Download - Derivatives and Applications
บทที ่3 อนุพันธ ์และการประยุกต์ (Derivatives and Applications)
ในบทนี้จะกล่าวถึงนิยามหรือความหมายของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ต่างๆ ทฤษฎีของอนุพันธ์ ตลอดจนการน าเอาอนุพันธ์ไปประยุกต์ใช้ ซึ่งรวมถึงอัตราการเปลี่ยนแปลง การหาค่าสูงสุดและต่ าสุด เป็นต้น
3.1 อนุพันธ์
นิยาม 3.1 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f เทียบกับตัวแปร x คือฟังก์ชัน f โดยที่ f (x) นิยามดังนี้
f (x) =
h
)x(f)hx(flim
0h
โดเมนของ f คือจุดทุกจุดในโดเมน f ที่ท าให้ลิมิตดังกล่าวหาค่าได้
นิยาม 3.2 f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ (Differentiable) ที่จุด x ถ้า f (x) หาค่าได้
นิยาม 3.3 f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ ถ้า f (x) หาค่าได้ที่ทุกๆ จุดบนโดเมน f
ตัวอย่าง 3.1 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
1. f (x) = x2 2. f (x) = x
วิธีท า 1. f (x) = x2
จาก f (x) =
h
)x(f)hx(flim
0h
= h
x)hx(lim
22
0h
= h
xhxh2xlim
222
0h
= hx2lim0h
= 2x
21
2. f (x) = x
จาก f (x) =
h
)x(f)hx(flim
0h
= h
xhxlim
0h
= h
xhxlim
0h
.
xhx
xhx
= )xhx(h
xhxlim
0h
= x2
1
หมายเหต ุ ส าหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f (x) นอกจากจะใช้สัญลักษณ์ f (x) แล้วยังมีสัญลักษณ์
อ่ืนที่นิยมใช้อีกเช่น y , dxdy , dx
df หรือ dx)x(fd
ตัวอย่าง 3.2 ก าหนด f (x) = | x | จงหาว่า f มีอนุพันธ์ที่จุด x = 0 หรือไม่
วิธีท า จาก f (x) =
h
)x(f)hx(flim
0h
= h
|x||hx|lim
0h
ที่จุด x = 0
f (0) =
h
|0||h0|lim
0h
= h
|h|lim
0h
พิจารณา h
|h|lim
0h
= h
hlim
0h
= 1lim0h
= -1
h
|h|lim
0h
= h
hlim
0h
= 1lim0h
= 1
ดังนั้น h
|h|lim
0h = หาค่าไม่ได้
นั่นคือ f (0) = หาค่าไม่ได้
ดังนั้น f ไม่มีอนุพันธ์ที่จุด x = 0
3.1.1 อนุพันธ์ของฟังก์ชันต่างๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าคงตัว และฟังก์ชันพหุนาม
1. ถ้า f (x) = c, c เป็นจ านวนจริง แล้ว f (x) = 0
2. ถ้า f (x) = x n, n เป็นจ านวนเต็ม แล้ว f (x) = n x n - 1
22
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล
1. ถ้า f (x) = a x, a เป็นจ านวนเต็มบวก แล้ว f (x) = a x
ln a
2. ถ้า f (x) = e x, แล้ว f (x) = e x
อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1. ถ้า f (x) = sin x, แล้ว f (x) = cos x 2. ถ้า f (x) = cos x, แล้ว f (x) = –sin x
3. ถ้า f (x) = tan x, แล้ว f (x) = sec 2x
4. ถ้า f (x) = cot x, แล้ว f (x) = –cosec 2x 5. ถ้า f (x) = sec x, แล้ว f (x) = sec x tan x
6. ถ้า f (x) = cosec x, แล้ว f (x) = –cosec 2x
3.1.2 กฎต่างๆ ส าหรับการหาอนุพันธ ์
ทฤษฎีบท 3.1 ถ้า u และ v เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะได ้
1. dx
)vu(d = dx
du + dx
dv กฎการบวก
2. dx
)vu(d = dx
du – dx
dv กฎการลบ
3. dx
)vu(d = dx
dvu +
dx
duv กฎการคูณ
4. dx
v
ud
= 2v
dx
dvu
dx
duv
กฎการหาร
5. dx
)cu(d = dx
cdu , c เป็นจ านวนจริง กฎการคูณด้วยค่าคงที่
ตัวอย่าง 3.3 จงหา dx
dy จาก y = f (x) ต่อไปนี้
1. y = 3x4 + 2x3 – 6x +5 2. y = x 2e x
3. y = x3
xsin
วิธีท า 1. y = 3x4 + 2x3 – 6x + 5
dx
dy = 12x 3 + 6x2 – 6
23
2. y = x 2e x
dx
dy = x 2 e x + e x(2x)
3 y = x3
xsin
dx
dy = 2x
xx
)3(
3ln3xsinxcos3
= x3
3lnxsinxcos
นิยาม 3.4 ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันที่หาอนพุันธ์ได้ ส าหรับช่วงเปิดใดๆ ถ้า f มีอนุพันธ์ที่ทุกๆ จุดบนช่วงเปิดน้ันๆ
นิยาม 3.5 ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ ส าหรับช่วงปิด [a, b] ถ้า f มีอนุพันธ์ที่ทุกๆ จุดบน
ช่วงเปิด (a, b) และ h
)a(f)ha(flim
0h
(อนุพันธ์ด้านขวาที่จุด a) และh
)b(f)hb(flim
0h
(อนุพันธ์
ด้านซ้ายที่จุด b) หาค่าได้
ตัวอย่าง 3.4 ก าหนด f (x) = x , x [0, ) f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง [0, ) หรือไม่เพราะเหตุใด
วิธีท า ส าหรับ x (0, )
f (x) =
h
xhxlim
0h
= )xhx(h
xhxlim
0h
= xhx
1lim
0h
= x2
1
ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ในช่วง (0, ) ส าหรับที่ x = 0 (ต้องหาอนุพันธ์ด้านขวาที่จุด x = 0)
f (x) =
h
0h0lim
0h
=
h
hlim
0h
= h
1lim
0h = หาค่าไม่ได้
ดังนั้น f ไม่สามารถหาอนุพันธ์ที่จุด x = 0 ได้ ดังนั้น f ไม่เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง [0, ) เพราะ f ไม่สามารถหาอนุพันธ์ที่จุด x = 0 ได้
24
3.1.3 กฎลูกโซ่ (Chain Rule)
ทฤษฎีบท 3.2 ถ้า f (u) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ u = g(x) และ g(x) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ที่ x ได้ ดังนั้นฟังก์ชันประกอบ (Composite Function) (fog)(x) = f(g(x)) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x โดยที่ (fog)(x) = f (g(x)).g (x)
ดังนั้น ถ้า y = f (u) และ u = g(x) จะได้ว่า dx
dy = du
dy .dx
du
ตัวอย่าง 3.5 ให้ y = (x2 + 3x + 5)4 จงหา dx
dy
วิธีท า ให้ u = x2 + 3x + 5
จะได ้y = u4
จากกฎลูกโซ่ dx
dy = du
dy .dx
du
= 4u3 (2x + 3)
= 4(x2 + 3x + 3)3 (2x + 3)
ตัวอย่าง 3.6 ให้ y = sin (3t2 + 4) จงหา dt
dy
วิธีท า ให้ u = 3t2 + 4 จะได ้ y = sin (u)
จากฎลูกโซ่ dt
dy = du
dy .dt
du
= cos (u) (6t)
= 6t cos (3t2 + 4)
ตัวอย่าง 3.7 จงหา dx
dy จาก y = f(x) ต่อไปนี้
1. y = 72 )3x(e 2. y = ln (sin (3x))
วิธีท า 1. จาก y = 72 )3x(e
ให้ u = (x2+ 3)7
จะได ้ y = e u
dx
dy = du
dy .dx
du
= e u. dx
du = 72 )3x(e .dx
du
25
ให้ v = x2 + 3
ดังนั้น u = v7
dx
du = dv
du .dx
dv
= 7v6(2x)
= 7(x2+ 3)6(2x)
ดังนั้น dx
dy = 72 )3x(e (14 x) (x2+ 3)6
= 14 x (x2+ 3)6 72 )3x(e
เพื่อความง่ายอาจหา dx
dy ในรูปแบบดังนี้
y = 72 )3x(e
dx
dy = 72 )3x(e
dx
)3x(d 72
= 72 )3x(e 7(x2+ 3)6 dx
)3x(d 2
= 72 )3x(e 7(x2+ 3) 6(2x)
= 14 x (x2+ 3) 6 72 )3x(e
2. y = ln (sin (3x))
dx
dy = x3sin
1
dx
)x3(sind
= x3sin
1 cos (3x)dx
)x3(d
= x3sin
x3cos 3
= 3 cot (3x)
3.1.4 ฟังก์ชันโดยนัย (Implicit Functions)
จากที่กล่าวมาข้างต้น ส าหรับ y = f (x) การหา dx
dy นั้นสามารถท าได้โดยไม่ยากนัก อย่างไรก็
ตาม มีความสัมพันธ์ระหว่าง y กับ x ที่ไม่สามารถเขียนในรูปดังกล่าวได้ หรือเขียนได้แต่ก็ไม่ง่ายนัก
อย่างเช่น x2 + y2 = sin (y) หรือ x3 – y3 = 2 x2y2 เป็นต้น จะเรียก y ดังกล่าวว่าเป็นฟังก์ชันโดยนัย
การหา dx
dy ของฟังก์ชันโดยนัยนั้น สามารถท าได้โดยให้ถือว่า y เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้
ของ x ดังตัวอย่างดังนี้
26
ตัวอย่าง 3.8 จงหา dx
dy จากสมการต่อไปนี้
1. x2 + y2 = 9 2. x3 + y3 = 3xy
3. x3 + sin y = x2y3
วิธีท า 1. x2 + y2 = 9 หาอนุพันธ์เทียบกับ x ทั้งสองข้างจะได้
2x + 2ydx
dy = 0
dx
dy = y2
x2
= –y
x
2. x3 + y3 = 3 xy หาอนุพันธ์เทียบกับ x ทั้งสองข้างจะได้
3x2 + 3y2 dx
dy = 3(xdx
dy + y)
y2 dx
dy – x dx
dy = y – x2
dx
dy = xy
xy2
2
3. x3 + sin y = x2y3 หาอนุพันธ์เทียบกับ x ทั้งสองข้างจะได้
3x 2 + cos y dx
dy = x2 (3y2) dx
dy + y3 (2x)
cos y dx
dy – 3x2y2 dx
dy = 2 xy3 – 3 x2
dx
dy = 22
23
yx3ycos
x3xy2
27
3.1.5 ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง
เมื่อพิจารณานิยามของการหาอนุพันธ์ที่จุดที่ x = x0 และจากรูปที่ 3.1 จะเห็นได้ว่า ความชัน
ของเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้ง y = f (x) ที่จุด x0 จะเท่ากับ h
)x(f)hx(flim 00
0h
= f (x0)
รูปที่ 3.1 แสดงเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด x0
ตัวอย่าง 3.9 จงหาความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = x2 – 2x ที่จุด x = 3
วิธีท า จาก y = x2 – 2x
dx
dy = 2x – 2
ที่จุด x = 3, dx
dy = 2 (3) – 2 = 4
ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ที่จุด x = 3 มีค่าเท่ากับ 4
ตัวอย่าง 3.10 จงหาสมการของเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้ง xy = 4 ที่จุด (1, 4)
วิธีท า จาก xy = 4
y = x
4
dx
dy = 2x
4
ความชันของเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งที่จุด (1, 4) = 21
4 = – 4
จากสมการเส้นตรง y = ax + b, a = ความชัน
X
Y
O x0 x0 + h
f(x)
28
ดังนั้น y = – 4x + b เน่ืองจากเส้นตรงผ่านจุด (1, 4) จะได้ 4 = –4 (1) + b ดังนั้น b = 8
ดังนั้น สมการของเส้นตรงดังกล่าวคือ y = – 4x + 8
ตัวอย่าง 3.11 จงหาความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y2 + x2 = y4 – 2x ที่จุด (–2, 1)
วิธีท า จาก y2 + x2 = y4 – 2x
จะได้ 2ydx
dy + 2x = 4y3dx
dy – 2
2ydx
dy – 4y3dx
dy = – 2 – 2x
dx
dy = )y21(y
)x1(
2
ที่จุด (– 2, 1) จะได้ dx
dy = 1
1
= – 1
ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y2 + x2 = y4 – 2x ที่จุด (–2, 1) เท่ากับ – 1
3.1.6 อนุพันธ์อันดับสองและมากกว่าอันดับสอง
อนุพันธ์ y = dx
dy เรียกว่าเป็นอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (first-order derivative) ของ y เทียบกับ x ถ้า
อนุพันธ์อันดับหนึ่งนี้เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า y =
dx
dy
dx
d = 2
2
dx
yd
จะเรียก y เรียกว่าเป็นอนุพันธ์อันดับสอง (second-order derivative) ของ y เทียบกับ x และถ้า
y เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า y =
2
2
dx
yd
dx
d = 3
3
dx
yd เรียกว่าเป็นอนุพันธ์อันดับสาม (third-
order derivative) ดังนั้นอนุพันธ์อันดับ n (nth-order derivative) ของ y เทียบกับ x ส าหรับจ านวนเต็มบวก n
ใดๆ นั้นสามารถเขียนแทนได้ y(n) ทั้งนี้ y(n) =
1n
1n
dx
yd
dx
d = n
n
dx
yd
ตัวอย่าง 3.12 ก าหนด y = 2x 3 + 3x 2 + 4x – 5 y = 6x 2 + 6x + 4 y = 12x + 6 y = 12
y(4) = 0 และ y(n) = 0 ทุกค่า n 5
29
3.2 การประยุกต์ใช้อนุพันธ์
3.2.1 อัตราการเปลี่ยนแปลง (Rate of Changes)
ในการศึกษาอัตราการเปลี่ยนแปลงของสิ่งต่างๆ อย่างเช่นการเปลี่ยนแปลงของระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่เมื่อเทียบกับเวลา อัตราการเปลี่ยนแปลงของต้นทุนของสินค้าเมื่อเทียบกับจ านวนที่ผลิต อัตราการเปลี่ยนแปลงของราคาสินค้าเมื่อเทียบกับราคาน้ ามัน สิ่งเหล่านี้ได้มีการน าเอาอนุพันธ์เข้าไปประยุกต์ใช้กันอย่างมาก
นิยาม 3.6 อัตราการเปลี่ยนแปลงของ f เทียบกับ x ที่ a เขียนแทนด้วย f (a) =
h
)a(f)ha(flim
0h
ตัวอย่าง 3.13 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเทียบกับรัศมี เมื่อรัศมีของวงกลมเท่ากับ 5 ซม.
วิธีท า ถ้า A = พื้นที่วงกลม และ r = รัศมีของวงกลม ดังนั้น A = r2
dr
dA = 2r
เมื่อ r = 5 ซม. ดังนั้น dr
dA = 2 (5) = 10 ตารางซม./ ซม.
นั่นคือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเมื่อรัศมีเท่ากับ 5 ซม. เท่ากับ 10 ตารางซม./ ซม.
ตัวอย่าง 3.14 อนุภาคหนึ่งเคลื่อนที่ตามแกน s (หน่วยเป็นเมตร) โดยมีสมการระยะทางตามเวลา t ใดๆ
(หน่วยเป็นวินาที) คือ s = t2 + 2t + 3 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางในแกน s ดังกล่าวที่เวลา t = 3
วิธีท า จาก s = t2 + 2t + 3
dt
ds = 2t + 2
เมื่อ t = 3 ดังนั้น dt
ds = 8
นั่นคือ อัตราการเปลี่ยนแปลงระยะทางในแกน s ที่วินาทีที่ 3 เท่ากับ 8 เมตรต่อวินาที
หมายเหตุ อัตราการเปลี่ยนแปลงระยะทางเทียบกับเวลา กค็ือความเร็ว
30
3.2.2 ค่าสุงสุด และค่าต่ าสุด
ในการน าเอาอนุพันธ์ไปประยุกต์ใช้ในเร่ืองต่างๆ นั้น ส่วนหน่ึงที่มีความส าคัญอย่างมากก็คือเร่ืองของการหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ าสุดของฟังก์ชันซึ่งพิจารณา รูปที่ 3.2 ดังนี้
รูปที่ 3.2 จุดสูงสุด และจุดต่ าสุด
จากรูป เมื่อพิจารณา f (x) ในช่วง [a, b] จะเห็นได้ว่า ที่จุด x = e มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ (Absolute maximum value) ที่จุด x = b มีค่าต่ าสุดสัมบูรณ์ (Absolute minimum value) ที่จุด x = a และ c, e มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ (Relative maximum value) ที่จุด x = b, d มีค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ (Relative minimum value)
นิยาม 3.7 ก าหนด f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนคือเซต D ส าหรับค่า c ที่อยู่ใน D จะเรียก f (c) ว่าเป็น 1. ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ f บน D ก็ต่อเมื่อ f (x) f (c) ทุกค่า x ที่อยู่ในโดเมนของ f 2. ค่าต่ าสุดสัมบูรณ์ของ f บน D ก็ต่อเมื่อ f (x) f (c) ทุกค่า x ที่อยู่ในโดเมนของ f
นิยาม 3.8 ก าหนด f เป็นฟังก์ชัน และ c เป็นจุดที่อยู่ภายในโดเมนของ f จะเรียก f (c) ว่าเป็น 1. ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด c กต็่อเมื่อ f (x) f (c) ส าหรับทุกค่า x ที่อยู่ในช่วงเปิดที่รวมจุด c 2. ค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด c ก็ต่อเมื่อ f (x) f (c) ส าหรับทุกค่า x ที่อยู่ในช่วงเปิดที่รวมจุด c
จากนิยามดังกล่าวนี้ สามารถที่จะขยายในการนิยามค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือต่ าสุดสัมพัทธ์ ที่จุดปลายของช่วงโดเมน f ที่ก าหนด ดังนี้
a b c d e f
31
จะกล่าวว่า f (c) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด c ก็ต่อเมื่อ f (x) f (c) ส าหรับทุกค่า x ที่อยู่ในช่วงคร่ึงเปิดที่รวมจุด c
และ f (c) จะเป็นค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด c ก็ต่อเมื่อ f (x) f (c) ส าหรับทุกค่า x ที่อยู่ในช่วงครึ่งเปิดที่รวมจุด c
ทฤษฎีบท 3.3 ถ้าฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด c ซึ่งอยู่ภายในโดเมนของ f และถ้าอนุพันธ์ของ f ที่จุด c หาค่าได้แล้ว f (x) = 0
จากทฤษฎีนี้แสดงให้เห็นถึงค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด c ซึ่งอยู่ในโดเมนของ f ในกรณีที่สามารถหาอนุพันธ์ของ f ที่จุด c ได้ อย่างไรก็ตามพิจารณาฟังก์ชัน f ต่อไปนี้
f (x) = | x – 3 | , 2 x 6
รูปที่ 3.3 f(x) = |x| - 3 โดยที่ 2 ≤ x ≤ 6
จะเห็นได้ว่า f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด x = 2 และ f มีค่าสงูสุดสัมบูรณ์ที่จุด x = 6 f มีค่าต่ าสุดสัมบูรณ์ที่จุด x = 3 แต่ที่จุดน้ี f ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้
นิยาม 3.9 จุด c ในโดเมน f เรียกว่าเป็นจุดวิกฤต (Critical point) ถ้า f (x) = 0 หรือ f (x) หาค่าไม่ได้
ข้อสังเกต f จะมีค่าสูงสุด หรือต่ าสุดที่จุด c ถ้า c เป็นจุดวิกฤตหรือจุดปลายของโดเมนของ f
ตัวอย่าง 3.15 จงหาจุดวิกฤตของ f (x) = x3 – 3x2 – 24x + 2
วิธีท า จาก f (x) = x3– 3x2 – 24x + 2 จะได้ f (x) = 3x 2 – 6x – 24 จะเห็นได้ว่า f สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกจุดบนโดเมนของ f
ให้ f (x) = 0 ดังนั้น 3x2 – 6x – 24 = 0
นั่นคือ x2 – 2x – 8 = 0 หรือ (x – 4)(x + 2) = 0 และจะได้ว่า x = 4, – 2
ดังนั้นจุดที่ x = 4 กับจุดที่ x = –2 เป็นจุดวิกฤตของ f (x) ดังกล่าว
4
1
2 3 6
32
ตัวอย่าง 3.16 จงหาจุดวิกฤตของ f (x) = 3
2
x
วิธีท า จาก f (x) = 3
2
x จะได้ว่า f (x) = 3
2 3
1
x
= 3
2 .3 x
1
จะเห็นได้ว่า ไม่มีค่า x ที่ท าให้ f (x) มีค่าเป็นศูนย์ และจุด x = 0 ท าให้ f(x) หาค่าไม่ได้ ดังนั้นจุดวิกฤตของ f(x) คือ x = 0
3.2.3 การทดสอบจุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่ าสุดสัมพัทธ์ จากตัวอย่างที่ 3.15 และตัวอย่าง 3.16 นั้น ถึงแม้ว่าจะหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน f(x) ได้ แต่ไม่สามารถทราบได้ว่า จุดวิกฤตดังกล่าวเป็นจุดที่ท าให้เกิดค่าสูงสุดหรือต่ าสุด
รูปที่ 3.4 แสดงจุดวิกฤตของฟังก์ชัน y = f(x) และความชันของเส้นตรงที่สัมผัสจุดที่อยู่ด้านซ้ายและด้านขวาของจุดวิกฤต
รูปที่ 3.4 ก รูปที่ 3.4 ข
รูปที่ 3.4 ค
รูปที่ 3.4 แสดงจุดวิกฤตของฟังก์ชัน y = f(x) และความชันของเส้นสัมผัส
y = f(x)
c c
y = f(x)
c
y = f(x)
33
จากรูปที่ 3.4 ก 3.4 ข และ 3.4 ค สามารถสรุปได้ว่า ส าหรับจุดวิกฤตที่ x = c ของฟังก์ชัน f
1. ถ้า f (x) เปลี่ยนเคร่ืองหมายจาก – เป็น + ที่จุด c จะได้ว่า f มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด c 2. ถ้า f (x) เปลี่ยนเคร่ืองหมายจาก + เป็น – ที่จุด c จะได้ว่า f มีจุดต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด c 3. ถ้า f (x) ไม่เปลี่ยนเคร่ืองหมายที่ทั้งสองด้านของจุด c จะได้ว่า f ไม่มีค่าสูงสุดสัมพทัธ์
พิจารณาตัวอย่าง 3.15 ซึ่ง f (x) = x3 – 3x2 – 24x + 2
จะได้ f (x) = 3x2 – 6x – 24 = 3(x2 – 2x – 8)
= 3(x – 4) (x + 2)
พิจารณาช่วงต่างๆ ของ f (x) ดังนี้
ช่วง x < –2 –2 < x < 4 x > 4 เคร่ืองหมายของ f (x) + – +
จะเห็นได้ว่า ที่จดุ x = – 2 ค่าของ f (x) เปลี่ยนจาก + เป็น –
ดังนั้น f มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด x = – 2 และที่จุด x = 4 ค่าของ f (x) เปลี่ยนจาก – เป็น +
ดังนั้น f มีจุดต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด x = 4
และจากตัวอย่าง 3.16 f (x) = 3
2
x
ซึ่งได้ f (x) = 3
2 3 x
1
โดยมี x = 0 เป็นจุดวิกฤต
พิจารณาช่วงต่างๆ ของ f (x) ดังนี้
ช่วง x < 0 x > 0 เคร่ืองหมายของ f (x) - +
จะเห็นได้ว่า ที่จุด x = 0 ค่าของ f (x) เปลี่ยนจากเคร่ืองหมาย – เป็น +
ดังนั้น f มีจุดต่ าสุดสัมพัทธ์ ที่จุด x = 0
34
ตัวอย่าง 3.17 ก าหนด f (x) = x3 จงหาจุดวิกฤต และตรวจสอบว่าจุดวิกฤตน้ัน ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือต่ าสุดสัมพัทธ์หรือไม่
วิธีท า จาก f (x) = x3
f (x) = 3x2
จะเห็นได้ว่า f (x) หาค่าได้เสมอทุกค่า x ที่เป็นจ านวนจริง
ให้ f (x) = 0 ดังนั้น 3x2 = 0
และจะได้ x = 0 ดังนั้น x = 0 เป็นจุดวิกฤตของ f (x)
พิจารณาช่วงต่างๆ ของ f (x) ดังนี้
ช่วง x < 0 x > 0 เคร่ืองหมายของ f
(x) + +
เน่ืองจาก f (x) ไม่เปลี่ยนเคร่ืองหมาย แสดงว่าที่จุด x = 0 ไม่ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่ าสุด
สัมพัทธ์
3.2.4 การใช้อนุพันธ์อันดับสองในการทดสอบจุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่ าสุดสัมพัทธ์
ในการทดสอบจุดวิกฤตว่าเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ าสุดสัมพัทธ์นั้น นอกจากการพิจารณาการเปรียบเทียบของอนุพันธ์ที่จุดวิกฤตน้ัน สามารถใช้อนุพันธ์อันดับสองมาช่วยในการทดสอบดังกล่าวได้ดังนี้
ทฤษฎีบท 3.4 ก าหนด f (x) และจุดที่อยู่ในโดเมน f ที่ท าให้ f (c) = 0 ถ้า 1. f (x) < 0 แล้ว f มีค่าสูงสุดสมัพัทธ์ที่จุด c 2. f (x) > 0 แล้ว f มีค่าสุดสัมพทัธ์ที่จุด c
จากทฤษฏีดังกล่าว จะเห็นได้ว่าการพิจารณาจุดวิกฤตว่าเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่ าสุดสัมพัทธ์นั้น พิจารณาจากอนุพันธ์อันดับสองที่จุด c โดยตรง ท าให้การทดสอบไม่ยุ่งยากเหมือนการพิจารณาช่วงการเปรียบเคร่ืองหมายส าหรับอนุพันธ์อนุพันธ์อันดับหนึ่ง อย่างไรก็ตามวิธีการนี้ไม่สามารถทดสอบได้ว่าจุดวิกฤตน้ันเป็นจุดที่ได้มาจากอนุพันธ์อันดับหนึ่งหาค่าไม่ได้ และไม่สามารถทดสอบได้ในกรณีที่อนุพันธ์อันดับสองเป็นศูนย์หรือหาค่าไม่ได้
35
ตัวอย่าง 3.18 จงหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่ าสุดสัมพัทธ์ของ f (x) = x3 – 3x + 7
วิธีท า จาก f (x) = x3 – 3x + 7
จะได ้ f (x) = 3x2 – 3 จะเหน็ได้ว่า f (x) หาอนุพันธ์ได้ทุกๆ ค่า x ที่เป็นจ านวนจริง
ให้ f (x) = 0 จะได้ 3x2– 3 = 0
นั่นคือ x2 = 1 หรือ x = 1 ดังนั้น ที่จุด x = 1 เป็นจุดวิกฤตของ f (x)
พิจารณา f (x) = 6x ที่จุด x = 1, f (1) = 6 > 0 ดังนั้น f มีจุดต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด x = 1 ที่จุด x = –1, f (–1) = –6 < 0 ดังนั้น f มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด x = –1
ตัวอย่าง 3.19 จงหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ าสุดสัมพัทธ์ของ f (x) = x4
วิธีท า จาก f (x) = x4
f (x) = 4x3
f (x) สามารถหาค่าได้ทุกค่า x ที่เป็นจ านวนจริง
ให้ f (x) = 0 ดังนั้น 4 x3 = 0 และจะได้ x = 0
ดังนั้น ที่จุด x = 0 เป็นจุดวิกฤตของ f (x)
พิจารณา f x) = 12 x2 ที่จุด x = 0, จะได้ว่า f 0) = 0 ดังนั้น ยังสรุปไม่ได้ว่าที่จุด x = 0 เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ าสุดสัมพัทธ์หรือไม่
พิจารณาช่วงต่างๆ ของ f (x) ดังนี้
ช่วง x < 0 x > 0 เคร่ืองหมายของ f
(x) - +
เคร่ืองหมายของ f (x) เปลี่ยนจาก – เป็น + ที่จุด x = 0 ดังนั้น f มีจุดต่ าสุดสัมพัทธ์ที่ x = 0
36
ตัวอย่าง 3.20 จงหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน f (x) = 3x4 – 8x3 + 2 และทดสอบว่าจุดวิกฤตดังกล่าวเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่ าสุดสัมพัทธ ์
วิธีท า จาก f (x) = 3x4 – 8x3 + 2
f (x) = 12x3 – 24x2
f (x) สามารถหาค่าได้ทุกค่า x ที่เป็นจ านวนจริง ให้ f
(x) = 0
12x3 – 24x2 = 0
12x2(x – 2) = 0 x = 0, 2
พิจารณา f (x) = 36x2 – 48x ที่จุด x = 0, f
(0) = 0 x = 2, f
(2) = 144 – 96 > 0 ดังนั้น f มีจุดต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด x = 2 แต่ที่จุด x = 0 ยังสรุปไม่ได้
พิจารณาช่วงต่างๆ ของ f (x) ดังนี้
ช่วง x < 0 0 < x < 2 x > 2 เคร่ืองหมายของ f
(x) - - +
ซึ่งเห็นได้ว่าที่จุด x = 0 เคร่ืองหมายของ f (x) ไม่เปลี่ยนเคร่ืองหมาย แต่ที่จุด x = 2 f
(x) เปลี่ยนเคร่ืองหมายจาก – เป็น +
ดังนั้นสรุปได้ว่า f มีค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด x = 2 แต่ที่ x = 0 ไม่ใช่จุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ าสุดสัมพัทธ์
3.2.5 การประยุกต์ใช้ค่าสูงสุดหรือค่าต่ าสุด
ในการน าเอาเร่ืองของอนุพันธ์ไปประยุกต์ใช้กับงานจริงนั้น เร่ืองของการหาค่าสูงสุดหรือต่ าสุด เป็นเรื่องหนึ่งที่มีความส าคัญมาก และถูกน าไปประยุกต์ใช้อย่างแพร่หลาย เพื่อให้เกิดความเข้าใจ พิจารณาดังตัวอย่างต่อไปนี้
37
ตัวอย่าง 3.21 ถ้านายสรยุทธ์ต้องการน าเชือกที่มีความยาว 100 เมตร มากั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากให้มีพื้นที่มากที่สุดแล้ว นายสรยุทธ์ควรจะต้องน าเชือกดังกล่าวมากั้นให้มีความกว้าง และความยาวเท่าใด
จากรูป ถ้าให้ความกว้างของสี่เหลี่ยมมุมฉาก = x จะได้ความยาวของสี่เหลี่ยมดังกล่าว = 50 – x ดังในรูป ให้ A = พื้นที่ของสี่เหลี่ยมมุมฉาก จะได้ A = x (50 – x)
A = 50 x – x2
จะได้ว่า dx
dA หาค่าได้ทุกค่า x ที่เป็นจ านวนจริงใดๆ
ให้ dx
dA = 0
ดังนั้น 50 – 2x = 0, x = 25
พิจารณา 2
2
dx
Ad = –2 < 0
ดังนั้น x = 25 ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์
นัน่คือ นายสรยุทธ์ต้องน าเชือกดังกล่าวมากั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ที่มีแต่ละด้านยาวเท่ากับ 25 เมตร จึงจะท าให้ได้พื้นที่มากที่สุด
ตัวอย่าง 3.22 ชายคนหน่ึงพายเรืออยู่ในทะเล ณ จุดห่างจากชายฝั่ง OB 100 กม.ความยาวชายฝั่งจาก O ถึง B เท่ากับ 200 กม. ชายคนนี้จะต้องพายเรือเข้าชายฝั่ง หลังจากนั้นเขาจะขี่จักรยานเพื่อไปถึงจุด B ให้เร็วที่สุด ถ้าชายดังกล่าวพายเรือด้วยความเร็ว 10 กม.ต่อ ชม. และขี่จักรยานด้วยความเร็ว 20 กม.ต่อ ชม.จงหาว่าชายดังกล่าวควรพายเรือขึ้นฝั่ง ณ จุดใด
วิธีท า ให้ชายคนนั้นพายเรือเข้าฝั่ง ณ จุดที่ห่างจากจุด O เป็นระยะทาง x กม. ดังนั้นระยะทางที่เขาพายเรือ = 22 x100 กม. และระยะทางที่เขาขี่จักรยาน = 200 – x กม. ถ้าให้ T เป็นเวลาที่เขาใช้ทั้งหมด
T = 10
x100 22 + 20
x200
dx
dT = 20
1
22 x100
x2
– 20
1
50 – x
x
50 – x
x
A
C x 0
100
B
38
ให้ dx
dT = 0 จะได้ว่า
20
1
22 x100
x2
– 20
1 = 0
2 x = 22 x100
4 x2 = 1002 + x2
3 x2 = 1002
x = 3
100 = 57.735 กม.
พิจารณาช่วงต่างๆ ของ T(x) ดังนี้
ช่วง x < 3
100 x > 3
100
เคร่ืองหมายของ T(x) – +
ดังนั้นที่ x = 57.735 ท าให้ T มีค่าน้อยที่สุด
เพราะฉะนั้นชายคนนั้นควรพายเรือเข้าฝั่งที่ห่างจากจุด O เป็นระยะทางเท่ากับ 57.735 กม.
39
แบบฝึกหัด 1. จงหา
h
)x(f)hx(f
0hlim
ของ f(x) ต่อไปนี้
1.1 f(x) = 4
1.2 f(x) = x3 1.3 f(x) = |x|
2. ก าหนด f(x) ต่อไปนี้ จงหา f(x)
2.1 f(x) = x3 + 2x2 + 5x +4
2.2 f(x) = 3x + lnx 2.3 f(x) = sinx + cosx
3. ก าหนด y = f(x) ต่อไปนี้ จงหา dx
dy
3.1 y = x2 + 2x + 5
3.2 y = (x2 + 2x + 5) 7
3.3 y = (lnx)4
3.4 y = sin(x2 + 3) 3.5 y = 3
x42x
3.6 y = ln(x2 + 3)
3.7 y = exsinx
3.8 y = x3
2x
3.9 y = 4)52x(e
4. จงหา dx
dy ต่อไปนี้
4.1 x2 + y2 = 9
4.2 x2 + y2 = 3x2y + 4x + 3y + 7
4.3 x2y + 4x = 3y2 + 3y + 3
4.4 y2 = 3x2 + (lnxy)4
40
5. จงหาความชันของเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งที่จุด x = c ต่อไปนี้
5.1 เส้นโค้ง y = x3 + 2x + 1 ที่จุด x = 2
5.2 เส้นโค้ง y = (x2 + 2) 3 ที่จุด x = 1
5.3 เส้นโค้ง x2 + y2 = 4 ที่จุด x = 3 5.4 เส้นโค้ง xy + 4x +3y + 3 = 1 ที่จุด x = 1
6. จงหาเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งที่จุด x = c ต่อไปนี้
6.1 เส้นโค้ง y = 4 - x2 ที่จุด (1, 3) 6.2 เส้นโค้ง xy = 1 ที่จุด (1, 1)
7. จงหาจุดสูงสุด หรือจุดต่ าสุดของฟังก์ชัน f(x) ต่อไปนี้
7.1 f(x) = x2 – 2x + 5
7.2 f(x) = x4 – 2x + 4
7.3 f(x) = x3+x2 – 8x + 3
7.4 f(x) = 3
2
x + 3 7.5 f(x) = |x – 4| 7.6 f(x) = |x – 2|, 0 ≤ x ≤ 9
7.7 f(x) = x2 – 2x + 5, -3 ≤ x ≤ 2