Download - Culegere Probleme Microunde Militaru
George LOJEWSKI Nicolae MILITARU
MMIICCRROOUUNNDDEE
Culegere de probleme
EEDDIITTUURRAA EELLEECCTTRROONNIICCAA 22000000
Microunde – Culegere de probleme
1
LINII DE TRANSMISIUNE TEM 1.1 Să se calculeze parametrii lineici ai unui cablu coaxial fără pierderi având raza conductorului interior şi raza interioară a cămăşii Cablul are dielectricul din polietilenă,
mm3=r.2,2=rε
cm.1=R
Rezolvare: Într-un sistem de coordonate cilindrice, dată fiind simetria circulară a cablului coaxial, fiecare dintre cele două câmpuri conţine câte o singură componentă, iar aceste componente nu depind de coordonata unghiulară ϕ :
ρρrEE 0=
ρϕrHH 0= , 00 HZE d=
Sarcina electrică lineică de pe suprafaţa conductorului interior poate fi dedusă din legea fluxului electric aplicată unei suprafeţe
LqΣ cilindrice, coaxiale cu
cablul, de lungime unitară şi rază oarecare ,ρ ( )Rr << ρ :
( ) 0
2
0
1
0
2dddd ErzEAAqL επϕρρεεπ
ρ ==⋅=⋅= ∫ ∫∫∫ΣΣ
ΣΣ nEnD
Cunoscând câmpul, tensiunea dintre conductoare poate fi determinată aplicând definiţia ei clasică:
( )rRrErEEU
R
r
R
r
B
A
lnddd 00 ==== ∫∫∫ ρρ
ρρρlE
în care şi A B sunt două puncte arbitrare, situate fiecare pe câte unul dintre cele două conductoare. Rezultă astfel capacitatea pe unitatea de lungime a conductoarelor:
mpF5,101mF105,101
310ln
2,21036
12
ln
2 129
0
0 =⋅=⋅
⋅⋅
=== −πππε
rRrE
rEUq
C LL
5
Linii de transmisiune TEM
Pe de altă parte, orice undă se propagă cu o viteză de fază egală cu viteza undelor plane în mediul dielectric respectiv, Astfel, ştiind că
TEM ϕv.c
LLCL
v 1=ϕ
iar
εμ1
=c
din egalarea celor două expresii rezultă relaţia: . εμ=LLCLCu alte cuvinte, inductanţa lineică a cablului coaxial poate fi exprimată în funcţie de capacitatea sa lineică. Se obţine:
mnH241mH10241,03
10ln2104ln
26
7=⋅=
⋅== −
−
ππ
πμ
rRLL .
1.2 O porţiune dintr-un cablu coaxial fără pierderi de lungime terminată în gol, prezintă la frecvenţa o reactanţă de intrare capacitivă
. Mărind treptat frecvenţa, se constată o scădere a modulului impedanţei de intrare până la frecvenţa , la care apare un minim. Din aceste măsurări să se determine permitivitatea electrică a dielectricului din cablu şi impedanţa caracteristică a cablului.
,cm10=lkHz1001 =f
MHzkΩ138−=iX
4332 =f
Rezolvare: Impedanţa de intrare a unei linii fără pierderi, terminată în gol, are expresia:
iCZSC
CSCZi XlZ
lZZlZZ
ZZS
Sjctgj
tgjtgj
−=−=++
=∞=
∞=β
ββ
,
unde este reactanţa de intrare a liniei de transmisiune considerate. lZX Ci βctg= La creşterea frecvenţei, minimul modulului impedanţei de intrare are loc când
2πβ =l , adică 4λ=l . Folosind datele din problemă, rezultă:
.cm4042
2 =⋅== lfcλ
Pe de altă parte,
rrf
cfc
ελ
ελ 02
2
0
22 ===
de unde rezultă valoarea constantei dielectrice:
3104334,0
1034
2
6
82
2
02
2
02 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅⋅
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
lfc
r λλ
ε .
La frecvenţe mici ( l>>λ ), lll βλπβ ≈= 2tgtg astfel încât impedanţa de intrare devine
,1j1j2
j2
j1jiLLL
LCCCi CCLlC
Lfl
cZl
Zl
ZZωωππ
λβ
−=⋅−=−=−=−≈
6
Microunde – Culegere de probleme
unde reprezintă capacitatea de intrare a liniei. Li ClC ⋅= La frecvenţa la care 1f l>>λ , se poate deci scrie
lCC
XLi
i11
11ωω
−=−=
astfel încât se poate deduce capacitatea lineică a cablului coaxial de lungime : l
mpF115mF101151,010138102
12
1 1235
1=⋅=
⋅⋅⋅⋅=−= −
ππ lXfC
iL .
De aici rezultă şi impedanţa caracteristică a cablului:
2
11
2
0
0 2)2(
411
fXf
Xflfc
CcCcCL
CCL
Z ii
L
r
LLL
LL
LC
ππ
ε−=−=
⋅=
⋅===
deci
Ω=⋅⋅⋅⋅⋅
= 50104332
10138106
35πCZ .
1.3 Cât este rezistenţa lineică a unei linii de transmisiune având impedanţa caracteristică , terminată adaptat, dacă s-a constatat o atenuare a semnalului de la fiecare parcurşi? Pierderile în dielectricul liniei se consideră neglijabile.
Ω= 100CZm10dB1
Rezolvare: Constanta de atenuare a unei linii este legată de parametrii săi lineici prin relaţia: , γα Re=unde constanta de propagare γ are expresia: ( )( )LLLL CGLR ωωγ jj ++= . Dacă (pierderi mici în metal) şi (pierderi neglijabile în dielectric), se poate scrie:
LL LR ω<< 0≈LG
( )j j j 1 j 1j 2
L LL L L L L L L
L L
R RR L C L C L CjL L
γ ω ω ω ωω ω
⎛ ⎞≅ + ⋅ = + ≅ +⎜ ⎟
⎝ ⎠.
Rezultă astfel expresia constantei de atenuare a liniei considerate:
C
L
L
LLL Z
RL
RCL
22==α .
Cu valorile problemei se obţine:
mNp0115,0mNp7,81,0mdB1,0 ====
lAα ,
de unde rezultă: mΩ3,21000115,022 =⋅⋅== CL ZR α .
1.4 Se consideră circuitul cu schema din figura de mai jos în care tronsonul de linie de transmisiune folosit este fără pierderi, are drept dielectric aerul iar impedanţa sa caracteristică prezintă valoarea . Se cere: Ω= 50CZ
a) Să se calculeze puterea activă în sarcină, la frecvenţa GHz1= , folosind expresia impedanţei de intrare în linie;
f
7
Linii de transmisiune TEM
b) Să se calculeze aceeaşi putere, folosind tensiunea pe sarcină.
CZ
3,75cml =
1
10VU
2U
zOl−
100SZΩ
Rezolvare: Lungimea de undă pe linie corespunzătoare frecvenţei de lucru este:
cm30m3,010
1039
80 ==
⋅==
fc
λ
şi deci, în raport cu λ , linia folosită are lungimea:
8λ
=l .
a) Impedanţa de intrare în tronsonul fără pierderi cu lungimea l are expresia:
lZZlZZZZ
SC
CSCin β
βtgjtgj
++
=
şi întrucât
18
2tgtg =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅=
λλπβl ,
rezultă valoarea impedanţei de intrare:
( )Ω−=++
= 30j40100j50
50j10050inZ .
Puterea activă la intrarea circuitului are expresia:
inin
in ZZ
UP Re
2 2
21 ⋅= .
Deoarece linia folosită este fără pierderi, puterea activă de la intrare este egală cu puterea în sarcină:
( ) W8,04030402
102
22
2=⋅
+== inS PP .
Observaţie: Termenul inZ poate fi determinat direct, ştiind că impedanţa de intrare a unei linii de lungime 8λ , fără pierderi, terminată pe o sarcină pur rezistivă, are modulul egal cu impedanţa sa caracteristică, Ω== 50Cin ZZ .
b) Pentru o linie fără pierderi de lungime l şi impedanţă caracteristică CZ , ecuaţia tensiunii pe linie poate fi pusă sub forma:
( ) zIZzUzU C ββ sinjcos 00 −= ,
8
Microunde – Culegere de probleme
în care amplitudinile undelor directă şi inversă au fost exprimate în funcţie de tensiunea totală de la sarcină şi curentul total de la sarcină, . 0U 0ICu notaţiile din figură, relaţia precedentă devine: ( ) ( ) ( )lIZlUlUU C −−−=−= ββ sinjcos 221 şi deoarece curentul prin sarcină, , poate fi exprimat în funcţie de tensiunea la sarcină,
2I
SZ
UI 2
2 = ,
rezultă:
2221 21j1
21
82sin
10050j
82cos UUUU ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅=
λλπλ
λπ
de unde poate fi dedusă tensiunea la sarcină în funcţie de tensiunea de la intrarea liniei:
12
21j12
1 UU⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
= .
Puterea transmisă sarcinii pur rezistive are expresia:
S
S ZU
P2
22=
şi valoarea:
W8,01002
10522
2
=⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
=SP .
1.5 Pentru circuitul cu schema din figura de mai jos să se deseneze distribuţia amplitudinii tensiunii în lungul liniilor de transmisiune la frecvenţa , dacă tronsoanele de linie de transmisiune sunt considerate fără pierderi iar dielectricul liniei este aerul, .
GHz3=f
1=rε
24VinU
150CZΩ
10cml = 1 5cml =
U 1
50CZΩ 1
450RΩ
1U2
150CZΩ
2U2
100RΩ
2 2,5cml =
Rezolvare: Lungimea de undă pe linie corespunzătoare frecvenţei de lucru este:
8
09
3 10 0,1m 10cm3 10r
ccf f
λε
⋅= = = = =
⋅.
Primul tronson are deci lungimea egală cu o lungime de undă λ , al doilea tronson este repetor de impedanţă ( )21 λ=l iar cel de-al treilea tronson - inversor de impedanţă ( )42 λ=l .
9
Linii de transmisiune TEM
Impedanţa de intrare în linia de lungime este: 2l
Ω=== 225100
1502
2
22
2 RZ
Z Ci .
Tronsonul 2l este terminat pe o sarcină pur rezistivă, =12R ei valoare este mai mică decât =152CZ care raportul de undă staţionară pe linia de lungime 2l se poate calcula direct cu relaţia:
Ω00 , a căr, caz înΩ0
5,1100150
2
22 ===
RZ Cσ .
Impedanţa de sarcină a tronsonului de lungime are deci valoarea 1l
Ω=+⋅
=+⋅
== 150225450225450||
21
21211
i
iiS ZR
ZRZRZ .
Impedanţa de intrare în tronsonul de lungime (repetor de impedanţă) este aceeaşi:
1l
. Ω====
15012/1 | Slii ZZZλ
Deoarece linia cu lungimea este terminată pe o sarcină pur rezistivă, cu o valoare mai mare decât impedanţa caracteristică a liniei , raportul de undă staţionară se poate calcula cu relaţia:
1lΩ=>Ω= 50150 11 CS ZZ
350
150
1
11 ===
C
S
ZZ
σ .
Primul tronsonul are drept impedanţă de sarcină impedanţa de intrare în tronsonul repetor. Aceasta este egală cu impedanţa lui caracteristică, , deci tronsonul este terminat adaptat, astfel încât raportul de undă staţionară
Ω== 1501 Ci ZZ1=σ iar
tensiunea la sarcină este egală cu tensiunea de la intrare: . V24== inUU Impedanţa lui de intrare are valoarea: . Ω== 150Cin ZZ Pentru tronsonul de lungime l1 2= λ , tensiunile de la extremităţi sunt U , respectiv . Întrucât impedanţa de sarcină a acestui tronson este pur rezistivă şi mai mare decât , rezultă că la capătul dinspre sarcină al tronsonului repetor va exista un maxim de tensiune, egal cu
U1 Ω=1501SZΩ= 501CZ
V241 =U . Pe de altă parte, între două maxime ale distribuţiei de tensiune există şi un minim, situat, faţă de sarcina tronsonului repetor, la distanţa
cm5,244==
+= Γ λλ
πϕπd .
În punctul de minim tensiunea are valoarea:
V8324
1
1 ==σU
.
Pentru reprezentarea distribuţiei de tensiune pe linii se face observaţia că tensiunea la sarcină este U . Întrucât rezultă că la sarcină există un minim al distribuţiei de tensiune de pe tronsonul inversor egal cu
2 Ω=<Ω= 150100 22 CZR
10
Microunde – Culegere de probleme
V165,1
24
2
12 ===
σU
U .
Distribuţia de tensiune în lungul tronsoanelor este reprezentată în figura de mai jos.
O[cm]z
( ) [V]U z
8
16
24
2,5−7,5−17,5−
1.6 O linie având impedanţa caracteristică este terminată pe o sarcină compusă dintr-un rezistor cu rezistenţa de
Ω= 50CZΩ20
1=
în serie cu un condensator având capacitatea de 3 pF. Să se calculeze raportul de undă staţionară şi distanţa la care apare primul minim de tensiune, la frecvenţa . Dielectricul liniei este aerul iar pierderile ei sunt neglijabile.
GHz0f
Rezolvare: Reactanţa de sarcină are valoarea:
Ω−=−=−= 532
11
00 CfCX S πω
astfel încât impedanţa de sarcină este . Ω−=+= 53j20j SSS XRZAceastă sarcină determină un coeficient de reflexie al tensiunii, Γ :
rad43,1jj e69,0e5053j205053j20 −=⋅Γ=
+−−−
=+−
=Γ Γϕ
CS
CS
ZZZZ
.
Raportul de undă staţionară σ este determinat de modulul coeficientului de reflexie:
45,569,0169,01
11
=−+
=Γ−
Γ+=σ .
Poziţia minimelor este determinată de faza coeficientului de reflexie. Calculând întâi lungimea de undă pe linie,
cm30m3,0110
1039
8
0
0 ==⋅
⋅==
rfcε
λ
se obţine în final poziţia minimului, calculând distanţa lui de la sarcină:
11
Linii de transmisiune TEM
cm08,4304
43,14min =⋅
−=
+= Γ
ππλ
πϕπd .
Altfel: Pe diagrama Smith: Se reprezintă punctul corespunzător impedanţei normate de sarcină:
06,1j4,050
53j20j −=−
=+= SSC
S xrZZ
.
Acesta se află deci la intersecţia dintre cercul 4,0=r cu arcul de cerc . 06,1−=xDe pe diagramă se identifică cercul concentric cu diagrama 5,5≈σ şi poziţia normată a punctului 136,0≈λd , de unde rezultă distanţa cerută: . cm08,430136,0136,0min =⋅=≈ λd 1.7 Conectând la capătul unei linii de măsură cu pierderi neglijabile o sarcină necunoscută, se măsoară pe linie un raport de undă staţionară ,2=σ iar la distanţa
de capătul liniei se constată existenţa unui minim al distribuţiei tensiunii. Cunoscând lungimea de undă pe linie
cm22=dcm30=λ şi impedanţa caracteristică a liniei de
măsură , să se determine impedanţa sarcinii de la capătul liniei. Ω= 75CZ Rezolvare: Din datele experimentale se poate calcula coeficientul de reflexie al sarcinii,
Γ⋅Γ=Γ ϕje :
333,031
11
≈=+−
=Γσσ ,
rad15
213022414 min ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=Γ
πππλ
πϕd
.
Reţinând o valoare , rezultă: ( ππϕ ,−∈Γ )
rad209,0j15j
e33,0e31 −−
≈⋅=Γπ
.
Din expresia coeficientului de reflexie al tensiunii la sarcină,
11
11
+−
=+−
=+−
=ΓS
S
CS
CS
CS
CS
zz
ZZZZ
ZZZZ
se determină impedanţa normată de sarcină:
3,0j932,1e955,1e333,01e333,01
11 rad154,0j
209,0j
209,0j−==
−+
=Γ−Γ+
= −−
−
Sz .
În final, prin denormare, se obţine valoarea impedanţei de la capătul liniei: ( ) ( ) Ω−=⋅−=⋅= 5,22j145753,0j932,1CSS ZzZ . Observaţie: Distanţa, faţă de sarcină, la care apare primul minim rezultă din relaţia
cm74min =+
= Γ λπϕπd .
Pe o linie fără pierderi distanţa între două minime consecutive este de 2λ astfel încât minimul măsurat este de fapt al doilea: cm221572 2min,min =+==+ dd λ .
12
Microunde – Culegere de probleme
Altfel: Pe diagrama Smith: Se desenează cercul concentric cu diagrama 2=σ , tangent exterior la cercul
2=r şi tangent interior la cercul 21=r . Deplasării pe linia fără pierderi de la intrarea sa spre sarcină îi corespunde pe diagrama circulară o rotaţie în sens trigonometric, pe un cerc cu centrul în origine, până la o deplasare normată:
733,03022
≈=λd .
Aceasta presupune parcurgerea completă a diagramei plus încă o deplasare de . Punctul astfel obţinut, situat la intersecţia dintre cercul 233,05,0733,0 =− 2=σ şi
dreapta determinată de centrul diagramei şi poziţia 0,233, corespunde impedanţei normate de sarcină. De pe diagramă se citeşte: ; 93,1=r 3,0−=x şi deci valoarea impedanţei necunoscute, obţinută prin denormare, este: ( ) ( ) ( )Ω−≈⋅−=+= 5,22j145753,0j93,1j CS ZxrZ . 1.8 O linie de transmisiune fără pierderi, cu impedanţa caracteristică
este terminată pe o sarcină având impedanţa la frecvenţa de lucru. Ştiind că puterea transmisă sarcinii este să se calculeze valoarea maximă a tensiunii pe linie.
,100Ω=CZ .)150j50( Ω+=SZ,W10=SP
Rezolvare: Se calculează întâi coeficientul de reflexie al sarcinii:
( )rad107,1je745,066,0j33,0
32j1
j133j1
150j150150j50
=+≈+
=++−
=++−
=+−
=ΓCS
CS
ZZZZ .
Rezultă o valoare a coeficientului de reflexie al puterii:
952 =Γ==Γ
d
ip P
P.
Puterea transmisă sarcinii este diferenţa dintre puterea undei directe şi puterea undei inverse, ( ) ( )211 Γ−=Γ−=−= dpdidS PPPPP . Din datele problemei, se calculează puterea undei directe şi puterea undei inverse, :
dP
iP
( ) W5,22951
101 2 =
−=
Γ−= s
dPP ,
. W5,12105,22 =−=−= Sdi PPP Puterea undei directe este legată de unda directă de tensiune prin relaţia: dP dU
C
dd Z
UP
2
2
=
de unde se obţine amplitudinea undei directe: V675,2210022 =⋅⋅== dCd PZU .
13
Linii de transmisiune TEM
În mod similar se poate deduce şi amplitudinea undei inverse: V505,1210022 =⋅⋅== iCi PZU . Valoarea maximă a tensiunii pe linie este suma amplitudinilor undelor directă şi inversă: V1175067max =+=+= id UUU . Valoarea minimă a tensiunii pe linie este V175067min =−=−= id UUU . Observaţie: Amplitudinea undei inverse poate fi calculată şi din definiţia coeficientului de reflexie: V5067745,0 ≈⋅=⋅Γ= di UU . Valorile maxime şi minime calculate în cele de mai sus sunt condiţionate de o lungime suficientă a liniei. 1.9 Să se stabilească condiţiile în care o linie fără pierderi, având ca sarcină o impedanţă pur rezistivă, prezintă la intrare tot o impedanţă pur rezistivă. Rezolvare: Expresia impedanţei de intrare a unei linii fără pierderi este:
lZZlZZZZ
SC
CSCi β
βtgjtgj
++
=
Întrucât linia este fără pierderi, . Considerând , partea imaginară a impedanţei de intrare are expresia:
ℜ∈CZ ℜ∈= SS RZ
( )lRZlRZZZ
SC
SCCi β
βtgtgIm 22
22
+−
= .
Impedanţa de intrare este pur rezistivă atunci când ,0Im =iZ adică în unul din următoarele cazuri:
a) CS ZR = , deci atunci când linia este terminată adaptat;
b) 0tg =lβ , sau πβ kl = , sau 2λkl = , adică în situaţia liniilor în
2λ (repetoare
de impedanţă);
c) ∞→lβtg , sau ( )2
12 πβ += kl , sau ( )4
12 λ+= kl , deci pentru liniile în
4λ
(transformatoare de impedanţă). Altfel: Pe diagrama Smith: Trecerea de la punctul corespunzător sarcinii pur rezistive, situat pe axa absciselor ( ), la punctul corespunzător impedanţei de intrare se face prin rotirea, în sens orar, pe un cerc cu centrul în originea diagramei circulare. Şi acest punct, corespunzând unei impedanţe cu partea reactivă normată nulă, trebuie să se afle pe axa absciselor. Această situaţie poate apărea dacă:
0=x
a) Punctul iniţial se află în origine, deci raza cercului pe care se face rotaţia este nulă, astfel încât punctul corespunzător impedanţei de intrare este tot în origine. În acest caz CS ZR = , adică linia este terminată adaptat.
14
Microunde – Culegere de probleme
b) Rotaţia se face cu un unghi de o360 astfel încât cele două puncte se suprapun. În această situaţie lungimea liniei este de 2λ .
c) Rotaţia se face cu un unghi de o180 astfel încât ambele puncte se află pe axa absciselor, aşezate simetric în raport cu centrul cercului. În acest caz lungimea liniei este de 4λ .
1.10 Se consideră o linie de transmisiune fără pierderi, prezentată în figura de mai jos. Să se determine poziţia secţiunii AA ′ pentru care modulul impedanţei de intrare, iZ , trece printr-un maxim.
CZ
2λ
zO
z
A
A′
Rezolvare: Admitanţa de intrare a porţiunii de lungime z terminate în scurtcircuit, de la dreapta secţiunii , este: AA ′
λπβ zYzYY CCisc
2ctgjctgj −=−= ,
unde este admitanţa caracteristică, reală, a liniei, iar CY λ este lungimea de undă. Admitanţa de intrare a tronsonului terminat în gol, de la stânga secţiunii AA ′ , are expresia:
λπ
λππλ
λπλβ zYzYzYzYY CCCCig
2tgj2tgj2
2tgj2
tgj −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= .
Admitanţa de intrare văzută în secţiunea AA ′ reprezintă suma celor două admitanţe calculate anterior:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=+=
uuYzzYYYY CCigisci
1j2ctg2tgjλπ
λπ ,
unde
λπzu 2tg= .
Rezultă:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+=
uuY
uuYY CCi
11 .
Deoarece produsul mărimilor u şi u1 este constant, suma lor este minimă (adică modulul impedanţei este maxim) atunci când cele două mărimi sunt egale. Rezultă deci condiţia: 1=u
15
Linii de transmisiune TEM
sau
12tg ±=λπz ,
de unde
Zkkz∈+±= ,
42 ππλπ .
Se obţine:
.28λλ kz +±=
Întrucât ,2
,0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∈
λz convin numai valorile
8λ
=z ,
respectiv
8
3λ=z .
1.11 Să se proiecteze circuitul cu schema din figura de mai jos astfel încât la frecvenţa corespunzătoare unei lungimi de undă cm50=λ să se obţină adaptarea unei sarcini având impedanţa la o linie de acces cu impedanţa caracteristică .
Ω−= )100j25(SZΩ= 75CZ
Toate liniile de transmisiune au ca dielectric aerul şi prezintă pierderi neglijabile.
CZCZ CZ ′
4λ d
1iZ 2iZ
SZ
Rezolvare: Metoda 1. Lungimea tronsonului în λ/4 (inversor de impedanţă), la frecvenţa de lucru, este
cm5,124
504
===λl .
Din condiţia de adaptare este necesar ca: . Ω== 751 Ci ZZ Pe de altă parte, tronsonul inversor de impedanţă realizează adaptarea unei impedanţe de sarcină reale, , la o altă impedanţă, , de asemenea reală: 2iZ Zi1
221 iCiiC ZZZZZ ⋅=⋅=′ .
16
Microunde – Culegere de probleme
Se impune deci ca lungimea a celui de-al doilea tronson să prezinte o valoare pentru care , astfel încât impedanţa să fie pur rezistivă.
d 0Im 2 =iZ 2iZ
Impedanţa de intrare în tronsonul cu lungimea considerat fără pierderi, are expresia:
,d
dZZdZZZZ
SC
CSCi β
βtgjtgj
2 ++
= .
În mărimi normate se obţine:
tztz
ZZz
S
S
C
ii j1
j22 +
+== ,
unde
34j
31
75100j25
−=−
==C
SS Z
Zz
reprezintă impedanţa normată de sarcină, iar
λ
πβ ddt 2tgtg == .
Astfel, rezultă:
[ ] [ ]222 )43(
j)43()43(j1j)43()43(j1
34j
31j1
j34j
31
ttttt
ttt
t
tzi ++
−+⋅−+=
++−+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
+−=
adică
( )92417
12812j92417
13j 2
2
2
2
222 ++−−
+++
+=+=
tttt
tttxrz iii .
Din condiţia rezultă valoarea lungimii pentru care impedanţa este pur rezistivă:
0Im 2 =iz d 2iz
012812 2 =−− ttsau 0323 2 =−− ttdeci
3
1012,1
±=t .
Rezultă astfel următoarele cazuri: • 72,0tg 11 −≈= dt β
adică ( ) Zkkd ∈+−= 111 ,72,0arctg πβ deci
d k1 120 624
2= − ⋅ + ∈k Z1
λπ
λ, , ;
• 387 ,1tg 22 ≈= dt βadică Ζ∈+= 222 ,387,1arctg kkd πβdeci
17
Linii de transmisiune TEM
d k2 220 946
2= ⋅ + ∈k2
λπ
λ, , Ζ .
Rezultă de aici că cele mai mici valori pozitive pentru lungimea sunt: d• cm20 1 =d• cm53,7 2 =d
Corespunzător acestor valori, impedanţa , respectiv impedanţa caracteristică 2iz CZ ′ a tronsonului inversor primesc următoarele valori:
• pentru cm20 : 1 =d
55,8972,02472,017
)172,0(392417
)1(32
2
72,0121
21
2
1
≈+⋅+⋅
+=
+++
=−=t
i ttt
z
şi, corespunzător, Ω=⋅⋅=⋅=′ 3,219)55,875(752iCC ZZZ
• pentru cm53,7 : 2 =d
117,09387,124387,117
)1387,1(392417
)1(32
2
387,1222
22
2
2
≈+⋅+⋅
+=
+++
==t
i ttt
z
şi, corespunzător, Ω=⋅⋅=⋅=′ 65,25)117,075(752iCC ZZZ Metoda 2. Se bazează pe observaţia că impedanţa pe o linie de transmisiune fără pierderi este pur rezistivă numai într-un plan de maxim sau de minim al distribuţiei de tensiune pe linie. În acest caz, impedanţa corespunzătoare unui plan de minim al distribuţiei de tensiune este
( ) σ
Czz
ZZ =
= min,
unde Z reprezintă impedanţa văzută într-un plan situat la faţă de sarcină. Similar, într-un plan de maxim se obţine valoarea
(minz )
( )
σCzz ZZ == max
,
unde Z reprezintă impedanţa văzută într-un plan situat la faţă de sarcină iar (maxz ) σ este raportul de undă staţionară pe linie. Tronsonul în λ 4 , inversor de impedanţă, transformă o impedanţă pur rezistivă
în altă impedanţă, de asemenea reală, SZ SC ZZ 2′ . Distanţa trebuie să fie astfel aleasă încât impedanţa văzută în planul respectiv să fie reală, deci să corespundă fie unui minim, fie unui maxim al distribuţiei de tensiune pe linie.
d
Distanţa de la sarcină la care apare primul minim al distribuţiei de tensiune este dată de relaţia:
d =+π ϕπ
λΓ
4.
Cu datele problemei, impedanţa normată de sarcină este:
18
Microunde – Culegere de probleme
34j
31−==
C
SS Z
Zz
iar coeficientul de reflexie al tensiunii la sarcină are valoarea
j1,249rad1 0,79e1
S C S
S C S
Z Z zZ Z z
−− −Γ = = ≅
+ +.
Se obţine astfel lungimea tronsonului terminal:
1, 249 50 7,53 cm4
d ππ
−= ≅ .
În acest plan, impedanţa normată are valoarea:
117,0111
2 =Γ+
Γ−==
σiz .
Denormând, se obţine valoarea impedanţei de intrare în tronsonul de lungime : d . Ω=⋅== 775,8117,07522 iCi zZZ Impedanţa liniei de lungime cm5,124504 === λl se calculează cu ajutorul relaţiei: 2 75 8,775 25,65C C iZ Z Z′ = = ⋅ ≅ Ω . În mod similar se determină distanţa şi impedanţa caracteristică în cazul unui maxim al distribuţiei de tensiune.
d CZ ′
Primul maxim de tensiune pe linie este situat – faţă de sarcină – la o distanţă : d
20,03 cm2 4
d ϕλ λπΓ= − ≅ .
În acest plan, impedanţa normată are valoarea
2
1 1 0,79 8,521 1 0,79iz σ+ Γ +
= = = ≅− Γ −
.
Denormând, se obţine valoarea impedanţei de intrare în tronsonul de lungime : d . Ω=⋅== 63952,87522 iCi zZZCorespunzător, impedanţa caracteristică a tronsonului inversor are valoarea: Ω=⋅==′ 219639752iCC ZZZ . Metoda 3. Pe diagrama Smith. Se reprezintă pe diagramă punctul corespunzător impedanţei normate de sarcină:
25 j100j 0,333 j1,33375
SS s
C
Z r xZ
−= + = ≅ − .
Acesta se află deci la intersecţia dintre cercul 333,0=r şi arcul de cerc . 333,1−=x Se citeşte de pe diagramă poziţia corespunzătoare punctului obţinut, notat cu : A ( ) 348,0≈Ad λ . Corespunzătoare unei deplasări de la sarcină până într-un plan al liniei în care impedanţa este pur rezistivă, pe diagramă se efectuează o rotaţie în sens orar (spre generator), pe un cerc cu centrul în origine, până la intersectarea semidiametrului real negativ. Punctul astfel obţinut, notat cu B , reprezintă impedanţa normată . De pe 2iz
19
Linii de transmisiune TEM
diagramă se citeşte valoarea acesteia, , şi poziţia ei normată: 12,02 ≈= rzi
( ) 5,0=Bd λ . În acest fel, prin denormare se determină lungimea a tronsonului terminal care asigură în planul său de intrare o impedanţă pur rezistivă,
d
( ) ( )[ ] ( ) cm6,750 =⋅ , 348,05,0 −=−= λλλ AB dddprecum şi valoarea ei: . ( ) Ω=⋅≈= 97512,022 CAii ZzZ Urmând relaţiile prezentate în cadrul acestei probleme la metoda 2, poate fi determinată şi valoarea impedanţei caracteristice a tronsonului inversor, corespunzător datelor obţinute pe diagrama circulară. Astfel, rezultă: . Ω≈′ 26CZ Continuând rotirea din punctul B , pe acelaşi cerc concentric cu diagrama Smith, se constată intersecţia cu semidiametrul real pozitiv, în punctul B′ . Se găseşte astfel şi cea de-a doua soluţie a problemei: , ( ) 5,82 ≈=′ rz Bi
adică, prin denormare, ( ) Ω=⋅≈= ′ 638755,822 CBii ZzZde unde , Ω≈′ 219CZrespectiv
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) . cm1,2050348,075,0 =⋅−≈
25,0λ ≈−+=λ λ−= ′ λλλ AdBAB dddd
Variaţia cu frecvenţa a modulului coeficientului de reflexie pe linia de acces corespunzător celor două soluţii, obţinută prin simulare pe calculator, este prezentată în figura 1.11.1.
Figura 1.11.1.a Figura 1.11.1.b cm53,7=d
Ω=
cm20=dΩ=′ 3,219CZ ′ 65,25CZ
20
Microunde – Culegere de probleme
Observaţie: Se constată că deşi cele două soluţii obţinute sunt ambele corecte la frecvenţa nominală, ele conduc la un răspuns în frecvenţă uşor diferit. Dacă se acceptă o anumită dezadaptare pe linia de acces, exprimată printr-o valoare maxim admisibilă a lui Γ sau σ atunci se poate defini o bandă de frecvenţe în interiorul căreia circuitul de adaptare considerat funcţionează corect. Banda de frecvenţe este mai largă pentru prima soluţie. 1.12 Să se calculeze lungimile , precum şi impedanţa caracteristică 1l 2l CZ ′ astfel încât circuitul cu schema din figura de mai jos să realizeze la frecvenţa adaptarea unei sarcini la o linie de acces cu impedanţa caracteristică
.
GHz1=f( Ω+= 10j20SZ )
Ω= 50CZ Atât cele două tronsoane cât şi linia de acces au ca dielectric aerul şi prezintă pierderi neglijabile.
CZ
1 4l λ=
SZCZ ′
CZ
2l
Rezolvare: La frecvenţa lungimea de undă este GHz1=f
cm30m3,010103
9
80 ==
⋅==
fcλ
şi deci
cm5,74
3041 ===λl .
Condiţia de adaptare a impedanţei complexe de sarcină la linia de acces având o impedanţă caracteristică reală impune ca admitanţa totală de sarcină – alcătuită din admitanţa
SZ
SS ZY 1= şi admitanţa de intrare în tronsonul derivaţie pe sarcină terminat în scurtcircuit – să fie reală. În această situaţie, tronsonul inversor de impedanţă are rolul de a transforma valoarea reală obţinută într-o valoare egală cu impedanţa caracteristică a liniei de acces, fapt care permite adaptarea. Admitanţa de sarcină este
21
Linii de transmisiune TEM
( ) S02,0j04,010j20
11j −=+
==+=S
SSS ZBGY
iar admitanţa de intrare în tronsonul derivaţie are expresia:
22
2 ctgjltgj
tgjlY
YYlYY
YY CYSC
CSCi
S
βββ
−=++
=∞→
.
Admitanţa totală în planul de sarcină al liniei în 4λ are expresia . ( )2lctgj βCSSSit YBGYYY −+=+= Impunând condiţia de adaptare, , 0Im =tYrezultă condiţia:
C
S
YB
l =2ctg β
adică soluţia:
ZkkYB
lC
S ∈+= ,2
arcctg22
λπλ
Urmărind obţinerea unui tronson cu o lungime minimă, se consideră şi deci se obţine:
0=k
cm25,118303
83
43
202,002,0arcctg
22 =⋅
==⋅=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
λππλ
πλl .
În această situaţie, admitanţa totală are o valoare reală: S04,0== St GYdeci impedanţa din planul de sarcină al tronsonului inversor este:
Figura 1.12.1 cm25,112 =l
′ Ω≈ 35,35CZ
22
Microunde – Culegere de probleme
Ω=== 2504,011
tt Y
Z .
Impedanţa caracteristică a tronsonului în 4λ se calculează ca medie geometrică a impedanţelor terminale: Ω≈⋅==′ 35,352550tCC ZZZ . Variaţia cu frecvenţa a modulului coeficientului de reflexie pe linia de acces obţinută prin simulare pe calculator este prezentată în figura 1.12.1. 1.13 Să se stabilească în ce condiţii o linie de transmisiune fără pierderi, intercalată între un generator cu impedanţa internă şi o sarcină cu impedanţa poate fi utilizată ca circuit de adaptare.
GZ SZ
Rezolvare: Impedanţa de intrare a liniei fără pierderi, de impedanţă caracteristică ,
lungime l şi constantă de defazare
CZ
λπβ 2
= , are expresia:
lZZlZZ
ZZSC
CSCi β
βtgjtgj
++
= .
Transferul maxim de putere este obţinut dacă se îndeplineşte condiţia . *
Gi ZZ = Notând , , GGG XRZ j+= SSS XRZ j+= ul =βtg şi ţinând seama de faptul că pentru linia fără pierderi se scrie: ,ℜ∈CZ
( )
SSC
CSSCGG uRuXZ
uZXRZXR
jj
j+−++
=− .
Prin egalarea părţilor reale şi a părţilor imaginare de aici rezultă: ( ) ( ,SGGSSGC RXRXuRRZ −=− ) , ( ) ( ) 02 =+−++ GSGSCGSC XXRRuZXXuZde unde, prin eliminarea variabilei se obţine ecuaţia: ,u
( )( )
03 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+−−++⋅
−−
CSGGS
GSGSSGGSC
GSSG
SG ZRXRX
XXRRRRXXZ
XRXRRR
.
Renunţând la soluţia care nu convine rămâne condiţia: 0=CZ
( ) ( )
SG
SSGGGSC RR
XRRXRRZ
−+−+
=2222
2 .
Deoarece impedanţa caracteristică a liniei fără pierderi este reală, trebuie ca să fie pozitiv, adică
2CZ
011
2222
≥−
+−
+
SG
S
SS
G
GG
RR
RXR
RXR
,
sau
23
Linii de transmisiune TEM
011
≥−
−
SG
SpGp
RR
RR,
în care s-au notat prin şi rezistenţele corespunzătoare reprezentărilor de tip paralel pentru impedanţele şi, respectiv, ( ).
GpRZ
SpR
G SZ , SpSpS XRZ j||=j|| GpGpG XRZ = Dacă această condiţie este satisfăcută rezultă ℜ∈u şi din ecuaţia ul =βtg se determină lungimea necesară a liniei. În concluzie, adaptarea este posibilă atunci când rezistenţa în reprezentarea paralel şi conductanţa în reprezentarea serie ale impedanţei generatorului sunt, ambele, ori mai mici, ori mai mari decât mărimile corespunzătoare ale impedanţei de sarcină. 1.14 Să se calculeze lungimea a unui tronson de linie terminat în scurtcircuit şi distanţa , faţă de sarcină, la care trebuie legat în derivaţie acest tronson, pentru a se realiza adaptarea unei sarcini cu impedanţa
ld
( )Ω−= 10j20SZ la o linie de acces. Atât linia principală cât şi tronsonul de linie folosit pentru adaptare sunt fără pierderi şi au impedanţa caracteristică , iar lungimea de undă pe linie este Ω= 50CZ
cm100=λ .
CZ( )20 j10
SZ− Ω
d
1Y
2Y
l
CZ
Rezolvare: Analitic, problema se rezolvă punând condiţia de adaptare; aceasta revine la a scrie că admitanţa totală de la capătul liniei de acces să fie egală cu admitanţa caracteristică a liniei de acces, CC ZY 1= . Admitanţa normată de intrare în tronsonul de lungime terminat pe admitanţa normată de sarcină
dy Y YS S= C este:
dydy
YY
yS
S
C ββ
tgj1tgj1
1 ++
== .
Admitanţa normată de intrare în tronsonul de lungime terminat în scurtcircuit are expresia:
l
lyYY
ySyi
Cβctgj2
2 −===∞=
.
24
Microunde – Culegere de probleme
Din condiţia de adaptare: CYYY =+ 21
sau , 121 =+ yyse obţine:
1ctgjtgj1tgj
=−++
ldydy
S
S βββ
în care admitanţa normată de sarcină are valoarea
j210j20
50+=
−===
S
C
C
SS Z
ZYYy .
Rezultă relaţia:
1ctgjtg)j2(j1
tgjj2=−
++++ l
dd βββ
adică
( ) 1ctg1tg2tg51tg4tgj
1tg2tg5tg12
2
2
2
2=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+−+−−
++−
+ ldddd
ddd β
ββββ
βββ
din care, prin identificarea părţilor reale şi imaginare, se deduc condiţiile:
• ( ) 11tg2tg5
tg122
2=
+−+
dddββ
β ,
de unde se obţine: . 01tg2tg3 2 =−− dd ββRezultă astfel două valori pentru lungimea tronsonului terminal:
31tg 1 −=dβ
adică
Ζ∈+−= 111 ,)31arctg( kkd πβ
deci , cm8,441 ≈drespectiv 1tg 2 =dβadică
42πβ =d
de unde
cm5,1282 ==λd .
• 0ctg1tg2tg51tg4tg
2
2=−
+−+−− l
dddd β
ββββ
Corespunzător celor două valori ale dβtg , se obţin de aici două soluţii pentru lungimea tronsonului lateral: 1ctg 1 =lβ
25
Linii de transmisiune TEM
adică
cm5,1281 ==λl ,
respectiv , 1ctg 2 −=lβadică
cm5,378
32 ==
λl .
Sintetizând rezultatele obţinute, se constată că adaptarea la linia de acces se produce pentru următoarele perechi de lungimi ale tronsoanelor: ; cm5,12 ,cm87,44 == ld . cm5,37 cm,5,12 == ld Altfel: Pe diagrama Smith: Se începe prin reprezentarea pe diagramă, a punctului, notat cu , corespunzător impedanţei normate de sarcină
A2,0j4,0 −== CSS ZZz .
Datorită conexiunii paralel, se preferă calculul cu admitanţe. Admitanţa normată de sarcină j21 +== SS zy este reprezentată de punctul notat cu A′ , simetric cu în raport cu centrul diagramei.
A
Determinarea distanţei d revine la determinarea unghiului de rotaţie în sens orar (spre generator), astfel încât admitanţa de sarcină, A′ , să se transforme într-o admitanţă având partea reală egală cu unitatea (deoarece adăugarea ulterioară a admitanţei de intrare a tronsonului lateral – pur reactiv – nu va influenţa asupra părţii reale a admitanţei totale). Efectuând rotaţia din punctul A′ până la intersectarea cercului , se obţine punctul
1=gB . Unghiul de rotaţie, determinat cu ajutorul gradaţiilor de pe
periferia diagramei, corespunde unei distanţe normate la lungimea de undă 125,0=λd , adică, denormând, cm5,12125,0 == λd . În punctul B , partea imaginară a admitanţei (susceptanţa) tronsonului terminal, citită pe diagramă, are valoarea normată 1−=b ; în consecinţă, lungimea tronsonului lateral trebuie astfel determinată încât susceptanţa lui de intrare să aibă valoarea normată +1, necesară pentru compensare. Lungimea aceasta poate fi determinată tot pe diagramă, prin intermediul unghiului de rotaţie necesar pentru a transforma admitanţa terminală a tronsonului lateral, ∞=y (reprezentată de punctul C ), în susceptanţa necesară pentru adaptare (punctul D ). Se obţine: 375,0=λl , de unde, denormând, rezultă: cm5,37375,0 =⋅= λl . Se constată că problema mai admite o soluţie, reprezentată de punctul B′ . Pentru acest punct se obţin: 449,0=λd , adică cm9,44449,0 =⋅= λd şi
26
Microunde – Culegere de probleme
125,0=λl , adică cm5,12125,0 == λl . Observaţie: Prin acest procedeu poate fi adaptată orice sarcină , deoarece oricare ar fi punctul de pornire, la rotirea în jurul originii se intersectează cercul , deci se obţin soluţii.
SZ1=g
Variaţia cu frecvenţa a modulului coeficientului de reflexie pe linia de acces, corespunzătoare celor două soluţii, obţinută prin simulare pe calculator, este prezentată în figura de mai jos. Se poate observa faptul că prima soluţie conduce la o bandă ceva mai largă a circuitului de adaptare.
Figura 1.14.2.b cm5,12=d cm5,37=l
Figura 1.14.2.a cm87,44=d
cm5,12=l
1.15 Un cablu coaxial fără pierderi, de lungime cm40=l , are impedanţa caracteristică şi este terminat pe o impedanţă compusă dintr-un rezistor cu rezistenţa de în paralel cu un condensator având capacitatea de
Ω= 200CZΩ100 pF5 .
CZ
l
iZ
SR SC
27
Linii de transmisiune TEM
Ştiind că lungimea de undă pe cablu este iar dielectricul dintre conductoare prezintă o constantă dielectrică , să se calculeze impedanţa de intrare a liniei.
cm25=dλ4=rε
Rezolvare: Frecvenţa de lucru are valoarea:
MHz600Hz106425,0
103 88
0 =⋅=⋅
⋅===
rdd
ccfελλ
.
Rezultă că admitanţa de sarcină are valoarea
( )S105,188j01,0
1051062j10j1j
4
1282
−
−−
⋅+=
⋅⋅⋅⋅+=+=+= πω SS
SSS CR
BGY
sau, în mărime normată,
77,3j2+==C
SS Y
Yy .
Admitanţa normată de intrare în linia de transmisiune are expresia:
,tgj1tgj
lyly
yS
Si β
β++
=
unde
rad052,10254022 === π
λπβ
d
ll
adică 726,0tg =lβ . Rezultă astfel valoarea admitanţei de intrare:
( )rad291,1je174,209,2j6,0
726,077,3j2j1726,0j77,3j2 −=−=⋅++
++=iy .
Prin urmare, impedanţa de intrare normată este: 442,0j127,01 +== ii yz sau, denormând, ( ) ( )Ω+=⋅+== 4,88j4,25200442,0j127,0Cii ZzZ . Altfel: Pe diagrama Smith: Se reprezintă pe diagramă admitanţa normată de sarcină, . Punctul obţinut se roteşte apoi în jurul centrului diagramei, în sens orar (deplasare spre generator), cu un unghi corespunzător lungimii normate a liniei,
77,3j2 +=Sy
6,1=λ1,05,036,1 =⋅−
l ; aceasta presupune parcurgerea completă a trei cercuri, plus încă o deplasare de diviziuni. În punctul astfel obţinut se citeşte admitanţa normată de intrare,
. Pentru a afla impedanţa normată de intrare, se consideră punctul simetric lui faţă de origine. Se obţine sau, denormând,
, ceea ce corespunde soluţiei obţinute anterior pe cale analitică.
09,2j6,0 −=iy
iy== ,24Cii ZzZ
442,0j127,0 +=iz( Ω+ 4,88j5 )
28
Microunde – Culegere de probleme
1.16 Pentru o impedanţă de sarcină ( ) ,50j100 Ω+=SZ să se calculeze lungimile ale tronsoanelor de linie conectate în derivaţie la distanţele (fixe) ,
respectiv faţă de capătul liniei, astfel încât linia de transmisiune să fie terminată adaptat.
21, ll cm500 =lcm750 =+ dl
Atât linia principală cât şi tronsoanele terminate în scurtcircuit sunt fără pierderi şi au impedanţa caracteristică . Lungimea de undă pe linie este Ω= 50CZ .cm100=λ Prin modificarea lungimilor ale tronsoanelor este posibilă adaptarea oricărei impedanţe de sarcină ?
21, ll
CZ
d 0l
SZy′1y
1l
A
A′
2l
B
B′
y′′2y
Rezolvare: Se notează cu admitanţele normate de intrare ale tronsoanelor laterale terminate în scurtcircuit.
21, yy
Deoarece ,210 =λl tronsonul terminal de lungime este repetor de impedanţă astfel încât admitanţa lui normată de intrare are valoarea:
0l
bgZZ
zyy
S
C
SS ′+′=−=
+====′ j2,0j4,0
j211 .
Întrucât 41=λd rezultă că tronsonul de lungime este inversor de impedanţă astfel încât se poate scrie:
d
1
1yy
y+′
=′′ .
Condiţia de adaptare la intrarea în tronsonul de lungime este: 2l . 12 =′+ yy Pe de altă parte, admitanţele de intrare în tronsoanele de linie laterale terminate în scurtcircuit au expresiile: ,ctgj 11 ly β−= , 22 ctgj ly β−=prin urmare condiţia de adaptare devine:
.1ctgjctgjj
12
1=−
−′+′l
lbgβ
β
29
Linii de transmisiune TEM
Egalând aici părţile reale şi imaginare, se obţine sistemul:
( ) ( )
1ctg 2
12 =
−′+′
′
lbgg
β,
( ) ( )21
21
2ctg
ctgctg
lbglb
lβ
ββ
−′+′+′−
= .
Rezolvând sistemul, se obţin soluţiile:
( )5
611ctg '''1
±−=−±= ggblβ ,
2611ctg '2 ±=−±=
glβ ,
de unde , Zkkl ∈+= '
1'1
'1 ,289,1 πβ
Zkkl ∈+−= '2
'2
"1 ,967,0 πβ
respectiv , Zkkl ∈+= "
1"1
'2 ,685,0 πβ
. Zkkl ∈+−= "2
"2
"2 ,685,0 πβ
Se obţin următoarele valori pozitive minime ale lungimilor tronsoanelor: cm9,10;cm5,20 21 == llsau .cm1,39;cm6,34 21 == llObservaţie: Problema admite soluţii numai dacă .1' <g Variaţia cu frecvenţa a modulului coeficientului de reflexie pe linia de acces corespunzătoare celor două soluţii, obţinută prin simulare pe calculator, este prezentată în figura de mai jos.
Figura 1.16.2b Figura 1.16.2a cm5,201 =l cm9,102 =l
cm6,341 =l cm1,392 =l
30
Microunde – Culegere de probleme
Altfel: Pe diagrama Smith: Se porneşte de la , căreia îi corespunde pe diagramă punctul
2,0j4,0j −=++=′ SSS bgyyM . Admitanţa din stânga în secţiunea AA ′ ,
, va fi reprezentată de un punct a cărui poziţie pe cercul depinde de . Trecerea în secţiunea
( )1ctg lβ
1l1 j bgyyy SSA +=+=
4,0== SggS − N
BB ′ se face rotind punctul pe un cerc cu centrul în origine în sens orar (spre generator) cu
N( ) ππλ =⋅ 4d . Se
obţine deci punctul diametral opus lui , care se notează cu şi căruia îi corespunde admitanţa .
N Q1−=′′ Ayy
Se impune condiţia , adică 1. Punctul se află pe cercul , rotit cu
12 =+′′ yy ctg 21 =−− ljyA β Q
4,0=g π radiani. Se caută intersecţia acestui cerc cu cercul . Se găsesc punctele
1=gQ′ şi prin care trec cercurile Q′′ Qbb ′= b, Qb ′′=
2l, care corespund
susceptanţelor compensate de tronsonul cu lungimea . Rezultă deci: , b , adică punctele 222 −=′b ,1−=′Qb 22,1=′′Q2 =′′ −b R′ şi R ′′ care corespund admitanţei
de intrare în linia cu lungimea . 2l Această lungime se obţine prin deplasarea pe cercul exterior în sens orar (spre sarcină) până se ajunge la scurtcircuit ( ∞=y , notat cu ). Se măsoară: S 109,025,0359,02 =−=′ λl ; 391,025,0141,02 =+=′′ λl , de unde, prin denormare, rezultă: , cm9,10109,02 ==′ λlrespectiv . cm1,39391,02 ==′′ λl Se precizează poziţiile N şi N′ ′′ a cle punctului N a simetrice ale punctelor Q, ′
Q ′′ raport cu originea. Prin Nşi în ′ şi N ′′ trec cercurile 48,0−=′= Nbb , respectiv care corespund susceptanţei . Deci susceptanţa liniei
poate avea valorile: 48,0=b ′′= Nb 1b+bb SA = 1l
, 28,01 −=−′=′ SN bbbrespectiv . 68,01 =−′′=′′ SN bbb Punctele reprezentative se notează cu T ′ , respectiv T ′′ . Deplasându-le în sens trigonometric (spre sarcină) până în punctul , se obţine: S 206,025,0456,01 =−=′ λl şi 346,025,0096,01 =+=′′ λl adică, prin denormare: , cm6,20206,01 ==′ λlrespectiv . cm6,34346,01 ==′′ λl Se constată în final că rezultatele obţinute pe cale grafică, cu ajutorul diagramei circulare, sunt în bună concordanţă cu cele obţinute pe cale analitică.
31
Linii de transmisiune TEM
1.17 Să se calculeze dimensiunile şi poziţia unui tronson de adaptare în 4λ cu ajutorul căruia să se realizeze adaptarea unei sarcini ( )Ω−= 100j25SZ la un cablu coaxial având impedanţa . Dielectricul cablului este aerul. Raza mare a secţiunii transversale a cablului este
Ω= 75CZ.cm1=a Tronsonul de adaptare se realizează prin
modificarea razei conductorului interior. Frecvenţa de lucru este .MHz600=f Se neglijează pierderile.
l
Rezolvare: Lungimea de undă corespunzătoare frecvenţei de lucru este:
cm50m5,0106103
8
80 ==
⋅⋅
==rf
cε
λ .
Schema echivalentă structurii desenate este prezentată mai jos.
CZCZ CZ ′
4λ d
SZ
Transformatorul de impedanţă în 4λ schimbă o impedanţă reală în altă
impedanţă reală, SZ
SC ZZ 2′ . Distanţa trebuie să fie aleasă astfel încât impedanţa văzută în planul respectiv să fie reală şi mai mică decât (deoarece
d
CZ bb >′ , ), deci să corespundă unui minim al tensiunii.
CZ<CZ ′
Poziţia minimului de tensiune este dat de relaţia:
λπϕ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += Γ
441d .
Impedanţa normată de sarcină este
34j
31
75100j25
−=−
==C
SS Z
Zz
iar coeficientul de reflexie al tensiunii la sarcină este:
( )jarctg3 j1,249rad1 10 e 0,79 e1 4
S C SS
S C S
Z Z zZ Z z
− −− −Γ = = = ⋅ ≅ ⋅
+ +.
Sz1z
d
2b 2a 2b '2b
32
Microunde – Culegere de probleme
Se obţine:
cm53,7504249,1
41
=⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
πd .
În acest plan de minim al distribuţiei de tensiune impedanţa normată are valoarea:
.117,0111
1 =Γ+
Γ−==
S
Szσ
Impedanţa tronsonului de adaptare în 4λ trebuie să corespundă ecuaţiei
, ( ) 12 1 zzC ⋅=′
deci ,342,01
' == zzC adică . Ω=⋅=⋅= 65,25342,075''
CCC zZZ Din expresia impedanţei caracteristice pentru cablurile coaxiale,
baZ
rC ln60
ε= ,
rezultă că pentru cablul coaxial iniţial, raza conductorului interior este:
mm86,260
exp =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅= rCZ
abε
,
iar pentru porţiunea de lungime 4λ
mm52,660
exp'
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=′ rCZ
abε
.
Lungimea l a tronsonului cu impedanţa CZ ′ este: .cm5,124504 === λl 1.18 Să se calculeze puterea maximă transmisibilă printr-un cablu coaxial cu dimensiunile având ca dielectric aerul, terminat pe impedanţa lui caracteristică. Se ştie că în cazul aerului intensitatea câmpului electric maxim admisibilă este de
2,72mm,R = 1mmr =
cmkV300 =strE şi se admite un coeficient de siguranţă .2,0=C
Rezolvare: Notând cu intensitatea maximă a câmpului electric (de la suprafaţa conductorului interior) rezultă:
0E
2R
2r 0 0 lnB R
A r
r RU d E d rEr
ρρ
= = =∫ ∫E l .
Dar:
,2
2
CZU
P =
unde
33
Linii de transmisiune TEM
60 lnCRZr
= Ω .
În consecinţă
2 22 2 20 0ln ln
W1202 60 ln
R Rr E r Er rP R
r
= =⋅ ⋅
iar dacă se introduce coeficientul de siguranţă rezultă valoarea puterii maxime transmisibile prin cablul coaxial în condiţiile date:
C
( )2 2 26 6
0,
max,tr
ln 10 3 10 ln 2,720, 2 15kW
120 120
strRr ErP C
− ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = .
1.19 Să se calculeze puterea maximă transmisibilă printr-un cablu coaxial cu dimensiunile având ca dielectric aerul, dacă impedanţa lui terminală este
2,72mm,R = 1mm,r =( ) .Ω60j90+=SZ
Se consideră, ca şi în cazul problemei precedente, intensitatea câmpului electric de străpungere a aerului cmkV300 =strE şi se admite un coeficient de siguranţă
.2,0=C Rezolvare: În cazul unui cablu coaxial, fără pierderi, dezadaptat, puterea transmisă sarcinii are expresia
C
i
C
didS Z
UZ
UPPP
22
22
−=−= ,
iar raportul de undă staţionară este
id
id
UUUU
UU
−
+==
min
maxσ
deci
( )( )σC
ididC
S ZU
UUUUZ
P22
12max=+−=
Comparând cu cablul terminat adaptat, (vezi problema 1.18), se constată că puterea maximă transmisibilă scade de σ ori. Cu datele problemei, impedanţa caracteristică a cablului coaxial are valoarea:
60 ln 60 ln 2,72 60CRZr
= = ≅ Ω
iar impedanţa normată de sarcină este:
j5,160
60j90+=
+==
C
SS Z
Zz
astfel încât coeficientul de reflexie al tensiunii la sarcină
rad727,0je415,02j52j1
j5,2j5,0
11
⋅=++
=++
=+−
=ΓS
S
zz
.
34
Microunde – Culegere de probleme
Rezultă de aici valoarea lui σ :
1 1 0,415 2,421 1 0, 415
σ+ Γ +
= = ≅− Γ −
.
Cablul fiind identic cu cel din problema anterioară, se deduce:
( )
kW2,642,21015 3
adaptaretransm.max,transm.max, =
⋅==
σ
PP .
1.20 Ce capacitate trebuie să aibă un condensator conectat la un capăt al unei linii fără pierderi de lungime pentru ca linia terminată în scurtcircuit la celălalt capăt să rezoneze la frecvenţa de ? Impedanţa caracteristică a liniei este
iar dielectricul acesteia are o permitivitate electrică relativă .
cm3=lGHz1
Ω= 50CZ 4=rε
CZ
l
iZ
C
Rezolvare: Impedanţa de intrare în tronsonul cu lungimea , terminat în scurtcircuit, are expresia:
l
, lZZ Ci βtgj=şi cum
rad4,0103
21003,0222 8
9
0ππ
επ
λπβ =
⋅⋅⋅
===c
lfll r
rezultă: ( ) Ω=⋅= 154j4,0tg50j πiZ . Condiţia de rezonanţă este: ,0=+ iC XXde unde
.1C
XX iC ω−=−=
Se obţine astfel capacitatea condensatorului:
pF1F10154102
11 129 =≈⋅⋅
== −
πω iXC .
1.21 Un emiţător transmite semnalul antenei prin intermediul unei linii având constanta de atenuare mdB0434,0=α şi lungimea de . Ştiind că raportul de undă staţionară pe linie este
m1025,1=σ şi că puterea medie activă în antenă este de , să
se calculeze puterea debitată de emiţător. W100
35
Linii de transmisiune TEM
Rezolvare: Randamentul unei linii de transmisiune are expresia:
,ee
1222
2
ll ααη
−Γ−
Γ−=
unde reprezintă coeficientul de reflexie al sarcinii iar este lungimea liniei având constanta de atenuare
Γ lα .
Pentru datele numerice ale problemei, se obţine:
1mNp05,010686,810434,0 <<=⋅⋅=lα ,
fapt ce permite folosirea aproximaţiei: 2e 1 2l lα .α± ≅ ± Din expresia raportului de undă staţionară pe o linie se deduce
,11
+−
=Γσσ
astfel încât se poate scrie:
( ) ( )2
2 2
1 4 114 2 2 21 2 1 2 1ll l l
σησ α σα α α α
σ
− Γ≅ = =
⎛ ⎞+ ++ − Γ − + +⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Din definiţia randamentului:
em
ant
PP
=η ,
unde este puterea livrată antenei, iar este puterea debitată de emiţător, rezultă: antP emP
antem ant
11PP l Pα ση σ
⎡ ⎤⎛ ⎞= ≅ + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦,
de unde, cu datele problemei se obţinea valoarea cerută:
W11010054
45
2011 =⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅+≅emP .
1.22 Să se calculeze impedanţa caracteristică şi randamentul unui tronson de cablu coaxial de lungime 4λ folosit pentru adaptarea unei sarcini la un generator având impedanţa internă pur rezistivă, Constanta de atenuare a cablului este
Ω= 10SZ.250Ω=gZ
mdB1=α , iar lungimea de undă .cm20=λ
CZ
4l λ=
SZSUinUgE
gZ
zOl−
36
Microunde – Culegere de probleme
Rezolvare: Condiţia de adaptare este: ,ing ZZ =
unde este impedanţa de intrare a liniei cu pierderi, inZ
lZZlZZZZ
SC
CSCin γ
γthth
++
= .
Pentru un tronson inversor ( 4λ=l ) se obţine ,2πβ =l deci
( )lll
lllllll αβα
βαβαγπβπβ th
1tgthj1
tgjthlimjthlimth22
=⋅+
+=+=
→→,
astfel încât condiţia de adaptare conduce la:
,thth
SC
CSCg ZlZ
ZlZZZ++
=αα
de unde rezultă ecuaţia: ( ) ,0th2 =−−− SgCSgC ZZlZZZZ αcu soluţiile
( ) ( )
24thth 22
SgSgSgC
ZZlZZlZZZ
+−±−=
αα.
Valoarea pozitivă a impedanţei caracteristice poate fi scrisă sub forma:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−++
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
2
th211th
21 l
ZZ
ZZ
lZZ
ZZ
ZZZg
S
S
g
g
S
S
gSgC αα
sau, cu notaţia Sg ZZr = :
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
2
th1211th1
21 l
rrl
rrZZZ SgC αα .
Pentru un tronson inversor, fără pierderi, ( 0=α ), se regăseşte expresia impedanţei caracteristice ca medie geometrică a impedanţelor sale terminale: SgC ZZZ = .
Dacă linia are pierderi mici iar şi nu diferă prea mult, astfel încât gR SR r să nu fie mult diferit de 1, se poate scrie:
1th121
<<⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − lr
r α
şi de aici rezultă:
1 11 t2C g S hZ Z Z r l
rα
⎡ ⎤⎛ ⎞≅ + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
.
Cu datele problemei atenuarea tronsonului are valoarea:
Np1075,5m42,0
mNp115,0 3−⋅=⋅=lα ,
şi deci
37
Linii de transmisiune TEM
( )3 3th th 5,75 10 5,75 10 .l lα α− −= ⋅ ≅ ⋅ = Astfel, se obţine:
3 21 1 1 1 1 1th 5 5,75 10 1,38 10 12 2 2 5
r l r lr r
α α − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ≅ − = − ⋅ = ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠<< ,
astfel încât, pe baza relaţiei aproximative, rezultă valoarea impedanţei caracteristice: ( )22500 1 1,38 10 50,69CZ −≅ + ⋅ = Ω . Observaţie: Rezultatul calculat prin aproximare diferă foarte puţin de valoarea
Ω== 50gSC ZZZ rezultată în urma neglijării pierderilor. Puterea reală medie (puterea activă) pe o impedanţă complexă Z la bornele căreia tensiunea are amplitudinea U , este dată relaţia:
ZZ
UP Re
21
2
2
mr ⋅= ,
astfel încât expresia randamentului tronsonului de adaptare devine:
inS
in
in
S
in
S
ZZZ
U
UPP
Re
2
2
2
==η
Se calculează:
( )( )
( ) ( )( ) ( )
,ee
1e0e0
000lll
il
d
id
lz
z
in
S
UUUU
zUzU
UU
γγγγ −−−=
=
Γ+Γ+
=++
==
unde este coeficientul de reflexie al tensiunii la sarcină, Γ
( )( ) ,
11
00
+−
=+−
==ΓS
S
CS
CS
d
i
zz
ZZZZ
UU
iar CSS ZZz = reprezintă impedanţa normată de sarcină. În cazul problemei, 4λ=l , astfel încât
lll απ
αγ ±±±± ±== ejeee 2j
şi, prin urmare,
( ) ( )
222
chshe1je1j2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=−−+
= − llzz
zzz
UU
S
Sl
Sl
S
S
in
S
αααα .
De asemenea,
S
S
SC
CS
S
C
S
in
S
in
zlzl
ZlZZlZ
ZZ
ZZ
ZZ
++
=++
⋅==αα
αα
th1th
thth
ReRe .
Randamentul poate fi astfel scris şi sub următoarea formă:
( ) ll
zz
lzlzl
lzl
SS
S
S
S αααα
ααα
η2
222
thth11
1ch
1th
1thch1th
1
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⋅=++
⋅+
= .
În cazul liniei cu pierderi mici 1<<lα astfel încât, în final, rezultă:
38
Microunde – Culegere de probleme
( ) ( ) ( )
2 22 2
1 1
11 12 3 3SS
l l lz l l
z
ηα α α
α α
≅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
,
adică
1 .11 SS
z lz
ηα
≅⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
Cu datele numerice ale problemei, , 1Np1075,5 3 <<⋅= −lα 197,069,5010 === CSS ZZz şi astfel se obţine valoarea randamentului: .%1,97=η 1.23 Un cablu coaxial având pierderi neglijabile şi lungimea 4λ este folosit pentru adaptarea unei impedanţe de sarcină rezistivă la o linie de acces având impedanţa caracteristică . Considerând pentru factorul de undă staţionară pe linia de acces o valoare maxim admisibilă 1, să se determine banda de frecvenţe a acestui circuit de adaptare calculat pentru o frecvenţă centrală
Ω= 25SZ
,1=Ω=100CZ
maxσ.GHz10 =f
CZ ′
0 4l λ=
SZCZ
Rezolvare: Condiţia de adaptare la frecvenţa centrală este: 0f
Ω=⋅== 5025100'SCC ZZZ .
Impedanţa de intrare în tronsonul de adaptare are expresia:
lZZlZZZZ
SC
CSCi β
βtgjtgj
'
''
++
= .
În vecinătatea frecvenţei se poate scrie: 0f
( ) ,12 0
00
00 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ+=
Δ+=Δ+=
ββπβ
ββββββ llll
de unde admiţând condiţia 10<<
Δββ , rezultă:
0
0
2tg ctg2
l βπ βββ π βΔ
= − ≅ −Δ
.
39
Linii de transmisiune TEM
Notând 02 ββπ Δ
=x , în vecinătatea frecvenţei nominale , expresia impedanţei
de intrare a tronsonului devine:
0f
,1j1
j11j1
j11j
1j
' xz
xzZ
xz
z
xzZ
xZZ
xZZ
ZZ
S
SC
SS
SC
SC
CS
Ci+
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+′=
−
′−′=
unde
21
==′
=C
S
C
SS Z
ZZZz .
Deoarece ,1<<x se poate scrie:
11 ji C SS
Z Z zz
⎡ ⎤⎛ ⎞≅ + −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦x .
În aceste condiţii, coeficientul de reflexie calculat la intrarea tronsonului are expresia:
1j1 1j212 j
SSi C
Si C S
SS
z xzZ Z z x
Z Z zz x
z
⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎛ ⎞− ⎝ ⎠Γ = = ≅ −⎜ ⎟+ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠+ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
iar raportul de undă staţionară pe linie are expresia:
1 11 2 11 S
S
z xz
σ+ Γ
= ≅ + Γ = + − ⋅− Γ
.
De aici, pentru o valoare dată a lui , rezultă: maxσ
SS z
zffx
11
22max
max0max0max
−
−=
Δ=
Δ=
σπββπ .
Cu datele numerice ale problemei, se obţine:
042,02
221
11,1
max0=⋅
−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δπf
f ,
şi deci ( ) .MHz84Hz108410042,022 69
0max =⋅=⋅⋅=⋅Δ= ffB 1.24 Pentru a mări banda de frecvenţe în care se obţine adaptarea unei sarcini, se pot folosi circuite de adaptare compuse din mai multe tronsoane de linie de lungime
4λ , cu impedanţe caracteristice diferite, conectate în cascadă. Să se calculeze banda de frecvenţe în care are loc adaptarea (admiţând
) dacă pentru a adapta o sarcină cu impedanţa la impedanţa caracteristică a liniei de acces .Ω se folosesc două tronsoane de lung e
1,1max =σ Ω= 25SZ, im100=CZ
4λ . Frecvenţa centrală G este 0f .Hz1=
40
Microunde – Culegere de probleme
Să se compare răspunsul cu cel de la problema precedentă.
2CZ
4λ
SZ1CZ
4λ
2iZ
CZ
Rezolvare: La frecvenţa , notând , condiţiile de adaptare sunt: 0f 02 ZZi =
01 ZZZ CC =
SC ZZZ 02 = . Se introduc parametrii ( )212 CCCS ZZZZr == şi 2CS ZZk = ; se exprimă în funcţie de . , ,CZSZ ,1CZ 2CZ rkZ ,,0
Din relaţiile ,02 SC ZZZ = ,2 SC ZkZ =rezultă ,0
2ZkZS = . 02 kZZC = Se obţin imediat:
,021 r
kZr
ZZ C
C ==
rZk
ZZZ C
C0
2
0
21 == .
Pentru frecvenţe puţin diferite de frecvenţa centrală la care 0f 4λ=l , impedanţa de intrare a tronsonului de linie terminat pe sarcina este (vezi problema precedentă)
SZ
.j1
j1
j1
1j
1j
1j00
2
2
22
kx
kxZ
xkx
kkZ
xZZ
xZZ
ZZSC
CS
Ci+
+=
−
−=
−
−=
Impedanţa de intrare a tronsonului de impedanţă caracteristică are expresia: 1CZ
41
Linii de transmisiune TEM
xZZ
xZZ
Z
xZZ
xZZ
ZZ
C
i
C
i
C
iC
Ci
Ci 1j1
1j
1j
1j
1
2
1
2
1
21
12
11⋅−
−=
⋅−
⋅−= .
Întrucât
,j1
j1
1
2
kx
kxkr
ZZ
C
i
+
+⋅=
se scrie:
( )
( ),
j1jj1
j1jj1
j1
j11j1
1jj1
j1
001
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++
⋅=
+
+⋅⋅−
−+
+⋅
=
kxkxkxr
kxrxkxk
rkZ
kx
kxkr
x
xkx
kxkr
Zr
kZi
( ) ( )( ) .1j1j1
2
2
01 xrkxrxrrxk
rkZZi ++−
++−⋅=
Încercând soluţia ca să nu depindă de 1iZ ,x rezultă egalităţile:
( )( ) r
krk
rrk=
++
=−
−1j
1j1
,
îndeplinite numai pentru ,1=r .1±=k Rezultatul nu prezintă interes deoarece conduce la caz în care circuitul de adaptare devine inutil. ,CS ZZ = Coeficientul de reflexie la intrare este
,11
1
1
1
1
+−
=+−
=ΓCi
Ci
Ci
Ci
ZZZZ
ZZZZ
( )( )
.1j11
11j1
2
2
1
xrr
kxr
xrk
rx
ZZ
C
i
++⋅−
++−=
Se obţine
( )
( ).
11j12
11j1
2
2
xr
kk
rxr
r
xr
kk
rxrr
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=Γ
Pentru o valoare dată a lui r se urmăreşte minimizarea modulului coeficientului de reflexie la variaţia lui k . În acest scop, derivând Γ în raport cu şi deoarece k
,1<<x rezultă condiţia:
,01=−
rk
k
deci
42
Microunde – Culegere de probleme
,4 rk = ceea ce conduce la alegerea optimă SC ZZZ =0 . Pentru această alegere, rezultă:
22
2
11
212 1 2
r xxr r
rr x
r
−Γ ≅ ≅ ⋅ −
⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠
.
De aici se poate calcula raportul de undă staţionară pe linia de acces:
21 11 2 1 .1
r xr
σ+ Γ
= ≅ + Γ = + −− Γ
Ţinând seama de expresia lui ,x rezultă:
rrf
f1
12 max
max0max0 −
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ σπβ
β ,
sau, numeric,
16437,05,0211,12
max0=
−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δπf
f .
Se obţine astfel lărgimea benzii , ( ) MHz75,3282 0max =⋅Δ⋅= ffBbanda obţinută fiind de aproape 4 ori mai mare decât în situaţia analizată în problema precedentă. Variaţia cu frecvenţa a modulului coeficientului de reflexie pe linia de acces, obţinută prin simulare pe calculator, este prezentată în figura de mai jos.
Se constată că, într-adevăr, corespunzător unei valori
047,011,111,1
11
max
max =+−
=+−
=Γσσ
,
43
Linii de transmisiune TEM
banda circuitului de adaptare considerat este , ceea ce confirmă rezultatul obţinut pe cale analitică.
sim 329 MHzB ≅
1.25 Într-un cablu coaxial se folosesc discuri dintr-un material dielectric pentru susţinerea conductorului central. Aceste discuri au grosimea mm3=d şi sunt fixate la o distanţă unul de altul. Ştiind că dielectricul are permitivitatea electrică
şi pierderi neglijabile, să se calculeze constanta de defazare şi lungimea de undă la frecvenţa
cm2=D
300=f4=rε
.MHz Rezolvare: Se exprimă succesiv: - capacitatea suplimentară datorită prezenţei unui disc: ( )1sup −= rLl dCC ε , unde este capacitatea lineică a liniei în absenţa discurilor; LC- numărul de discuri pe unitatea de lungime: DN 1= ; - capacitatea suplimentară totală pe unitatea de lungime:
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−== 11supsup rLllL D
dCNCC ε ;
- capacitatea lineică în prezenţa discurilor:
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−=+= 11sup
'rLlLLL D
dCCCC ε .
În situaţia în care lungimea de undă este mult mai mare decât distanţa dintre discuri se poate considera că linia are un dielectric omogen, a cărui permitivitate electrică rezultă din relaţia: LLrech CC '=ε . Se obţine astfel:
( ) .45,13203111 =⋅+=−+= rrech D
d εε
Lungimea de undă în acest cablu este:
cm83m83,045,1103
1038
800 ==
⋅⋅⋅
===rechrech f
cεε
λλ ,
deci ipoteza d>>λ este pe deplin justificată, iar
mrad566,722
0===
cf rechεπ
λπβ .
44
Microunde – Culegere de probleme
2
GGHHIIDDUURRII UUNNIIFFOORRMMEE 2.1 Să se determine funcţiile de distribuţie transversală ale componentelor câmpului electromagnetic pentru modul de propagare în ghidul metalic uniform de secţiune dreptunghiulară. Folosind rezultatele obţinute, să se reprezinte liniile de câmp electric şi magnetic.
21E
Rezolvare: Sistemul de coordonate potrivit pentru studiul acestui ghid este sistemul cartezian. Componenta axială se obţine din ecuaţia membranei cu condiţia la limită corespunzătoare:
zE
( ) yb
nxa
mEyxEmnz
ππ sinsin, 0=
Pentru modul , 21E
( ) yb
xa
EyxEzππ sin2sin, 021
=
Componentele transversale se obţin din componenta axială cu relaţiile de legătură:
( )2 2
jT T z z T zE H
k kγ ωμ
= − ∇ + ×∇E e ,
( )2 2
jT T z z T zH E
k kγ ωε
= − ∇ − ×∇H e ,
unde ( ) ( 222 bnamk ππ += ) , iar 1 2T x y∂ ∂
∇ = +∂ ∂
e e .
Ţinând cont că se obţin expresiile: ,0=zH
yb
xaa
Ek
Exπππγ sin2cos2
02−= ,
yb
xab
Ek
Eyπππγ cos2sin02−= ,
yb
xab
Ek
H xπππωε cos2sinj
02= ,
yb
xaa
Ek
H yπππωε sin2cos2j
02−= .
45
Ghiduri uniforme
Cu ajutorul lor se reprezintă liniile de câmp electric şi magnetic.
a
b
2.2 Să se determine viteza de fază şi viteza de grup ale unei unde care se propagă într-un ghid metalic uniform, de secţiune dreptunghiulară, umplut cu un dielectric având permitivitatea electrică relativă , la frecvenţa . Dimensiunile transversale ale ghidului sunt
10H
=f4=rε,cm
GHz95,1=a .cm75,0=b
Rezolvare: Pentru modul în ghidul dreptunghiular . Ca urmare, frecvenţa critică corespunzătoare modului de propagare are valoarea
10H cm32 == acλ
GHz5Hz105403,0
103 98
0 =⋅=⋅
⋅===
rCcc
ccfελλ
de unde se obţine .95=ffc Viteza de fază este:
( ) ( ) ( )
.sm108,19514
103
118
2
8
20
2⋅=
−
⋅=
−=
−==
ff
c
ff
cvcrcg εβ
ωϕ
Viteza de grup este:
( ) ( ) .sm1025,1111 8202 ⋅=−=−== ffc
ffc
dd
v cr
cg
g εωβ
2.3 Să se calculeze constanta de defazare şi lungimea de undă ale modului care se propagă la frecvenţa printr-un ghid metalic uniform având secţiunea dreptunghiulară cu . Ghidul este umplut cu un dielectric fără pierderi având
10HGHz6=f
, cm1=bcm2=a.4=rε
Rezolvare: Lungimea de undă critică corespunzătoare modului de propagare în ghidul de undă dreptunghiular are valoarea:
10H
cm.42 == acλRezultă frecvenţa critică,
GHz,75,3Hz10375,0404,0
103 108
0 =⋅=⋅
===rcc
dc
ccf
ελλ
şi lungimea de undă pe ghid,
46
Microunde – Culegere de probleme
( ) ( ) ( )cm.2,3m032,0
675,314106
103
11 29
8
20
2
==
=−⋅
⋅=
−=
−=
fff
c
crc
gελλ
λλ
Se obţine astfel valoarea constantei de defazare:
.mrad196102,3
222 =
⋅==
−
πλπβg
g
Observaţie: Constanta de defazare mai poate fi calculată şi cu relaţia
( ) ( ) ( ) ,121 22 ffff ccg −=−= λπββ unde cm.5,2m025,04106103 98
00 ==⋅⋅=== rr fc εελλ Rezultă astfel valoarea constantei de defazare,
( ) ( ) .mrad196675,31025,02 2 =−= πβ g 2.4 Să se calculeze lungimile de undă şi vitezele de fază pentru toate
modurile care se pot propaga într-un ghid metalic uniform de secţiune dreptunghiulară, cu dielectric aerul, având dimensiunile
mngλ mnvϕ
,mnE
cm6=a , la frecvenţa .
cm3=bGHz5,7=f
Rezolvare: În ghidul dreptunghiular, frecvenţa critică corespunzătoare unui mod de propagare având indicii (m, n), este dată de expresia:
22
022
22⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
bn
amc
bn
amcf
rcmn ε
.
Pentru modurile şi astfel încât frecvenţele critice sunt: ,E 0>m ,0>n
fba
cfE c <=⋅=+
⋅=+= GHz59,5Hz1059,5
03,01
06,01
210311
2: 9
22
8
220
11 11
fba
cfE c <=⋅=+
⋅=+= GHz07,7Hz1007,7
03,01
06,04
210314
2: 9
22
8
220
21 21
fba
cfE c >=⋅=+
⋅=+= GHz3,10Hz103,10
03,04
06,01
210341
2: 9
22
8
220
12 12
Deci dintre modurile se propagă numai şi mnE 11E .21ESe calculează, pe rând:
• lungimea de undă în spaţiul liber, cm4m04,0105,7103 98
00 ==⋅⋅== fcλ • lungimea de undă în ghid corespunzătoare modului 11E de propagare,
( ) ( )
cm65,759,51
4
1 220
11
11=
−=
−=
ffc
gλ
λ
47
Ghiduri uniforme
• viteza de fază corespunzătoare aceluiaşi mod, sm105,4106105,7 829
1111⋅=⋅⋅⋅=⋅= −
gfv λϕ • lungimea de undă în ghid corespunzătoare modului 21E de propagare,
( ) ( )cm4,12
5,71,71
41 2
0
21
21=
−=
−=
ffcg
λλ
• viteza de fază corespunzătoare modului 21E , sm103,9104,12105,7 829
2121⋅=⋅⋅⋅=⋅= −
gfv λϕ . 2.5 Ce valoare are permitivitatea electrică relativă a dielectricului care umple un ghid metalic de secţiune dreptunghiulară, dacă la frecvenţa GHz3=f lungimea de undă din ghid pentru modul este egală cu lungimea de undă în spaţiul liber ? Se cunosc dimensiunile transversale ale ghidului:
10H,cm4=a .cm2=b
Rezolvare: Lungimea de undă în ghid are expresia:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ).
11
111
20
02
0
0
20
20
2
crrcr
cdrcrc
dg
ffff
λλε
λ
ελλε
λλλε
λ
ε
λλλ
−=
−=
=−
=−
=−
=
Condiţia conduce la: 0λλ =g
( ) 120 =− cr λλε ,
adică
2
01 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
cr λ
λε .
Înlocuind cu datele problemei, se obţine: cm82 == acλ
cm10m1,0103103 9800 ==⋅⋅== fcλ
56,28
1012
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=rε .
2.6 La frecvenţa , impedanţa de undă a modului într-un anumit ghid metalic dreptunghiular cu dielectric aer are valoarea
GHz10=f 11H( ) Ω
11HuZ = 394 . Cât este
impedanţa de undă a modului la această frecvenţă ? Care sunt dimensiunile ghidului (presupunând ) ?
22Eba 2=
Rezolvare: Impedanţa de undă a modului are expresia: 11H
48
Microunde – Culegere de probleme
( )( )2
0
11
11 1 ff
ZZ
cHu
−= ,
unde 0 0 0 120 377Z μ ε π= = ≅ Ω reprezintă impedanţa de undă în spaţiul liber. Rezultă:
( ) 29,039437711
22
0
11
11 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
Hu
c
ZZ
ff
.
Pe de altă parte, frecvenţele critice ale modurilor şi sunt identice: mnE mnH
,112 2211 bacfc +=
22 22
222⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
bacfc .
Se constată că astfel încât ,21122 cc ff =
58,029,0222
=⋅=ffc . Rezultă valoarea impedanţei de undă a modului la frecvenţa : 22E f
( ) ( ) Ω=−=−= 30758,013771 220 2222
ffZZ cEu
Deoarece 2ab = ,
a
caa
cfc 2521
20
2
211=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+= ,
de unde rezultă
( )fffca
cc 11112
52
5 00 λ== .
Ştiind că cm3m03,010103 10800 ==⋅== fcλ , se pot obţine dimensiunile
transversale ale ghidului:
cm56,1129,02
503,0=
⋅=a ,
.cm78,52 == ab 2.7 Să se calculeze unghiul de incidenţă pe pereţii laterali al celor două unde plane a căror suprapunere alcătuiesc modul care se propagă într-un ghid metalic uniform de secţiune dreptunghiulară cu dielectric aerul, la frecvenţa .
10HGHz7=f
Dimensiunile transversale ale ghidului sunt ,cm5,3=a .cm7,1=b Cât devine acest unghi la frecvenţa GHz3,4=′f ? Rezolvare: Pentru ghidul şi modul considerat, cm,72 == acλ
49
Ghiduri uniforme
GHz.28,4Hz1028,407,0103 98 =⋅≈⋅== cc cf λ Unghiul de incidenţă pe pereţii laterali este dat de relaţia:
2
0 1sin ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−==
ffc
gλλθ .
La rezultă: GHz7=f
79,0728,41sin
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=θ
adică . o3,52=θ La rezultă: GHz3,4=′f
096,03,428,41sin
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=θ
adică . o52,5=θObservaţie: Apropierea de frecvenţa critică implică o direcţie de propagare a undelor plane componente tot mai depărtată de direcţia axială, ceea ce înseamnă că odată cu scăderea frecvenţei de lucru, unghiul de incidenţă al celor două unde plane componente scade şi el, devenind chiar zero la frecvenţa de tăiere În această situaţie propagarea devine pur transversală şi deci apare un fel de “rezonanţă transversală” în interiorul ghidului, fenomen ce echivalează cu absenţa oricărei propagări în lungul ghidului. 2.8 Să se calculeze constanta de atenuare pentru modul în cazul unui ghid uniform de secţiune dreptunghiulară având ca dielectric aerul şi dimensiunile
, la frecvenţa .
10H,cm2=a
cm1=b GHz6=f Rezolvare: Pentru ghidul şi modul considerat, cm,42 == acλ
GHz.5,7Hz105,704,0103 980 =⋅=⋅== cc cf λ
Se constată că , deci în ghid nu are loc o propagare, ci există doar o oscilaţie atenuată (
cff <αγ = ). Constanta de propagare, reală, are expresia:
121212
0
0
2
0
222 −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=−=
c
cckλλ
λπ
ωω
λπ
ωωεμωεμωγ
Se calculează, pe rând: cm5m05,0106103 98
00 ==⋅⋅== fcλ ,
22 5 1 94, 24 Np m
0,05 4πα γ ⎛ ⎞= = − ≅⎜ ⎟
⎝ ⎠,
sau, echivalent, [ ] [ ] .5,81824,94686,8mNp686,8mdB =⋅=⋅= αα
50
Microunde – Culegere de probleme
2.9 Să se calculeze lungimile de undă ale modurilor care se pot propaga într-un ghid metalic de secţiune circulară având raza cm5=a , la frecvenţa . Ghidul are ca dielectric aerul.
GHz3=f
Rezolvare: În ghidul circular, frecvenţele critice ale modurilor de propagare sunt date de:
( ) ,2 mnEc a
cfmn
ρπ
=
( ) mnHc acf
mnρ
π′=
2,
unde este rădăcina a -a a funcţiei Bessel de speţa 1 şi de indice , iar este rădăcina a -a a derivatei acesteia.
mnρ m n mnρ′m
Din tabelele de funcţii Bessel se extrag, în ordine, primele valori şi se calculează frecvenţele critice corespunzătoare:
,mnρ mnρ′
84,111 =′ρ ( ) ff Hc <=⋅=⋅⋅⋅
= GHz76,1Hz1075,184,105,02
103 98
11 π,
40,210 =ρ ( ) ff Ec <=⋅=⋅⋅⋅⋅
= GHz29,2Hz1029,24,205,02
103 98
10 π,
05,312 =′ρ ( ) ff Hc <=⋅=⋅⋅⋅
= GHz91,2Hz1091,205,305,02
103 98
12 π,
83,31011 =′= ρρ ( ) ( ) fff HcEc >=⋅⋅⋅
== GHz66,383,305,02
103 8
1011 π,
2,413 =′ρ ( ) .GHz01,4Hz1001,42,405,02
103 98
13ff Hc >=⋅=⋅
⋅⋅
=π
Deci la frecvenţa se pot propaga numai modurile şi . Ele au lungimile de undă:
GHz3=f ,11H 10E 12H
( )( ) ( )
cm34,12m1234,0376,11103
103
1 29
8
20
11
11==
−⋅
⋅=
−=
fff
c
cHHgλ ,
( )( ) ( )
cm48,15m1548,0329,21103
103
1 29
8
20
10
10==
−⋅
⋅=
−=
fff
c
cEEgλ ,
( )( ) ( )
cm.1,41m411,0391,21103
103
1 29
8
20
12
12==
−⋅
⋅=
−=
fff
c
cHHgλ
2.10 O linie microstrip este folosită pentru adaptarea la frecvenţa de 1 GHz a unei sarcini având impedanţa 25 ,SR = Ω la impedanţa generatorului Să se determine (aproximativ) dimensiunile liniei, ştiind că suportul este din alumină ( ) şi are grosimea
.100Ω=gR
rε 9=.mm1=d
51
Ghiduri uniforme
Rezolvare: Lungimea tronsonului de linie folosit pentru adaptare trebuie să fie 4λ=l :
cm5,2m025,09104
103444 9
800 ==
⋅⋅⋅
====rr f
cl
εελλ .
Pentru linia de lungime 4λ impedanţa de intrare are expresia:
2C
iS
ZZZ
=
deci valoarea impedanţei caracteristice a liniei microstrip trebuie să fie: 100 25 50c g SZ Z Z= = ⋅ = Ω . O expresie foarte aproximativă a impedanţei liniei microstrip este:
,C ddZ ZD
≅
unde D este lăţimea liniei. Cu substratul considerat, rezultă:
mm5,2m105,2950
12010 330 =⋅==== −− πε rcc
d
ZZ
dZZ
dD .
2.11 Într-un ghid de undă metalic, umplut cu aer, de secţiune dreptunghiulară, având dimensiunile transversale ,cm5=a ,cm5,2=b se propagă la frecvenţa
o undă . Ştiind că intensitatea maximă a câmpului electric (în planul de
simetrie
GHz4=f 10H
2ax = al ghidului) este mV1030 =E , să se calculeze densitatea maximă a
curentului de deplasare şi densitatea maximă a curentului superficial de conducţie Să se precizeze poziţia şi orientarea acestor curenţi.
DJ.CJ
Rezolvare: Curentul de deplasare este dat de relaţia jD ωε=J E . Densitatea maximă apare în planul median al ghidului, ( 2ax = ), deci pentru modul considerat va avea direcţia câmpului electric (verticală):
2339
90max mA10222,010
109411042 ⋅=⋅⋅⋅
⋅⋅==π
πωεEJ D
Densitatea de curent superficial de conducţie este dată de relaţia: . C = ×J n H
,Pe pereţii verticali, C z= ×J n Hde unde se deduce faptul că
( ) ,0
0
0
0
00maxmaxmax
cgc
g
Hu
y
c
gzC Z
EZE
Z
EHJ
λλ
λλλλ
λλ
====
unde cm5,7m075,0104103 98
00 ==⋅⋅== fcλ ,
52
Microunde – Culegere de probleme
. ( ) cm10210
=== aHcc λλ
Se obţine:
mA210
5,7120103
max ≈=πCJ
şi acest curent are direcţia verticală. Pe pereţii orizontali există două componente tangenţiale, şi defazate cu xH ,zH
,2π de amplitudini inegale, depinzând de coordonata x :
xa
HH zπcos0= ,
xa
HHg
cx
πλλ
sinj 0= .
Polarizarea fiind eliptică, valoarea maximă în timp a câmpului magnetic total este semiaxa mare a elipsei: zx HHH ,maxmax = .
Deoarece atunci când punctul se apropie de pereţii laterali xH scade iar zH
creşte, maxH va avea un minim corespunzător situaţiei zx HH = (polarizare circulară) şi o valoare maximă:
( ) ( ) ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
== 1,max,max 0maxmaxmaxmaxg
czx HHHH
λλ
.
Cu datele numerice ale problemei, se calculează: , cm102 == acλ
cm5,7m075,0104103 980 ==⋅⋅== fcλ ,
( ) ( )
cm3,11105,71
5,7
1 220
0 =−
=−
=c
gλλ
λλ ,
188,03,11
10<==
g
c
λλ deci
cZE
HHλλ0
0
00maxmax == .
Acest apare la marginea pereţilor orizontali şi are direcţia transversală. Numeric,
maxCJ
.mA2max =CJ 2.12 Să se determine puterea maximă transmisibilă, în cazul adaptării, printr-un ghid metalic cu dielectric aerul, având secţiunea transversală dreptunghiulară cu dimensiunile , la frecvenţa cm,2=a cm1=b GHz10=f Se cunoaşte intensitatea câmpului electric de străpungere a aerului, .cmkV30str =E Se admite un coeficient de siguranţă .25,0=C Cât devine puterea maximă transmisibilă dacă terminaţia ghidului se modifică astfel încât pe ghid apare un raport de undă staţionară 2=σ ? Rezolvare: La frecvenţa dată, în ghid se poate propaga numai modul dominant:
53
Ghiduri uniforme
( ) ( ) faccf
rHcHc <=⋅=
⋅⋅
=== GHz5,7Hz105,702,02
1032
98
0
1010 ελ
.
Pentru modurile imediat următoare acestui mod fundamental, rezultă:
( ) ( )
f
ac
bc
bc
ffrrr
HcHc
>=⋅=
=⋅
===⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
GHz15Hz1015
02,0103
21
29
800
20
0120 εεε
(deoarece ). ba 2= În cazul modului , puterea transmisă în undă directă este dată de expresia: 10H
2
0
2max 1
4 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
ff
abZ
EP c ,
deci puterea maximă transmisibilă pe ghidul de undă dreptunghiular cu dielectric aer, terminat adaptat, este:
( ) MW79,0W1079,0
105,7101,002,0
1204103
14
6226
2
0
2str
adaptaretr.max
=⋅≈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅⋅
⋅⋅
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
π
ff
abZ
EP c
Rezultatul obţinut reprezintă de fapt limita teoretică referitoare la posibilităţile ghidului. În practică, puterea maximă transmisibilă este întotdeauna mai mică decât această valoare teoretică, deoarece orice ghid real are tot felul de neregularităţi ale pereţilor, iar aceste neregularităţi – în special muchiile ascuţite – provoacă apariţia unor concentrări locale ale câmpului electric, provocând astfel apariţia străpungerii mult mai repede decât era de aşteptat. Pentru a se ţine seama de acest aspect, expresia teoretică precedentă poate fi corectată în practică prin adăugarea unui coeficient subunitar, a cărui valoare este determinată de calitatea prelucrării suprafeţelor pereţilor ghidului:
MW2,079,025,014
2
0
2str
adaptaretr.max ≈⋅≈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
ff
abZ
ECP c
Dacă ghidul nu este terminat adaptat, atunci în ghid există simultan atât o undă directă cât şi o undă inversă, situaţie în care puterea transmisă pe ghid este dată de diferenţa dintre puterea transportată de unda directă şi puterea transportată de unda inversă:
2
0
22
14 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=−=
ff
abZ
EEPPP cid
id .
Dar:
( )( )σ
2max
minmax22 E
EEEEEEEE ididid =⋅=−+=− .
Obţinem:
MW1,022,01
4adaptaretr.max
2
0
2max
tr.max ===⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
σσP
ff
abZ
EP c .
54
Microunde – Culegere de probleme
Puterea maximă transmisibilă unei sarcini oarecare printr-un ghid este deci de σ ori mai mică decât puterea maximă transmisibilă unei sarcini adaptate, prin acelaşi ghid. 2.13 Într-un ghid metalic de secţiune dreptunghiulară se propagă o undă transmiţând o putere limită de 1 MW, la frecvenţa
,10HGHz4=fGHz3
. Cât este puterea limită care se va putea transmite cu acest ghid la frecvenţa =′f ? Frecvenţa critică a ghidului considerat este ( ) GHz.5,2
10=Hcf
Rezolvare: Puterea maximă transmisibilă în cazul undei într-un ghid dreptunghiular (vezi problema 2.12) depinde de frecvenţă conform relaţiei:
10H
( ) ( )2tr.max 1 ffkfP c−= , unde este o constantă. kDeci:
( )( )
( )( )
( )( )
7,078,055,0
45,21
35,2111
2
2
tr.max
tr.max ==−
−=
−
′−=
′
ffff
fPfP
c
c .
Rezultă: . ( ) ( ) MW7,07,0 tr.maxtr.max ==′ fPfP Se constată scăderea pronunţată a puterii maxime transmisibile la apropierea de frecvenţa critică. 2.14 Care este intensitatea maximă a câmpului electric într-un ghid metalic de secţiune dreptunghiulară, dacă prin acest ghid se transmite unei sarcini, la frecvenţa
o putere în condiţiile unui raport de undă staţionară GHz,10=f kW1=P 5,1=σ ? Ghidul are dimensiunile transversale cm,2=a cm,1=b dielectric aerul şi prezintă pierderi neglijabile. Rezolvare: Singurul mod care se poate propaga prin ghidul respectiv la frecvenţa dată este modul dominant, Într-adevăr: .10H , ( ) cm42
10== aHcλ
( )( )
facc
frrHc
Hc <=⋅=⋅
=== GHz5,7Hz105,704,0103
29
800
10
10 εελ,
( ) ( ) fa
cff
rHcHc >=⋅=
⋅=== GHz15Hz1015
02,0103 9
80
2001 ε
(deoarece ). ba 2= Puterea transportată are expresia:
( ) ( ) ( ) ( )2222
101010444 id
HuHu
i
Hu
did EE
Zab
ZabE
ZabE
PPP −=⋅
−⋅
=−= .
55
Ghiduri uniforme
Câmpul electric are intensitatea maximă în acele plane transversale în care unda directă şi unda inversă sunt în fază, id EEE +=max . Dar:
( ) ( )σ
2max22 E
EEEEEE ididid =−⋅+=− .
de unde, înlocuind în expresia puterii, se obţine relaţia dintre puterea transmisă şi valoarea maximă a câmpului electric din ghid sub forma:
( )
2
0
2max
2max 1
4410
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⋅=
ff
abZ
EZ
abEP c
Hu σσ.
Cu datele problemei, rezultă în final valoarea intensităţii maxime a câmpului electric:
( ) ( )
mV1013105,7101,002,0
377105,14
1
4 42
3
20
max ⋅=−⋅⋅
⋅⋅⋅=
−=
ffab
PZE
c
σ.
2.15 Să se determine puterea transmisă printr-un ghid de undă fără pierderi, cu dielectric aerul, de secţiune circulară cu raza cm5=a , la frecvenţa pentru modul în cazul adaptării, ştiind că intensitatea câmpului magnetic axial are valoarea
GHz,2=f,11H
.mA100H = Rezolvare: Unda are două componente electrice transversale. Pentru calculul puterii transmise se preferă exprimarea acestora în funcţie de componenta axială, unică.
11H
Pentru modurile de tip H , folosind relaţia:
( ) 2 d
2 T
u HT
ZP a
Σ= ∫ H
şi exprimând prin componenta axială se obţine: TH ,zH
( )
∫Σ ∇⋅=T
aHk
ZP zT
Hu d2
24
2β .
În ghidurile metalice fără pierderi numărul de undă este legat de componenta axială prin relaţia
kzz HE sau =Φ
∫∫
Σ
Σ
Φ
Φ∇=
T
T
a
ak
T
d
d2
2
2 .
Deci, pentru un mod H ,
2
2
0
d2 T
d cz
g
ZP aλλ λ Σ
= ⋅ ∫ H .
În cazul undei în ghidul circular, componenta axială are expresia: 11H zH ( ) ,cosJ10 ϕρkHH z = unde ak 11ρ′= . Se obţine:
56
Microunde – Culegere de probleme
( )∫∫==
⋅⋅⋅=a
g
c kHZ
P0
21
2
0
2
0
2200 dJdcos
2 ρ
π
ϕ
ρρρϕϕλλλ
.
Ultima integrală este o integrală de tip Lommel, [3], deci se poate scrie:
( ) ( ),J21dJ 2
2
22
0
2 kaknak n
a
n ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⋅∫
=ρ
ρρρ
pentru .mnak ρ′= Se obţine:
( )
( ) 211
212
110
2200 J11
4a
HZP
g
c ρρ
πλλλ ′
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
′−⋅= .
Cu datele problemei rezultă: ( ) cm15m15,0102103 98
00 ==⋅⋅== fcλ ,
( ) cm1,1784,1
05,022
1111
≈⋅
=′
=π
ρπλ a
Hc ,
( )( ) ( )
cm8,3117151
15
1 220
011
=−
=−
=c
Hgλλ
λλ ,
kW4,1W104,1102558,084,111
8,31151,17
410120 342
2
22=⋅=⋅⋅⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅⋅
⋅⋅
⋅= −ππP .
2.16 Să se calculeze puterea maximă transmisibilă pentru modul printr-un ghid metalic de secţiune circulară având raza
,10Ecm3=a , la frecvenţa . Ghidul
are ca dielectric aerul (GHz5=f
cmkV30str =E ) şi este terminat pe o sarcină adaptată. Se va admite un coeficient de siguranţă .25,0=C Rezolvare: Se calculează frecvenţa critică corespunzătoare modului de propagare : 10E
( ) fa
cf Ec <=⋅=⋅
⋅⋅
== GHz82,3Hz1082,34,203,02
1032
98
100
10 πρ
π.
Se verifică astfel propagarea modului La acest mod, componentele câmpului electric au expresiile:
.10E
, ( )ρkEEz 00J=
( )ρλλ
ρ kEEg
c10Jj= ,
, 0=ϕEunde ,10 ak ρ= iar .22 10ρππλ akc == În consecinţă, puterea transmisă are expresia:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2222 201
0 0
1 1d d d2 2 2
T T
ac
Tu u u gE E E
EP a a JZ Z Z
π
ρλ dkϕ ρ ρ ρλΣ Σ
⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫E E
57
Ghiduri uniforme
Dar, pentru ,mnka ρ=
( ) ( )kaJakJ n
a
n2
2
0
2
2d ′=∫ ρρρ (integrală Lommel, [3]),
astfel încât puterea transmisă poate fi scrisă sub forma:
( ) ( )102
1
2220
22
2ρπ
λλ
JaZE
Pg
c
Eu′⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= .
Câmpul electric, având două componente defazate cu 2π radiani, are o polarizare eliptică. Intensitatea maximă va fi egală cu cea mai mare dintre semiaxele elipsei:
( ) ( ) ( ) ( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
= 101001000max J;0JmaxJ;Jmax ρλλ
ρλλ
ρg
c
g
c EkEkEE .
Se calculează, pe rând: • lungimea de undă critică, a modului 10E :
( ) cm85,7m0785,04,2
03,022
1010
==⋅
==π
ρπλ a
Ec ;
• lungimea de undă în spaţiul liber, la frecvenţa dată:
cm6m06,0105103
9
80
0 ==⋅⋅
==f
cλ ;
• lungimea de undă din ghid pentru modul 10E :
( )( ) ( )
cm3,985,761
6
1 220
010
=−
=−
=c
Egλλ
λλ .
Deci, în cazul datelor problemei, este: maxE
00max 58,03,985,7;1max EEE =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ⋅= ,
adică puterea transmisă este legată de câmpul electric maxim prin relaţia:
( ) ( )4,2J2
21
222
max ′⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= a
ZE
Pg
c
Euπ
λλ
.
Deci puterea maximă transmisibilă are, pentru acest mod, expresia:
( ) ( )( )
( )4,2J12
4,2JZ2
21
22
20
2str2
12
2
u
2str
tr.max ′⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=′⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= a
ffZ
ECa
ECP
g
c
cg
c
E
πλλ
πλλ
Pentru calculul valorii se poate folosi relaţia cunoscută: ( 4,2J1′ )
( ) ( ) ( )xxxx 1
01JJJ −=′ .
Se obţine:
( )( )
( ) ( )26 2
2 22max tr. 2
3 10 7,850, 25 3 10 0,22 0, 44MW9,32 120 1 3,8 5
P ππ
−⋅ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ≅⎜ ⎟
⎝ ⎠⋅ −.
58
Microunde – Culegere de probleme
2.17 Să se calculeze constanta de atenuare în cazul unui ghid metalic cu pereţi perfect conductori având secţiunea dreptunghiulară cu dimensiunile , la frecvenţa . Ghidul este umplut cu un dielectric având permitivitatea relativă şi tangenta unghiului de pierderi
cm,2=a cm1=bGHz8=f
2=rε ( ) .1025,2tg 4−⋅=δ Rezolvare: În cazul pereţilor perfect conductori, constanta de atenuare este determinată doar de pierderile în dielectric:
( )22 1d d
d
c
Z
f f
σα ≅−
.
Folosind datele problemei, se calculează: • frecvenţa critică corespunzătoare modului dominant:
( ) fac
fr
Hc <=⋅=⋅⋅
== GHz3,5Hz103,5202,02
1032
98
010 ε
;
• lungimea de undă critică corespunzătoare modului 10H : ; ( ) cm42
10== aHcλ
• impedanţa dielectricului:
Ω=== 2672
1200 πε r
dZ
Z .
Din relaţia
ωεσ
δ d=tg
se deduce conductivitatea dielectricului (considerat omogen),
mS1021025,221036
11082tg2 449
90
−− ⋅=⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅==π
πδεεπσ rd f .
Se obţine astfel o constantă de atenuare:
( )
mNp0356,083,512
2671022
4=
−
⋅⋅=
−
α ,
[ ] [ ] 31,07,8mNpmdB =⋅= αα . 2.18 Să se calculeze constanta de atenuare a unui ghid metalic cu dielectric aerul, având secţiunea dreptunghiulară de dimensiuni cm,4=a cm2=b , la frecvenţa
. Pereţii ghidului sunt din cupru, GHz5=f .mS105 7⋅=mσ Rezolvare: Pierderile în aer fiind foarte mici, constanta de atenuare va fi determinată de pierderile în metal:
( ) ,d
d
2
2
∫∫Σ
Γ⋅=
TaH
lH
ZR
T
t
Hu
mmα
59
Ghiduri uniforme
unde reprezintă rezistenţa de undă în metal (adică partea reală a impedanţei de undă în metal), este secţiunea transversală a ghidului, conturul ei,
câmpul magnetic transversal, câmpul magnetic tangenţial la pereţii ghidului.
mm ZR Re= TΣ Γ
TH tH La frecvenţa se poate propaga doar modul fundamental: f
( ) fac
fr
Hc <=⋅=⋅⋅
== GHz75,3Hz10375,004,02
1032
108
010 ε
;
( ) ( ) fa
cbc
ffrr
HcHc >=⋅=⋅
==== GHz5,7Hz1075,004,0103
210
800
0120 εε.
Lungimea de undă în ghid, pe modul fundamental, are valoarea:
( )( ) ( ) ( )
cm9m09,0575,31105
103
11 29
8
20
20
10==
−⋅
⋅=
−=
−=
ff
fc
ff ccHg
λλ .
cazul modului componentele câmpului magnetic au expresiile: În ,10H
xa
HH zπcos0= ,
xa
HHg
cx
πλλ
sinj 0= ,
. Cu acest presii , se pot calcula integralele care determină constanta :
0=yH e ex mα
2dsin
dddd
22
00
220
20
2
0
22
abHxxa
Hb
xHyaHaH
g
ca
g
c
ab
xxTTT
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
===
∫
∫∫∫∫ ΣΣ
λλπ
λλ
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+=++= ∫∫ ∫ =Γ =
baHyHxHHlHg
cb
xz
a
yzxt 2
22
00
20
00
222 12
2d2d2dλλ
.
Se obţine astfel expresia constantei de atenuare datorată pierderilor în pereţii ghidului,
pentru modul 10H :
( ) ( ) 2
221
1
1010
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅⋅=
g
c
g
c
Hu
mHm
ab
bZR
λλ
λλ
α .
Rezistenţa în metal are expresia:
,1R = mm
m σδunde
60
Microunde – Culegere de probleme
μm1m10105104105
112 6779
0==
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=== −
−ππσμμπωμσδ
mrmm f
reprezintă adâncimea de pătrundere în metal. Se obţine astfel:
Ω=⋅⋅
=−
02,010510
176mR ,
( )( ) ( )
Ω=−
=−
= 570575,31
120
1 220
10
π
ff
ZZ
cHu ,
( )( )
mNp006,098
198102,01
57002,0
2
2
=++
⋅⋅=mα ,
[ ] [ ] 053,07,8mNpmdB =⋅= mm αα . Observaţie: În realitate constanta de atenuare este întotdeauna mai mare datorită neuniformităţilor de prelucrare a suprafeţelor interioare ale ghidului (vezi şi ordinul de mărime al adâncimii de pătrundere ).
mα
mδ 2.19 Să se calculeze frecvenţa la care constanta de atenuare a modului într-un ghid metalic de secţiune dreptunghiulară, având ca dielectric aerul, este minimă, precum şi valoarea aceste constante minime de atenuare. Ghidul are dimensiunile secţiunii transversale
10H
cm,2=a cm1=b , iar pereţii sunt din cupru cu conductivitatea .mS105 7⋅=mσ
Rezolvare: Constanta de atenuare a ghidului, ,α este o sumă între constanta de atenuare datorată pierderilor în pereţii metalici imperfect conductori, şi constanta de atenuare corespunzătoare dielectricului imperfect,
,mα:dα
. dm ααα +=Pierderile în aer fiind neglijabile ( )0≈dα , se poate considera că pierderile în ghid sunt cauzate numai de pereţii metalici imperfect conductori:
( )
( )( )10
2
mm 2
1 21 c g
u H c g
b aRZ b
λ λα α
λ λ
+ +≅ = ⋅ ⋅ .
Frecvenţa critică corespunzătoare modului dominant de propagare are valoarea:
( ) GHz5,7Hz1075,004,0103
210
80
10=⋅=
⋅==
ac
f Hc .
Pentru a urmări variaţia cu frecvenţa a constantei , se notează: mα cff=η . Se obţine astfel:
ησμπ
σωμ
ωμσσ
σδ 12211 kfR
mm
mm
mmm ===== ,
unde
61
Ghiduri uniforme
Ω=⋅=⋅
⋅⋅⋅⋅== −
−
m24,33Ω1033,24105
104105,7 37
79
1ππ
σμπ
m
cfk ,
precum şi
( )( ) 11 202
010 −
=−
=η
ηZff
ZZ
cHu ,
unde . 0 120 377Z π= ≅ ΩDe asemenea,
1111 22
20
0−=−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⋅= η
ηη
λλ
λλ
λλ
ff
ff c
cg
c
g
c .
Înlocuind 12 =ab se obţine:
,1
12
2
0
1
−
+=
ηη
ηαZk
unde 5301 1045,63771033,24 −− ⋅=⋅=Zk .
Frecvenţa la care atenuarea este minimă rezultă din condiţia
0dd
=ηα ,
sau, echivalent,
( ) 0d
d 2=
ηα .
Efectuând calculele, se obţine condiţia:
( ) ( ) ( ) ( ) 02112121 22222 =⋅+−+−⋅+⋅− ηηηηηηηη , de unde 0
4
16 24 =+− ηηdeci . ,2opt =η Prin urmare atenuarea este minimă la adică la cff 4,2= GHz.18=f Rezultă: 01min 24,2 Zk=⋅=αα şi, numeric,
mNp1029,1377
1033,2422 43
0
1min
−−
⋅=⋅
⋅=⋅=Zk
α ,
[ ] [ ] 3minmin 1012,17,8mNpmdB −⋅=⋅= αα .
Observaţie: În realitate acest minim de atenuare nu este practic utilizabil deoarece el se află dincolo de limita superioară a benzii normale de lucru a ghidului dreptunghiular. 2.20 Să se calculeze constanta de atenuare a unui ghid coaxial având dimensiunile Ghidul este din cupru, mm,5=R mm.3=r mS105 7⋅=Cuσ şi are
62
Microunde – Culegere de probleme
drept dielectric polietilena având permitivitatea electrică relativă şi conductivitatea
2=rε.mS10 4−=dσ Frecvenţa de lucru este GHz1=f .
Cât devine constanta de atenuare a aceluiaşi ghid la frecvenţa ? 101 =f GHz Rezolvare: Pentru modul fundamental (TEM) în ghidul coaxial componentele câmpului (în coordonate cilindrice) au expresiile:
ρρrEE 0= ,
unde este valoarea maximă a intensităţii câmpului electric care apare la suprafaţa conductorului interior,
( )rEE ρ=0
r=ρ ;
ρϕrHH 0= ,
unde reprezintă valoarea maximă a intensităţii câmpului magnetic care există la suprafaţa conductorului interior,
( )rHH ϕ=0
r=ρ . Pe de altă parte, la orice undă TEM raportul între intensitatea câmpului electric şi magnetic este constanta :dZ
dZHE
=0
0 .
Deoarece pierderile se produc atât în metal cât şi în dielectric, se poate scrie: , md ααα +=unde
mNp1032 3−⋅,132
3771021
21
21 40 − =⋅⋅===
rdddd
ZZ
εσσα ,
rRRr
ln
11+
ZR
H
RHrH
ZR
aH
lH
ZR
d
mR
r
Rr
d
m
T
t
d
mm
T
2dd
dd
2d
d
2 22
0
2
0
22
0
2
2
2
=
+
==
∫∫
∫∫
∫∫ ==
Σ
Γ
ρρϕ
ϕϕα
ϕ
π
π
ρϕ
π
ρϕ
.
Cu datele numerice ale problemei, se obţine:
μm25,2m1025,2
10510410112
6
7790
=⋅=
=⋅⋅⋅⋅⋅
===
−
−ππσμπωμσδ
CuCu f ,
mΩ88,81088,85,112
11051025,2
11 376 =Ω⋅≈=
⋅⋅⋅== −
−Cu
mRδσ
,
Ω=== 2662
3770
rd
ZZε
,
( ) mNp1044,1735ln5
103
10
26625,112 3
33
1−
−
⋅=+
⋅⋅
=mα .
63
Ghiduri uniforme
Rezultă: mNp1076,301032,131044,17 333 −−− ⋅=⋅+⋅=+= dm ααα , [ ] [ ] 26,07,8mNpmdB =⋅= αα . Admiţând că nu variază cu frecvenţa, la frecvenţa se modifică doar adâncimea de pătrundere:
dσ 1f
μm7,0m107
10510410112
7
7710011
1
=⋅=
=⋅⋅⋅⋅⋅
===
−
−ππσμπμσωδ
CuCum f ,
mΩ5,280285,0105107,0
1176
11 =Ω=
⋅⋅⋅==
−Cum
mRσδ
.
La frecvenţa , constanta de atenuare în metal devine: 1f
( ) mNp105635ln5
103
10
2662105,28 3
33
3
1−
−
⋅=+
⋅⋅
=mα ,
deci mNp103,69103,131056 333
11−−− ⋅=⋅+⋅=+= dm ααα ,
[ ] [ ] 6,07,8mNpmdB 11 =⋅= αα . Observaţie: Se poate observa că la ghidul coaxial atenuarea creşte monoton cu frecvenţa. Acesta este unul din motivele pentru care utilizarea ghidurilor coaxiale este limitată în mod normal la frecvenţe mai joase de câţiva gigaherţi [2]. 2.21 Să se determine raza r a conductorului interior al unui ghid coaxial astfel încât constanta lui de atenuare să aibă o valoare minimă. Ghidul este alcătuit din două conductoare din acelaşi metal ( mS102 7⋅=mσ ) separate prin aer. Raza conductorului exterior este cm.1=R Cât este impedanţa caracteristică a acestui ghid ? Dar constanta lui de atenuare la frecvenţa ? GHz1=f Rezolvare: Pierderile în dielectric fiind neglijabile, rezultă (vezi problema 2.20):
( ) ( )rRrR
RZR
rRRr
ZR
d
m
d
m
ln
112ln
11
2
+=
+=α .
Notând ,rRx = raza r pentru care atenuarea este minimă se obţine din condiţia:
( ) 0dd
=rR
mα
adică
0d
d=
xmα
de unde rezultă
64
Microunde – Culegere de probleme
0ln
1=
′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
xx
adică
( ) 011ln =+− xx
x
deci
x
x 11ln += .
Soluţia aproximativă (numerică sau grafică) a acestei ecuaţii este: 3,6x ≅de unde mm77,26,3106,3 === Rr . Impedanţa caracteristică a ghidului coaxial are valoarea:
0 120ln ln ln 3,6 772 22
dc
r
Z ZR RZr r
ππ ππ ε
= = = ≅ Ω .
Se calculează: • adâncimea de pătrundere la frecvenţa de lucru
μm5,3m1035
10210410112
7
7790
=⋅=
=⋅⋅⋅⋅⋅
===
−
−ππσμμπωμσδ
mrm f ;
• rezistenţa de undă în metal
m 6 7m
1 1 1 0,0143,5 10 2 10 70
Rδσ −= = = ≅
⋅ ⋅ ⋅Ω ;
Pentru 6,3=rR constanta de atenuare ia valoarea:
mNp108,66,3ln6,31
01,01
1202701 3−⋅=
+⋅⋅
⋅⋅=
πα ,
[ ] [ ] 059,07,8mNpmdB =⋅= αα . 2.22 Să se determine impedanţa caracteristică a unui ghid coaxial având raza conductorului exterior R dată, care permite transmiterea unei puteri maxime într-o sarcină adaptată. Se consideră drept dielectric aerul. Rezolvare: În ghidul coaxial, componentele câmpului electromagnetic au expresiile:
( )ρ
ρρrEE 0= ,
( )ρ
ρϕrHH 0= , cu dZHE =00 ,
unde şi reprezintă valoarea maximă a intensităţii câmpului electric, respectiv magnetic, valori atinse pe suprafaţa conductorului interior iar impedanţa dielectricului.
0E 0H
dZ
65
Ghiduri uniforme
Dacă ghidul coaxial este fără pierderi, puterea transmisă sarcinii adaptate are expresia:
cZ
UP
2
2
= .
În relaţia precedentă U reprezintă tensiunea dintre conductoarele ghidului coaxial:
0 0 0dd d l
B R R
A r r
r RU E E r E rr
ρρρ ρ
= = = =∫ ∫ ∫E l n ,
unde şi A B sunt puncte situate pe suprafaţa conductorului interior, respectiv exterior, în aceeaşi secţiune transversală. Impedanţa caracteristică a unui ghid coaxial este (vezi problema 2.21):
rR
rRZ
Zr
dc ln60ln
2 επ== .
Rezultă pentru puterea transmisă expresia:
rRrE
rR
rRrE
P r
r
ln120ln60
ln
21 22
0
2220 ε
ε
=⋅= .
Dar nu poate depăşi valoarea corespunzătoare străpungerii dielectricului. şi 0E 0E R fiind date, puterea devine maximă atunci când
0lndd 2 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
rRr
r
de unde se obţine
21ln =
rR
sau
e=rR
deci
e
Rr = .
În acest caz, impedanţa caracteristică a ghidului are valoarea Ω== 30eln60cZ . Observaţie: Deoarece la cablul coaxial dimensiunile transversale nu sunt direct impuse de frecvenţa de lucru, alegerea acestor dimensiuni poate avea în vedere o optimizare a anumitor proprietăţi ale cablului. Astfel, conform problemelor 2.21 şi 2.22, rezultă că o atenuare minimă se obţine cu o valoare a impedanţei caracteristice a cablului coaxial cu aer de în timp ce o putere transmisibilă maximă se obţine cu o impedanţă caracteristică a cablului folosit (cu dielectric aer) de În aceste condiţii valoarea uzuală reprezintă de fapt un compromis acceptabil. Valoarea de
este totuşi recomandată aplicaţiilor în care semnalele sunt foarte mici, cum ar fi cablurile de la antenele de recepţie TV, iar valori ale lui mai mici de apar uneori în aplicaţiile de mare putere cum ar fi alimentarea unor antene de emisie etc.
,77Ω≈cZ
Z.30Ω=cZ
cZ
Ω= 50c
Ω75Ω50
66
Microunde – Culegere de probleme
2.23 Să se determine impedanţa caracteristică a ghidului coaxial care permite aplicarea unei tensiuni maxime spre o sarcină adaptată. Raza conductorului interior R este dată şi se consideră drept dielectric aerul iar. Rezolvare: Procedând similar ca la problema (2.22) se obţine o expresie a tensiunii dintre conductoarele componente ale ghidului coaxial,
,ln0 rRrEU =
unde este valoarea maximă a intensităţii câmpului electric. Considerând şi 0E 0E R constante ( nu poate depăşi valoarea corespunzătoare străpungerii dielectricului) tensiunea admisibilă este maximă dacă
0E
0lndd
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
rRr
r,
de unde rezultă
0ln 2 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+
rR
Rrr
rR
adică
1ln =rR
sau
e=rR
deci
eRr = .
În acest caz impedanţa caracteristică a cablului are valoarea:
Ω=== 60eln2
120ln2
0
ππ
επ rRZ
Zr
c .
2.24 Să se calculeze constanta de atenuare şi factorul de calitate propriu al unei linii microstrip realizate pe un substrat dielectric de grosime având permitivitatea electrică relativă (constanta dielectrică) şi conductivitatea
mm1=d4=rε
,mS105 4−⋅=dσ cu depunerile din cupru, mS105 7⋅=Cuσ , la frecvenţa . GHz10=f Rezolvare: Deoarece există pierderi atât în dielectric cât şi în metal, . md ααα +=Constanta de atenuare produsă de dielectricul imperfect este
2
ddd
Zσα =
iar constanta de atenuare în metal are expresia
67
Ghiduri uniforme
∫
∫
Σ
Γ=
T
aH
lH
ZR
T
t
d
mm
d
d
2 2
2
α .
În cazul liniei microstrip, neglijând efectele de margine se poate admite că 0 ,xH=H e deci , pe domeniul situat sub depunerea metalică. Se
obţine: constant0 == HHt
dZ
RHDd
HD
ZR
d
m
d
mm ==
20
202
2α .
Folosind datele problemei, se calculează: • adâncimea de pătrundere, mδ
μm7,0m107
10510410112
7
77100
=⋅=
=⋅⋅⋅⋅⋅
===
−
−ππσμπωμσδ
CuCum f ;
• rezistenţa de undă în metal, :mR
Ω=⋅⋅⋅
==− 35
1105107,0
1176
CummR
σδ;
• impedanţa dielectricului, :dZ
Ω=== 1884
1200 π
ε rd
ZZ .
Rezultă:
mNp047,02
188105 4=
⋅⋅=
−
dα ,
mNp152,01018835
13 =
⋅⋅=
−mα ,
0,047 0,152 0,2 Np mα = + ≅ , [ ] [ ] 74,17,8mNpmdB =⋅=αα . Factorul de calitate propriu (intrinsec) al liniei este dat de relaţia:
10471032,0
4108
10
00 =
⋅⋅⋅⋅
===π
αεπ
αλπ
cf
Q r .
Observaţie: Linia microstrip este o linie deschisă, la care pe lângă pierderile în metal şi în dielectric trebuie luate în consideraţie şi pierderile prin radiaţie: . radαααα ++= md
Pierderile prin radiaţie – care au fost neglijate în problemă – nu pot avea o expresie simplă deoarece ele depind nu numai de geometria secţiunii transversale a liniei, ci şi de lungimea şi forma ei (dreaptă sau curbată etc.). Drept regulă generală, aceste pierderi sunt proporţionale cu pătratul frecvenţei.
68
Microunde – Culegere de probleme
2.25 Cât este constanta de atenuare a modului într-un ghid metalic de secţiune circulară, de rază la frecvenţa dacă la frecvenţa
constanta de atenuare este
01H10=cm,5=r GHz,2f
GHz41 =f mdB01,0 ? Rezolvare: Constanta de atenuare a modului într-un ghid circular are expresia [1]: 01H
01 m 2 2
1 1 Np m,1 1
cH
c
Kaδπα αλ η η η η
≅ = =− −
unde este adâncimea de pătrundere la frecvenţa critică iar cδ cf .not
cff=η Rezultă:
( )1
1211
1−
=ηη
α Kf ,
( )1
1222
2−
=ηη
α Kf ,
de unde se obţine:
( ) ( ) ( )22
2
221
2
112
2
21
2
112
1
1
c
c
ff
ffff
fff−
−=
−
−= α
η
ηηη
αα .
Frecvenţa critică corespunzătoare modului în ghidul circular este: 01H
( ) GHz66,3Hz10366,083.31052
1032
102
8
010
01=⋅=⋅
⋅⋅⋅
=′=−π
ρπrc
f Hc .
Se obţine deci:
( ) KmdB1mdB001,066,310
66,3410401,0
22
22
2 ==−
−⋅⋅=fα .
2.26 Să se determine lungimea de undă în ghidul dielectric placă infinită, de grosime şi având , la frecvenţa cm2=d 4=rε GHz.4=f La ce distanţă de placă câmpul scade de 100 de ori faţă de valoarea lui de la suprafaţa plăcii? Rezolvare: Modurile care se pot propaga printr-un ghid placă dielectrică sunt cele care au frecvenţa prag mai mică decât frecvenţa de lucru [1]: pf f
( ) ( )12
1 0
−
−=
rnp d
cnf
ε.
Cu datele problemei, avem:
( ) fff pp >=⋅=⋅⋅
== GHz33,4Hz10433,0302,02
103 108
2.
În concluzie, se pot propaga numai modurile şi . 1H 1ENumărul de undă în dielectric, se obţine din ecuaţiile: ,1k
69
Ghiduri uniforme
22
ctguR
uu−
= pentru modul , 1H
respectiv
22
1ctguR
uur −
=ε
pentru modul , 1E
unde s-au folosit notaţiile:
21dku = ,
( ) 12 0
0 −=−= rddR ελ
πμεεω .
Înlocuind cu datele numerice, se obţine:
cm5,7m075,0104103
9
80
0 ==⋅⋅
==f
cλ ,
ππ 46,035,7
2==R .
Soluţiile aproximative (obţinute grafic sau numeric) sunt: , π285,0=Hu . π385,0=EuNumerele de undă din mediul ambiant plăcii se obţin din relaţia: 22 jKk =
,222 Rqu =+
unde .22
not dKq = Rezultă:
ππ 36,0285,046,0 2222 =−=−= HH uRq , respectiv ππ 25,0385,046,0 2222 =−=−= EE uRq . Constanta de defazare are expresia:
2
20
21
02
20
21
0002
21
00 42
πλ
ελπ
ωεω
μεωεμεωβ
kckc
krrr −=−=−=
deci
22
220
0
πλ
ε
λλ
du
r −
= .
Se obţine:
cm44,4
4285,05,74
5,7
2
222
22
220
01
=⋅
−
=
−
=
ππ
πλ
ε
λλ
duH
r
H
şi
70
Microunde – Culegere de probleme
cm42,5m0542,0
4385,05,74
5,7
2
222
22
220
01
==⋅
−
=
−
=
ππ
πλ
ε
λλ
duE
r
E .
În exteriorul plăcii, câmpul descreşte proporţional cu ( ).exp 2 xK− Distanţa la care câmpul scade de 100 de ori rezultă din: 1100e 2 −− =δK
1 2
O2a−
b
rεεε 01 = 2 εε =
2a x
y
0
Figura 2.27.1
deci
dqq
dK
3,26,42
100ln1
2=⋅==δ .
Se obţine:
cm1,4236,0
3,23,21
=⋅==π
δ dqH
H ,
cm8,5225,0
3,23,21
=⋅==π
δ dqE
E .
2.27 Să se determine cea mai joasă frecvenţă critică a unui ghid metalic de secţiune dreptunghiulară, al cărui interior este umplut pe jumătate cu un dielectric fără pierderi, având permitivitatea electrică relativă (constanta dielectrică) Ghidul are dimensiunile transversale
.4=rεcm.32 == ba
Rezolvare: Într-un sistem de referinţă cartezian, componentele axiale şi satisfac ecuaţiile:
zE zH
- în mediul 1:
0212
2
2
2=+
∂∂
+∂∂ φφφ k
yx,
unde ; 01222
1 μεωγ +=k- în mediul 2:
,0222
2
2
2=+
∂∂
+∂∂ φφφ k
yx
71
Ghiduri uniforme
unde , 02222
2 μεωγ +=kcu condiţii de anulare (pentru ) respectiv extrem (pentru ) pe pereţii metalici perfect conductori şi cu condiţii de continuitate la suprafaţa de separaţie
zE zH.0=x
Cu sistemul de referinţă din figura 2.27.1, folosind metoda separării variabilelor se obţin următoarele soluţii care satisfac ecuaţiile lui Maxwell precum şi condiţiile pe pereţii perfect conductori:
yb
naxkEE xzπ1
1011 sin2
sin ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += ,
yb
naxkEE xzπ2
2022 sin2
sin ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= ,
yb
naxkHH xzπ1
1011 cos2
cos ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += ,
yb
naxkHH xzπ2
2022 cos2
cos ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= ,
unde ,2
121
21 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
bn
kk xπ
respectiv 2
222
22 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
bn
kk xπ
, şi fiind numere întregi. 1n 2n
Rămâne ca acestor soluţii să li se impună continuitatea componentelor câmpului la . 0=x
1. Continuitatea componentelor longitudinale la :0=x (a) 21,021 unde de nnEE yxzz ==
∀= şi qE , pE sinsin 0201 −=
(b) 21,021 unde de nnHH yxzz ==∀=
şi q , HpH coscos 0201 =
unde ,21
not akp x= .22
not akq x=
Se obţine astfel condiţia:
( ) ( ) ( ) ,444
221
22
22
21
222
21
222 Rakkakkaqp xx =−=−=−=− εεμω
cu ( ).2 21
notεεμω −=
aR
Deci soluţiile care satisfac şi cerinţa (1.) au forma:
yb
naxkEE xzπsin
2sin 1011 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
yb
naxkEE xzπsin
2sin 2022 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= (1)
yb
naxkHH xzπcos
2cos 1011 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
yb
naxkHH xzπcos
2cos 2022 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
2. Continuitatea componentelor transversale la :0=x (a) 21 yy E , E =
(b) 21 yy H , H =
72
Microunde – Culegere de probleme
(c) 22 , 11 xx EE εε =(d) 21 xx H . H =
Exprimând componentele transversale prin componentele longitudinale , relaţia (a) devine:
,zE
zH
0
2220
2220
1210
121
jj
==== ∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂
−x
z
x
z
x
z
x
z
xH
kyE
kxH
kyE
kωμγωμγ .
Se obţine de aici:
qHkEb
nk
pHkEb
nk xx sinj1sinj1
0220222
0110121
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + ωμπγωμπγ .
Analog, din (b) rezultă:
qEkHb
nk
pEkHb
nk xx cosj1cosj1
02220222
01110121
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − ωεπγωεπγ .
Observaţie: De fapt, în formularea continuităţii câmpului la o suprafaţă de separaţie, este întotdeauna suficientă impunerea continuităţii componentelor tangenţiale ale E şi H . Din (c) şi (d) ţinând seama de (1) se obţin aceleaşi condiţii ca şi din (a) şi (b). Rezumând, la o frecvenţă dată ω soluţiile problemei au forma (1) şi satisfac condiţiile: , 222 Rqp =− , qEpE sinsin 0201 −= , qHpH coscos 0201 =
qpHEZ
q
qppHE
Z
p
p ddsin
11sin
11
02022
22
22
2201011
21
22
22
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+−
+−
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+−
+
ϕηη
ηϕηη
η
qpEHqZq
ppEHpZp
d
d
cos11
cos11
020222
22
222
010121
22
122
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
+−
+=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
+−
+
ϕηη
η
ϕηη
η,
unde ,2
not ab
nπη = μεωϕ 1
not
1 2a
= şi μεωϕ 22 2a
= .
Frecvenţa critică este frecvenţa la care 0=γ , deci la frecvenţa critică respectiv , iar relaţiile de mai sus iau o formă mai simplă:
,21
21 ϕ=k
22
22 ϕ=k
Se obţine astfel sistemul: , 222 Rqp =− , qEpE sinsin 0201 −= , qHpH coscos 0201 =
73
Ghiduri uniforme
2
02
1
01 sinsinεε
qqHppH−= ,
. qqEppE coscos 0201 =Eliminând aici între ultimele patru ecuaţii, se obţine: 02010201 ,,, HHEE
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−=
pp
qqpp
tgtg
tgtg
21 εε
de unde rezultă relaţia
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−= pp
2
1
2
1 tgtgεε
εε ,
sau , (2) pKKp tgtg −=
unde s-a notat 2
1
εε
=K .
Rezolvând această ecuaţie transcendentă, din soluţiile ei, , se obţin frecvenţele critice ale diferitelor moduri de propagare posibile în ghidul considerat:
cp
με
ω1
1cc
k= ,
unde 22
1 η+= cc pk . Primele soluţii pozitive ale ecuaţiei (2), determinate numeric sau grafic, sunt:
, ( ) , etc... ( ) 01 =cp 955,02 =cp ( ) 186,23 =cpCele mai joase frecvenţe critice corespund celor mai mici soluţii ale ecuaţiei şi celor mai mici valori ale numărului natural .n
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧==⇒=
==
M
ππ baknn
p cc 21TEM) unde unei corespunde(ar imposibil0
0 11
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧+=⇒=
=⇒=
=M
221
1
2 955,01955,00
955,0 πc
c
c knkn
p
( )⎩⎨⎧ =⇒=
=M
186,20186,2 1
3c
ckn
p
Se constată că cea mai joasă frecvenţă critică corespunde combinaţiei ( ; 0 ). Acesta este modul (având ) şi are frecvenţa critică: 955,0=cp =n 10H 0=zE
( ) GHz04,3Hz1004,32
9
01
110
=⋅≈=μεπ
cHc
kf .
74
Microunde – Culegere de probleme
Următorul mod este dat de perechea ( 0;186,2=cp =n ). Acesta este un mod care are frecvenţa critică:
,20H
( ) GHz96,6Hz1096,6955,0186,204,3 9
20=⋅=⋅≈Hcf .
Observaţie:1. În general, modurile care se propagă prin ghidul considerat au, atât cât şi , deci sunt moduri HE sau EH. Singura excepţie o constituie
modurile cu , care sunt de tip H. 0≠zE 0≠zH
0=n 2. Ca şi la ghidul dielectric, numerele de undă deci aspectul câmpului, depinde de frecvenţă.
21, xx kk
3. Frecvenţele critice ale modurilor superioare nu sunt multipli întregi ai frecvenţei critice a modului dominant .
0nH
10H Metoda 2. Frecvenţele critice corespunzătoare modurilor pot fi calculate mai simplu folosind metoda “rezonanţei transversale”. Această metodă se bazează pe faptul că la frecvenţa critică cele două unde parţiale care compun modul au direcţii de propagare normale la pereţii ghidului, iar câmpul este o undă staţionară transversală.
0,nH
0,nH
Frecvenţele la care se produce această “rezonanţă transversală” pot fi se obţinute considerându-se linii de transmisiune echivalente celor două domenii din secţiunea transversală a ghidului (figura 2.27.2) şi calculând frecvenţele de rezonanţă ale acestui circuit echivalent:
2ε
2a
1ε
2a
Figura 2.27.2
02
tgj2
tgj 2211 =+aZaZ cc ββ .
Dar:
1
2
2
1
εε
=c
c
ZZ
,
101 εββ = ,
22 εβ = . Se regăseşte astfel, direct, ecuaţia (2):
Kp
Kp−=
tgtg
ale cărei soluţii conduc la valorile frecvenţelor critice. cp
75
Ghiduri uniforme
2.28 Să se calculeze grosimea maximă pe care o poate avea o placă de dielectric având permitivitatea electrică relativă (constanta dielectrică) pentru ca să asigure o transmisiune unimodală la frecvenţa
5=rεGHz.20=f
Rezolvare: Într-un ghid placă dielectrică, frecvenţele prag ale modurilor care se propagă sunt date de relaţia:
( ) ( )( )12
1 0
−−
=r
np dcn
fε
unde este numărul de ordine al modului (E sau H), iar este grosimea plăcii de dielectric.
n d
Cea mai joasă frecvenţă prag (nenulă) se obţine pentru 2=n :
( )( )12
02 −=
rp d
cf
ε.
Condiţia este ca această frecvenţă prag să fie mai mare decât frecvenţa de lucru: ( ) ff p >
2.
De aici rezultă:
( )12
0
−<
rfc
dε
adică
cm75,3m0375,04
11022
10310
8==⋅
⋅⋅⋅
<d .
Observaţie: În aceste condiţii se pot propaga totuşi două moduri: şi , ambele având aceeaşi frecvenţă prag, . Transmisia poate deveni unimodală dacă sistemul de excitaţie evită apariţia uneia dintre aceste două unde.
1H 1E0=pf
76
Microunde – Culegere de probleme
3
RREEZZOONNAATTOOAARREE EELLEECCTTRROOMMAAGGNNEETTIICCEE
PPEENNTTRRUU MMIICCRROOUUNNDDEE 3.1 O cavitate paralelipipedică cu aer oscilează pe modul la frecvenţa
pe modul la frecvenţa şi pe modul la frecvenţa Să se determine dimensiunile cavităţii.
111EGHz,5,171 =f
3 =f112E GHz5,192 =f 121E
GHz.3,31Ce permitivitate electrică relativă trebuie să aibă un dielectric care ar umple
complet cavitatea, pentru ca să scadă la rε
1f GHz101 =′f ?
Rezolvare: Pentru cavităţi paralelipipedice frecvenţele de rezonanţă sunt date de relaţia:
,2
2220 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
cp
bn
amc
fm,n,p
unde sunt dimensiunile cavităţii iar reprezintă setul de numere întregi formând indicele modului de oscilaţie.
cba ,, pnm ,,
Deci:
2220
1111111
2 cbac
ff ++== ,
2220
1122411
2 cbac
ff ++== ,
2220
1213141
2 cbac
ff ++== .
Din aceste ecuaţii rezultă:
( ) ( )
cm3m03,0105,17105,19
321033
2 2929
8
21
22
0 ==⋅−⋅
⋅=
−=
ffc
c ,
( ) ( )
cm1m01,0105,17103,31
321033
2 2929
8
21
23
0 ==⋅−⋅
⋅=
−=
ffc
b ,
77
Rezonatoare electromagnetice pentru microunde
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−= 222
0
21
21141cbc
fa
,
adică . cm2=a Introducând în cavitate un dielectric, frecvenţele de rezonanţă devin:
r
2220
222 pnm2
pnm2 εε
m,n,p
rm,n,p
fcba
ccba
cf =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=′ .
Rezultă:
06,310
5,17 22
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
′=
m,n,p
m,n,pr f
fε .
3.2 O cavitate paralelipipedică rezonează la temperatura pe frecvenţa
Care va fi frecvenţa aceluiaşi mod de oscilaţie la temperatura ? Cavitatea are pereţi din cupru,
C20o=tGHz.5=f C50o=′t
.K107,1 16cu
−−⋅=α Rezolvare: Frecvenţele de rezonanţă ale cavităţii paralelipipedice sunt date de relaţia:
222
0,, 2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
cp
bn
amc
f pnm .
În urma dilataţiei termice, dimensiunile cavităţii devin: , ( )taa Δ+=′ cu1 α , ( )tbb Δ+=′ cu1 α , ( )tcc Δ+=′ cu1 αunde este coeficientul de dilataţie termică al cuprului. cuαRezultă:
( )tft
fcp
bn
amc
f pnmpnm
pnm Δ−≈Δ+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛′
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛′
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
′=′ cu,,
cu
,,222
0,, 1
12α
α.
Se obţine: ( ) GHz9975,4Hz109975,4293107,11105 969
,, =⋅=⋅⋅−⋅=′ −pnmf .
3.3 Să se calculeze frecvenţa de rezonanţă a modului într-o cavitate coaxială având dimensiunile
2TEMcm,10 cm,3Rcm,1 === lr umplută cu un dielectric fără
pierderi având permitivitatea electrică relativă (constanta dielectrică) .2=rε Rezolvare: Deoarece la modurile de propagare TEM şi nu depinde de dimensiunile transversale, modurile de oscilaţie în cavitatea coaxială au frecvenţele de rezonanţă date de relaţia (vezi metoda reflexiilor în studiul rezonatoarelor):
λλ =g
nTEM
78
Microunde – Culegere de probleme
( )r
n lc
nl
cnfε22
00 == .
Înlocuind, se obţine:
GHz12,2Hz102,2121,02
1032 88
TEM2=⋅=
⋅⋅
⋅=f .
3.4 O cavitate cilindrică cu aer are dimensiunile cm,3=a Să se calculeze primele trei frecvenţe de rezonanţă ale acestei cavităţi.
cm.5=l
Rezolvare: Frecvenţele de rezonanţă ale diverselor moduri de oscilaţie rezultă din relaţia:
,2gpl
λ⋅=
unde p este un număr natural şi 0≠p pentru moduri .HSe obţine:
2
20 2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
lpcff c .
Frecvenţa de rezonanţă creşte cu indicele . p Frecvenţele critice cele mai scăzute în ghidul metalic de secţiune circulară corespund, în ordine, modurilor şi (moduri degenerate) etc. 11121011 ,,, EHEH 10H Se calculează, pe rând:
( ) GHz93,2Hz103,2903,02
84,11032
88
11011
=⋅=⋅⋅⋅
=′
=ππ
ρa
cf Hc ,
( ) GHz82,3Hz102,3803,02
4,21032
88
10010
=⋅=⋅⋅⋅
==ππ
ρa
cf Ec ,
( ) GHz85,4Hz105,4803,02
05,31032
88
12012
=⋅=⋅⋅⋅
=′
=ππ
ρa
cf Hc ,
( ) ( ) GHz1,6Hz106103,02
83,31032
88
1101110
=⋅=⋅⋅⋅
===ππ
ρa
cff EcHc ,
GHz3Hz103005,02
10322
88
0 =⋅=⋅⋅
==rl
cl
cε
.
Rezultă apoi: , ( ) GHz82,3
100,0,1== EcE ff
, ( ) GHz1,6110,1,1== EcE ff
( ) ( ) GHz19,4393,22 2222111,1,1
=+=+= lcff HcH ,
( ) ( ) GHz86,4382,32 2222101,0,1
=+=+= lcff EcE ,
( ) ( ) GHz7,5385,42 222121,2,1
=+=+= lcff HcH ,
şi aşa mai departe.
79
Rezonatoare electromagnetice pentru microunde
Deci modurile acestei cavităţi care au cele mai joase frecvenţe de rezonanţă sunt, în ordine: .,, 1,0,11,1,10,0,1 EHE 3.5 O cavitate paralelipipedică cu pereţi perfect conductori, având dimensiunile
şi ca dielectric aerul, oscilează pe modul . Ştiind că
intensitatea maximă a câmpului electric din cavitate este
cm,5=a cm,4=b cm6=c 1,0,1H
,mV1030 =E să se
determine valorile maxime ale densităţilor de curent de deplasare şi de curent superficial de conducţie. Rezolvare: Cu ajutorul metodei reflexiilor, plecând de la modul în ghidul dreptunghiular pentru modul se obţine structura câmpului în cavitate:
10H
1,0,1H
zc
xa
HH zππ sincosj2 0−= ,
zc
xa
HH xππ
λλ
cossinj2 0g
c= ,
( ) zc
xa
ZHE Hug
cy
ππλλ
sinsin2 0−= ,
unde .2 ,2 ca gc == λλ
( )( ) a
caZZZ
Z dg
d
c
dHu
22
0201
+==
−=
λλ
λλ.
Frecvenţa de rezonanţă a modului este: 1,0,1H
GHz9,3Hz103910361
10251
210311
28
44
8
220
1,0,1 =⋅=⋅
+⋅
⋅=+=
−−cac
f .
Densitatea de curent de deplasare este dată de relaţia jd ωε=J E , deci are aceeaşi distribuţie ca şi valoarea maximă fiind în axul central al cavităţii, paralel cu :
,E( )Oy
( ) 9 30 0 0 9max
12 3,9 10 10 217 A m36 10d Eω ε ππ
= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⋅
J 2
,
.
Densitatea de curent superficial este s
deci curenţii sunt verticali pe pereţii laterali şi “radiali” pe pereţii orizontali, completând astfel liniile închise ale curentului total .
= ×J n H
d s= +J J J Dar ,x x zH H= +H e ez adică
2 2 .x zH H= +H
80
Microunde – Culegere de probleme
Deoarece între şi există un defazaj de , maximul rezultantei, corespunzând semiaxei mari a elipsei descrise de , coincide cu maximul celei mai mari componente.
zH xH o90H
Acest maxim se produce pe axele a două dintre feţele laterale; fie la ;sau 0 ax = 2cz = , fie la ;2ax = cz sau 0= şi are valoarea: 0max 2 max 1;H a c=H . Cu datele numerice ale problemei, 1<ca deci
3
00max max 2 2
0
10 6 52 2120 5 25 36s
E c aHZ a a c π
= = = ⋅ = ⋅ ⋅ =++
H J ,03A m .
3.6 Într-o cavitate paralelipipedică cu dimensiunile cm,3=a
se introduce prin peretele cm,5,1=b
cm4=c 0=y o mică tijă metalică cilindrică, cu diametrul , care pătrunde în interiorul cavităţii pe o lungime mm2=d mm.3=l Tija este paralelă
cu axa ( şi este introdusă prin centrul peretelui respectiv. )Oy Să se calculeze variaţia frecvenţei de rezonanţă a modului de oscilaţie cauzată de introducerea tijei.
1,0,1H
Rezolvare: În lipsa tijei, frecvenţa de oscilaţie a modului este: 1,0,1H
GHz25,6Hz105,6210161
1091
210311
28
44
8
220
1,0,1 =⋅=⋅
+⋅
⋅=+=
−−cac
f .
Datorită introducerii tijei (perturbaţie mică), se produce o variaţie de frecvenţă conform relaţiei [2]:
EM
EM
WWWW
ff
+Δ−Δ
≈Δ
0,
unde şi sunt energiile magnetică, respectiv electrică din întregul rezonator, iar şi Δ unt energiile care existau în volumul V
MW EW
E sMWΔ W Δ ş re au dispărut din cavitate în urma micşorării volumului ei.
i ca
Se observă că variaţia frecvenţei de rezonanţă produsă în urma micii reduceri a volumului cavităţii poate fi pozitivă, negativă sau chiar nulă, în funcţie de raportul dintre densităţile de energie magnetică şi electrică din locul unde se produce perturbaţia [2]. O aplicaţie curentă a acestor concluzii este utilizarea unor şuruburi la realizarea acordului fin al cavităţilor rezonante, soluţie practicată la reglajul filtrelor de microunde. Pentru a calcula mărimile implicate în relaţia precedentă se folosesc expresiile componentelor câmpului pentru modul în cavitatea dreptunghiulară: 1,0,1H
zc
xa
HH zππ sincosj2 0−= ,
zc
xa
HcaH x
ππ cossinj2 0= ,
81
Rezonatoare electromagnetice pentru microunde
( ) zc
xa
Ezc
xa
ZHcaE Huy
ππππ sinsinsinsin2 00 =−= .
Se obţine:
42 dddsinsin
2
d4
22
20
02220
0
2
abcEzyxcz
axE
VE
WWW
V
VEME
εππε
ε
==
===+
∫∫∫
∫
În axul cavităţii, paralel la ( )Oy ( ),2 ,2 00 czax == componentele câmpului sunt: , ( ) 0, 00 =zxH z
, ( ) 0, 00 =zxH x
. ( ) 000 , EzxE y =Prin urmare: , WMΔ ≅ 0
2 2 2
0 0 0 01W2 2 4 4E
E E d lVε ε πΔ ≅ =
şi deci rezultă:
2 6 3
90
4 10 3 106, 25 10 6,54 MHz2 2 0,03 0,015 0,04
d lf fabcπ π − −⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Δ ≅ − = − ⋅ ⋅ = −⋅ ⋅ ⋅
.
3.7 Într-o cavitate paralelipipedică cu dimensiunile cm,4=a
prin centrul peretelui cm,2=b
cm,5=c 0=x).Ox
se introduce o tijă metalică cilindrică de diametru paralelă cu axa ( Tija pătrunde în interiorul cavităţii pe o lungime
Să se calculeze variaţie frecvenţei de rezonanţă a modului în cavitate, în urma introducerii tijei.
mm,1=dcm.1=l 1,0,1H
Rezolvare: Frecvenţa modului fără tijă este: 1,0,1H
GHz8,4Hz104810251
10161
210311
28
44
8
220
1,0,1 =⋅=⋅
+⋅
⋅=+=
−−cac
f .
Variaţia de frecvenţă provocată de introducerea tijei este:
EM
EM
WWWW
ff
+Δ−Δ
=Δ
0.
Pentru a calcula această modificare de frecvenţă se folosesc expresiile câmpului în cavitate:
zc
xa
HH zππ sincosj2 0−= ,
zc
xa
HcaH x
ππ cossinj2 0= ,
zc
xa
ZHc
caE dyππ sinsin2 0
22 +−= .
82
Microunde – Culegere de probleme
În axul de simetrie al cavităţii în lungul căreia este introdusă tija ( 2 ,2 czby == ) expresiile componentelor sunt:
xa
HH zπcosj2 0= ,
, 0=xH
xa
ZHc
caE dyπsin2 0
22 +−= .
Se calculează corespunzătoare volumului V al tijei: ,MWΔ EWΔ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
=⋅⋅===Δ ∫∫∫Δ
alalHd
xaxHSxSHVHW
ll
zV
M
ππ
πμ
πμμμ
2sin424
dcos44
d4
d4
02
0
0
220
0
0
2020
( )
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=
=+
===Δ ∫∫∫Δ
alal
ccaHd
xax
ccaZH
SxSEVEWl
dl
yV
E
ππ
πμ
πεεε
2sin424
dsin4
4d
4d
4
2
2220
20
0
22
222200
0
2020
Se calculează apoi energia totală din cavitate: ( )
( )c
abcaH
zyxzc
xac
caZHV
EWWW
a b cd
VEME
2
dddsinsin4
42d
422
22200
0 0 0
222
222200
2
+=
=+
===+ ∫ ∫ ∫∫μ
ππεε
Înlocuind, se obţine:
( )
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⋅⋅
−⋅
⋅+⋅⋅+⋅⋅
⋅=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
++
=Δ
−
−
−
−−
−−
−
4
2
4
44
44
6
22
22
22
2
0
102504,0102
412sin
102510251016
1025101602,0805,010
22sin28
ππ
ππcla
al
cca
cabcd
ff
Rezultă:
4
01013,1 −⋅=
Δff
şi deci . MHz54,0Hz104,542108,41013,11013,1 394
04 =⋅≈⋅⋅⋅=⋅⋅=Δ −− ff
3.8 Într-o cavitate paralelipipedică de dimensiuni cm,4=a se introduce o probă dintr-o ferită şi se urmăreşte modificarea frecvenţei de rezonanţă a modului de oscilaţie Proba are forma unei sfere de rază
cm,2=b
mm5,1
cm6=c
.1,0,1H =r şi poate fi deplasată pe peretele inferior al cavităţii. ( 0=y ) Când proba este în centru, se constată o modificare a frecvenţei rezonatorului cu
Când proba este adusă lângă mijlocul laturii mari a peretelui inferior, MHz.95,71 −=Δf
83
Rezonatoare electromagnetice pentru microunde
se constată o variaţie a frecvenţei , faţă de frecvenţa cavităţii fără probă.
MHz5,162 −=Δf
Să se determine permitivitatea electrică şi permeabilitatea magnetică relativă ale feritei din care a fost făcută proba. ( r , με r )
Rezolvare: Se poate arăta că dacă o sferă dielectrică este plasată într-un câmp electrostatic uniform, câmpul produs în interiorul sferei este: ,1E
rar
EEE
εε1
12 23
=+
= ,
unde este permitivitatea electrică relativă (constanta dielectrică) a dielectricului iar rε( ) 32+= rεraε este permitivitatea electrică aparentă. Relaţia poate fi folosită dacă
sfera este foarte mică şi este plasată într-o regiune de câmp electric omogen. Similar, pentru câmpul magnetic dintr-o sferă se poate scrie:
rar
HHH
μμ1
12 23
=+
= .
Frecvenţa modului de oscilaţie în cavitatea neperturbată este: 1,0,1H
GHz5,4Hz1045210311
28
4220
1,0,1 =⋅=⋅
=+=−ca
cf
10361
10161
4
8
⋅+
⋅ −.
Variaţia de frecvenţă datorată introducerii probei este dată de relaţia:
( ) ( )
0
1
0 211
www
VV
WWWW
ff EraMra
EM
EM −+−−≈
+Δ−Δ
−≈Δ εμ
,
unde sunt densităţile de energie locale din locul unde a fost introdusă proba, este densitatea de energie (electrică sau magnetică) medie din cavitate, iar şi
sunt volumul probei, respectiv volumul cavităţii.
EM ww ,
0w 1V V
Pentru modul considerat, componentele câmpului din cavitate, au expresiile:
zc
xa
HH zππ sincosj2 0−= ,
zc
xa
HcaH x
ππ cossinj2 0= ,
zc
xa
ZHc
caE dyππ sinsin2 0
22 +−= .
Energia electrică medie din cavitate, , este: 0w
2
22200
2
2222
00
20
0 44
41
4d
41
ccaH
ccaZHV
EV
w dV
+=
+== ∫
μεε.
În prima poziţie a probei, câmpul este: , 0== xz HH
c
caZHE dy
22
02 +−= ,
prin urmare:
84
Microunde – Culegere de probleme
( )
( )12
2
44
11
2
22200
2
2222
00
1
0
1 −=+
+−
−=Δ
ra
dra
VV
ccaH
ccaZH
VV
ff
εμ
εε
.
Rezultă de aici:
2211
10
1 =⋅Δ⋅−=
VV
ff
raε
deci . 4=rε În cea de a doua poziţie, ( ,2 ,0 czx == )
0
câmpul este: , 02j HH z −= . == yx EHSe obţine:
( )
( ) 22
21
2
22200
20
0
1
0
1 12
2
44
1
cac
VV
ccaH
H
VV
ff
ra
ra
+−−=
+
−−=
Δμ
μ
μμ
,
de unde rezultă
4211 2
22
10
2 =+Δ
−=c
caVV
ff
raμ
adică . 10=rμ 3.9 La ce distanţă de capătul unui rezonator coaxial, având dimensiunile
, se poate introduce un şurub de metal care să pătrundă puţin în interiorul cavităţii şi totuşi să nu modifice frecvenţa de rezonanţă a modului de oscilaţie ?
cm,1=r cm,3=R
1TEM
cm10=l
Rezolvare: Deoarece se urmăreşte să se obţină o variaţie nulă a frecvenţei,
00
=+Δ−Δ
≈Δ
EM
EM
WWWW
ff ,
şurubul trebuie introdus într-un plan transversal în care densitatea de energie electrică şi magnetică sunt egale între ele. Pentru rezonatorul coaxial oscilând pe modul componentele câmpului sunt (conform metodei reflexiilor):
,1TEM
zl
rEE πρρ sin2j 0−= ,
zl
rHH πρϕ cos2 0= ,
unde .00 HZE d=
85
Rezonatoare electromagnetice pentru microunde
În apropierea peretelui exterior ( )R=ρ , densităţile de energie au expresiile:
zlR
rHHwMπμμ 2
220
020 cos444
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛== ,
zlR
rEEwEπεε 2
220
020 sin444
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛== .
Condiţia se reduce la egalitatea ME ww =
zl
zl
ππ 22 sincos =
de unde rezultă
40ππ
=zl
adică cm.5,240 == lz 3.10 Să se calculeze factorul de calitate al unei cavităţi cilindrice oscilând pe modul ştiind că pereţii sunt dintr-un metal perfect conductor, iar dielectricul are
permitivitatea electrică relativă şi conductivitatea 1,1,1E
4=rε .mS10 4−=σ Cavitatea are raza şi lungimea cm5=a .cm7=l Rezolvare: Frecvenţa de rezonanţă a modului în cavitatea cilindrică este: 1,1,1E
( ) GHz1,2Hz1021122
82
2110
22
0 1,11,1,1=⋅=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
lac
lcff
rEE π
ρε
.
Deoarece pierderile cavităţii sunt numai în dielectric, factorul de calitate pentru orice mod de oscilaţie este dat de relaţia
( )
d
rE
dd
fQQ
σ
εεπ
σεω 000
01,1,1
2=== .
Înlocuind datele problemei, se obţine:
466610
41036
1101,22
4
99
0 ≈⋅
⋅⋅⋅⋅
=−
ππ
Q .
3.11 Să se calculeze factorul de calitate al unei cavităţi paralelipipedice din cupru, ,mS105 7⋅=Cuσ având dimensiunile cm,2=a cm,1=b oscilând pe modul dacă rezonatorul conţine un dielectric fără pierderi cu permitivitatea electrică relativă (constanta dielectrică) .
cm,5,2=c,1,0,1H
2=rε Rezolvare: Factorul de calitate propriu al unei cavităţi care are dielectric ideal dar ai cărei pereţi nu sunt perfect conductori este:
86
Microunde – Culegere de probleme
,d
d22
2
0
∫∫Σ
==aH
VHQQ
t
V
mm δ
unde este adâncimea de pătrundere a câmpului în pereţii metalici, Σ reprezintă suprafaţa pereţilor, iar este câmpul magnetic tangenţial la această suprafaţă.
mδ
tH În cazul modului de oscilaţie din cavitatea paralelipipedică, ţinând seama de faptul că
1,0,1H
ac
HH
g
c
z
x ==λλ
0
0 ,
pentru integrala de la numărător se obţine expresia:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+= ∫∫ 2
22
0222 1
4dd
caabcHVHHVH zV xzV
.
Calculul integralei de la numitor poate fi efectuat considerându-se separat integralele pe fiecare perete al rezonatorului paralelipipedic:
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
=+++= ∫∫∫ ∫∫∫∫ ===Σ
2
2
2
22
0
0
20
00 00
22
0
20
0
2
21
422
dd2dd2dd2d
caab
caacbcH
xHyzxHHzHyaH
z
c
zx
bb c
yzx
c
xz
b
t
Înlocuind aceste rezultate în expresia factorului de calitate, rezultă:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++
+==
cbca
ba
ca
QQm
m 2112
11
2
2
2
2
δ.
Cu datele problemei, se calculează frecvenţa modului de oscilaţie : 1,0,1H
GHz8,6Hz10681025,6
11041
2210311
28
44
8
220
1,0,1 =⋅=⋅
+⋅
⋅=+=
−−cac
frε
.
dâncimea de pătrundere are valoarea:
A mδ
μm86,0105104108,6
112779
0=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅===
−ππσμπωμσδ
mmm f
.
Rezultă:
( ) 6050
025,02
01,01
5,22
01,01
02,02
5,2211086,0
12
2
6 =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++
+⋅
⋅=
−Q .
3.12 Să se calculeze factorul de calitate al unei cavităţi paralelipipedice de
dimensiuni cm,3=a cm,5,1=b cm,5=c oscilând pe modul ,1,0,1H ştiind că dielectricul ii mitivitatea electrică re 4=ε şi din interiorconductivitatea
ul cavităţ are per lativă r
.mS102=dσ 5−⋅ Cavitatea este din cupru, . mS105 7⋅=Cuσ
87
Rezonatoare electromagnetice pentru microunde
Rezolvare: Deoarece ât în metal cât şi în dielerezonatorului se c ula
există pierderi at ctric, factorul de calitate al ulează cu formalc
dm QQQ
1
0+= , 11
unde
d
dQσεω0=
iar
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⋅=
cbca
ba
ca
Qm
m2112
11
2
2
δ , (vezi problema precedentă).
u datele problemei, se calculează fr ului de oscilaţie considerat: C ecvenţa de rezonanţă a mod
GHz91,2Hz101,291110311 82222
01,0,1 =⋅=+
⋅=+=
cf .
05,003,0422
8
carεa această frecvenţă, adâncimea de pătrundere în cupru este
L
μm31,11051041091,2 9
0 ⋅⋅⋅⋅ ππσμπωμσ CuCum f
11277 =
⋅⋅===
−δ .
Rezultă:
6045
05,02
015,01
53
015,01
03,02
531
1031,11
2
2
6 =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⋅⋅
= −mQ ,
32333102
41036
11091,22
5
99
=⋅
⋅⋅
⋅⋅⋅=
−π
πdQ
şi deci
5092323336045323336045
0 =+⋅
=+
=dm
dm
QQQQ
Q .
3.13 Să se calculeze factorul de calitate unui rezonator coaxial realizat dintr-o
porţiune de ghid coaxial, de lungime al
cm,10=l terminată în scurtcircuit la ambele apete c care rezonează pe frecvenţa fundamentală GHz20 =f . Constanta de atenuare a
ghidului la frecvenţa 0f este ,mdB05,0=α iscurile terminale de scurtcircuit sunt
din alamă,
iar d
.mS104 7⋅=σ Rezolvare:
derile din rezon pot fi grupate astfel: Pier ator
88
Microunde – Culegere de probleme
PP += pscpdpmp
u este puterea pierdută în conductoarele cPP + ,
nde ilindrice, puterea pierdută în
Rezultă:
pmPric i
pdPdielect ar pscP reprezintă puterea pierdută în cele două discuri de scurcircuitare.
Figura 3.13.1 Liniile câmpului pentru modul de oscilaţie TEM1 în rezonatorul coaxial
scc QQQ
111
00+=
nde este factorul d nd pierderile şi
,
alitate intrinsec al cablului (înglobâu e c cQ0
es pmP pdP )
iar scQ te factorul de calitate al scurtcircuitelor, definit cu relaţia:
∫∫
==dVHWQ V2ω .
ΣscaHtm d2
2
δPpscsc 0
În rezonatorul coaxial oscilând pe modul fundamental ( ), câmpul electromagnetic are o singură componentă: 1TEM
zl
rHH πρϕ cos0= ,
deci
∫∫
∫∫∫=
R
r
R
r
l
msc
rH
zzl
rHQ
ρρρ
ϕ
ρρρ
πϕ
δ π
π
d1d2
d1dcosd2
2
2
022
0
2022
022
0
.
Factorul de calitate intrinsec al cablului este:
l
Q c απ
αλπ
20 == .
D lemeoarece, cu datele prob ei,
mNp1075,5mNp7,8
mdB05,0 ==α 05,0 3−⋅= ,
r ia
μm78,1m101781041041022
22 8779
00=⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅== −
−ππσμωδm ,
zultă re
27321,01075,52 30 =
⋅⋅⋅=
−
πcQ ,
89
Rezonatoare electromagnetice pentru microunde
280901078,12
1,02 6 =
⋅⋅==
−δlQsc ,
eci, în final,
d
2490280902732280902732
0
00 Q
=+⋅
=+
=scc
scc
QQQ
Q .
3.14 O cavitate rezonantă pe un anumit mod are frecvenţa de rezonanţă şi este cuplată la un ghid coaxial de acces având impedanţa caracteristică
GHz100 =f 5=C
factorul lui dacces, =
.0ΩZ Să se calculeze factorul de calitate propriu 0Q al cavităţii cunoscând e calitate în sarcină, 1000=sQ , şi indicele de cuplaj al cavităţii cu linia de .2β
Să se determine o schemă echi ă pentru rezonator.
valent
Rezolvare: Factorul de calitate propriu este legat de factorul de0Q calitate în sarcină
rin rel
echivalentă a cavităţii depinde de planul considerat pe linia de acces. legând un plan în care la dezacord (departe de frecvenţa de rezonanţă ) există un
sQ p aţia [1]: ( ) ( ) 300010002110 ⋅+=+= sQQ β . Schema
=
A 0fminim al distribuţiei de tensiune, se obţine o schemă echivalentă de tip derivaţie.
0L 0R 0CCZ
Pentru această schemă,
CZ
R0=β ,
CL XR
XR
Q 000 −== .
zultă astfel elementele schemei echivalente: ,
Re = Ω⋅== 1005020 CZR β
Ω=== 033,01000RX ,
30000QL
.
3.15 Un rezonator este lcătuit dintr-o linie bifilară, având ca dielectric aerul, rminată în scurtcircuit la c ete. Să se determine schema echivalentă a acestui zonat
Ω−=−= 033,0LC XX
aapte
re or, valabilă în jurul frecvenţei de rezonanţă GHz5,10 =f a modului de oscilaţie fundamental ( 1TEM ), dacă cuplajul cu rezonatorul se face serie, la o distanţă cm2=d de unul din capete.
90
Microunde – Culegere de probleme
Linia a pacitatea lineică re ca mpF67=LC şi o constantă de aten frecvenţa ,0f de va
uare, laloare .mdB3=α
iZ
d l d−
1Z 2Z
iZ
Rezolvare: Schema echivalentă în cazul cuplajului considerat este o schemă de re
rie, a ele: zonator
se vând element
( )ld
lZR C
e πα
2cos=′ ,
( )ldlL
L Le π2cos2=′ ,
e
e LC
′=′ 2
0
1ω
.
calculează, pe rând:
• impedanţa caracteristică a liniei: Cu datele problemei, se
Ω=== 5011Z⋅⋅⋅ −1067103 128
0 LC Cc
;
• inductanţa lineică: mnH5,167mH105,167106750 91222 =⋅=⋅⋅== −−
LCL CZL . Pe de altă parte,
mNp345,0mNp7,8
3mdB3 ===α ,
r lungimea rezonatorului este: ia
m1,0105,1222 9
0
0
⋅⋅===
fl 103 8
=⋅cλ
stfel încât se obţine: a
( )
Ω=⋅⋅
=′ 63,210
1,0345,050 , ⋅2cos2 πeR
( )nH79,12H1⋅ 079,12
102cos21,0105,167 9
2
9==
⋅⋅⋅
=′ −−
πeL ,
( )pF88,0F1088,0
1079,12105,14
1 12
9292=⋅=
⋅⋅⋅⋅=′ −
−πeC .
91
Rezonatoare electromagnetice pentru microunde
Oe
bservaţie: Se ştie că pentru un rezonator serie (fără priză) elementele schemei chivalente au expresiile:
( )ldRlZR eCe πα 2cos′== ,
( )ldLlLL eLe cos1 ′== π2
2,
( )ldC
LC e
ee πω 22
0 cos1 ′
== .
:1neC eR
eL
Se observă că schema echivalentă a rezonatorului cu priză se deosebeşte de schema echivalentă a rezonatorului serie (fără priză) prin prezenţa unui transformator ideal având raportul de transformare:
( )ldn
πcos1
= .
3.16 Un rezonator este realizat dintr-un tronson de ghid coaxial de lungime
terminat la un capăt în scurtcircuit, iar la celălalt capăt având un condensator
cm,15=lu capc acitatea pF.5=C Linia din care a fost realizat tronsonul are impedanţa
ică ,50Ω=CZ constanta de atenuare caracterist mdB05,0=α iar permitivitatea electrică relativă icului din interior este .2=rε Să se c mai joasă frecvenţă de rezona i rezonator. Să se determine factorul de calitate propriu al lui, considerând o capacitate terminală ideală (fără pierderi) şi admi
a dielectralculeze cea nţă a acestu
rezonatoruele ţând pierderi nule în conductoar
cablului. Să se alcătuiască schema echivalentă a rezonatorului dacă cuplajul se face paralel, la o distanţă cm4=d de capătul liniei terminat pe condensator.
l
d
a
a
b
b′ ′
zO
92
Microunde – Culegere de probleme
Rezolvare: Expresiile tensiunii şi curentului în lungul liniei terminate în scurtcircuit la
sunt de forma:
nde ş sunt le te prin relaţia:
z 0= zUU βsin0= ,
zII βcos0= , u ga 0U i 0I
CZI
0 . U
=0
recvenţele de re nanţă rezultă din condiţia generală de rezonanţă, F zo
MEunde
WW = ,
( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+=+= ∫∫ l
CCzzUClUCzzUCW
L
l
L
l
LE ββ 2
0
220
2
0
2 sindsin41
41d
41 ,
spectiv re
( ) ∫∫ ==l
L
l
LMW zzILzzIL0
220
0
2 dcos41d
41 β .
in egalarea energiilor rezultă:
D
ββ β
ββ
42sin
212sin1 lCl+= ,
dică
sin42
2 lCL
+−
a
lClC
l L
ββ 1tg ⋅= .
cuaţia poate fi rezolva numeric sau grafic:
În cazul problemei considerate, s calculează:
E tă
e
mpF2,94mF102,9450103
218 =⋅⋅
=== rL ZcZc
Cε 12
0=⋅ −
CCd,
e unde
d
83,2105
102,9415,012
12≈
⋅⋅⋅
= −
−
ClCL .
locuind, se obţine prima soluţie
În
93
Rezonatoare electromagnetice pentru microunde
18,101 ≈lβ şi deci
MHz266Hz1026618,115,022
1032
68
010
01 =⋅≈⋅⋅
⋅==
πβ
επl
lc
fr
.
Observaţie: Celelalte frecvenţe de rezonanţă nu sunt multipli ai acestei valori ! Factorul de calitate propriu se obţine din relaţia:
0 0 0 0m
W W W
p p pd pc pd
QP P P P P+ +
,
unde au fost notate cu puterile pierdute în metal, respectiv în dielectric lă.
rului de calitate se exprimă, pe rând:
ω ω ω= = ≅
,pmP ,pdP pcPşi în capacitatea termina Pentru calculul facto
( )∫==+=l
221LMME zzLIWWWW
0010 dcos
422 β ,
( ) ( )∫∫ ==l
L
l
Lpd zzGUzzUGP0
0122
00
2 dsin21d
21 β ,
, 0
ci:
0=pmP , =pcPşi de
( )
( )
( )
( )
( )
( )∫
∫
∫
∫
∫
∫=== l
001
2
001
2
l
001
2
001
2
0l
001
2
001
2
200
dsin
dcos2
dsin
dcos
dsin
dcos
zz
zz
GY
zz
zz
GC
zz
zz
GZL
Q
l
L
C
l
L
L
l
LC
L
β
β
λπ
β
βω
β
βω
Constanta de atenuare a unei linii TEM cu pierderi mici are expresia [4]:
C
LLdm YZ 22
+=+= ααα . C
GR
acă pierderile în metal sunt neglij ile şi deci D ab , 0≈LR
C
L
YG2
≈α .
În inlocuind, se obţ e pentru factorul de calitate:
( )
( )
( )
( ) 1274
42sin
21
4
dsin01
01
l
001
2
00 =
−==
∫ ββββ
αλβ
αλ l
l
zzQ
l
.
La bornele capacităţii (cuplaj paralel) apare un circuit rezonant derivaţie, având frecvenţa de rezonanţă şi factorul de calitate
2sin21dcos 01
2+∫ π
βπ
zz
f 01 0 .Q
94
Microunde – Culegere de probleme
eL eR eC
Capacitatea echivalentă se obţine din egalarea energiilor electrice din rezonator şi din schema echivalentă:
( ) ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+= ∫ l
CCzzUClUC
L
l
Le 012
001
22001
220 sindsin
41sin
41 βββ ,
de unde rezultă:
( )
( )pF8,10
sin
sin411
2sin
dsin
012
012
012
001
2
=−
+=+=∫
l
lllC
Cl
zzCCC L
l
Le β
βπ
λ
β
β.
Se obţine:
( )
nH33108,10102664
14
1112262222
0
=⋅⋅⋅⋅
===−ππω ee
e CfCL ,
. kΩ70107010331026621274 39600 =Ω⋅=⋅⋅⋅⋅⋅== −πω ee LQR
Cunoscând schema echivalentă la bornele capacităţii ( )bb ′ se obţine imediat schema echivalentă la bornele de acces ( )aa ′ prin adăugarea unui transformator ideal, cu raportul de transformare:
( )
82,021,11
sinsin
010
010 ==−
==′
′
lUdlU
UU
Nbb
aa
ββ
Schema echivalentă obţinută este prezentată în figura de mai jos.
1:1,21
eC
70kΩ33nH 10,8pF
3.17 Se consideră un rezonator Fabry – Perot, alcătuit din două plăci metalice conductoare, paralele, foarte mari faţă de lungimea de undă (teoretic infinite). Să se determine factorul de calitate al acestui rezonator, dacă dielectricul este aer, iar pereţii au conductivitatea .mS105 7⋅=σ Frecvenţa de lucru este de iar distanţa dintre plăci este de
GHz,300cm.10
Rezolvare: Pentru un astfel de rezonator, factorul de calitate se calculează din energia înmagazinată şi din puterea pierdută corespunzătoare unităţii de arie transversală. Câmpul din rezonator este o undă staţionară, rezultată din reflexiile unei unde plane care se propagă normal pe pereţi.
95
Rezonatoare electromagnetice pentru microunde
Se obţine:
mmt
V
m
aaaH
VHQ
δδδ 221
22
d
d2
2
2
0 =⋅⋅==∫
∫
Σ
în care adâncimea de pătrundere are valoarea:
μm13,0m1013105104103
12 87711
0=⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅== −
−ππσωμδm .
Rezultă:
3846151013,02
1,060 =
⋅⋅= −Q .
Observaţie: Deoarece
200103
1031,02228
11
0
0
0=
⋅⋅⋅⋅
===cafap
λ,
modul de oscilaţie din rezonator poate fi numit . 200TEM 3.18 O cavitate prezintă o rezonanţă la , iar pe ghidul de acces la această frecvenţă se constată un raport de undă staţionară Modificând frecvenţa în jurul acestei valori, se obţine o curbă
GHz7=rf
rσ .2=( )fσσ = care poate fi aproximată de expresia
analitică ( )20 rffk −+≈ σσ , unde . 2s13104 −⋅=k Să se determine factorul de calitate propriu al cavităţii. Rezolvare: Curba (σσ = permite determinarea factorului de calitate în sarcină cu relaţia [1]:
)f sQ
dB3B
fQ r
s = ,
unde este banda de frecvenţe cuprinsă între limitele determinate de o anumită valoare
dB3B
21σ a raportului de undă staţionară. Dacă σ creşte nemărginit atunci când frecvenţa se îndepărtează de atunci ,rf 21σ este dat de relaţia:
85,611
112
2
21 =+−+
+++≈
rr
rr
σσ
σσσ .
Acestei valori limită îi corespunde un dezacord:
MHz48,3104
285,613
21 =⋅
−=
−=−
−kff r
rσσ
.
Deci: . 1000=sQ Factorul de calitate propriu este legat de prin relaţia: 0Q sQ , ( ) sQQ β+= 10
96
Microunde – Culegere de probleme
în care β este indicele de cuplaj,
⎩⎨⎧
=tăsupracupla cavitate o la ,
subcuplată cavitate o la ,1
r
r
σσ
β
Pentru a calcula trebuie cunoscut tipul de cuplaj (subcuplat sau supracuplat). În funcţie de aceasta se obţin următoarele valori posibile ale lui
0Q:0Q
( ) 15001101 =+= sr QQ σ , dacă 1<β , , dacă ( ) 3000102 =+= sr QQ σ .1>β Caracterul sub – sau supracuplat nu rezultă din datele problemei, dar poate fi dedus experimental [1].
97
Microunde – Culegere de probleme
4
NNOOŢŢIIUUNNII DDEE TTEEOORRIIAA
CCIIRRCCUUIITTEELLOORR LLIINNIIAARREE DDEE MMIICCRROOUUNNDDEE 4.1 Să se calculeze elementele schemei echivalente în T a unei porţiuni de ghid uniform, fără pierderi, de lungime .l Rezolvare: Ghidul fiind fără pierderi, schema lui echivalentă în T va fi compusă din trei reactanţe, ca în figură, unde 0111
2== IiZZ
02221=
= IiZZ
01
22112
2=
==II
UZZ .
11 12Z Z− 22 12Z Z−
12Z0Z
l
l
Reactanţele şi se obţin imediat: 11Z 22Z lZZZZ
sZi βctgj 02211 −===∞=
Pentru calculul reactanţei pot fi folosite expresiile undelor (directă şi inversă) de tensiune, la o linie fără pierderi:
12Z
−+ += 001 UUU
( ) lllz UUzUU ββ j
0j
02 ee −−+=
+==
În acelaşi mod se pot exprima şi curenţii şi : 1I 2I
98
Noţiuni de teoria circuitelor liniare de microunde
Oz
1U 2U
1I 2I
0U +
0U −
l ( )−+ −= 00
01
1 UUZ
I
( ) ( )lllz UU
ZzII ββ j
0j
00
2 ee1 −−+=
−==
Pentru rezultă: 02 =I lUU β2j
00 e−+− =deci
( ) l
ZU
UI
UZ
l
l
I ββ
β
sin1j
e1Z1
e20
2j0
0
j0
01
221
2
−=−
==−+
−+
=
.
Se obţine apoi:
2
tgjctgsin
1j 0012221211lZl
lZZZZZ ββ
β=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−=−
Schema echivalentă a tronsonului de ghid este reprezentată în figura de mai jos.
0j tg2lZ β
0j sinZ lβ−
0j tg2lZ β
4.2 Să se calculeze matricea de repartiţie S corespunzătoare diportului cu schema din figură. Valorile impedanţelor componente sunt normate la impedanţa caracteristică a liniilor de acces, .021 ZZZ CC == Să se verifice apoi proprietăţile matricei S pentru joncţiuni reciproce, fără pierderi.
j2
j−
j
99
Microunde – Culegere de probleme
Rezolvare: Termenii S şi se obţin imediat, ei reprezentând coeficienţi de reflexie la câte una dintre porţi, atunci când cealaltă este terminată adaptat:
11 22S
02
111 ZZS=
Γ= ,
01
222 ZZS=
Γ= .
j2
j−
j
1
1inz
Se calculează, pe rând:
11
1
0
1
0
1
01
0111
2
02
0211
1
1
=
=
=+−
=+
−=
+−
=zin
in
ZZ
in
in
ZZin
in
zz
ZZZZ
ZZZZ
S .
Impedanţa de intrare normată, la poarta 1, cu poarta 2 terminată adaptat, are valoarea:
( ) ( )[ ] ( )( ) j12j1
j1j2jj||j1112
+=++−
=+−+==zinz
astfel încât se obţine:
( )( ) 5
2j11j11j1
11+
=++−+
=S .
Analog, se poate scrie:
12
2
0
2
0
2
02
0222
1
01
0111
1
1
=
=
=+−
=+
−=
+−
=zin
in
ZZ
in
in
ZZin
in
zz
ZZZ
Z
ZZZZ
S ,
unde reprezintă impedanţa normată de intrare la poarta 2 cu poarta 1 terminată adaptat.
2inz
j2
j−
j
1
2inz
Cu datele din enunţ
100
Noţiuni de teoria circuitelor liniare de microunde
( ) ( )[ ] ( )( )2
j1j1
j2j1jj2j1j121
−=
+−+
+=−++==zinz
şi deci
5
2j1j3j1
12
j1
12
j1
22+
−=−+
−=+
−
−−
=S .
Pentru calculul lui care este coeficientul de transfer (de transmisie) de la poarta 1 la poarta 2, se poate folosi relaţia
,21S
( ) ( )02022 1
211
1
211
2
1
01
221 11
ZZZZC
C
a UU
SUU
SZZ
ab
S===
+=+== ,
în care reprezintă tensiunea de la poarta 1 iar tensiunea de la poarta 2, conform figurii de mai jos.
1U 2U
j2
j−
j
11U U 2U
Se obţine:
( ) ( )
( ) ( )[ ] 2j1
j1j1
j11
2jjj1jj1
j11
11
2
1
2
202
+−=
+−
⋅+
=+−+
−+⋅
+=⋅=
== zZZ UU
UU
UU
şi deci:
5
4j22
j15
2j1121+
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=S .
Analog, se poate scrie:
( ) ( )01011 2
122
2
122
1
2
02
112 11
ZZZZC
C
a UU
SUU
SZZ
ab
S===
+=+== .
j2
j−
j
1 1U U 2U
Se obţine:
( ) ( )( ) ( )[ ] j
j13j1
52j1
jj||2j1j||2j1
2j11
12
1
2
1
101
−=−−
⋅−
=+−+
−+⋅
+=⋅=
== zZZ UU
UU
UU
şi deci
101
Microunde – Culegere de probleme
( )5
4j2j5
2j1112+
−=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=S .
Rezultă astfel matricea S a diportului considerat:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−
+−
+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
52j1
54j2
54j2
52j1
2221
1211
SSSS
S .
Verificări: 1. 2112 S= (diport reciproc); S
2. 15
15
2j12211 <=
+== SS ; 1
52
54j2
2112 <=+
−== SS (diport pasiv);
3.1 ;154
512
122
11 =+=+ SS 151
542
222
21 =+=+ SS ;
3.2 022 122111 =+ ∗∗ SSSSadică
212211
12 222arctg2arctg
22ϕππϕϕ
ϕ =±+
=±+
= (diport reciproc, pasiv şi
nedisipativ); 4. 2211 S (diport nesimetric). S ≠ 4.3 Să se calculeze matricea de repartiţie în raport cu impedanţa de referinţă , pentru diportul cu schema din figură. Tronsoanele de linie de transmisiune din circuit sunt fără pierderi.
0Z
0Z
1 4l λ=
0Z
2 8l λ=
1T 2T( )0Z ( )0Z
0jZ
Rezolvare: Se calculează întâi matricea S′ a diportului subţire reprezentat de reactanţa derivaţie, iar apoi se aplică teorema schimbării planelor de referinţă.
0jZ
1T ′ 2T ′
1U ′ 2U ′
( )0Z ( )0Z
102
Noţiuni de teoria circuitelor liniare de microunde
5
2j1
1j1
j
1j1
j
11
11
1
01
01111
20202
+−=
++
−+
=+−
=+−
=Γ′=′=′=′
=′zi
i
ZZi
iZZ z
zZZZZ
S .
Circuitul considerat fiind un diport subţire, 2211 SS ′=′ iar
5
2j45
2j111 111221+
=+−
+=′+=′=′ SSS .
Readucând planele de referinţă 1T ′ şi 2T ′ în poziţiile iniţiale, respectiv se obţine:
,1T ,2T
5
2j1ee 11j
112j
11111
−=′−=′=′= −− SSSS l πβ ,
5
j2jee 222
j22
2j2222
2+
=′−=′=′=−− SSSS lπ
β ,
( ) ( )3j152ee 4
3j21
j212112
21 +−=′=′==−+−
πβ SSSS ll .
Deci matricea repartiţie corespunzătoare circuitului considerat este:
[ ]( )
( ) ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++−
+−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
5j23j1
52
3j152
52j1
2221
1211
SSSS
S .
4.4 Să se calculeze matricea de repartiţie corespunzătoare diportului din figură, la o frecvenţă la care lungimea de undă este cm40=λ ştiind că lungimile tronsoanelor de linie sunt iar raportul de transformare al transformatorului ideal este .
cm,101 =l2=
cm,152 =lN
0Z
1l
0Z
2l
1T 2T( )0Z ( )0Z
:1N
Rezolvare: Se calculează întâi matricea de repartiţie S′ a transformatorului ideal:
11
2
2
002
002
01
0111
02+−
=+−
=+′−′
=′= N
NZZNZZN
ZZZZS
ZZi
i ,
2
2
02
0
02
0
02
0222 1
1
01NN
ZNZZNZ
ZZZZS
ZZi
i
+−
=+−
=+′−′
=′=
.
Deoarece la transformatorul ideal
103
Microunde – Culegere de probleme
NU
U 1
1
2 =′′
rezultă:
( ) 1222
2
1
21121 1
211111
02
SN
NNN
NUUSS
ZZ
′=+
=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
+=′′
⋅′+=′=
.
Utilizând teorema schimbării planelor de referinţă, se obţine apoi matricea de repartiţie a diportului complet:
λπβ
11
4j
2
22j
1111 e11e
ll
NNSS
−−
+−
=′= ,
2
2
2 j4j222 22 2
1e e1
ll NS S
Nπβ λ
−− −′= =+
,
( ) ( )1 21 2
2jj12 21 21 2
2e e1
l ll l NS S SN
πβ λ
− +− +′= = =+
.
Folosind datele problemei, se obţine:
53e
53e
1212 j40
104j
2
2
11 −==+−
= −− ππS ,
53je
2121 2
3j
2
2
22 −=+−
=−
π
S ,
( )
( )j15
224
5jsin4
5cos54e
54e
1222 4
5j1510402j
212 +−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −==
+⋅
=−+− ππππ
S .
Observaţie: Se pot verifica şi aici proprietăţile matricei de repartiţie corespunzătoare diporţilor reciproci, pasivi şi nedisipativi. Matricea nu are deoarece diportul nu este simetric (având tronsoane cu lungimi diferite la cele două porţi).
2211 SS =
4.5 Să se calculeze elementele matricei de repartiţie corespunzătoare unei reactanţe paralel , dacă linia de intrare are impedanţa caracteristică
iar linia de ieşire are impedanţa caracteristică Ω= 200X
Ω= 501CZ .1002 Ω=CZ
j X
1T 2T( )1CZ ( )2CZ
1CZ 2CZ
Rezolvare: Folosind drept impedanţă de normare la poarta 1 impedanţa iar la poarta 2 impedanţa , se obţine:
1CZ
2CZ
2 2
2 2
1 111 1
1 1C
C
in CZ Z
in C Z Z
Z ZSZ Z=
=
−= Γ =
+,
104
Noţiuni de teoria circuitelor liniare de microunde
unde
( )Ω+=+⋅
=+⋅
== 40j80100200j100200j
jj
||j2
21 2
C
CCin ZX
ZXZXZ
reprezintă impedanţa de intrare la poarta 1 calculată cu poarta 2 terminată adaptat, . 22 CZZ =
j X
1T 2T( )1CZ ( )2CZ
2Z2U1U
Rezultă:
( )( ) 37
8j11502j140j502j140j
11+
=+−−−
=S .
Analog, se obţine:
11
1122
22222
CC
ZZCin
CinZZ ZZ
ZZS
== +
−=Γ= ,
unde
Ω⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
+⋅
=+⋅
==17200j
17800
50200j50200j
jj
||j1
112
C
CCin ZX
ZXZXZ
este impedanţa de intrare la poarta 2 cu poarta 1 terminată adaptat, . 11 CZZ =
j X
1T 2T( )1CZ ( )2CZ
1Z 2inZ
Rezultă:
( )
( ) 374j13
1004j117200j
1004j117200j
22+−
=+−
−−=S .
Pentru , coeficientul de transfer de la poarta 1 la poarta 2, se obţine: 21S
( ) ( )j637
24137
8j111100501
221
211
2
11221 +=⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⋅=⋅+⋅==
= CZZC
C
UU
SZZ
SS .
105
Microunde – Culegere de probleme
Observaţie: Se pot verifica proprietăţile matricelor de repartiţie corespunzătoare diporţilor reciproci, fără pierderi, subţiri. Matricea nu are deoarece diportul nu poate fi considerat simetric (având impedanţe de normare diferite la cele două porţi).
2211 SS =
4.6 Să se determine matricea de repartiţie a unui tronson de linie de lungime l , având impedanţa caracteristică , conectat între o linie de intrare având impedanţa caracteristică şi o linie de ieşire având impedanţa caracteristică
CZ
1CZ .2CZ Cele trei linii de transmisiune sunt fără pierderi.
l
CZ1U 2U
1T 2T( )01Z ( )02Z
1CZ 2CZ
Rezolvare: Parametrii de repartiţie ai liniei se pot determina cu uşurinţă în cazul în care normarea la cele două porţi s-ar face cu impedanţe egale cu impedanţa caracteristică a acestei linii, . ℜ∈== CZZZ 0201
Într-adevăr, urmărind figura, pentru impedanţe de normare egale cu , se scrie:
CZ
221
1
011
01111 0
2022
SZZZZ
ZZZZ
ZZZZ
SCC
CC
ZZCin
Cin
ZZin
in
C
==+−
=+−
=+−
===
,
( ) 12jj
1
211
02
0121 ee11
022
SZZ
UU
SZZ
S ll
C
C
ZZ
==⋅⋅=⋅+⋅= −−
=
ββ
şi deci matricea repartiţie calculată în raport cu impedanţa de normare , , este: CZ ( CZS )
. ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−
−
0ee0
j
j
2221
1211l
l
Z SSSS
SC β
β
Matricea S′ corespunzătoare enunţului problemei poate fi obţinută din matricea determinată mai sus, cu ajutorul formulelor de schimbare a impedanţei de normare.
Întrucât noile impedanţe de normare, S
101 CZZ =′ , 202 CZZ =′ , sunt şi ele reale, pot fi utilizate formulele simplificate, valabile pentru diporţi:
( )
DSS
S 222121111
1 Γ−Γ−ΔΓ−=′ ,
( )( )
DS
S22
2112
1211 Γ−Γ−
=′ ,
( )( )
DS
S22
2121
2111 Γ−Γ−
=′ ,
106
Noţiuni de teoria circuitelor liniare de microunde
( )
DSSS 1112122
221 Γ−Γ−ΔΓ−
=′ ,
unde
0 0
0 0
, 1, 2k k Ck Ck
k k Ck C
Z Z Z Z kZ Z Z Z′ − −
Γ = = ∈′ + +
, [ ] lSSSSS β2j21122211 edet −−=−==Δ
. ( ) lSSD β2j21212111222 e111 −ΓΓ−=ΔΓΓ+=ΔΓ−Γ−Γ−=
Rezultă:
l
l
S β
β
2j21
12j
211 e1
e−
−
ΓΓ−Γ−Γ
=′ ,
( )( )
l
l
SS β
β
2j21
22
21
j
2112 e111e
−
−
ΓΓ−
Γ−Γ−=′=′ ,
l
l
S β
β
2j21
22j
122 e1
e−
−
ΓΓ−Γ−Γ
=′ .
Deşi, în principiu, problema a fost rezolvată, relaţiile de mai sus pot fi puse şi sub o altă formă, calculând
( )( ) ( )[ ] l
llljl
ll β
ββββ
ββ j1212
jj121
2j2
esinjcos2
eeee−
−−−
Γ+Γ−Γ−Γ=
=Γ−Γ=Γ−Γ
( )( ) ( )[ ] l
llll
ll β
ββββ
ββ j2121
jj21
j2j21
esin1jcos12
eeee1−
−−−
ΓΓ++ΓΓ−=
=ΓΓ−=ΓΓ−
( ) ( )[ ] ll ljl ββ ββ j21212
2j1 esincos2e −− Γ+Γ−Γ−Γ=Γ−Γ .
Expresiile parametrilor de repartiţie devin:
( )( ) l
lS
ββ
tg1j1tgj
2121
121211 ΓΓ++ΓΓ−
Γ+Γ−Γ−Γ=′ ,
( )( )
( ) ( ) llSS
ββ sin1jcos111
21
2121
22
21
2112 ΓΓ++ΓΓ−Γ−Γ−
⋅=′=′ ,
( )( ) l
lS
ββ
tg1j1tgj
2121
212122 ΓΓ++ΓΓ−
Γ+Γ−Γ−Γ=′ .
Dacă se înlocuiesc şi , se calculează: 1Γ 2Γ
( )
( )( )CCCC
CCC
CC
CC
CC
CC
ZZZZZZZ
ZZZZ
ZZZZ
++−
=+−
−+−
=Γ−Γ21
12
1
1
2
212
2,
( )
( )( )CCCC
CCC
ZZZZZZZ++
−=Γ+Γ
21
221
122
,
( )
( )( )CCCC
CCC
ZZZZZZZ++
+=ΓΓ−
21
2121
21 ,
( )
( )( )CCCC
CCC
ZZZZZZZ++
+=ΓΓ+
21
221
212
1 ,
107
Microunde – Culegere de probleme
( )( )( ) ( )22
21
2212
22
116
11CCCC
CCC
ZZZZZZZ++
=Γ−Γ−
şi rezultă:
( ) ( )( ) ( ) lZZZZZZ
lZZZZZZS
CCCCCC
CCCCCC
ββ
tgjtgj
212
12
212
1211 +++
−+−=′ ,
( ) ( )( ) lZZZZlZZZZZZ
SSCCCCCCC
CCC
ββ sinjcos2
2121
212112 ++++=′=′ ,
( ) ( )( ) ( ) lZZZZZZ
lZZZZZZS
CCCCCC
CCCCCC
ββ
tgjtgj
212
21
212
2122 +++
−+−=′ .
4.7 Să se exprime parametrii matricei de repartiţie corespunzătoare unui diport reciproc, subţire şi fără pierderi, în funcţie de:
a) modulul coeficientului de reflexie la intrare, când ieşirea este terminată adaptat; b) faza coeficientului de reflexie la intrare, când ieşirea este terminată adaptat; c) susceptanţa normată paralel, corespunzătoare diportului.
Rezolvare: Considerând matricea repartiţie S de forma
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
1211SSSSS
pentru diporţii liniari, reciproci, pasivi şi nedisipativi, având impedanţe de normare identice la cele două porţi, pot fi scrise următoarele relaţii: 12
122
11 =+ SS ,
1222
221 =+ SS ,
. 022122111 =+ ∗∗ SSSS Dacă se ţine seama de faptul că diportul este reciproc ( )2112 SS = , din primele două relaţii rezultă: 2211 SS = ,
2112112 1 SSS −== ,
iar din ultima relaţie se obţine
212211
12 22ϕπϕϕ
ϕ =±+
= .
Dacă diportul este subţire atunci tensiunile de la cele două porţi sunt întotdeauna egale între ele, , ceea ce conduce la relaţia: 21 UU = . 21 111S S= + Similar, , 12 221S S= +prin urmare .2211 SS = Sumarizând, în cazul tipului de diport considerat există următoarele relaţii:
108
Noţiuni de teoria circuitelor liniare de microunde
1221
211 =+ SS (1)
(2) 1121 1 SS += (3) 2211 SS = (4) 2112 SS =care permit determinarea tuturor parametrilor în funcţie de o singură mărime reală. S Egalând modulele şi argumentele relaţiei (2) şi folosind relaţia (1), se obţine:
( ) 1122
112
11112
11 sincos11 ϕϕ SSS ++=− ,
1111
111121 cos1
sinarctg
ϕϕ
ϕS
S+
= ,
de unde rezultă 1111 cosϕ−=S ,
21112πϕϕ ±= .
a) Alegând drept parametru independent 11S , se obţin expresiile:
( )11arccosj112211 e SSSS −== ,
( )11arccosj2112112 e1j SSSS −−±== .
b) Alegând drept parametru independent 11ϕ , rezultă expresiile: , 11j
112211 ecos ϕϕ ⋅−== SSϕ . 11j
112112 esinj ϕ ⋅−== SSc) Deoarece tipul de diport considerat poate fi reprezentat printr-o simplă reactanţă
paralel, notând cu b valoarea susceptanţei normate respective rezultă:
( )22
2arctgj
2210
10111 e
442j
j2j
0202
Sb
bb
bbb
bYYYY
S b
YYin
inYY =
+=
++
=+−
=+−
=Γ=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==
π,
precum şi
( )12
2arctgj
2221 e4
24
j22j2
j1 Sbb
bb
bS b =+
=+−
=+
−=−
.
4.8 Care trebuie să fie distanţa dintre două bobine ideale, conectate în paralel pe o linie de transmisiune având impedanţa caracteristică , pentru ca diportul astfel format să prezinte o atenuare de inserţie nulă la frecvenţa ? Cele două bobine, identice, au inductanţa
Ω= 300CZf MHz100=
μH1=L iar linia, ideală, are ca dielectric aerul. Rezolvare: Condiţia de transmisiune totală (de atenuare nulă) este 121 =S , sau, echivalent, 011 =Sdeoarece diportul este nedisipativ.
109
Microunde – Culegere de probleme
l
CZ
1T 2T( )0Z ( )0Z
jBjB
Parametrul reprezintă coeficientul de reflexie la poarta 1 când poarta 2 este terminată adaptat, adică
11S
11
1
1
1111
222 1
1
=== +
−=
+−
=Γ=yin
in
YYinC
inCYY y
yYYYY
SC
C
astfel încât condiţia este echivalentă cu 011 =S 111
2=
=yiny (1)
Admitanţa de intrare în linia de lungime terminată pe admitanţa normată în paralel cu conductanţa normată unitate
l bj( )12 =y are expresia:
( ) lblb
lyly
ys
sin β
βββ
tgj1j1tgjj1
tgj1tgj
1 ++++
=++
=′
astfel încât admitanţa normată de intrare în circuitul considerat, cu poarta 2 terminată adaptat este: ( 12 =y ) ( )
( ) llblbby yin βββtgjtg1
tgj1j112 +−
+++=
=.
Condiţia (1) devine: llblblblbb βββββ tgjtg1tgjj1tgtgjj 2 +−=+++−−adică 0tgj2j 2 =− lbb βde unde (soluţia 0=b nu corespunde) rezultă:
b
l 2tg =β ,
deci
Zkkb
l ∈+= unde ,2arctg πβ
respectiv
2
2arctg2
λπλ k
bl += , . Nk ∈
Înlocuind datele numerice ale problemei, rezultă: , Ω=⋅⋅=== − 3,628101022 68
00 ππω LfLX
09,2300
3,628===
CZXx ,
110
Noţiuni de teoria circuitelor liniare de microunde
1 0,477C
BbY x
= = − = − ,
m310
1038
80 =
⋅==
fc
λ .
Se obţine:
m861,05,1638,023
477,02arctg
23 1=
=⋅+−=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=k
kklπ
.
Observaţie:1. S-a considerat pentru valoarea care conduce la o lungime l pozitivă dar minimă.
k
2. Determinarea parametrului se poate face şi prin alte metode. De exemplu, se consideră o undă incidentă şi se urmăresc reflexiile repetate, succesive pe diporţii subţiri reprezentaţi de cele două inductanţe. Un alt procedeu constă în determinarea matricei de repartiţie a întregului circuitului prin combinarea matricelor de repartiţie ale diporţilor componenţi, corespunzători inductanţelor şi liniei, diporţi conectaţi în lanţ (în cascadă).
11S
O astfel de metodă este prezentată în cele ce urmează. Circuitul considerat este descompus într-o cascadă de 3 diporţi elementari, primul şi ultimul reprezentând susceptanţa derivaţie iar diportul central – tronsonul de linie fără pierderi (figura 4.8.2).
Determinarea termenilor sau poate fi realizată dacă se cunosc matricile S corespunzătoare diporţilor din figura de mai sus.
11S 21S
Pentru susceptanţa derivaţie, coeficientul de reflexie la poarta 1, cu poarta 2 terminată adaptat este
( )( ) Γ==
+−
=+++−
=+−
==
not
2211
111 j2
jj11j11
11
2
Sb
bbb
yy
Syi
i , (1)
unde este admitanţa normată de intrare la poarta 1 iar 1iy Γ semnifică coeficientul de reflexie al susceptanţei normate b . Coeficientul de transmisie are valoarea 21S . (2) 121121 11 SSS =Γ+=+=Observaţie: În relaţiile (1) şi (2) s-a făcut apel la proprietăţile diportului subţire reprezentat de către susceptanţa derivaţie. Rezultă astfel matricile S corespunzătoare diporţilor terminali, identici:
. [ ] [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΓΓ+Γ+Γ
==1
131 SS
[ ]1S [ ]3S[ ]2S
1a0a 2a 3a
0b 1b 2b 3b
Figura 4.8.2
111
Microunde – Culegere de probleme
Pentru tronsonul de linie de transmisiune, termenul are valoarea: 11S
2200
00
01
0111 0
02
SZZZZ
ZZZZS
ZZi
i ==+−
=+−
==
, (3)
unde reprezintă impedanţa de intrare la poarta 1 a tronsonului iar este impedanţa de normare la ambele porţi, egală cu impedanţa caracteristică a liniei.
1iZ 0Z
În cazul analizat, coeficientul de transmisie are expresia: 21S
021
221
ZZUU
S=
= ,
unde reprezintă tensiunea la intrarea liniei iar tensiunea la sarcină. 1U 2ULegătura dintre cei doi termeni este dată de distribuţia tensiunii în lungul liniei considerate: , lIZlUU ββ sinjcos 2021 +=în care, exprimând curentul prin sarcină în funcţie de tensiunea la sarcină,
0
222 Z
UZU
IS== ,
se obţine: ϕβββ j
2j
2221 eesinjcos UUlUlUU l ==+=şi deci , (4) 12
j21 e SS == − ϕ
astfel încât matricea S corespunzătoare tronsonului de linie este
. [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−
−
0ee0
j
j
2 ϕ
ϕ
S
Având astfel calculate matricile S ale diporţilor constituenţi, matricea repartiţie care descrie proprietăţile circuitului studiat poate fi determinată folosind, de pildă, metoda grafului de fluenţă [6]. Ţinând cont de convenţia folosită pentru desenarea undelor generalizate de putere, rezultă graful asociat structurii analizate, prezentat în figura 4.8.3.
Din definiţia coeficientului de reflexie al circuitului considerat, particularizată conform notaţiilor din figura 4.8.2 şi folosind regula lui Mason, [6], se obţine:
11S
ΓΓΓΓ
0a 0a 1a 2a 3a
0b 1b 2b 3b
ϕje−
3b
1 Γ+1 1+Γ
ϕje−Γ+1 1+Γ 1
Figura 4.8.3
112
Noţiuni de teoria circuitelor liniare de microunde
Δ
Δ==∑
=
kkk
b
P
ab
S00
011
3
,
unde: k reprezintă numărul căilor între nodurile şi (vezi figura 4.8.3); 0a 0b
kP este transmitanţa unei căi, între nodurile şi ; 0a 0bΔ reprezintă determinantul grafului;
kΔ se obţine din în care nu se iau în considerare termenii ce conţin bucle cu cel puţin un nod comun cu calea “ ”.
Δk
Din graf, rezultă: , ϕ2j2 e1 −Γ−=Δ , 2=k , Γ=1P , ϕ2j2
1 e1 −Γ−=Δ
, ( ) ϕ2j22 e1 −Γ+Γ=P
12 =Δşi deci
( ) ( ) ( )[ ]222j2
2j
2j2
2j22j2
11 e1e211
e1e1e1 SS =
Γ−Γ++Γ
=Γ−
Γ+Γ+Γ−Γ=
−
−
−
−−
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ.
Coeficientul de transfer are expresia: 21S
00
321
3=
=ba
aS .
Conform regulii lui Mason, se calculează: , 1=k , ( ) ϕj2
1 e1 −Γ+=P 11 =Δşi deci
( )1222
j2
21 e1e1 SS j =
Γ−Γ+
=−
−
ϕ
ϕ.
Rezultă în final matricea repartiţie corespunzătoare circuitului din problemă:
[ ]( )[ ] ( )
( ) ( )[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Γ−Γ++Γ
Γ−Γ+
Γ−Γ+
Γ−Γ++Γ
=
−
−
−
−
−
−
−
−
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
2j2
2j
2j2
j2
2j2
j2
2j2
2j
e1e211
e1e1
e1e1
e1e211
S .
Condiţia de atenuare nulă, , conduce la: 011 =S
( )[ ] 0e1
e2112j2
2j=
Γ−Γ++Γ−
−
ϕ
ϕ
,
adică ( )[ ] 0e211 2j =Γ++Γ − ϕ şi întrucât soluţia 0=Γ nu convine (implică 0=b , fals!), rezultă:
113
Microunde – Culegere de probleme
, ( ) 0e211 2j =Γ++ − ϕ
sau
rad673,2j22
22j e451,0j892,0
44j
44
j2j21
1211e =+−=
+−
+−
=
+−
+
−=
Γ+−
=−
bb
bb
bb
ϕ
adică 3365,1−== lβϕ şi deci
( ) ( ) m861,0233365,1
23
23365,1
2
1==+−=+−=
kkkl
πλ
πλ .
Observaţie: De asemenea, la fel ca la metoda precedentă, s-a considerat pentru valoarea care conduce la o lungime pozitivă dar minimă.
kl
4.9 Să se arate că puterea disponibilă a unui generator
( )2
2
12 G
GdG
aP
Γ−=
nu depinde de impedanţa de normare utilizată la definirea variabilelor de repartiţie. 0Z Rezolvare: Considerând cazul general al unei impedanţe de normare complexe, unda de putere emergentă dintr-un generator, în absenţa oricărei unde incidente, este:
0Z
∗+=
0
0ReZZZE
aG
G
iar coeficientul de reflexie generalizat al generatorului se scrie
∗+
−=Γ
0
0
ZZZZ
G
GG .
Înlocuind în expresia puterii disponibile, se obţine:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 20 0
2 22 20 0 00
0
20
2 2 2 20 0 0 0
2 20
0
Re Re1
22 1
2
2 4 8
dG
G G GG
G
G G G G
G G
E Z E ZP
Z Z Z Z Z ZZ ZZ Z
E R
R R X X R R X X
E R ER R R
∗ ∗
∗
⋅= ⋅ =
⎛ ⎞+ + − −−⎜ ⎟−⎜ ⎟+⎝ ⎠
⋅= =
⎡ ⎤+ + − − − − −⎣ ⎦
⋅= =
⋅ ⋅
=
S-a regăsit astfel o relaţie cunoscută, care exprimă puterea disponibilă a unui generator, evident independentă de impedanţa de normare considerată. 0Z
114
Noţiuni de teoria circuitelor liniare de microunde
4.10 Să se determine schema echivalentă în T (cu elemente normate) corespunzătoare unui diport reciproc şi fără pierderi conectat între linii de acces identice, fără pierderi, dacă se cunosc:
5
111 =S ;
; 2arctg11 −= πϕ . 2arctg22 −=ϕ Rezolvare: Se calculează mai întâi toate elementele matricei de repartiţie, folosind proprietăţile diporţilor reciproci şi fără pierderi:
5
25111 2
112112 =−=−== SSS ,
5
11122 == SS ,
22
2arctg222
22112112
πππϕϕϕϕ ±
−=±
+== .
Rezultă: 2arctg2112 −== ϕϕsau . 2arctg2112 −== πϕϕÎn primul caz matricea S corespunzătoare diportului considerat este:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−+−
=2j14j24j22j1
51S .
De aici se calculează matricea impedanţă normată, z, cu ajutorul relaţiei: . ( ) ( SSz +⋅−= − 11 1 ) Pentru aceasta, se calculează, pe rând:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=+
j-3j2-1j2-1j2
521 S ,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+++−
=−j2j21-j21-j3
521 S ,
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++
=− −
j-3j2-1j2-1j2
j2211 1S .
Se obţine:
. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
=jjj0
z
Schema echivalentă în T, reprezentată în figura 4.10 a, rezultă din relaţiile: , 12111j zzx −= , 12222j zzx −= 123j zx =
115
Microunde – Culegere de probleme
1j x
3j x
2j x
Figura 4.10 a.
adică, înlocuind cu valorile problemei: , jj 1 =x , 0j 2 =x . jj 3 −=x Se obţine deci schema echivalentă din figura (4.10 b).
j
j−
j−
j
j2−
Similar, considerînd , 2arctg2112 −== πϕϕse obţine o a doua schemă echivalentă, reprezentată în figura (4.10 c). 4.11 Să se calculeze parametrul pentru diportul rezultat prin conectarea în lanţ (în cascadă) a doi diporţi identici, având matricele de repartiţie:
21S
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−−+
=4j2j2j24j2
51S ,
în raport cu impedanţa de referinţă . 0Z Rezolvare: Se utilizează schema din figura de mai jos.
Comportarea diportului poate fi descrisă convenabil în cazul conectării în lanţ cu ajutorul matricei de transfer T, definită prin relaţiile:
2T
2T ′′
2T ′
1T ′′1T
1T ′
[ ]S ′ [ ]S ′′
1b 1a
1b′ 1a′
1b ′′ 1a ′′
2a′ 2b′
2a ′′ 2b ′′
2a 2b
116
Noţiuni de teoria circuitelor liniare de microunde
(2) 2122111 aTbTa += (3) 2222211 aTbTb +=care se pot scrie şi compact, sub formă matriceală, astfel:
. 1 2
1 2
a bb a⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
T
Considerând că cei doi diporţi conectaţi în cascadă au matricele de transfer ′T , respectiv şi observând pe baza schemei din figură că ′′T 11 aa ′= , , 11 bb ′= 1b2a ′′=′ ,
, , 12 ab ′′=′ 2a2a =′′ 22 bb =′′ , se obţine succesiv:
. 1 1 2 1 2
1 1 2 1 2
a a b a b bb b a b a a
′ ′ ′′ ′′⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′ ′ ′′ ′ ′′= = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ ′ ′′ ′′⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
T T T T T T 2
2
Comparând acest rezultat cu expresia scrisă pentru diportul echivalent, având matricea de transfer , T
, 1 2
1 2
a bb a⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
T
se obţine . (4) ′ ′′=T T T În cazul problemei se cunosc şi se cer termeni ai matricelor de repartiţie. Este necesar să se folosească relaţiile de legătură dintre parametrii de repartiţie şi cei de transfer. Deoarece trebuie aflat parametrul , se va exprima acest parametru în funcţie de parametrii de transfer. În acest scop se explicitează din relaţia (2):
21S
2b
211
121
112
1 aTTa
Tb −=
şi se compară cu cea de a doua ecuaţie din cele care caracterizează diportul cu ajutorul parametrilor de repartiţie: (5) 2121111 aSaSb += (6) 2221212 aSaSb +=Rezultă:
11
211
TS = .
Termenul al matricei de transfer a diportului rezultat prin conectarea în lanţ a celor doi diporţi daţi se obţine din relaţia (4)
11T:
. (7) 2112111111 TTTTT ′′′−′′′=Pentru a-l calcula este necesar să se cunoască formulele de trecere de la parametrii la parametrii , şi . Acestea se determină rezolvând în raport cu necunoscutele
şi sistemul format din ecuaţiile (5) şi (6):
S11T 12T 21T
1a 1b
221
222
211
1 aSS
bS
a −= ,
111 2
21 21
detSb bS S
= −S
2a
şi făcând identificarea cu relaţiile (2) şi (3). Astfel, rezultă:
117
Microunde – Culegere de probleme
21
111
ST = ,
21
2212 S
ST −= ,
21
1121 S
ST = .
Utilizând aceste expresii, relaţia (7) devine:
2121
112211
1SS
SST
′′′′′′−
= ,
de unde se poate determina parametrul cerut în problemă,
1122
2121
1121 1
1SS
SST
S′′′−
′′′== ,
sau, numeric,
65
4j7
54j21
5j2
2
2
21−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=S .
O altă metodă de rezolvare constă în determinarea termenului pe baza grafului de fluenţă asociat circuitului din problemă.
21S
Se reprezintă, în prealabil, cei doi diporţi conectaţi în cascadă şi se desenează în dreptul planelor lor de referinţă undele generalizate de putere (figura 4.11.2).
Corespunzător, graful de fluenţă are forma din figura 4.11.3.
[ ]S [ ]S
2a1a 3a
1b 2b 3b
Figura 4.11.2
Figura 4.11.3
22S22S11S
1a 1a 2a 3a
1b 2b 3b
21S21S1
11S
3b
12S 112S
118
Noţiuni de teoria circuitelor liniare de microunde
Parametrii repartiţie care apar în figură reprezintă termenii matricei S a celor doi diporţi identici:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−−+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4j2j2j24j2
51
2221
1211
SSSS
S .
Coeficientul de transfer al circuitului, conform notaţiilor din figura 4.11.2, este dat de expresia:
01
321
3=
=ba
aS
şi poate fi determinat folosind regula lui Mason aplicată grafului din figura 4.11.3 (vezi şi problema 4.8). Cu datele problemei, se calculează:
25
16j375
4j2112
2211−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−=−=Δ SS ,
, 1=k
25
4j35
j2 22211
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
== SP ,
11 =Δşi se obţine
65
4j7
2516j37
254j3
21−
=−
−
=S .
4.13 Să se calculeze reactanţa normată paralel reprezentată printr-un diport subţire, fără pierderi, dacă pe linia de acces s-a măsurat un raport de undă staţionară
4=σ atunci când diportul era terminat pe o sarcină adaptată.
jb 1Sy =4σ =
iny
Rezolvare: Un diport subţire şi fără pierderi poate fi reprezentat printr-o susceptanţă derivaţie a cărei valoare normată este notată cu b .Dacă diportul este terminat pe o sarcină adaptată, atunci: , byin j1+=deci coeficientul de reflexie de la intrarea lui este:
( )( )
( )211 42j1
j2j
j11j11
11
bb
bb
bb
yy
Sin
in
++
−=+−
=+++−
=+−
==Γ ,
astfel încât raportul de undă staţionară pe linia de acces are expresia:
119
Microunde – Culegere de probleme
22
2
2
11 441 41
4
bb bb
b b bb
σ+
+ Γ + ++= = =− Γ + −−
+
.
Din această relaţie rezultă:
( )( ) 2
2
2
22 411 4
111
bb
bb +
=−
+⇒
+=
−+
=Γ σ
σσσ ,
adică
σ
σ 1−=b
sau
1
1−
==σσ
bx .
Folosind datele problemei, rezultă că este vorba de o reactanţă normată având modulul:
67,014
4≈
−=x .
Reactanţa poate fi de natură inductivă sau capacitivă. 4.14 Să se determine matricea de repartiţie a unui diport reciproc, pasiv, fără pierderi, simetric, ştiind că faza coeficientului de reflexie la intrare, , este
atunci când diportul este terminat în gol, respectiv atunci când diportul este terminat în scurtcircuit.
1Γo601 =gϕ
o301 −=scϕ
DIPORT
Rezolvare: Coeficientul de reflexie la intrare în poarta 1 a unui diport reciproc are expresia:
S
S
S
S
SS
SSSS
Sab
Γ−Γ
+=Γ−Γ
+==Γ22
212
1122
211211
1
11 11
,
unde
2
2
ba
S =Γ
este coeficientul de reflexie al sarcinii de la poarta 2 a diportului. Deci:
22
212
11111 1 SSS
Sg −
+=Γ=Γ=Γ
,
1Γ
2a
2b
1a
1b SZ
sΓ
120
Noţiuni de teoria circuitelor liniare de microunde
22
212
11111 1 SSS
Ssc +
−=Γ=Γ−=Γ
.
Ţinând cont şi de condiţia de simetrie, ( )2211 SS = , din aceste relaţii se obţine:
11
11
111
111
11
SS
SS
sc
g
−+
−=−Γ
−Γ,
de unde se poate calcula coeficientul de reflexie , 11S
scg
gscSS11
112211 2 Γ−Γ+
Γ+Γ== .
Deoarece diportul este fără pierderi, 111 =Γ=Γ scg deci rezultă
scg
gsc
SS11
11
jj
jj
2211ee2
eeϕϕ
ϕϕ
−+
+== ,
iar apoi parametrii se obţin cu ajutorul relaţiilor existente între termenii matricei de repartiţie a unui diport reciproc şi fără pierderi.
2112 SS =
Cu datele din problemă, rezultă:
21j
23
23j
212
21j
23
23j
21
ee2
ee
6j
3j
3j
6j
2211
+−++
−++=
−+
+==
−
ππ
ππ
SS ,
adică .
o9,24jrad435,0j2211 e664,0e664,0 −− === SS
Ceilalţi termeni se obţin imediat:
748,0664,011 221121 =−=−= SS ,
rad57,1435,021121 ±−=±=πϕϕ .
Alegând în relaţia precedentă semnul +, rezultă:
o65jrad135,1j2112 e748,0e748,0 === SS
astfel încât, în final, se poate scrie matricea S corespunzătoare diportului considerat:
. [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−
−
oo
oo
9,24j65j
65j9,24j
2221
1211
e664,0e748,0e748,0e664,0
SSSS
S
4.15 Într-un cablu coaxial cu aer spaţiul dintre cele două conductoare se umple, pe o lungime , cu un material dielectric fără pierderi. Discontinuitatea astfel formată este măsurată, la frecvenţa
cm5=dGHz1=f , prin metoda deplasării minimelor
obţinându-se la curba experimentală în punctul de inflexiune o pantă a tangentei de valoare 2tg =α . Să se deducă din această măsurătoare permitivitatea electrică relativă a dielectricului folosit.
121
Microunde – Culegere de probleme
0x0y:1N
Rezolvare: Schema echivalentă a unei porţiuni de ghid incluzând partea cu dielectric este reprezentată în figura 4.15.1, unde, conform metodei de măsură menţionate [5]: 2tg == αN . Pe de altă parte, înlocuind placa printr-un tronson de linie de lungime d , având o altă impedanţă caracteristică, se obţine o a doua schemă, prezentată în figura 4.15.2.
d
0Z 0Z0Z ′
Pentru ca cele două scheme să fie echivalente, este necesar (şi suficient) ca, în cazul ieşirii terminate adaptat, pe linia de intrare să existe acelaşi raport de undă staţionară, adică modulul coeficientului de reflexie să fie acelaşi. Se calculează:
11
2
2
1 +−
=ΓNN ,
( )( )
( )( ) dZZZZ
dZ
dZZZZdZZ
ZdZZdZZ
Z
ZdZZdZZ
Z
ZZZZ
in
in
β
β
ββ
ββββ
220
20
20
20
20
20
20
2000
20
20
000
000
000
000
0
02
tg4
tgZ
tgj2tgj
tgjtgjtgjtgj
′++′
′−=
=′++′
−′=
++′
′+′
−+′
′+′
=+−
=Γ
Constanta de defazare β poate fi exprimată în funcţie de constanta de defazare în spaţiul liber, , 0β
0βεεμωβ r== , iar impedanţa caracteristică este 0Z ′
r
ZZ
ε0
0 =′ .
Înlocuind, se obţine relaţia
122
Noţiuni de teoria circuitelor liniare de microunde
( )
( )rrr
rr
d
d
NN
εβεε
εβε
02
2
0
2
2
tg1114
tg11
11
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=+−
din care apoi poate fi determinată constanta dielectrică . rε Utilizând datele numerice ale problemei, se obţine:
cm3010
1039
80
0 =⋅
==f
cλ ,
3
53022
00
ππλπβ =⋅== dd ,
31
1212
1tg1tg
11
2
2=
+−
=+−
=+−
αα
NN .
Permitivitatea electrică relativă, , rezultă deci din ecuaţia rε
( )
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=
rrr
rr
επεε
επε
3tg14
3tg1
31
22.
Relaţia precedentă poate fi adusă şi la forma
( )( ) 1 ,1223
tg2 >−−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
rrr
rr ε
εεε
επ .
Prin rezolvarea numerică sau grafică se obţin soluţiile: K , 5,10 , 3,7 , 2 321 ≈≈≈ rrr εεεdeci răspunsul nu este univoc. În consecinţă, metoda de măsurare a bazată pe această idee poate fi aplicată numai dacă este apriori cunoscută o valoare aproximativă a constantei dielectrice.
rε
4.16 Se consideră triportul reciproc, pasiv şi nedisipativ având schema cu elemente normate reprezentată în figura de mai jos. Impedanţele de normare la porţi sunt egale cu impedanţa caracteristică, aceeaşi pentru cele trei linii fără pierderi, iar transformatoarele sunt ideale. Să se calculeze parametrii , şi ai triportului. 11S 22S 33S
8λ :1n 1: nj
3 8λ
1T 2T
3T
4λ
123
Microunde – Culegere de probleme
Rezolvare: Se pleacă de la triportul din figura de mai jos, pentru care se calculează impedanţele de intrare la fiecare poartă în condiţiile în care celelalte porţi sunt terminate adaptat:
:1n 1: nj
1T ′ 2T ′3T ′
( ) 1222
22
113132
j111j=′=′=′=′
′=++=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=′
inininin zzinzzin znnn
nz
j2213
21+=′
=′=′ nz
inin zzin
Se determină parametrii de repartiţie 3 ,2 ,1 , ∈′ iSii ai acestui triport:
( )( ) ( ) 22
j1j2
j1j11j1
11
24
22
22
22
22
22
11
111
32++++
=++
+=
+++−++
=+′−′
=′=′=′ nn
nnnn
nnnnnn
zz
Szzin
in ,
, 1122 SS ′=′
22
2j2j2j2
1j2
1j2
11
24
24
22
22
2
2
13
333
21++
+−=
+++−
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=+′−′
=′=′=′ nn
nnnnnn
n
nzzS
zzin
in
Dacă se deplasează convenabil planele de referinţă, ale triportului din figura de mai sus se obţine circuitul din problemă. Parametrii săi de repartiţie sunt:
( )221jjeee 24
222
112
j11
822j
112j
11111
+++−
=′−=′=′=′=−−−
nnnnnSSSSS l
πλλπ
β
( )22j1eee 24
222
22j
224
22j22
42j
2222++++
−=′−=′=′=′= −−−
nnnnnSSSSS π
λλπλβ
( )22
2j2jeee 24
42
332
3j33
8322j
338
32j3333
++−+−
=′=′=′=′=−−−
nnnnSSSSS
πλλπλβ
4.17 Pentru măsurarea unei joncţiuni triport reciproce, pasive, fără pierderi, cu plan de simetrie, (porţile 1 şi 2 fiind simetrice) s-a conectat la poarta 3 un scurtcircuit deplasabil. S-a constatat că transmisia de putere între porţile 1 şi 2 este întreruptă atunci când pistonul de scurtcircuit se află la o distanţă de poarta 3, iar atunci când pistonul este la distanţa de aceeaşi poartă puterea este transmisă în întregime (fără reflexii). În această a doua situaţie, defazajul între porţile 1 şi 2 este de π radiani.
cm11 =zcm625,12 =z
Terminând adaptat porţile 2 şi 3, s-a măsurat pe ghidul de intrare un raport de undă staţionară .2=σ
124
Noţiuni de teoria circuitelor liniare de microunde
Ştiind că toate ghidurile de acces sunt identice şi că lungimea de undă în aceste ghiduri este , să se determine schema echivalentă (normată) a triportului. cm5=gλ Rezolvare: Orice triport pasiv reciproc şi nedisipativ admite schema echivalentă cu elemente normate reprezentată în figura de mai jos.
1l1 :1n 21: nj x
3l
1T 2T
3T
2l
Condiţia de întrerupere a transmisiei de putere între porţile 1 şi 2 se poate scrie sub forma: , ( ) ∞→+ 13tg zlβdeci
( )2
213
πλπ
=+ zlg
,
de unde rezultă
cm25,0145
4 13 =−=−= zl gλ .
Pentru joncţiunile cu plan de simetrie ( )nnn == 21 , transmisia integrală a puterii între porţile 1 şi 2 este condiţionată de relaţia: , ( ) 0tg 23 =++ xzlβde unde rezultă:
( ) ( ) ( ) 1625,125,05
2tg2tgtg 2323 =+−=+−=+−=π
λπβ zlzlxg
.
Conectând la porţile 2 şi 3 sarcini adaptate, impedanţa de intrare normată văzută la poarta 1 este:
( ) xnnxn
nzin22
22
1 j1j11 ++=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++= .
astfel încât coeficientul de reflexie are expresia
( )[ ]( )[ ] ( )
( )( ) 22
j1j2j1
j2j
1j11j1
11
24
22
22
2
22
22
22
22
1
11
++++
=+++
=
+++
=+++−++
=+−
=Γ
nnnn
nnn
xnnxnn
xnnxnn
zz
in
in
125
Microunde – Culegere de probleme
Modulul coeficientului de reflexie este legat de raportul de undă staţionară, prin relaţia:
31
1212
11
1 =+−
=+−
=Γσσ .
Egalând modulele, se obţine:
31
442
224
2=
++ nn
n ,
de unde rezultă . 8,021 === nnn Mai trebuie determinate lungimile . În cazul transmisiei integrale de putere, defazajul dintre porţile 1 şi 2 are expresia simplă
lll == 21
llllgλπβββϕ 22221 ==+=Δ
şi, întrucât radianiπϕ =Δ rezultă
cm.25,145
421 ===== glllλ
4.18 Să se arate că joncţiunea cu 4 porţi, în dublu T, simetrică, poate fi folosită ca punte de microunde, adică alimentând-o la poarta 3 (sau 4) şi conectând un detector adaptat la poarta 4 (respectiv 3), acesta va indica o putere nulă dacă şi numai dacă impedanţele conectate la porţile 1 şi 2 sunt egale între ele. Rezolvare: Matricea de repartiţie a joncţiunii dublu T simetrice are forma:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
441414
331313
14131112
14131211
00
SSSSSS
SSSSSSSS
S
Se consideră un generator aplicat la poarta 3 şi un detector adaptat montat la poarta 4 . Se notează , respectiv , coeficienţii de reflexie ai sarcinilor conectate la porţile 1, respectiv 2. Se scriu relaţiile:
( 04 =a ) 1Γ 2Γ
1111
11 ba
ba
Γ=⇒=Γ (1)
2222
22 ba
ba
Γ=⇒=Γ (1’)
Prima, a doua şi a patra ecuaţie a sistemului aSb ⋅= au expresiile: , (2) 3132121111 aSaSaSb ++= , (3) 3132111122 aSaSaSb ++= . (4) 2141144 aSaSb −=
126
Noţiuni de teoria circuitelor liniare de microunde
Dacă se scad relaţiile (2) şi (3) şi se ţine seama de egalităţile (1) şi (1’), se obţine:
( )( 2112112
2
1
1 aaSSaa
−−=Γ
−Γ
) .
De aici rezultă imediat faptul că . (5) 2121 aa =⇔Γ=Γ Pe de altă parte, egalitatea se poate scrie sub forma 21 Γ=Γ
11
11
2
2
1
1
+−
=+−
zz
zz
,
ceea ce înseamnă că , (6) 2121 zz =⇔Γ=Γunde şi sunt impedanţele normate de la porţile 1 şi 2. 1z 2z Pe de altă parte, din relaţia (4) rezultă că . (7) 214 0 aab =⇔= În consecinţă, din echivalenţele (5), (6) şi (7) se obţine, concluzia: . 214 0 zzb =⇔=
127
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.50.5
0.5
0.6
0.6
0.6
0.7
0.7
0.7
0.8
0.8
0.8
0.9
0.9
0.9
1.0
1.0
1.0
1.2
1.2
1.2
1.4
1.4
1.4
1.6
1.6
1.6
1.81.8
1.8
2.02.0
2.0
3.0
3.0
3.0
4.0
4.0
4.0
5.0
5.0
5.0
10
10
10
20
20
20
50
50
50
0.2
0.2
0.2
0.2
0.4
0.4
0.4
0.4
0.6
0.6
0.6
0.6
0.8
0.8
0.8
0.8
1.0
1.0
1.01.0
20-20
30-30
40-40
50
-50
60
-60
70
-70
80
-80
90
-90
100
-100
110
-110
120
-120
130
-130
140
-140
150
-150
160
-160
170
-170
180
±
90-9
085
-85
80-8
0
75-7
5
70-7
0
65-6
5
60-6
0
55-5
5
50-50
45
-45
40
-40
35
-35
30
-30
25
-25
20
-20
15
-15
10
-10
0.04
0.04
0.05
0.05
0.06
0.06
0.07
0.07
0.08
0.08
0.09
0.09
0.1
0.1
0.11
0.11
0.12
0.12
0.13
0.13
0.14
0.14
0.15
0.15
0.16
0.16
0.17
0.17
0.18
0.18
0.190.19
0.20.2
0.210.21
0.220.22
0.23
0.230.24
0.240.25
0.25
0.26
0.26
0.27
0.27
0.28
0.28
0.29
0.29
0.3
0.3
0.31
0.31
0.32
0.32
0.33
0.33
0.34
0.34
0.35
0.35
0.36
0.36
0.37
0.37
0.38
0.38
0.39
0.39
0.4
0.4
0.41
0.41
0.42
0.42
0.43
0.43
0.44
0.44
0.45
0.45
0.46
0.46
0.47
0.47
0.48
0.48
0.49
0.49
0.0
0.0
ANG
LE O
F TRA
NS
MIS
SIO
N C
OE
FFICIE
NT IN
DE
GR
EES
ANG
LE O
F RE
FLEC
TION
CO
EFFIC
IEN
T IN D
EG
REES
—>
WA
VE
LEN
GTH
S T
OW
ARD
GEN
ERAT
OR
—>
<— W
AVEL
ENG
THS
TOW
AR
D L
OA
D <
—
IND
UC
TIVE
REA
CTAN
CE C
OMPONENT (+
jX/Zo), OR C
APACITIVE SUSCEPTANCE (+jB/Yo)
CAPACITIVE REACTANCE COMPONENT (-
jX/Zo), O
R INDUCTI
VE S
USCE
PTAN
CE
(-jB/
Yo)
RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo)
RADIALLY SCALED PARAMETERS
TOWARD LOAD —> <— TOWARD GENERATOR1.11.21.41.61.822.5345102040100
SWR 1¥
12345681015203040dBS
1¥
1234571015 ATTEN. [dB]
1.1 1.2 1.3 1.4 1.6 1.8 2 3 4 5 10 20 S.W. L
OSS C
OEFF
1 ¥
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 20 30
RTN. LOSS [dB] ¥
0.010.050.10.20.30.40.50.60.70.80.91
RFL. COEFF, P0
0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.5 2 3 4 5 6 10 15 RFL. LOSS
[dB]
¥0
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.5 3 4 5 10 S.W. P
EAK (CONST
. P)
0 ¥
0.10.20.30.40.50.60.70.80.91
RFL. COEFF, E or I 0 0.99 0.95 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 TRANSM. C
OEFF, P
1
CENTER1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 TRANSM
. COEFF, E
or I
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
ORIGIN