Download - Curs 1: Grafuri; Introducere
Curs 1: Grafuri; IntroducereTeoria grafurilor
Radu Dumbraveanu
Universitatea de Stat “A. Russo” din Balt, iFacultatea de S, tiint,e Reale
Aceasta prezentare este pusa la dispozitie sub Licenta Atribuire -Distribuire-ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptata (CC BY-SA 3.0)
Balt, i, 2013
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 1 / 42
Graf; Vırfuri; Muchii
Definit, ieUn graf este o pereche G = (V ,E) de mult, imi unde E este o mult, ime deperechi neordonate de elemente din V .
Elementele mult, imii V se numesc vırfurile grafului G; elementele mult, imiiE se numesc muchiile grafului G.
Daca e = {u, v} este o muchie a grafului atunci spunem ca e esteincidenta cu vırfurile u s, i v; iar u s, i v sınt adiacente (sau vecine).
Vırfurile cu care o muchie este incidenta se numesc extremitat, ile acesteia.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 2 / 42
Reprezentarea grafica
u
v x
yz
G = ({u, v, x, y, z}, {{u, v}, {u, x}, {u, y}, {u, z}})
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 3 / 42
Reprezentarea grafica
u
v x
yz
H = (V ,E) unde V = {u, v, x, y, z}, E = {vx, xy, yz, zv}
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 4 / 42
Graf vid; Graf trivial; Graf nul
Graful (∅, ∅) se noteaza simplu prin ∅ s, i se numes, te graful vid.
Graful fara vırfuri sau doar cu 1 vırf se numes, te graf trivial.
Graful cu 0 muchii se numeste graf nul s, i se noteaza Nn unde n ∈ N estenumarul de vırfuri.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 5 / 42
Numarul de vırfuri; Numarul de muchii
Numarul de vırfuri ale unui graf G se numes, te ordinul grafului G; senoteaza |G|.
Numarul de muchii ale unui graf G se noteaza ||G||.
Daca |G| = n s, i ||G|| = m, atunci spunem ca avem un (n,m)-graf.
Pentru a indica faptul ca un graf are ordinul n se poate folosi expresia:“graf pe n vırfuri”.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 6 / 42
Mult, imea vırfurilor; Mult, imea muchiilor
Fiind dat un graf G putem folosi notat, ia V (G) pentru a ne referi lamult, imea de vırfuri s, i E(G) a ne referi la mult, imea de muchii.
I De exemplu: Daca G = ({a, b, c}, {ab, ac}) atunci V (G) = {a, b, c},iar E(G) = {ab, ac};
I De exemplu: V (∅) = ∅ s, i E(∅) = ∅.
Pentru a indica faptul ca un graf are mult, imea vırfurilor V se poate folosiexpresia: “graf pe V ”.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 7 / 42
Multigraf
v
u
x
yz
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 8 / 42
Multigraf
Definit, ieUn multigraf este o un triplet G = (V ,E , f ) care consta din douamult, imi disjuncte V , E s, i o funct, ie de incident, a f : E → V ∪ [V ]2.
Prin [V ]2 am notat mult, imea tuturor perechilor neordonate de elementedin V .
Mult, imile V s, i E sınt multimile de vırfuri s, i muchii;
Funct, ia f pune ın corespondent, a fiecarei muchii capetele acesteia;
Muchiile e1, e2, ..., en pentru care f (e1) = ... = f (en) se numesc muchiimultiple (sau paralele);
Iar muchiile pentru care f este un doar un vırf, f (e) = {v} se numescbucle.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 9 / 42
Multigraf
Definit, ieUn graf este o pereche G = (X ,Γ) formata de mult, imea X s, i aplicat, iaΓ : X → X .
Definit, ieUn graf este o pereche G = (X ,U ); unde X este mult, imea vırfurilor, iarU ⊆ X ×X mult, imea arcelor.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 10 / 42
Grafuri izomorfe
Definit, ieDoua grafuri G s, i H sınt izomorfe daca exista o biject, ief : V (G)→ V (H ) cu proprietatea ca doua vırfuri u s, i v sınt adiacente ınG daca s, i numai daca f (u) s, i f (v) sınt adiacente ın H pentru orice u s, i vdin V (G).
Pentru grafurile izmorfe se utilizeaza notat, ia G ∼ H .
O asemenea funct, ie f se numes, te izomorfism daca G 6= H s, iautomorfism ın caz contrar.
Din punct de vedere vizual, grafurile G s, i H sınt izomorfe daca pot fiaranjate astfel ıncıt ınfat, is, area lor sa fie identica (desigur, fara a schimbaadiacent, a).
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 11 / 42
Grafuri izomorfe
v
u
x
yz a b
cd
e
Grafuri izomorfe
u bv ax cy dz e
Tabela: Corespondent, eleR. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 12 / 42
Grade [ale vırfurilor]Gradul (sau valent, a) unui vırf v este numarul muchiilor incidente cu v s, ise noteaza cu d(v).
Pentru un orice graf G notam δ(G) = min{d(v) : v ∈ V (G)} s, i∆(G) = max{d(v) : v ∈ V (G)}.
Daca δ(G) = ∆(G) atunci graful G se numes, te regulat.
Daca δ(G) = ∆(G) = k atunci graful G se numes, te k-regulat.
k Denumire0 graf nul2 graf bivalent3 graf cubic (sau graf trivalent)
Tabela: Grafuri k-regulate remarcabile
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 13 / 42
Grafuri k-regulate
Grafuri regulate (de la stınga spre dreapta): 0-regulat, 2-regulat, 3-regulat
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 14 / 42
Cazuri particulare
Cıte grafuri 1-regulate neizomorfe exista?
Un vırf cu gradul 1 se numes, te terminal.
Un vırf cu gradul 0 se numes, te izolat.
O bucla mares, te gradul vırfului cu care este incidenta cu 2.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 15 / 42
Cazuri particulare
u0
u1
u2
u3
v
De la stınga spre dreapta: graf 1-regulat, graf cu un vırf izolat
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 16 / 42
Proprietat, i
TeoremaIntr-un graf simplu s, i netrivial exista cel put, in doua vırfuri cu acelas, i grad.
TeoremaIn orice graf G suma gradelor vırfurilor este de doua ori numarul demuchii, adica ∑
v∈V (G)d(v) = 2|E(G)|. (1)
CorolarIn orice graf, numarul varfurilor de grad impar este par.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 17 / 42
Secvent, e de grade
O secvent, a nevida (d1, d2, ..., dn) de numere naturale se numes, te secvent, agrafica daca exista un graf pe n vırfuri a carui grade sınt membrii acesteisecvent, e.
Suma gradelor dintr-o secvent, a grafica este un numar par.
Graful pe n vırfuri a carui grade sınt membrii secvent, ei (d1, d2, ..., dn) senumes, te realizarea acestei secvent, e.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 18 / 42
Secvent, e de grade
Teorema (Havel-Hakimi)O secvent, a descresatoare
(d1, d2, ..., dn) (2)
de numere naturale, d1 ≥ 1 s, i n ≥ 2, este secvent, a de grade a unui grafsimplu daca s, i numai daca
(d2 − 1, d3 − 1, ..., dd1+1 − 1, dd1+2, ..., dn) (3)
este secvent, a de grade a unui graf simplu.
Secvent, a (3) se obt, ine din (2) prin ınlaturarea primului numar s, idecrementarea urmatoarelor d1 numere.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 19 / 42
Aplicat, ii
Teorema Havel-Hakimi poate fi utilizata pentru a determina daca osecvent, a de numere naturale reprezinta secvent, a de grade a unui grafsimplu.
De exemplu:
(4, 3, 3, 3, 1)↓
(2, 2, 2, 0)↓
(1, 1, 0)↓
(0, 0)
Ultima secvent, a este secvent, a grafulN2 care este simplu.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 20 / 42
Aplicat, ii
(2, 2, 1, 1)↓
(1, 0, 1)↓
(−1, 1)
Ultima secvent, a nici nu este grafica.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 21 / 42
Lant, uri [ın grafuri]
Un lant, este o secvent, a de vırfuri s, i muchii
(v0, e1, v1, e2, v2, ..., vn−1, en , vn)
ale unui graf G, cu proprietatea ca oricare doua vırfuri consecutive din lant,vi−1 s, i vi sınt unite prin muchia ei , ∀i = 1,n.
Vırfurile e1, e2, ..., en−1 se numesc vırfuri interioare ale lant, ului, iar v0 s, ivn - extremitat, i.
Daca lantul contine numai muchii distincte atunci se numes, te lant simplu.
Daca lantul contine numai vırfuri distincte atunci el se numes, te lant,elementar.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 22 / 42
Lant, uri
v4
v1
v2
v3
v7
v8
v5
v6
Lant, : (v3, v3v4, v4, v4v5, v5, v5v8, v8);
Lant, neelementar:(v1, v1v4, v4, v4v5, v5, v5v8, v8, v8v7, v7, v7v6, v6, v6v5, v5v4, v4, v4v3, v3);
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 23 / 42
Lant, uri
Lant, ul se poate defini s, i cu ajutorul muchiilor sale
(v0v1, v1v2, ..., vn−1, vn),
iar ın cazul cınd graful G este simplu putem definit lant, ul doar cu ajutorulvırfurilor sale
(v0, v1, v2, ..., vn−1, vn).
De ce ın cazul grafului simplu lant, ul poate fi definit doar utilizınd vırfurilesale?
Numarul de muchii din lant, se numeste lungimea lant, ului.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 24 / 42
Cicluri
Un lant, ın care extremitat, ile reprezinta acelas, i vırf numes, te ciclu.
Ciclul este elementar daca vırfurile interioare sınt distincte.
O muchie care unes, te doua vırfuri ale unui ciclu ınsa nu apart, ine acestuiase numes, te coarda.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 25 / 42
Cicluri
u0 u1 v0
v1
v2
v3
Ciclu: u0, v1, v0, v3, u0;
Ciclu: v0, v1, v2, v3, v0;
Ciclu neelementar: u0, v1, v2, v3, v0, v1, u0.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 26 / 42
Grafuri bipartite
Definit, ieUn graf bipartit este un graf G cu proprietat, ile:
I exista submult, imile X ,Y ⊆ V (G) cu X ∩Y = ∅ s, i X ∪Y = V (G);I orice muchie are un capat ın X s, i altul ın Y .
Perechea {X ,Y } se numes, te bipartit, ia grafului G.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 27 / 42
Grafuri bipartite
u0
u1
u2
v0
v1
G1
u0
u1
u2
v0
v1
v2
G2
v5 v0
v1v2
v3v4
G3
Care sınt bipartit, iile grafurilor G1,G2 s, i G3?
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 28 / 42
Grafuri bipartite; Cicluri
TeoremaUn graf este bipartit daca s, i numai daca nu cont, ine cilcuri impare.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 29 / 42
Graf conex
Un graf este conex daca ıntre oricare doua varfuri exista un lant, .
Un lant, care unes, te vırfurile u s, i v se numes, te u − v-lant, .
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 30 / 42
Graf conex
Un graf conex
Un graf neconex
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 31 / 42
Centru; Raza; Diametru
Distant, a dintre doua vırfuri u, v ale unui graf conex este numarul minimde muchii ale unui lant de la u la v; se noteaza d(u, v).
Excentricitatea unui vırf v este distanta maxima de la acest vırf lacelelalte vırfuri; se noteaza ε(v)
Excentricitatea minima a vırfurilor se numes, te raza grafului G; se noteazarad(G).
Vırfurile cu excentricitatea minima se numesc centrale.
Centrul grafului este mult, imea tuturor vırfurilor centrale.
Excentricitatea maxima a vırfurilor se numes, te diametrul grafului G; senoteaza diam(G).
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 32 / 42
Centru; Raza; Diametru
a0
b0 b1 b2 b3 b4
Un graf G;ε(a0) = 1, ε(b0) = ε(b1) = ... = ε(b4) = 2;
rad(G) = 1, diam(G) = 2 s, i unicul vırf central este a0.
v
u
x
yz
???
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 33 / 42
Proprietat, i
TeoremaPentru orice graf G, rad(G) ≤ diam(G) ≤ 2rad(G).
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 34 / 42
Grafuri remarcabile; Graf nul vs. graf complet
N3 N4 N5
K3 K4 K5
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 35 / 42
Grafuri remarcabile; Graf nul vs. graf complet
Definit, ie (Graf nul)Un graf nul este un graf ın totalitate fara muchii, adica de forma (V , ∅);un graf nul pe n vırfuri se noteaza Nn , n ≥ 1.
Definit, ie (Graf complet)Un graf graf complet este un graf ın care orice 2 vırfuri diferite sıntadiacente; se noteaza Kn , unde n, n ≥ 1, semnifica numarul de vırfuri alegrafului.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 36 / 42
Grafuri remarcabile; Graf bipartit vs. graf bipartit complet
G0 G4 G8
K2,3 K4,4 K1,3
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 37 / 42
Grafuri remarcabile; Graf bipartit vs. graf bipartit complet
Definit, ie (Graf bipartit)
Definit, ie (Graf bipartit complet)Kp,q , p, q ≥ 1.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 38 / 42
Grafuri remarcabile; Graf lant, vs. graf ciclu
P3 P4
C3 C4 C5
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 39 / 42
Grafuri remarcabile; Graf lant, vs. graf ciclu
Definit, ie (Graf lant, )Un graf pe n vırfuri, n ≥ 1, se numes, te graf lant, daca consta dintr-unlant, elementar; se noteza Pn .
Definit, ie (Graf ciclu)Un graf pe n vırfuri, n ≥ 3, se numes, te graf ciclu daca consta dintr-uncilcu elementar; se noteza Cn .
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 40 / 42
Grafuri remarcabile; Graf stea vs. graf roata
S4 S5 S6
W4 W5 W6
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 41 / 42
Grafuri remarcabile; Graf stea vs. graf roata
Definit, ie (Graf stea)Un graf pe n vırfuri, n ≥ 1, se numes, te graf stea daca este K1,n−1; senoteza Sn .
Definit, ie (Graf roata)Un graf pe n vırfuri, n ≥ 4, se numes, te graf roata daca ...; se noteza Wn .
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 42 / 42