1CPV FGVADMDEZ2014
FGV ADM – 14/dez/2014
CPV O CursinhO que Mais aprOva na GV
MATEMÁTICA APLICADA
01. Um mapa de um pequeno parque é uma região em forma de quadrilátero, limitado pelas retas y = x, y = x + 4, y = –x + 4 e y = –x, sendo que as unidades estão em quilômetros. A altitude em relação ao nível do mar em cada ponto (x, y) do parque é dada pela expressão
34
. (0,75x + y3) quilômetros.
a) Demonstre que o quadrilátero do parque é um quadrado.
b) Qual é a altitude do centro do parque, ponto de encontro das diagonais, em relação ao nível do mar?
Resolução: a) Considerearepreasentaçãográficadasretas
y = x (r) y = x + 4 (s) y = – x + 4 (t) y = – x (u)
Observandoquenoquadriláterodafiguraasdiagonaissãoperpendiculares e congruentes, portanto, o quadrilátero é quadrado.
b) Considerando o ponto M (0, 2), temos:
3
4 . (0,75 . 0 + 8) =
34
. 8 = 2 3 cm
4
-4(s)
(r) (u)
(t)-2 2
22
A (0,0)
D (-2,2)
C (0,4)
B (2,2)
r // s e t // ur t e s u
M (0,2)
02. Certo município pode ser representado em um mapa como uma malha retangular, 0 £ x £ 5 e 0 £ y £ 5 com uma cidade na origem. Uma construtora estimou que o valor do metro quadrado no ponto (x, y) do mapa, x e y números naturais, é dado pela relação:
ln V = ln 45 – ln 10 – x2 + y2( )100,
sendo V expresso em milhares de reais.
a) Expresse V em termos de x e y. b) Quais são o maior e o menor valor, em reais, do metro
quadrado no município?
Se necessário, use as aproximações: ln 2 = 0,7; ln 3 = 1,1. Observe que o número e é igual a 2,718... e que y = ln x se e
somente se ey = x, com x > 0.
Resolução:
a) Temos que 0 ≤ x ≤ 5 e 0 ≤ y ≤ 5
ln V = ln 45 – ln 10 – ( x2 + y2
100 ) ln V – ln 45 + ln 10 = – ( x2 + y2
100 ) ln
V . 1045
= – ( x2 + y2
100 ) Þ ln V . 2
9 = – ( x2 + y2
100 )
V . 29
= e–
x2 + y2
100 Þ V = 92
e–
(x2 + y2)100
b) x = 0 e y = 0 Þ Vmáx
Vmáx = 92
e0 = 4500 reais por m2
x = 5 e y = 5 Þ Vmin
Vmin = 92
e–1/2
ln Vmin = ln 92
– 12
Þ ln Vmin = 2,2 – 0,7 – 0,5
Vmin = e1 = 2,718 = 2718 reais por m2
FGV-ADM 14/12/2014 CPV o Cursinho que Mais aprova na GV
CPV FGVADMDEZ2014
2
03. Atenda ao que se pede:
a) Determine o produto das raízes da equação cúbica x3+ 64 = 0 que não são números reais.
b) Para resolver uma equação cúbica expressa na forma x3 + 3ax = 2b, o matemático francês François Viète (1540-1603) substituiu a variável x por x =
ay – y
e obteve a equação: y6 + 2by3 – a3 = 0. Obteve os valores de y e depois, os de x. Use esse método para determinar uma raiz da seguinte equação (considere x e y números reais e positivos): x3 + 3x . 3 5 = 4.
Resolução:
a) x3 + 64 = 0
fatorando temos que (x + 4) (x2 – 4x + 16) = 0
portanto, a raiz real é – 4,
logo x2 – 4x + 16 = 0 contém as raízes imaginárias.
O produto das raízes imaginárias é dado por ca
= 16.
Resposta: o produto das raízes imaginárias é 16.
b) Segundo François Vièle a equação x3 + 3ax = 2b resolve substituindo x =
ay
– y,
obtendo a equação y6 + 2by3 – a3 = 0.
Assim, a equação x3 + 3x 3 5 = 4
pode ser resolvida fazendo a = 3 5 e b = 2,
resultando na equação
y6 – 4y3 – ( 3 5 )3 = 0, isto é, y6 – 4y3 – 5 = 0.
Substituindo y3 = t temos t2 – 4t – 5 = 0
cujas raíses são: t = – 5 (não convém) t = 1
Se t = 1 então y3 = 1 Þ y = 1 (real positivo)
Como x = 3 51
– 1 temos x = 3 5 – 1
04. Afiguramostraográficodafunção f (x) = 2x3 – x2 – 20x + 28.
a) Se julgar conveniente, utilize-o para resolver a
inequação: 2x3 – x2 – 20x + 28(x2 + x + 1)3 > 0.
b) Resolva a inequação: 2x3 – x2 – 20x + 28 > 28.
Resolução: a) Deacordocomográficodado,2éumaraizdupladef(x),a
outraraizpodeserobtidaporBiot-Ruffini.
2x + 7 = 0 Þ x = – 72
.
Como x2 + x + 1 > 0 para todo x Î , devemos ter: 2x3 – x2 – 20x + 28 > 0 Û (x – 2)2 (2x + 7) > 0 isto é f(x) > 0. Pelográfico:
S = ] – 72 , + ¥ [ – { 2 }.
b) Temos: 2x3 – x2 – 20x + 28 > 28 Û x (2x2 – x – 20) > 0.
As raízes de 2x2 – x – 20 = 0 são x = 1 ± 161
4
Estudo de sinal:
S = ] 1 – 1614
, 0 [ È ] 1 + 1614
, + ¥ [.
– 72
– 72
– –+
0
+
1 – 1614
1 + 1614
3
FGVADMDEZ2014 CPV
CPV o Cursinho que Mais aprova na GV FGV-ADM 14/12/2014
05. Uma fábrica constrói dados com a forma de um tetraedro regular. A área de uma face do dado é igual a 9 3 cm2.
a) Qual é a soma das medidas das arestas de um dado? b) As faces do dado são numeradas de 1 a 4. Lançamos
dois desses dados. Qual é a probabilidade, expressa em porcentagem, da soma dos números das faces visíveis ser um múltiplo de 5?
Resolução:
a) Devemos ter: a2 3
4 = 9 3 Þ a = 6 que é a medida
de uma aresta do tetraedo. O tetraedo possui 4 . 32
arestas,
então a soma de todas elas é igual a 6 . 6 = 36 cm.
b) O número de elementos do espaço amostral é N (E) = 4 . 4 = 16.
Os resultados possíveis cuja soma dos números das faces é múltiplo de 5 são:
dado 1 dado 2 soma(1, 2, 3) (2, 3, 4) 15(2, 3, 4) (1, 2, 3) 15(1, 2, 4) (1, 3, 4) 15(1, 3, 4) (1, 2, 4) 15
Portanto: P = 416 = 25%
06. Uma padaria entrega mensalmente certo tipo de pão, cobrando R$ 1,50 pelo pacote simples, que contém 1 unidade, e R$ 2,50 pelo pacote duplo, que contém 2 unidades.
— Na primeira semana, ela entrega a um restaurante 100 pacotes simples e 40 pacotes duplos.
— Na segunda semana, 200 pacotes simples e 80 pacotes duplos.
— Na terceira semana, 200 pacotes simples e 60 pacotes duplos.
— Na quarta semana, 300 pacotes simples e 80 pacotes duplos.
a) Escreva um produto de matrizes que expresse o total de pães entregues pela padaria mensalmente ao restaurante e o valor total, em reais, recebido mensalmente pela padaria.
A matriz produto deve ter esta forma: Número de pães – – – – Valor total em reais – – – – As colunas representam a primeira, segunda, terceira e
quarta semanas, respectivamente.
b) Usando a matriz produto do item A, calcule o total de pães entregues mensalmente ao restaurante e o valor total, em reais, recebido mensalmente pela padaria.
Resolução:
a) Seja P a matriz produto pedida. Do enunciado, P é do tipo (pij)2x4, sendo:
número de pães p11 p12 p13 p14 = P valor total em reais p21 p22 p23 p24
Seja Q a matriz que indica a quantidade de pacotes de pães vendidos no mês. Q é do tipo (qij)2x4, sendo:
1a semana 2a semana 3a semana 4a semana
pacote 100 200 200 300 simples = Q pacote 40 80 60 80 duplo
Seja R a matriz que indica a quantidade de pães por pacote e o preço de cada pacote, tal que R seja do tipo (rij)2x2, com
1 2 R = , temos o produto de matrizes: 1,50 2,50
R . Q = P
1 2 100 200 200 300 . = P 1,50 2,50 40 80 60 80
número de pães 180 360 320 460= P
valor total em reais 250 500 450 650
b) Usando o resultado do item A, o total de pães entregues mensalmente ao restaurante e o valor total, em reais, recebido mensalmente pela padaria pode ser obtido, respectivamente, pela soma dos elementos da 1a e da 2a linhas da matriz produto. Temos:
● totaldepães=180+360+320+460=1320 ● valortotal(emreais)=250+500+450+650=1850
FGV-ADM 14/12/2014 CPV o Cursinho que Mais aprova na GV
CPV FGVADMDEZ2014
4
07. a) Braille é um sistema de leitura para cegos inventado pelo francês Louis Braille no ano de 1827, em Paris. Os caracteres são indicados por pontos de alto-relevo que podem representar letras, pontuações, números, sinais matemáticos, notas musicais. Cada célula Braille possui 6 pontos, arrumados num padrão três linhas por duas colunas. Observe como são representadas, por exemplo, as letras A e B.
Considere que quando não há pontos de alto-relevo, não há representação de nenhum caractere:
Quantos caracteres podem ser representados no sistema Braille?
b) Nove cobaias numeradas de 1 a 9 são distribuídas igualmente em três grupos: um grupo de controle e dois grupos experimentais. De quantos modos diferentes as cobaias podem ser distribuídas nos grupos, se os três grupos têm tratamentos diferenciados?
Resolução:
a) Considerando que pelo menos um ponto precisa de alto-relevo, temos:
1 ponto 2 pontos 3 pontos 4 pontos 5 pontos 6 pontos C6,1 + C6,2 + C6,3 + C6,4 + C6,5 + C6,6 =
26 – 1 = 63
Resposta: Podem ser representados no sistema Braille 63 caracteres.
b) Escolhendo as pessoas dentro dos grupos, temos:
1o Grupo 2o Grupo 3o Grupo C9,3 . C6,3 . C3,3 84 . 20 . 1 = 1680
Resposta: As cobaias podem ser distribuídas nos grupos de 1680 modos diferentes.
08. Atenda ao que se pede.
a) Considerando que uma geração corresponde a 25 anos, determine o número de ancestrais (pais, avós, bisavós, etc.) que determinada pessoa pode ter em um período de 300 anos.
b) A figura mostra os quatro primeiros termos dasequência dos números piramidais de base quadrada. Determine o quinto, o sexto e o sétimo termos da sequência.
Resolução: a)
PaiPai ...
Pai ...
25 anos 25 anos
Mãe
Mãe ...
Mãe ...
Montando uma sequência de ancestrais, temos (2, 4, 8, ...) P.G. de razão 2 e a1 = 2.
O total de ancestrais em 300 anos é dado por
S 30025
= S12 = a1 (qn – 1)
q – 1 =
2 (212 – 1)2 – 1
= 8190
b) 1o termo = 1 2o termo = 1 + 4 = 12 + 22 = 5 3o termo = 1 + 4 + 9 = 12 + 22 + 32 = 14 4o termo = 1 + 4 + 9 + 16 = 12 + 22 + 32 + 42 = 30
Assim, 5o termo = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55 6o termo = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = 91 7o termo = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 = 140
5
FGVADMDEZ2014 CPV
CPV o Cursinho que Mais aprova na GV FGV-ADM 14/12/2014
09. Um retângulo em que a razão entre as medidas do maior e
do menor lado é 1 + 5
2 é chamado retângulo de ouro.
Doretângulodeourodafigura,retiramosumquadradodelado 2a.
Demonstre que o retângulo resultante é um retângulo de ouro.
Resolução:
A partir do desenho, temos:
Assim, a razão é dada por:
2a
( 5 – 1) a = 2
5 – 1 = 1 + 5
2
Logo, o retângulo resultante é um retângulo de ouro.
2a
2a
2a
(1 + 5 ) a
( 5 – 1) a
10. Considere um triângulo ABC de área 12 cm2, cujos lados medem AC = 8 cm e BC = 6 cm.
a) Calcule a medida do ângulo C^ . Faça um esboço de todos os triângulos possíveis.
b) Calcule a soma dos quadrados das possíveis medidas do lado AB.
Resolução:
a) AABC = 12
. AC . BC . sen C^ Þ 12 = 12
. 8 . 6 sen α
Þ sen α= 12
Þ α = 30º ou α = 150º
Assim, os possíveis triângulos são:
b) Nafigura1, temos: x12 = 82 + 62 – 2 . 8 . 6 cos 30º
Nafigura2, temos: x22 = 82 + 62 – 2 . 8 . 6 cos 150º
Assim, x12 + x2
2 = 64 + 36 – 96 cos 30º + 64 + 36 – 96 cos 150º e como cos 150º = – cos 30º, temos:
x12 + x2
2 = 100 + 100 = 200
COMENTÁRIO do CPV
A prova de Matemática Aplicada da FGV de 2015 foi uma prova abrangente no seu conteúdo, dentro da proposta de selecionar os melhores alunos. Fica claro a preocupação da bancaembeneficiaroalunoconceitualebempreparado.
8 6
C
A x B
α
A Ax xB B
30º
C
8 6
figura1 figura2
68 150º
C