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Coordenadas
Bibliography: Any book (or chapter) on astronomical coordinates.
Slides from Prof. Roberto Boczko + myself (Elementos de Astronomia):
http://www.astro.iag.usp.br/~jorge/aga205/
Prof. Jorge Meléndez
1
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Cataratas do Iguaçu http://www.twanight.org
http://apod.nasa.gov/apod/ap100514.html
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Cataratas do Iguaçu http://www.twanight.org
http://apod.nasa.gov/apod/ap100514.html
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Finding the South
-50 -55 -60 -65 -70 -75 -80 -85 -90
14h
15h
16h
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Finding the South
-50 -55 -60 -65 -70 -75 -80 -85 -90
14h
15h
16h
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Esfera Celeste Aparente superfície esférica na qual parecem
estar os astros
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Elementos locais
Linha do
Horizonte
Plano do
horizonte
Zênite
Nadir
Vert
ical
Esfera celeste
Slide adapted from Prof. Boczko
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Meridiano Local
Zênite
N S
E
W
Nadir
Horizonte
Meridiano local é o
semicírculo vertical que
passa pelos pontos
zênite, N e S.
Slide adapted from Prof. Boczko
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Sistema Altazimutal
Azimute
Azimute (A): N E S O(W)
Fig. 3.2 from Astronomy Methods
Altura (h): -90o a +90o
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Altura e distância zenital
Horizonte
Zênite
Nadir
S
W
E h = altura z = distância zenital
z
N h
Altura é o ângulo
sobre o plano
vertical do astro,
desde o horizonte
até o astro.
Distância zenital é
o ângulo sobre o
plano vertical do
astro, desde o
zênite até o astro.
h + z = 90o
Slide adapted from Prof. Boczko
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l
j < 0
j
PN
PS
Greenwich
Norte
Leste
(S) -900 j +900 (N)
0 l +1800 (E, W) (W) -1800 l +1800 (E)
Longitude l Sistema Geográfico
Latitude j
Slide adapted from Prof. Boczko
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How to find
the local
latitude?
The altitude of the pole is the latitude of the observer
Fig.8.1 from Roy & Clarke
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How to find the Latitude
j
hPole
Slide adapted from Prof. Boczko
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La Silla/ESO (3,6m telescope) 29.2612° S, 70.7313° W on 2014/01/12 © J. Meléndez
j
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Sistema
Equatorial PN
PS
g a
d
(a , d ) p
a = ascensão reta
d = declinação
p = distância polar
p + d = 900
N
L
Slide adapted from Prof. Boczko
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Zero point
for R.A. :
intersection
of ecliptic &
equator
Polo
Celeste
Norte
Sol
Sistema
Equatorial
g Vernal equinox
Obliquidade da eclíptica
23o 27' 08"
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Equatorial
coordinates
Fig. 3.1 from Astronomy Methods
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Unidades
Definição
1 hora 150
0h a < 24h
00 a < 3600
Ascensão reta Declinação
(S) -900 d +900 (N)
(N) 00 p +1800 (S)
Distância polar
Slide adapted from Prof. Boczko
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Coordenadas equatoriais
particulares do Sol
g
W
1
2
PN
PNE
a = 6h
d = +
a = 18h
d = -
4 a = 0h
d = 00
a = 12h
d = 00
3
a = 6h a = 18h
PS Slide adapted from Prof. Boczko
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Sistema Horizontal e Equatorial
para Observador no HN Z
PN
E
W
N S
Slide adapted from Prof. Boczko
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Do it yourself : What is the declination of the Zenith
in São Paulo?
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Sistema de
Coordenadas
Horário
![Page 23: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/23.jpg)
Sistemas de coordenadas
GEOGRÁFICAS e EQUATORIAIS
LONGITUDE
Meri
dia
no
de
Gre
en
wic
h
Sistema geográfico Sistema equatorial
Asc. Reta α
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Meridiano Local e Projeção Z
PS
N S
E
W
Nadir
Horizonte
Zênite
Nadir
Horizonte E W
PS
S N
Foco de projeção: W
Projeção cilíndrica ortogonal
Plano de projeção: plano meridiano
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Tipos de
Meridiano
Horizonte
Zênite
Nadir
N S
Meridiano Zenital
Meridiano Nadiral
Z
Z
Horizonte
PV
PI
Pólo
Visível
Pólo
Invisível
N S
Meridiano Superior : Polos e Z
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Sistema Horário
É um sistema mixto
uma coordenada constante:
declinação d
uma coordenada variável:
ângulo horário H (medido sobre o equador desde o meridiano local
até o círculo horário que passa pelo astro)
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Sistema Horário Z
H
d ( H , d )
H = ângulo horário
d = declinação p = distância polar
W
N S
L
p PN
PS
Meridiano superior
ângulo horário (medido sobre o equador desde o meridiano local até o círculo horário do astro)
Observador no
hemisfério N
Slide adapted from Prof. Boczko
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Unidades
(E) -1800 H +1800 (W)
Definição
1 hora 150
(E) -12h H +12h (W)
(S) -900 d +900 (N)
00 p +1800
Ângulo horário Declinação
1 h = 15° 1 m = 15' 1 s = 15"
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Do it yourself
3h 20m = 0 ‘ “? -300,5 = h m s ?
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Culminação ou passagem meridiana
PN
Horizonte
W
S
Na passagem meridiana inferior: H = 180o
L
PS
Z Na passagem meridiana superior: H = 0.
M
N
Slide adapted from Prof. Boczko
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Horizonte
S
12 Na passagem
meridiana
inferior:
H = 12h
L
W
6
Z
0
Na passagem
meridiana
superior:
H = 0.
M
N
Ângulos horários
particulares
Ñ
1
2
3
4
5
11 10 9 8
7
PS
PN
Slide adapted from Prof. Boczko
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Tempo sideral
g TS Hg
Horizonte
W
S TS
Tempo sideral é o
ângulo horário do
ponto g
Z
PN
M
PS
N
Slide adapted from Prof. Boczko
![Page 33: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/33.jpg)
Dia sideral Z
PS
N
Dia sideral:
Intervalo de tempo
para que o Ponto
Gama passe duas
vezes sucessivas
por um dado
meridiano do local.
Dia sideral 23h56m04s
E
W
Dia sideral 24h*00m*00s* * : siderais
Meia-noite
sideral
Meio-dia
sideral
Slide adapted from Prof. Boczko
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Obtendo a Ascensão Reta na
passagem meridiana
PN
d
g
a
TS = Hg TS = a + H
Na passagem meridiana superior: H = 0 Logo:
a = TSPMS
Horizonte
W
H S
M
Z
PS Slide adapted from Prof. Boczko
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Prof. Rama
Círculo
Meridiano de
Valinhos
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-90
-80
-70
-60
-50
12
h
http://www.stellarium.org/
![Page 37: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/37.jpg)
Céu desde o OPD
2013/03/22 18h
Qual a A.R. do Sol? Que horas são?
Qual a data?
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Céu desde o OPD: altazimutal
2013/03/22 18h
+90
+80
+70 +60 +50
0
+40
+30
+20
+10
0
Quais as coordenadas
(A, h) da Lua?
Onde fica o
Polo Sul celeste?
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Céu desde o OPD: altazimutal+equatorial
2013/03/22 18h
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Céu desde o OPD: equatorial
2013/03/22 18h
-20
-30
-40
-50 -60
-70
-80 -90
-10
0
6h
7h
8h
9h
10
h
11
h
12
h
1h
0h
Latitude = -22°30’
P.S. Quais as
coordenadas (α, δ) da Lua?
![Page 41: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/41.jpg)
-90
-80
-70
-60
-50
12
h
h (polo) = |latitude|
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Céu desde o OPD: equatorial
2013/03/22 19h
-20
-30
-40
-50 -60
-70
-80 -90
-10
0
6h
7h
8h
9h
10
h
11
h
12
h
1h
Latitude = -22°30’
P.S.
13
h
Quais as coordenadas (α, δ)
das Três Marias?
![Page 43: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/43.jpg)
Céu desde o OPD: equatorial
2013/03/22 20h
-20
-30
-40
-50 -60
-70
-80 -90
-10
0
6h
7h
8h
9h
10
h
11
h
12
h
Latitude = -22°30’
P.S.
13
h
Qual o ângulo horario (H) de Sirius?
![Page 44: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/44.jpg)
Céu desde o OPD: equatorial
2013/03/22 22h
-20
-30
-40
-50 -60
-70
-80 -90
-10
0
6h
7h
8h
9h
10
h
11
h
12
h
Latitude = -22°30’
P.S.
14
h
13
h 15
h
A que hora será a passagem meridiana
de Cruzeiro do Sul?
![Page 45: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/45.jpg)
Céu desde o OPD: equatorial
2013/03/23 0h
-20
-30
-40
-50 -60
-70
-80 -90
-10
0
6h
7
h
8h
9h
10
h
11
h
12
h
Latitude = -22°30’
P.S. 1
4h
13
h
15
h
16
h 1
7h
Qual é a hora sideral?
![Page 46: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/46.jpg)
Céu desde o OPD: equatorial
2013/03/23 2h
-20
-30
-40
-50 -60
-70
-80 -90
-10
0
8h
9
h
10
h
11
h
12
h
Latitude = -22°30’
P.S.
14
h
13
h
15
h
16
h
17
h
18
h
19
h
Qual é a A.R. da calda do
Escorpião?
![Page 47: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/47.jpg)
Céu desde o OPD: equatorial
2013/03/23 4h
-20
-30
-40
-50 -60
-70
-80 -90
-10
0 10
h
11
h
12
h
Latitude = -22°30’
P.S.
14
h
13
h
15
h
16
h
17
h
18
h
19
h
20
h
21
h
22
h
Qual será o ângulo horario (H) de Acturus às 5h da madrugada?
![Page 48: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/48.jpg)
Céu desde o OPD: equatorial
2013/03/23 6h
-20
-30
-40
-50 -60
-70
-80 -90
-10
0
12
h
Latitude = -22°30’
P.S.
14
h
13
h
15
h
16
h
17
h
18
h
19
h
20
h
21
h
22
h 23
h
Qual a A.R. do ponto leste?
![Page 49: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/49.jpg)
Campos dos Goytacazes, RJ http://www.twanight.org
http://apod.nasa.gov/apod/ap090509.html
Imagine o sistema equatorial no céu!
![Page 50: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/50.jpg)
Sistema Eclíptico
PNE
W
N
L
b
( ℓ , b ) 00 ℓ < 3600
(S) -900 b +900 (N)
ℓ : longitude eclíptica
b : latitude eclíptica
g
ℓ
Slide adapted from Prof. Boczko
![Page 51: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/51.jpg)
Sistemas Equatorial e Eclíptico
PN
PNE
W
PN PNE
g N
L
g
W
Slide adapted from Prof. Boczko
![Page 52: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/52.jpg)
Galactic system ( ℓ , b )
© Astronomy Methods
ℓ b
![Page 53: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/53.jpg)
Triângulo Esférico
A
B C
O
c
b
a
A, B, C = vértices a,b,c = lados
Triângulo
esférico é a
região da esfera
delimitada pela
intersecção,
dois a dois, de 3
planos
passantes pelo
centro da esfera
![Page 54: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/54.jpg)
Triângulo esférico A
B
C
O
c
b
a
r
r
r
a , b , c : lados do triângulo esférico = medidas dos ângulos centrais
![Page 55: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/55.jpg)
Fórmula do
seno & co-seno
num triângulo
esférico
![Page 56: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/56.jpg)
Resumo das Fórmulas
de Trigonometria
Esférica
sen a . cos B = cos b . sen c - sen b . cos c . cos A
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
Co-seno
Seno
Seno & Co-seno
A
B
C
a
c
b
sen a sen b sen c ---- = ---- = ---- sen A sen B sen C
![Page 57: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/57.jpg)
Seno & Co-seno de (900- x)
Co- Seno
Seno
sen
x
x cos x
90-x sen (900-x) = cos x
cos (900-x) = sen x
![Page 58: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/58.jpg)
PS
Ângulo entre duas cidades
l'
j
PN
Greenwich
j' l q
90o- j'
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A Co-seno
cos q = cos (90- j) . cos (90- j' ) + sen (90- j) . sen (90- j' ) . cos ( l' - l )
cos q = sen j . sen j' + cos j . cos j' . cos ( l' - l )
N
L
Se |l`- l| >1800
q` = 3600 - q
![Page 59: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/59.jpg)
PS
Ângulo entre dois astros
a' d
PN
d'
a
q
90o- d'
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A Co-seno
cos q = cos (90- d) . cos (90- d' ) + sen (90- d) . sen (90- d' ) . cos ( a' - a )
cos q = sen d . sen d' + cos d . cos d' . cos ( a' - a )
g
N
L
Se |a`- a| >1800
q` = 3600 - q
Dados:
a , d
a' , d'
![Page 60: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/60.jpg)
Nascer e Ocaso
de um astro (HS)
N S Condição de
nascer e de ocaso:
h = 0
ou
z = 90o
Z
PS
W
E Nascer
Ocaso
Passagem meridiana
Y
![Page 61: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/61.jpg)
Azimutes do nascer
e do ocaso nos
diferentes
hemisférios N S
Z
PS
W
E Nascer
Passagem meridiana
Ocaso
AN AO
S N
Z
PN
W
E Nascer
Passagem meridiana
Ocaso
AN AO
Y
AOcaso = 360o - ANascer
AN
AN
AN: Azimute Nascer
AO : Azimute Ocaso
![Page 62: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/62.jpg)
Simetria do
nascer e do ocaso
com relação ao
meridiano local
HOcaso = - HNascer
N S
Z PS
W
E Nascer
Passagem meridiana
Ocaso
HO
HN
S N
Z PN
W
E Nascer
Passagem meridiana
Ocaso
HO
HN Y
![Page 63: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/63.jpg)
Azimute e Hora do
nascer e do ocaso de
um astro
![Page 64: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/64.jpg)
Triângulo
esférico no ocaso
de um astro
Z
PN
H
d
90o
j
90o - d
360-A
N
W
Z
PN
H
90o
Y
![Page 65: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/65.jpg)
Azimute do Nascer e do Ocaso
PN
Q
H
Z
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
cos (90-d) = cos z. cos(90-j) + sen (90-j) . sen z . cos (360-A)
sen d = cos j . cos A
cos A = sen d / cos j 0 A 180o
No Nascer: A = A No Ocaso: A = 360o - A
a = 90 – d
b = z = 90 (distância zenital)
c = 90 – j
A = 360 – A
cos (90-d) = sen (90-j) . cos (360-A)
![Page 66: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/66.jpg)
Ângulo horário
no nascer e no
ocaso PN
Q
H
Z
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
cos z = cos (90-j) . cos (90-d) + sen (90-j) . sen (90-d) . cos H
0 = sen j . sen d + cos j . cos d . cos H
cos H = - sen j . sen d / cos j . cos d
cos H = - tan j . tan d 0 H 1800
No Ocaso: Ho = H No Nascer: Hn = - H
![Page 67: Coordenadas - astro.iag.usp.brjorge/aga414/2014_02_coordenadas.pdf · Altura e distância zenital Horizonte Zênite Nadir S W E h = altura z = distância zenital z plano vertical](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062909/5b535f0f7f8b9a45298bbeb8/html5/thumbnails/67.jpg)
Distância zenital de um
astro extenso no Nascer e
no Ocaso Zênite
Terra
Horizonte
s(SOL) ~ s(LUA) ~ 16’
s
Aparecimento ou
desaparecimento do
bordo superior
Observador
z = 900 + s
s:
Semidiâmetro
angular aparente
z