Download - Desain Bujur Sangkar Dan Faktorial
-
Desain Bujur Sangkar
-
Desain Bujursangkar (1)
Desain bujursangkar digunakan apabila metode analisis
desain acak sempurna atau desai blok lengkap acak tidak
memberikan hasil yang efisien maupun kurang ekonomis
apabila ditinjau dari besarnya biaya yang dikeluarkan
Beberapa desain bujursangkar diantaranya:
Desain Bujursangkar Latin (DBSL)
Desain Bujursangkar Graeco-Latin
Desain Bujursangkar Youden
-
DBSL (1)
Dinamakan demikian karena desainnya berbentuk
bujursangkar dan untuk perlakuan diberikan simbol
menggunakan huruf Latin kapital A, B, C, D, dan seterusnya
DBSL merupakan desain khusus untuk menilai pengaruh
relatif berbagai perlakuan terhadap unit eksperimen
dengan batasan pemblokan ganda
-
DBSL (2)
Desain ini merupakan perluasan dari desain blok lengkap
acak, dimana tiap perlakuan terdapat satu, dan hanya satu
kali dalam tiap baris, dan hanya satu kali dalam tiap kolom;
sedangkan pengacakan dilakukan berdasarkan dua buah
pembatasan, yakni menurut baris dan kolom
Ukuran diberikan bergantung banyaknya perlakuan (m),
sehingga terjadi DBSL m x m dengan m2 unit eksperimen
-
Untuk keperluan analisis data, dalam DBSL dengan hanya
satu pengamatan untuk tiap unit eksperimen, digunakan
model linier berikut ini:
dengan asumsi
Y ij(k) = hasil pengamatan yang dicatat dari perlakuan ke k, yang dipengaruhi oleh baris ke I dan kolom ke j
= rata-rata umum
i = efek baris ke I
j = efek kolom ke j
k = efek perlakuan ke k
ij = efek unit eksperimen dalam baris ke I dan kolom ke j untuk perlakuan ke k
ij(k)kjiij(k) Y
-
Harga JK DBSL
m
1i
m
1j
2
ij(k)
2 YY
22
y /mJR
yyyy PKBRY 2yE
i ke baris dalam pengamatan nilaijumlah J dimana
R/mJB
io
m
1i
y
2
ioy
j ke kolom dalam pengamatan nilaijumlah J dimana
R/mJK
oj
m
1j
y
2
ojy
i keperlakuan dalam pengamatan nilaijumlah J dimana
R/mJP
k
m
1i
y
2
ky
-
Anava DBSL m x m
Daftar Anava Untuk DBLA Sumber Variasi dk JK KT F
Rata-rata
Baris
Kolom
Perlakuan
Kekeliruan
1
m-1
m-1
m-1
(m-1)(m-2)
Ry
By
Ky
Py
Ey
R
B
K
P
E
P/E
Jumlah m2 Y2 -
-
Contoh DBSL
Misalkan kita bermaksud meneliti apakah empat buah
mesin A, B, C, D pembuat barang Z memperlihatkan
kemampuan berproduksi yang berbeda secara berarti atau
tidak.
Kita tahu bahwa produksi dipengaruhi oleh adanya
operator yang berlainan dan hari-hari kerja yang berbeda.
-
ALTERNATIF DESAIN
Kolom
1 2 3 4
Baris
1 A B C D
2 B C D A
3 C D A B
4 D A B C
Kolom
1 2 3 4
Baris
1 A B C D
2 B D A C
3 C A D B
4 D C B A
Kolom
1 2 3 4
Baris
1 A B C D
2 B A D C
3 C D B A
4 D C A B
Kolom
1 2 3 4
Baris
1 A B C D
2 B A D C
3 C D A B
4 D C B A
-
DBLA - DBSL
DBLA
(1)
Hari
1 2 3 4
Mesin
yang
digunakan
A (260) D (345) B (353) C (365)
B (308) C (343) C (350) D (363)
C (230) B (358) A (298) B (323)
D (285) A (280) D (333) A (288)
Operator
Hari
Kerja
1 2 3 4
1 B A D C
2 C B A D
3 A D C B
4 D C B A
DBLA
(2)
Perlakuan (Mesin)
Blok (hari) A B C D
1 260 308 323 330
2 280 358 343 345
3 298 353 350 333
4 288 323 365 363
-
Bujur Sangkar Latin dan Variasinya
-
Contoh Soal
Seorang peneliti ingin mengetahui ke efektifan mesin fillet
otomatis A,B,C,D terhadap produksi fillet tuna. Produksi
dipengaruhi oleh adanya operator dan hari kerja yang
berlainan. Peneliti memutuskan membuat design dengan
empat operator sebagai kolom dan empat hari kerja
sebagai baris.
Operator
Hari
Kerja
1 2 3 4
1 B A D C
2 C B A D
3 A D C B
4 D C B A
-
Contoh Soal
-
Contoh Soal
Setelah itu hitung Faktor koreksi, JK baris, kolom, dan perlakuan.
-
Contoh Soal
Menghitung kuadrat tengah (KT) dari baris, kolom, dan
perlakuan serta Galat.
db = (n-1)
db galat = (n-1).(n-2)
-
Contoh soal
Menghitung Fhitung perlakuan, baris dan kolom.
-
Contoh Soal
Masukkan ke dalam tabel ANOVA.
Kesimpulan?
-
Bagaimana mendapatkan nilai F tabel?
-
Desain Bujursangkar Graeco-Latin
Dalam DBSL pengacakan dilakukan secara ganda, yakni
menurut baris dan kolom. Apabila desain diperluas
dengan melakukan pengacakan ketiga maka disebut
Desain Bujursangkar Graeco-Latin (DBSGL)
Dalam desain ini menggunakan simbol huruf Latin dan
Greek
Taraf maksimum yang dapat digunakan dalam desain Bujur
Sangkar Graeco latin adalah 5
-
Desain Bujur Sangkar Latin
Desain bujur sangkar latin
Pengacakan dilakukan secara ganda, yakni baris dan kolom.
Desain bujur sangkar Graeco Latin
Desain diperluas dengan pengacakan yang ketiga, yakni faktor
,,,.
-
Contoh DBSGL
Misalkan ada petunjuk bahwa waktu kerja (pagi, siang,
sore, dan malam) tiap hari juga mempengaruhi produksi.
Jika faktor digabungkan bersama dengan faktor operator,
hari dan mesin maka dapat disusun sebuah desain
bujursangkar Graeco-Latin 4 x 4
Waktu Kerja Jio
Hari
Kerja
Pagi Siang Sore Malam
1 D(16) C(6) B(15) A(11) 48
2 C(13) D(9) A(10) B(13) 45
3 B(15) A(14) D (14) C(12) 55
4 A(9) B(12) C(8) D(9) 38
Joj 53 41 47 45 186
-
Nilai Jumlah Nilai Jumlah
JA 44 J 43
JB 55 J 49
JC 39 J 42
JD 44 J 52
-
Model DBSGL
Untuk keperluan analisis data, dalam DBSGL dengan hanya
satu pengamatan untuk tiap unit eksperimen, digunakan
model linier berikut ini:
dengan asumsi
Y ij(k) = hasil pengamatan yang dicatat dari perlakuan ke k, yang dipengaruhi oleh baris ke I dan kolom ke j
= rata-rata umum
i = efek baris ke I
j = efek kolom ke j
wl = pembatasan yang ketiga dengan taraf huruf greek
k = efek perlakuan ke k
ij = efek unit eksperimen dalam baris ke I dan kolom ke j untuk perlakuan ke k
ij(k)kjiij(k) Y lw
-
Harga JK DBSL
288.2912...1316Y 22222
25,165.24
186R
2
2
y
25,1825,1725,3475,1825,3725,162.2288.2Ey
25,3725,162.2
4
385545482222
yB
75,1825,162.2
4
454741532222
yK
25,3425,162.2
4
483955442222
yP
25,1725,162.2
4
524249432222
yT
-
Tabel Anova
Sumber
Variasi
dk JK KT F
Rata-rata 1 2.162,25 2.162,25
1,88
Hari 3 37,25 12,42
Waktu kerja 3 18,75 6,25
Operator 3 17,25 5,75
Mesin 3 34,25 11,42
Kekeliruan 3 18,25 6,08
Jumlah 16 2.288
- Thitung
-
Desain Bujursangkar Youden
Desain Bujursangkar Latin memiliki kesamaan jumlah
perlakuan dengan banyak blok (baris) atau banyak kolom.
Jika sekarang adanya perlakuan lebih banyak bila
dibandingkan dengan banyak blok (baris) atau banyak
kolom, sedangkan syarat-syarat lain masih dipenuhi, maka
diperoleh desain bujur sangkar tak lengkap atau sering
dinamakan Desain Bujursangkar Youden. Analisisnya
seperti dilakukan pada desain Blok Tak Lengkap Acak
.
-
Semisal jika kita ingin meneliti kapasitas empat buah mesin
dalam empat hari, namun setiap hari tidak dimungkinkan
adanya shift malam, maka desain bujursangkar Youden
dapat disusun seperti di bawah ini:
Operator
Hari
Kerja
Pagi Siang Sore
1 A B C
2 D A B
3 B C D
4 C D A
-
DBSY
Untuk keperluan analisis data, dalam DBSY dengan hanya
satu pengamatan untuk tiap unit eksperimen, digunakan
model linier berikut ini:
dengan asumsi
Y ij(k) = hasil pengamatan yang dicatat dari perlakuan ke k, yang dipengaruhi oleh baris ke I dan kolom ke j
= rata-rata umum
i = efek baris (blok) ke i
j = efek kolom ke j
k = efek perlakuan ke k
ij = efek unit eksperimen dalam baris ke I dan kolom ke j untuk perlakuan ke k
ij(k)kjiij(k) Y
-
Harga JK DBSY
m
1i
m
1j
2
ij(k)
2 YY 22y /mJR
yyyy PKBRY 2yE
i ke baris dalam pengamatan nilaijumlah J dimana
R/mJB
io
m
1i
y
2
ioy
j ke kolom dalam pengamatan nilaijumlah J dimana
R/mJK
oj
m
1j
y
2
ojy
i keperlakuan dalam pengamatan nilaijumlah J dimana
R/mJP
k
m
1i
y
2
ky
Penentuan nilai Qj seperti pada desain
blok tak lengkap acak
-
Eksperimen Faktorial
-
Eksperimen Faktorial (1)
Eksperimen Faktorial digunakan untuk menyelidiki secara
bersamaan efek beberapa faktor berlainan.
Eksperimen Faktorial merupakan eksperimen yang semua
(hampir semua) taraf sebuah faktor tertentu
dikombinasikan atau disilangkan dengan semua (hampir
semua) taraf tiap faktor lainnya yang ada dalam
eksperimen itu
Eksperimen ini sering diberi nama dengan menambahkan
perkalian antara banyaknya taraf faktor yang satu dengan
banyak taraf faktor atau faktor-faktor lainnya.
-
Eksperimen Faktorial (2)
Apabila eksperimen terdiri dari 2 faktor (A dan B) maka
disebut dengan eksperimen dua faktor (eksperimen
faktorial a x b)
Sedangkan apabila eksperimen terdiri dari 3 faktor (A, B,
dan C) maka disebut dengan eksperimen tiga faktor
(eksperimen faktorial a x b x c)
-
Eksperimen Faktorial (3)
Misal, apabila terdapat dua buah faktor, sebuah terdiri atas
empat taraf dan sebuah lagi terdiri atas tiga taraf, maka
diperoleh eksperimen faktorial 4x3
Hal ini memerlukan 12 kondisi eksperimen (kombinasi
perlakuan) yang berbeda-beda
-
Contoh
Percobaan pertanian telah disediakan 3 macam pupuk antara
lain N, P, dan K. Level dari setiap faktor tersebut didefinisikan
pada pupuk digunakan atau tidak. Maka diperoleh eksperimen
faktorial 2x2x2. Didapatkan 8 kombinasi perlakuan antara lain:
Kombinasi perlakuan tanpa N, tanpa P, tanpa K
Kombinasi perlakuan tanpa N, tanpa P, dengan K
Kombinasi perlakuan tanpa N, dengan P, tanpa K
Kombinasi perlakuan tanpa N, dengan P, dengan K
Kombinasi perlakuan dengan N, tanpa P, tanpa K
Kombinasi perlakuan dengan N, dengan P, tanpa K
Kombinasi perlakuan dengan N, tanpa P, dengan K
Kombinasi perlakuan dengan N, dengan P, dengan K
-
Organisasi Data untuk Eksperimen Faktorial
2 Faktor
-
Model dari Efek Tetap
a level faktor diambil dari A faktor yang tetap, b level faktor diambil dari B
faktor yang tetap.
Model dari Eksperimen Faktorial ini adalah:
yijk = + Ai +Bj + ABij +k(ij) i = 1, 2, , a
j = 1, 2, , b
k = 1, 2, , n
Keterangan
Yijk = variabel respons hasil observasi ke-k yang terjadi karena pengaruh
bersama taraf ke I faktor A dan taraf ke j faktor B
= rata-rata umum
Ai = efek dari level ke i dari faktor A
Bj = efek dari level ke j dari faktor B
(AB)ij = efek dari interaksi antara Ai dan Bj k(ij) = efek unit eksperimen ke k dalam kombinasi perlakuan ij
-
Hipotesis
Ho = Ai = 0 (tidak terdapat perbedaan efek dari Faktor A)
H1 = Ai 0
Ho = Bi = 0 (tidak terdapat perbedaan efek dari Faktor B)
H1 = Bi 0
Ho = (AB)ij = 0 (tidak terdapat perbedaan efek interaksi)
H1 = (AB)ij 0
-
Harga JK DEF
a
i
abndengandk1
b
1j
n
1k
2
ijk
2 ,YY
b
1j
n
1k
jkYiooJJioo=jumlah nilai pengamatan yang ada
dalam taraf ke i faktor A
a
1i
n
1k
ikYojoJJojo=jumlah nilai pengamatan yang ada
dalam taraf ke j faktor B
n
1k
kYijoJJijo=jumlah nilai pengamatan yang ada dalam
taraf ke I faktor A dan dalam taraf ke j faktor B
a
i
oooJ1
b
1j
n
1k
ijkYJooo=jumlah nilai semua pengamatan
-
Harga JK DEF
1dkdengan /abn,JR2
oooy
)1(,E 2y nabdengandkABBARY yyyy
1)-(adk dengan
R/bn)(Ja
1i
y
2
iooy
A
1)-(bdk dengan
R/an)(Ja
1i
y
2
ojoy
B
a
i
J1
b
1j
y
2
ijoab R/n)(J
1)-1)(b(dkdengan ,B-A-J yyaby aAB
-
Tabel Anova
Sumber
Variasi
dk JK KT F
Rata-rata 1 Ry R
Perlakuan
A a-1 Ay A Bergantung
pada model B b-1 By B
AB (a-1)(b-1) Aby AB
Kekeliruan ab(n-1) Ey E
Jumlah abn Y2
-
Model 1 (Model Tetap)
Apabila peneliti memiliki a buah taraf faktor A dan hanya b buah taraf
faktor B dan semuanya digunakan dalam eksperimen yang dilakukan
Hipotesis
H01= tidak ada efek faktor A dalam eksperimen
H02= tidak ada efek faktor B dalam eksperimen
H03= tidak ada efek interaksi antara faktor A dan faktor B
Fhitung
H01= F=A/E
H02= F=B/E
H03= F=AB/E
Ftabel H01= F(a-1,ab(n-1)) H02= F(b-1,ab(n-1)) H03= F((a-1)(b-1),ab(n-1))
-
Model 2 (Model Acak)
Apabila peneliti memiliki sebuah populasi yang terdiri atas sejumlah taraf faktor A
dari mana sebanyak a buah taraf faktor A telah diambil secara acak sebagai sample
dan populasi yang terdiri atas sejumlah taraf faktor B dari mana sebanyak b buah
taraf faktor B telah diambil secara acak sebagai sample
Hipotesis
H01= tidak ada efek faktor A dalam populasi dari mana sample diambil
H02= tidak ada efek faktor B dalam populasi dari mana sample diambil
H03= tidak ada efek interaksi antara faktor A dan faktor B dalam populasi dari
mana sample diambil
Fhitung
H01= F=A/AB
H02= F=B/AB
H03= F=AB/E
Ftabel H01= F(a-1,(a-1)(b-1))
H02= F (b-1,(a-1)(b-1))
H03= F((a-1)(b-1),ab(n-1))
-
Model 3 (Model campuran)
Apabila peneliti memiliki a buah taraf faktor A yang semuanya digunakan dalam
eksperimen yang dilakukan dan populasi yang terdiri atas sejumlah taraf faktor B
dari mana sebanyak b buah taraf faktor B telah diambil secara acak sebagai sample
Hipotesis
H01= tidak ada efek faktor A dalam eksperimen
H02= tidak ada efek faktor B dalam populasi dari mana sample diambil
H03= tidak ada efek interaksi antara faktor A tetap dan faktor B acak
Fhitung
H01= F=A/AB
H02= F=B/E
H03= F=AB/E
Ftabel H01= F(a-1,(a-1)(b-1))
H02= F(b-1,ab(n-1))
H03= F((a-1)(b-1),ab(n-1))
-
Model 4 (Model campuran)
Apabila peneliti memiliki populasi yang terdiri atas sejumlah taraf faktor A dari mana
sebanyak a buah taraf faktor A telah diambil secara acak sebagai sample dan
populasi yang terdiri atas sejumlah taraf faktor B dari mana sebanyak b buah taraf
faktor B telah diambil secara acak sebagai sample
Hipotesis
H01= tidak ada efek faktor A dalam populasi dari mana sample diambil
H02= tidak ada efek faktor B dalam eksperimen
H03= tidak ada efek interaksi antara faktor A tetap dan faktor B acak
Fhitung
H01= F=A/E
H02= F=B/AB
H03= F=AB/E
Ftabel H01= F(a-1, ab(n-1))
H02= F(b-1,(a-1)(b-1))
H03= F((a-1)(b-1),ab(n-1))
-
Eksperimen Faktorial dengan 3 Faktor
Faktor yang kita gunakan kita lambangkan dengan A, B, C, D sedangkan
untuk taraf faktornya kita lambangkan dengan a, b, c, d.
Jika eksperimennya menggunakan desain acak sempurna dalam setiap
kombinasi perlakuan terdapat n buah unit eksperimen atau observasi, maka
model liniernya sebagai berikut:
Dengan:
i = 1,2, , a
j = 1,2, , b
k = 1,2, , c
l = 1,2, , n
-
Yijkl = variabel respon hasil observasi ke-i yang terjadi karena pengaruh
bersama taraf ke-i faktor A, taraf ke-j faktor B dan taraf ke-k faktor C
= rata-rata
Ai = efek taraf ke-i faktor A
Bj = efek taraf ke-j faktor B
Ck = efek taraf ke-k faktor C
ABij = efek interaksi antara taraf ke-i faktor A dan taraf ke-j faktor B
ACik = efek interaksi antara taraf ke-i faktor A dan taraf ke-k faktor C
BCjk = efek interaksi antara taraf ke-j faktor B dan taraf ke-k faktor C
ABCijk = efek interaksi antara taraf ke-i faktor A, taraf ke-j faktor B, dan
taraf ke-k faktor C
l(ijk) = efek unit eksperimen ke l dikarenakan oleh kombinasi perlakuan ijk
-
Hipotesis
Ho = Ai = 0 (tidak terdapat efek dari Faktor A)
H1 = Ai 0
Ho = Bj = 0 (tidak terdapat efek dari Faktor B)
H1 = Bj 0
Ho = (AB)ij = 0 (tidak terdapat efek interaksi faktor A dan B)
H1 = (AB)ij 0
Ho = Ck = 0 (tidak terdapat efek dari Faktor C)
H1 = Ck 0
Ho = (AC)ik = 0 (tidak terdapat efek interaksi faktor A dan C)
H1 = (AC)ik 0
Ho = (BC)jk = 0 (tidak terdapat efek interaksi faktor B dan C)
H1 = (BC)jk 0
Ho = (ABC)ijk = 0 (tidak terdapat efek interaksi faktor A, B dan C)
H1 = (ABC)ijk 0
-
Harga JK DEF
a
i
c
k
abcndengandk1
b
1j 1
n
1l
2
ijkl
2 ,YY
a
i
ijk
abcn
JJ
1
b
1j
c
1k
y
2
R-Jabc=jumlah kuadrat antara sel untuk daftar axbxc
a
1i
b
1j
2ij
cn
Jyab RJ
Jab=jumlah kuadrat antara sel untuk daftar axb
Jijk=elemen dalam sel (ijk) dari daftar axbxc=Yijkl
a
1i
c
1k
2
ik
bn
Jyac RJ
Jac=jumlah kuadrat antara sel untuk daftar axc
Jij=elemen dalam sel (ij) dari daftar axb = Jijk
Jik= elemen dalam sel (ik) dari daftar axc = Jijk
b
1j
c
1k
2
jk
an
Jybc RJ
Jbc=jumlah kuadrat antara sel untuk daftar bxc
Jjk= elemen dalam sel (jk) dari daftar bxc = Jijk
-
Harga JK DEF
1dkdengan ,R
2
1 1 1 1
y
abcn
Ya
i
b
j
c
k
n
l
ijkl
)1(,E 2y nabcdengandkABCBCACABBARY yyyyyyy
1)-(adk dengan
R/bcn)(Aa
1i
y
2
iy
A
1)-(bdk dengan
R/acn)(Bb
1j
y
2
jy
B
1)-1)(b(dkdengan ,B-A-J yyaby aAB1)-(bdk dengan
R/abn)(Cc
1k
y
2
ky
C
1)-1)(c(dkdengan ,C-A-J yyaby aAC
1)-1)(c(dkdengan ,C-B-J yybcy bBC1)-1)(c)(1(dkdengan ,BC-AC-AB-C-B-A-J yyyyyyabcy baABC
-
Tabel Anova
Sumber
Variasi
dk JK KT F
Rata-rata 1 Ry R
Perlakuan
A a-1 Ay A Bergantung
pada model B b-1 By B
C (c-1) Cy C
AB (a-1)(b-1) Aby AB
AC (a-1)(c-1) Acy AC
BC (b-1)(c-1) Bcy BC
ABC (a-1)(b-1) (c-1) ABCy ABC
Kekeliruan abc(n-1) Ey E
Jumlah abcn Y2
-
Model Kombinasi
Model Taraf
A B C
Model 1 Tetap Tetap Tetap
Model 2 Acak Acak Acak
Model 3 Tetap Tetap Acak
Tetap Acak Tetap
Acak Tetap Tetap
Tetap Acak Acak
Acak Tetap Acak
Acak Acak Tetap
-
Tugas
1 kelompok 2 orang
Tuliskan nama dan NIM
1. Jelaskan perbedaan eksperimen faktorial dengan eksperimen yang
sudah dilakukan pada bab sebelumnya!
2. Berikan contoh untuk desain eksperimen faktorial a x b dan
tunjukkan hipotesis nolnya!
3. Jelaskan persamaan dan perbedaan 4 model eksperimen faktorial a x
b, terkait dengan perhitungan statisitik F!
4. Berikan pula contoh untuk desain eksperimen faktorial a x b x c dan
tunjukkan hipotesis nolnya!
5. Jelaskan 3 model eksperimen faktorial a x b x c meliputi model tetap,
acak, dan campuran terkait dengan perhitungan statisitik F!