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Coordenadas accion-angulo y aplicacionesEncuentro de Jovenes de la red de Geometrıa, Mecanica
y Control.
Eva Miranda
Universidad Autonoma de Barcelona
Madrid, CSIC, 18-20 de Diciembre, 2007
Eva Miranda (UAB) Coordenadas accion-angulo y aplicaciones 18 Diciembre 1 / 44
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Esquema:
1 Simetrıas
2 Liouville: La integracion de las ecuaciones de Hamilton
3 Sistemas Completamente Integrables
4 Mineur: un entorno de la orbita
5 Singularidades
6 Aplicaciones
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Simetrıas
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Principios basicos
La simetrıas permiten simplificar los problemas.
Si la simetrıa degenera (singularidades) podemos tener una perdida dela simplificacion.
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Principio de Noether
Principio de Noether y acciones de grupos
Las cantidades conservadas dan lugar a simetrıas en los sistemas fısicos ypueden ser codificadas como acciones de grupos en las variedades quemodelizan el problema.
Pendulo simple:
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Simetrıas
La existencia de acciones de grupos permite reducir los grados de libertady puede ser formulado en terminos de reduccion simplectica (Teorema deMarsden-Weinstein) para acciones Hamiltonianas.
El problema es:
Determinacion del grupo
¿Que grupo considerar?
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El movimiento de los planetas
Copernico: Los planetas se mueven alrededor del sol.
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El movimiento de los planetas
Kepler: Los planetas se mueven en orbitas elıpticas.
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El movimiento de los planetas
¿Por que?
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La integracion de las ecuaciones de Hamilton
Consideremos las ecuaciones de Hamilton. Son las ecuaciones del flujo delcampo Hamiltoniano asociado a H en (M2n, ω).
iXHω = −dH
En coordenadas Darboux obtenemos:
∂pi
∂t=
∂H
∂qi
∂qi
∂t= −∂H
∂pi
Liouville observo que la existencia de n− 1 integrales primeras adicionalesfi cumpliendo {fi, fj} = 0 ∀i, j y {fi,H} = 0, ∀i, permitıa resolver elproblema mediante integracion por cuadraturas.
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El oscilador armonico
Consideremos el oscilador armonico 2-dimensional (acoplando dososciladores armonicos simples)
El espacio de configuraciones es R2 x = (x1, x2). El espacio de posicionesy momentos ((y1, y2)) es (T ∗(R2), ω = dx1 ∧ dy1 + dx2 ∧ dy2).
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El oscilador armonico
H es la suma de energıa cinetica y potencial:
H =1
2(y2
1 + y22) +
1
2(x2
1 + x22)
H = h es una esfera S3. Tenemos simetrıa rotacional sobre esta esfera.
Otra integral primera es el momento angular L = x1y2 − x2y1.(corresponde a la accion por rotaciones en las posiciones elevada alcotangente).
XL = (−x2, x1,−y2, y1)
y se cumpleXL(H) = {L,H} = 0.
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El pendulo esferico
Corresponde al movimiento de una partıcula bajo una fuerza constantegravitatoria cuando la restringimos a una esfera.
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El pendulo esferico
El primero en considerar el estudio matematico del pendulo esferico fueHuyghens
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El pendulo de Huyghens
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El pendulo de Huyghens
En este caso consideramos (T ∗(R3),H, ω) siendo
H =1
2(y2
1 + y22 + y2
3) + 〈x, e3〉
Si consideramosJ = x1y2 − x2y1
Se puede demostrar:
{H|TS2 , J|TS2}|TS2 = 0.
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Sistemas completamenteintegrables
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Sistemas completamente integrables
Un sistema integrable en una variedad simplectica (M2n, ω) viene dadopor funciones genericamente independientes F = (f1, . . . , fn) cumpliendo{fi, fj} = 0,∀i, j. 1
La aplicacion F : M2n −→ Rn dada por F = (f1, . . . , fn) se llamaaplicacion momento.
Bajo condiciones de compacidad y de regularidad, el sistema integrableviene dada por una accion semi-local por toros (accion-angulo dadas por elteorema de Liouville-Mineur-Arnold).
El problema global de existencia de coordenadas accion angulo es mascomplicado y esta relacionado monodromıa y la clase de Chern dada porlas fibras de la aplicacion momento.
1Tambien existe una nocion de sistemas completamente integrables en variedades dePoisson.
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Sistemas completamente integrables
Un sistema integrable en una variedad simplectica (M2n, ω) viene dadopor funciones genericamente independientes F = (f1, . . . , fn) cumpliendo{fi, fj} = 0,∀i, j. 1
La aplicacion F : M2n −→ Rn dada por F = (f1, . . . , fn) se llamaaplicacion momento.
Bajo condiciones de compacidad y de regularidad, el sistema integrableviene dada por una accion semi-local por toros (accion-angulo dadas por elteorema de Liouville-Mineur-Arnold).
El problema global de existencia de coordenadas accion angulo es mascomplicado y esta relacionado monodromıa y la clase de Chern dada porlas fibras de la aplicacion momento.
1Tambien existe una nocion de sistemas completamente integrables en variedades dePoisson.
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Sistemas completamente integrables
Un sistema integrable en una variedad simplectica (M2n, ω) viene dadopor funciones genericamente independientes F = (f1, . . . , fn) cumpliendo{fi, fj} = 0,∀i, j. 1
La aplicacion F : M2n −→ Rn dada por F = (f1, . . . , fn) se llamaaplicacion momento.
Bajo condiciones de compacidad y de regularidad, el sistema integrableviene dada por una accion semi-local por toros (accion-angulo dadas por elteorema de Liouville-Mineur-Arnold).
El problema global de existencia de coordenadas accion angulo es mascomplicado y esta relacionado monodromıa y la clase de Chern dada porlas fibras de la aplicacion momento.
1Tambien existe una nocion de sistemas completamente integrables en variedades dePoisson.
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Sistemas completamente integrables
Un sistema integrable en una variedad simplectica (M2n, ω) viene dadopor funciones genericamente independientes F = (f1, . . . , fn) cumpliendo{fi, fj} = 0,∀i, j. 1
La aplicacion F : M2n −→ Rn dada por F = (f1, . . . , fn) se llamaaplicacion momento.
Bajo condiciones de compacidad y de regularidad, el sistema integrableviene dada por una accion semi-local por toros (accion-angulo dadas por elteorema de Liouville-Mineur-Arnold).
El problema global de existencia de coordenadas accion angulo es mascomplicado y esta relacionado monodromıa y la clase de Chern dada porlas fibras de la aplicacion momento.
1Tambien existe una nocion de sistemas completamente integrables en variedades dePoisson.
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El Teorema de Liouville-Mineur-Arnold
Teorema
Sea (M2n, ω) una variedad simplectica i sea F : M2n −→ Rn unaaplicacion tal que las componentes fi de F estan en involucion dos a dosrespecto el parentesis de Poisson asociado a ω i que df1 ∧ · · · ∧ dfn 6= 0 enun conjunto denso. Sea N = F−1(c), c ∈ Rn un nivel connexo de laaplicacion momento F .Entonces existe un entorno U(N) de N y un difeomorfismoφ : U(N) −→ Dn × Tn tal que,
1 φ(N) = {0} × Tn.
2 Existen coordenadas µi en un disco Dn y coordenadas βi definidas enun toro Tn tales que, φ∗(
∑ni=1 dµi ∧ dβi) = ω.
3 F solo depende φ∗(µi) = pi y no depende de φ∗(βi) = θi.
Las nuevas coordenadas pi se llaman coordenadas accion. Las coordenadasθi se denominan coordenadas angulo.
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El Teorema de Liouville-Mineur-Arnold
Las orbitas de un sistema Hamiltoniano completamente integrable en unentorno de una orbita compacta son toros. Las coordenadas accion-anguloque describen dicha foliacion son coordenadas de Darboux para la formasimplectica.
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El Teorema de Liouville-Mineur-Arnold
Observaciones:
Si nos interesa aplicar dicho resultado a la integracion de un sistemaHamiltoniano, podemos tomar H = f1.
Como consecuencia del teorema de Liouville-Mineur-Arnold, el campoHamiltoniano restringido a cada toro de Liouville es lineal.
H = φ(p1, . . . , pn)
XH =i=n∑i=1
∂φ
∂pi
∂
∂θi
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Recuperando las simetrıas...
Como consecuencia del teorema de Arnold Liouville existe una accionHamiltoniana de un toro Tn que actua por traslaciones en un entornode una orbita compacta (que tambien es un toro). La aplicacionmomento para dicha accion coincide con φ∗(F ) = (p1, . . . , pn).
Dicha accion esta definida en un entorno de la orbita y, en general, nopuede extenderse a toda la variedad.
Las obstrucciones a la existencia de coordenadas accion-anguloglobales y por lo tanto a la extension de la accion vienen dadas por lamonodromıa y la clase de Chern.
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El caso de las variedades toricas...
En el caso en que el sistema integrable venga dada por una accion toricaen una variedad simplectica compacta, existe una correspondencia entre lageometrıa simplectica de la variedad y la imagen de la aplicacionmomento. La imagen de la aplicacion momento es un politopo de Delzant.
Ejemplo: Consideramos la accion de T2 en CP 2 dada por:(eiθ1 , eiθ2) · [z0 : z1 : z2] := [z0 : eiθ1z1 : eiθ2z2]
La aplicacion momento para esta accion es:
µ([z0 : z1 : z2]) := −1
2(
|z1|2
(|z0|2 + |z1|2 + |z2|2),
|z2|2
(|z0|2 + |z1|2 + |z2|2))
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El caso de las variedades toricas...
En el caso en que el sistema integrable venga dada por una accion toricaen una variedad simplectica compacta, existe una correspondencia entre lageometrıa simplectica de la variedad y la imagen de la aplicacionmomento. La imagen de la aplicacion momento es un politopo de Delzant.
Ejemplo: Consideramos la accion de T2 en CP 2 dada por:(eiθ1 , eiθ2) · [z0 : z1 : z2] := [z0 : eiθ1z1 : eiθ2z2]
La aplicacion momento para esta accion es:
µ([z0 : z1 : z2]) := −1
2(
|z1|2
(|z0|2 + |z1|2 + |z2|2),
|z2|2
(|z0|2 + |z1|2 + |z2|2))
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El Teorema de Delzant
Teorema (Delzant)
Las variedades toricas estan clasificadas por los politopos de Delzant.Concretamente tenemos una correspondencia biyectiva dada por laaplicacion momento entre los dos conjuntos:
{variedades toricas} −→ {politopos de Delzant}(M2n, ω, Tn, F ) −→ F (M)
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El Teorema la fase estacionaria de Duistermaat-Heckmann
Otro resultado destacable relacionando con propiedades globales de lavariedad simplectica compacta y la accion de un toro de dimension r es elteorema de Duistermaat-Heckmann.
(t
2π)n/2
∫eifξtµ =
∑c(p)eitfξ(p)
Siendo ξ ∈ t∗ y fξ la componente ξ-esima de la aplicacion momento F (i.efξ = 〈F, ξ〉).µ es la medida inducida por la forma simplectica ω y p es un punto crıticode fξ
La formula es cierta para ξ no-degenerado (si Xfξsolo se anula en los
puntos fijos de la accion).
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Singularidades
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El caso singular simplectico
Sea p un punto singular de rango 0 (rango dpF = 0) deF = (f1, . . . , fn) se dice que p es no-degenerado si las partescuadraticas de F generan una subalgebra de Cartan del algebra defunciones cuadraticas Q(2n, R)
En el caso en que 0 < rango dpF = k < n decimos que p es nodegenerado si tras cocientar por la accion simplectica de Rk
obtenemos un punto fijo no degenenerado en la reduccion simplectica.
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El caso singular simplectico
Sea p un punto singular de rango 0 (rango dpF = 0) deF = (f1, . . . , fn) se dice que p es no-degenerado si las partescuadraticas de F generan una subalgebra de Cartan del algebra defunciones cuadraticas Q(2n, R)
En el caso en que 0 < rango dpF = k < n decimos que p es nodegenerado si tras cocientar por la accion simplectica de Rk
obtenemos un punto fijo no degenenerado en la reduccion simplectica.
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El Teorema de Williamson
Teorema (Williamson)
Dada un algebra de Cartan C de Q(2n, R) existe un sistema decoordenadas (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) en R2n y una base f1, . . . , fn de C talque:
fi = x2i + y2
i para 1 ≤ i ≤ ke , (elıptica)fi = xiyi para ke + 1 ≤ i ≤ ke + kh , (hiperbolica){
fi = xiyi+1 − xi+1yi, (par focus-focus )fi+1 = xiyi + xi+1yi+1 for i = ke + kh + 2j − 1, 1 ≤ j ≤ kf
(5.1)
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Un modelo para singularidades no-degeneradas en unrecubrimiento
Sean (p1, ..., pm) coordenadas en Dm, (q1(mod1), ..., qm(mod1))coordenadas en Tm, and (x1, y1, ..., xn−m, yn−m) coordenadas enD2(n−m). Consideramos la variedad producto
V = Dm × Tm ×D2(n−m) (5.2)
con la forma simplectica∑
dpi ∧ dqi +∑
dxj ∧ dyj , y la aplicacionmomento:
(p,h) = (p1, ..., pm, h1, ..., hn−m) : V → Rn (5.3)
con
hi = x2i + y2
i for 1 ≤ i ≤ ke ,hi = xiyi for ke + 1 ≤ i ≤ ke + kh ,hi = xiyi+1 − xi+1yi andhi+1 = xiyi + xi+1yi+1 for i = ke + kh + 2j − 1, 1 ≤ j ≤ kf
(5.4)
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El modelo lineal en un entorno de una orbita
El modelo lineal es V/Γ, con un sitema integrable dado por:
(p,h) = (p1, ..., pm, h1, ..., hn−m) : V/Γ → Rn (5.5)
(Γ es un grupo finito que actua libremente y simplecticamente en el modelolineal en un recubrimiento y proviene de las componentes hiperbolicas.)
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Forma normal en un entorno de la orbita
Teorema (M-Zung)
El sistema completamente integrable es equivalente al modelo linealizadoen un entorno de una orbita singular no-degenerada.
Toros de Liouville ke comp. elıptica kh comp. hiperbolica kf comp. focus
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La version equivariante
Teorema (M-Zung)
Sea G un grupo de Lie compacto que preserva F y la forma simplectica.Entonces el sistema completamente integrable es equivalente al modelolinealizado en un entorno de una orbita singular no-degenerada con laaccion del grupo linealizada.
Dicho resultado es una generalizacion del teorema de slice simplectico alcaso de sistemas Hamiltonianos completamente integrables preservadospor la accion de grupo G.
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El caso de Poisson: Teorema de Splitting
Teorema (Weinstein)
Sea (Pn,Π) una variedad de Poisson y sea p un punto de rango 2k paraP , existe un sistema de coordenadas diferenciable(x1, y1, . . . , x2k, y2k, z1, . . . , zn−2k) en un entorno de p, en el que laestructura de Poisson Π se escribe:
Π =k∑
i=1
∂
∂xi∧ ∂
∂yi+
∑ij
fij(z)∂
∂zi∧ ∂
∂zj,
donde las funciones fij se anulan en el origen.
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Un dibujo
(Pn,Π, p) ≈ (M2k, ω, p1)× (Pn−2k0 ,Π0, p2)
La variedad de Poisson es localmente un producto de una variedadsimplectica con una variedad de Poisson que se anula en dicho punto. Lafoliacion simplectica es localmente un producto de la foliacion inducida enP0 con la hoja simplectica en x.
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El caso de Poisson local: Darboux-Caratheodory
Teorema (Laurent-Gengoux, M., Vanhaecke)
Sea m un punto en una variedad de Poisson (M,Π) de dimension n. Seanp1, . . . , pr r funciones que commutan para el parentesis de Poissondefinidas en un entorno de m, que se anulan en m y cuyos camposHamiltonianos son independientes en m. Existen, en un entorno de mfunciones q1, . . . , qr, z1, . . . , zn−2r, tal que:
1 Las n funciones (p1, q1, . . . , pr, qr, z1, . . . , zn−2r) forman un sistemade coordenadas centradas en m;
2 La estructura de Poisson Π esta dada en estas coordenadas por:
Π =r∑
i=1
∂
∂qi∧ ∂
∂pi+
n−2r∑i,j=1
gij(z)∂
∂zi∧ ∂
∂zj, (5.6)
El rango de Π en m es 2r si y solo si las funciones gij(z) se anulan enz = 0.
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El caso de variedades de Poisson
Sea (M,Π) una variedad de Poisson de dimension n, con una familia defunciones F = (f1, . . . , fn−r′) tal que las funciones f1, . . . , fr′ commutancon todas las funciones f1, . . . , fn−r′ . Sea m un punto tal que lasdiferenciales df1, . . . , dfn−r′ son independentes en m. Supongamos que:
1 La subvariedad invariante Fm es compacta;
2 Los primeros r′ campos hamiltonianos Xf1 , . . . ,Xfr′ son linealmenteindependientes en m.
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El caso de variedades de Poisson
Teorema (Laurent-Gengoux, M, Vanhaecke)
Existen funciones (p1, . . . , pr′ , z1, . . . , zs) y funciones con valores en R/Z(θ1, . . . , θr′), definidas en un entorno U de la fibra en m Fm tal que
1 Las funciones (θ1, . . . , θr′ , p1, . . . , pr′ , z1, . . . , zs) (con n = 2r′ + s)definen un difeomorfismo U ' Tr′ ×Bn−r′
;
2 La estructura de Poisson se escribe
Π =r′∑
i=1
∂
∂θi∧ ∂
∂pi+
n−2r′∑i,j=1
gij(z)∂
∂zi∧ ∂
∂zj;
3 Las fibras de la submersion F = (f1, . . . , fn−r′) vienen dadas por laproyeccion en la segunda componente Tr′ ×Bn−r′
, en particular, lasfunciones p1, . . . , pr′ , z1, . . . , zs solo dependen de las funcionesf1, . . . , fn−r′ .
Las funciones θ1, . . . , θr se llaman variables angulo y las funcionesp1, . . . , pr variables accion.
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Aplicaciones
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Entropıa topologica de los sistemas integrables
Dada una aplicacion contınua Φ : (X, d) −→ (X, d) de un espacio metricocompacto en si mismo se puede definir la entropıa de Φ
Para definirla consideramos la familia de metricas para n ≥ 0:
dn(x, y) = max{d(Φi(x),Φi(y)) : 0 ≤ i < n}, x, y ∈ X
Para ε > 0 y n ≥ 0 decimos que el conjunto F ⊂ X es un conjunto(n, ε)-separado si para cada par de puntos x, y de F tenemos dn(x, y) > ε.Denotamos por N(n, ε) el cardinal maximo de un conjunto (n, ε) separado.
La entropıa topologica de Φ se define como
htop(f) = limε→0
(lim supn→∞
1
nlog N(n, ε)
).
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Entropıa topologica de los sistemas integrables
En el caso de tener un sistema Hamiltoniano (de Hamiltoniano XH). Sepuede considerar como f = φ1
XHel flujo a tiempo 1 del campo
Hamiltoniano XH .
Como corolario de Liouville-Mineur-Arnold obtenemos:
Teorema
La entropıa topologica de un sistema regular es cero.
Teorema (M.-Marco)
La entropıa topologica de un sistema con sigularidades no degeneradas escero.
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Entropıa topologica de los sistemas integrables
Trabajo en curso
La entropıa topologica de un sistema con sigularidades estratificadas escero.
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Cuantizacion geometrica
La cuantizacion es un proceso que asocia a una variedad simplectica(M,ω) un espacio de Hilbert Q(M).
El metodo de cuantizacion geometrica precisa
1 un fibrado de lınea complejo sobre M , L.
2 una conexion ∇ en L con curvatura ω.
3 una polarizacion.
Los espacios de Hilbert se construyen a partir de secciones del fibrado L, omas en general a partir de grupos de cohomologıa asociados a L.Requerimos una polarizacion en M porque en general el conjunto desecciones es demasiado grande.
En el caso de considerar una polarizacion real las secciones que son deinteres son las que son planas (con respecto a ∇) a lo largo de la foliacion(i.e covariantemente constantes a lo largo de las hojas de la foliacion).
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Cuantizacion geometrica con singularidades degeneradas
Sea S el haz de secciones localmente planas.
Definimos la cuantizacion de M como
Q(M) =⊕
k
Hk(M ;S).
En el caso en que el espacio de hojas Bn sea Hausdorff y la fibracionπ : M2n −→ Bn sea una fibracion con fibras compactas, un resultado deSniatycki garantiza que los grupos de homologıa anteriores son ceroexcepto en dimension n ademas la dimension de Hn(M ;S) coindide con elnumero de hojas de Bohr-Sommerfeld.
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Cuantizacion geometrica con singularidades no degeneradas
Trabajo en curso con V. Guillemin y M. Hamilton
Estudiar el caso en que la polarizacion real venga dada por un sistemaintegrable singularidades de tipo no-degenerado.
Teorema (M-Hamilton)
Si la polarizacion tiene singularidades hiperbolicas en una variedad dedimension 2 el resultado de Sniatycki se mantiene salvo funciones planasprobando ası independencia respecto de la polarizacion.
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