd=b/beta
kp=a-alfa*kd
z=tf(z,ts)
kz=kp+kd*(z-1)/(z*ts)+ki*z*ts/(z-1)
gz=kz*pz;
rlocus(gz,k)
tz=feedback(gz,1);
figure
step(tz,k)
damp(tz)
Algumas consideracoes sobre o projeto PID analtico sao:
So e garantida a posicao de um dos polos do sistema z1. Nao ha controleda posicao dos outros polos.
A escolha de ki depende do requisito de erro estacionario. Dependendodo problema, esta escolha pode ser arbitraria e afetar a estabilidade damalha fechada.
No caso do exemplo anterior, note que as especificacoes em termos deamortecimento e frequencia natural foram atingidas. Contudo, existeum sobre-sinal alto devido a` falta de controle sobre os demais polos ezeros.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 74
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
9.3 Compensacao avanco-atraso - projeto analtico
Seja um controlador com um polo e um zero do tipo
K(z) = kcz + a
z + b.
E possvel escrever que
K(z) = kc
(a+1)(z+a)(a+1)
(b+1)(z+b)(b+1)
= kc(a+ 1)
(b+ 1)
( z1+a+1a+1
z1+b+1b+1
),
K(z) = kc(a+ 1)
(b+ 1)
( z1a+1
+ 1z1b+1
+ 1
).
Definindo z = z 1, v = a+ 1, w = b+ 1, k = kc vw tem-se
K(z) = k
(zv+ 1
zw+ 1
).
Verifica-se que quando z = 1 entao z = 0, e a contribuicao do controladorpara o erro estacionario sera k.
Atraves dos requisitos de projeto, determina-se o polo s1 de interesse.Calcula-se, entao, o polo discreto correspondente atraves de z1 = e
s1T etambem z1 = z1 1.
Para que z1 esteja sobre o lugar das razes tem-se que
K(z1)P (z1) = 1 k(
z1v+ 1
z1w+ 1
)P (z1) = 1,
ou aindaz1v+ 1
z1w+ 1
=1
kP (z1).
E possvel isolar 1v, ou seja,
z1v+ 1 =
(z1w
+ 1)
1
kP (z1),
z1v=
(z1w
+ 1)
1
kP (z1) 1,
1
v=
(z1w
+ 1)
1
kP (z1)z1 1z1,
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 75
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
1
v= w
1
kP (z1) 1z1
(1 +
1
kP (z1)
). (3)
Tanto v como w devem ser reais, ou seja, as partes imaginarias de ambosdos lados de (3) devem ser nulas. Logo,
Im(v1) = 0 Im[ w
1
kP (z1)
] Im
[1
z1
(1 +
1
kP (z1)
)]= 0,
ou ainda,
w1Im
[ 1kP (z1)
]= Im
[1
z1
(1 +
1
kP (z1)
)],
w1 =Im
[1z1+ 1
z1kP (z1)
]Im
[1
kP (z1)
] .Com w1 determinado, retorna-se a (3) e calcula-se v1,
v1 = w1
kP (z1) 1z1kP (z1)
1z1.
Com w1, v1 e k o controlador esta determinado.Exemplo: Projetar um controlador avanco-atraso para controlar a planta
P (s) = 400s(s2+30s+200)
e obter um erro estacionario a` rampa unitaria de 0.2, um
fator de amortecimento = 0.5 e uma frequencia natural wn = 14rad/s. Ointervalo de amostragem e T = 0.05s.
R(s) Y (s)K(s) P (s)
E(s)
Figura 54: Esquema da malha fechada.
Para realimentacao unitaria, Figura 54, o erro pode ser escrito em funcaoda entrada R(s) e da sada Y (s) como
E(s) = R(s)Y (s) = R(s)K(s)P (s)E(s) (1+K(s)P (s))E(s) = R(s),
ou finalmente,
E(s) =R(s)
1 +K(s)P (s).
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 76
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
Do teorema do valor final tem-se que
limt e(t) = lims0
sE(s) = 0.2.
Logo, considerando que o controlador contribui para o erro estacionarioapenas atraves de k tem-se que
lims0
s
[R(s)
1 +K(s)G(s)
]= lim
s0s
1s21 + k 400
s(s2+30s+200)
=
= lims0
1
s
1s(s2+30s+200)+k400
s(s2+30s+200)
= lim
s01
s
[s(s2 + 30s+ 200)
s(s2 + 30s+ 200) + k400
]=
200
k400= 0.2,
e consequentemente,
k =200
400 0.2 = 2.5Nota: no calculo anterior considerou-se que o erro estacionario sera com-
pensado exclusivamente pelo ganho proporcional do controlador do tipo
K(s) = ks+ 1
s 1 ,
ou equivalente discretizado com ZOH.O polo desejado no plano s e
s1 = wn + jwn1 2 = 7.0000 + 12.1244j,
e no plano z ez1 = e
s1T = 0.5791 + 0.4015j.
Consequentemente tem-se que
P (z1) = 0.0329 + 0.1482j, w = 0.9561, v = 0.2390.
O controlador e
K(z) =10z 7.609z 0.04389 .
As caractersticas dos polos sao mostradas na Tabela 3.O grafico do lugar das razes e mostrado na Figura 55, e as respostas ao
degrau e a` rampa nas Figuras 56 e 57.Observa-se que se trata de uma resposta tpica de sistema de segunda
ordem, pois o par complexo de polos nao e dominante.Um codigo Matlab para este projeto e apresentado a seguir.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 77
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
Tabela 3: Caractersticas dos polos de malha de fechada.polo amplitude amortecimento frequencia (rad/s)
8.29E-01 8.29E-01 1.00E+00 3.75E+005.79E-01 + 4.02E-01j 7.05E-01 5.00E-01 1.40E+015.79E-01 - 4.02E-01j 7.05E-01 5.00E-01 1.40E+01
-2.71E-02 2.71E-02 7.54E-01 9.57E+01
7 6 5 4 3 2 1 0 14
3
2
1
0
1
2
3
4Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
Figura 55: Grafico do lugar das razes de G(z), projeto avanco-atraso.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 78
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
0 0.5 1 1.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
Figura 56: Resposta ao degrau da malha fechada, projeto avanco-atraso.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 79
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5Linear Simulation Results
Time (sec)
Ampl
itude
Figura 57: Resposta a` rampa da malha fechada, projeto avanco-atraso.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 80
-
Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto
clear all; close all; clc;
s=tf(s);
ps=400/(s*(s^2+30*s+200))
ts=0.05;
qsi=0.5;