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Deckungskapital
Martina Resch
0430238
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Definition: Deckungskapital
entspricht der Summe aller im Laufe der Zeit investierten Beiträge abzüglich anfänglicher Abschluss- und Verwaltungskosten, zuzüglich der laufenden Bonusse
ist jenes Kapital, das die Versicherung zur Abdeckung des Risikos benötigt, das sie durch den Versicherungsvertrag eingegangen ist
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Betrachtung einer durch Nettoprämien finanzierten Versicherung
Zeitpunkt des Abschlusses: Äquivalenz zwischen Prämien und Leistungen
Späterer Zeitpunkt: keine Äquivalenz zwischen Prämien und Leistungen
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Zufallsvariable tL Differenz zwischen dem Barwert der zukünftigen Leistungen und dem Barwert der zukünftigen Prämien
T>t Nettodeckungskapital tV
Erwartungswert von tL
tV = E (tL / T>t )
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Pro- & Retrospektive Methode
Prospektive Methode: Differenz zwischen dem Barwert der zugesagten Leistungen des Versicherungsunternehmens einerseits und dem Barwert der vom Versicherungsnehmer zu leistenden Prämien andererseits
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Retrospektive Methode: Deckungsrückstellung aufgrund der aufgezinsten Einnahmen (Beiträge) und der rechnungsmäßigen Ausgaben (Kostenzuschläge, Risikobeiträge) wird ermittelt
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Beispiele
Gemischte Versicherung (Dauer n; versichertes Kapital 1, zahlbar am
Ende des allfälligen Todesjahres; jährliche Prämien)
mit
|:||:| knkxnxknkxnxk äPAV
0|0 nx
V
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…Deckungskapital am Ende des Jahres k einer
gemischten Versicherung …Barwert der Todesfallversicherung …jährliche Prämien …zeitlich befristete Rente
|: knkxA
|nxkV
|:||:| knkxnxknkxnxk äPAV
|nxP
|: knkxä
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Entsprechende temporäre Todesfallversicherung
|:1
|1
|:1
| knkxnxknkxnxk äPAV
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Rekursive Betrachtungen
Nettodeckungskapital einer allgemeinen Versicherung am Ende des Jahres k
ck+j+1…das im k+j+1-ten Versicherungsjahr versicherte Kapital
vj+1…Diskontierungsfaktor zu einem j+1 Jahre früheren Zeitpunkt
0 0
11
j jkxj
jjkjkxkxj
jjkk pvqpvcV
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jpx+k…j-jährige Überlebenswahrscheinlichkeit eines x+k-Jährigen
qx+k+j…1-jährige Sterbenswahrscheinlichkeit eines x+k+j-Jährigen
k+j…jährliche Prämie
0 0
11
j jkxj
jjkjkxkxj
jjkk pvqpvcV
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Beziehung zum Deckungskapital am Ende des Jahres k+h?
Abspalten der ersten h Summanden Substituieren von
neuer Summationsindex: j´=j-h
hkxhjkxhkxj ppp
0 0
11
j jkxj
jjkjkxkxj
jjkk pvqpvcV
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Spezialfall h=1:
VvpqpvcpvV hkh
kxhjkx
h
jkxj
jjk
h
jkxj
jjkk
1
0
11
1
0
kxkkxkkk VvpvqcV 11
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Zwei Möglichkeiten: Man berechnet 1V, 2V,…wobei 0V=0
bei einer Versicherung mit beschränkter Dauer n kann man n-1V, n-2V,…berechnen, indem man vom bekannten Wert nV ausgeht
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Eine etwas andere Interpretation ergibt sich, wenn wir
umschreiben als
kxkkxkkk VvpvqcV 11
kxkkkkk vqVcVvV )( 111
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K+1V wird budgetiert
ck+1- k+1V ist der Nettobetrag, der unter Risiko steht; wird als Risikosumme bezeichnet
Prämie kann in zwei Komponenten zerlegt werden
kxkkkkk vqVcVvV )( 111
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wobei die so genannte Sparprämie
und die Risikoprämie ist
kxkkkkk vqVcVVv )( 111
rk
skk
VVv kksk 1
kxkkrk vqVc )( 11
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Indem wir
mit (1+i)j-k multiplizieren und über k summieren , erhalten wir
dh. das Deckungskapital ist der aufgezinste Wert der Sparprämien der vorangegangenen Versicherungsjahre
VVv kksk 1
sk
j
k
kjj iV
1
0
)1(
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Wir schreiben
als
Die Prämie dient zusammen mit dem Zins dazu das Deckungskapital zu erhöhen und einen Betrag in der Höhe der Risikoprämie bereitzustellen
kxkkkkk vqVcVvV )( 111
rkkkkk VVVd )( 11
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Die Gleichung
mit (1+i) multipliziert ergibt
kxkkkkk vqVcVvV )( 111
kxkkkkkkk qVcVVVi )()()( 111
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Das Überlebensrisiko
Wir schreiben
als
kxkkxkkk VvpvqcV 11
kxkkkkk vpcVvcV )( 111
![Page 22: Deckungskapital Martina Resch 0430238. Definition: Deckungskapital entspricht der Summe aller im Laufe der Zeit investierten Beiträge abzüglich anfänglicher](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051819/55204d7149795902118c38e6/html5/thumbnails/22.jpg)
ck+1 wird budgetiert
K+1V-ck+1 wird im Überlebensfall fällig
k kann aufgefasst werden als Summe einer Sparkomponente und einer Überlebensrisikoprämie
kxkkkkk vpcVvcV )( 111
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Sparkomponente:
Überlebensrisikoprämie:
Vvc kk
sk 1
kxkk
rk vpcV )( 11
kxkkkkk vpcVVvc )( 111
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Ferner können wir
schreiben als
kxkkkkk vpcVvcV )( 111
rkkkkk Vcdc )( 11
![Page 25: Deckungskapital Martina Resch 0430238. Definition: Deckungskapital entspricht der Summe aller im Laufe der Zeit investierten Beiträge abzüglich anfänglicher](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051819/55204d7149795902118c38e6/html5/thumbnails/25.jpg)
Weitere Bedeutung
Umwandlung der Versicherung in eine prämienfreie Versicherung
im Alter x abgeschlossene lebenslängliche Todesfallversicherung der Höhe 1
jährliche Prämien Deckungskapital als NEP verwenden um eine
Todesfallversicherung in reduzierter Höhe zu finanzieren
kxxkxxk PPAV /1/
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unter Namen wie „universal life“ oder „flexible life“ bekannt
Bestimmung zwei der drei folgenden Größen:k die nächste Prämie
ck+1 das im Todesfall versicherte Kapital
k+1V der neue Stand des Sparkontos
gewisse Einschränkungen