Download - Diagonalización - fing.edu.uy
![Page 1: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/1.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
Diagonalización
GAL2
IMERL
12 de agosto de 2010
![Page 2: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/2.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
definiciones
transformación lineal diagonalizable
definición (transformación lineal diagonalizable)
T : V → V operador lineal diagonalizablesi ∃B base tal queA =B (T )B es una matriz diagonal
![Page 3: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/3.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
definiciones
transformación lineal diagonalizable
definición (transformación lineal diagonalizable)T : V → V operador lineal diagonalizable
si ∃B base tal queA =B (T )B es una matriz diagonal
![Page 4: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/4.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
definiciones
transformación lineal diagonalizable
definición (transformación lineal diagonalizable)T : V → V operador lineal diagonalizablesi ∃B base tal que
A =B (T )B es una matriz diagonal
![Page 5: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/5.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
definiciones
transformación lineal diagonalizable
definición (transformación lineal diagonalizable)T : V → V operador lineal diagonalizablesi ∃B base tal queA =B (T )B es una matriz diagonal
![Page 6: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/6.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
definiciones
matriz diagonalizable
definición (matriz diagonalizable)
A matriz diagonalizablesi A semejante a matriz diagonal
![Page 7: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/7.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
definiciones
matriz diagonalizable
definición (matriz diagonalizable)A matriz diagonalizable
si A semejante a matriz diagonal
![Page 8: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/8.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
definiciones
matriz diagonalizable
definición (matriz diagonalizable)A matriz diagonalizablesi A semejante a matriz diagonal
![Page 9: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/9.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
definiciones
observación
A matriz diagonalizable⇔
TA transformación lineal diagonalizable, dondeTA : Kn → Kn es tal que TA~x = A~x
![Page 10: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/10.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
definiciones
observación
A matriz diagonalizable⇔TA transformación lineal diagonalizable, donde
TA : Kn → Kn es tal que TA~x = A~x
![Page 11: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/11.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
definiciones
observación
A matriz diagonalizable⇔TA transformación lineal diagonalizable, dondeTA : Kn → Kn es tal que TA~x = A~x
![Page 12: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/12.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplo
ejemplo
ejemplo
T : R3 → R3 tal que
T (x , y , z) =
3 0 00 4 0−1 −2 2
xyz
? T diagonalizable?
SI
![Page 13: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/13.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplo
ejemplo
ejemplo
T : R3 → R3 tal que
T (x , y , z) =
3 0 00 4 0−1 −2 2
xyz
? T diagonalizable?
SI
![Page 14: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/14.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplo
ejemplo
ejemplo
T : R3 → R3 tal que
T (x , y , z) =
3 0 00 4 0−1 −2 2
xyz
? T diagonalizable?
SI
![Page 15: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/15.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplo
ejemplo
ejemplo
T : R3 → R3 tal que
T (x , y , z) =
3 0 00 4 0−1 −2 2
xyz
? T diagonalizable?
SI
![Page 16: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/16.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplo
ejemplo
ejemplo
T : R3 → R3 tal que
T (x , y , z) =
3 0 00 4 0−1 −2 2
xyz
? T diagonalizable?
SI
![Page 17: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/17.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
diagonalización y vep
diagonalización y vep
teorema (diagonalización y vep)
T : V → V es diagonalizable⇐⇒∃B base de vectores propios de Ttal que B(T )B diagonal
![Page 18: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/18.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
diagonalización y vep
diagonalización y vep
teorema (diagonalización y vep)T : V → V es diagonalizable⇐⇒
∃B base de vectores propios de Ttal que B(T )B diagonal
![Page 19: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/19.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
diagonalización y vep
diagonalización y vep
teorema (diagonalización y vep)T : V → V es diagonalizable⇐⇒∃B base de vectores propios de T
tal que B(T )B diagonal
![Page 20: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/20.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
diagonalización y vep
diagonalización y vep
teorema (diagonalización y vep)T : V → V es diagonalizable⇐⇒∃B base de vectores propios de Ttal que B(T )B diagonal
![Page 21: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/21.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
diagonalización y vep
diagonalización y vap
corolario (diagonalización y vap)
T : V → V t.l. diagonalizable =⇒la forma diagonal
diag(λ1, . . . , λn)
es única a menos de permutaciones de los λi (vap de T )
![Page 22: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/22.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
diagonalización y vep
diagonalización y vap
corolario (diagonalización y vap)T : V → V t.l. diagonalizable =⇒
la forma diagonal
diag(λ1, . . . , λn)
es única a menos de permutaciones de los λi (vap de T )
![Page 23: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/23.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
diagonalización y vep
diagonalización y vap
corolario (diagonalización y vap)T : V → V t.l. diagonalizable =⇒la forma diagonal
diag(λ1, . . . , λn)
es única a menos de permutaciones de los λi (vap de T )
![Page 24: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/24.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
diagonalización y vep
diagonalización y vap
corolario (diagonalización y vap)T : V → V t.l. diagonalizable =⇒la forma diagonal
diag(λ1, . . . , λn)
es única a menos de permutaciones de los λi (vap de T )
![Page 25: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/25.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
diagonalización y vep
observación
T diagonalizable =⇒
las n raíces características de T están en K
![Page 26: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/26.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
diagonalización y vep
observación
T diagonalizable =⇒las n raíces características de T están en K
![Page 27: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/27.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplo
ejemplo
ejemplo
A =
(0 1−1 0
)no es diagonalizable en R
![Page 28: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/28.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplo
ejemplo
ejemplo
A =
(0 1−1 0
)
no es diagonalizable en R
![Page 29: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/29.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplo
ejemplo
ejemplo
A =
(0 1−1 0
)no es diagonalizable en R
![Page 30: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/30.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
condición suficiente
condición suficiente para A diagonalizable
teorema (condición suficiente para diagonalizabilidad)
A ∈Mn(K)
A tiene n vap distintos: λ1, . . . , λn
=⇒ A diagonalizable
![Page 31: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/31.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
condición suficiente
condición suficiente para A diagonalizable
teorema (condición suficiente para diagonalizabilidad)A ∈Mn(K)
A tiene n vap distintos: λ1, . . . , λn
=⇒ A diagonalizable
![Page 32: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/32.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
condición suficiente
condición suficiente para A diagonalizable
teorema (condición suficiente para diagonalizabilidad)A ∈Mn(K)
A tiene n vap distintos: λ1, . . . , λn
=⇒ A diagonalizable
![Page 33: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/33.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
condición suficiente
condición suficiente para A diagonalizable
teorema (condición suficiente para diagonalizabilidad)A ∈Mn(K)
A tiene n vap distintos: λ1, . . . , λn
=⇒ A diagonalizable
![Page 34: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/34.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
condición suficiente
demostración
proposición (vep l.i.)
T : V → V t.l.vi vep asociados a λi , i = 1, . . . , k con λi 6= λj
=⇒ {v1, . . . , vk} l.i.
![Page 35: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/35.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
condición suficiente
demostración
proposición (vep l.i.)T : V → V t.l.
vi vep asociados a λi , i = 1, . . . , k con λi 6= λj
=⇒ {v1, . . . , vk} l.i.
![Page 36: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/36.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
condición suficiente
demostración
proposición (vep l.i.)T : V → V t.l.vi vep asociados a λi , i = 1, . . . , k con λi 6= λj
=⇒ {v1, . . . , vk} l.i.
![Page 37: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/37.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
condición suficiente
demostración
proposición (vep l.i.)T : V → V t.l.vi vep asociados a λi , i = 1, . . . , k con λi 6= λj
=⇒ {v1, . . . , vk} l.i.
![Page 38: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/38.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
condición suficiente
demostración
proposición (vep l.i.)
T : V → V t.l.λ1, . . . , λk distintos, vi ∈ Sλi − {0}=⇒ {v1, . . . , vk} l.i.
![Page 39: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/39.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
condición suficiente
demostración
proposición (vep l.i.)T : V → V t.l.
λ1, . . . , λk distintos, vi ∈ Sλi − {0}=⇒ {v1, . . . , vk} l.i.
![Page 40: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/40.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
condición suficiente
demostración
proposición (vep l.i.)T : V → V t.l.λ1, . . . , λk distintos, vi ∈ Sλi − {0}
=⇒ {v1, . . . , vk} l.i.
![Page 41: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/41.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
condición suficiente
demostración
proposición (vep l.i.)T : V → V t.l.λ1, . . . , λk distintos, vi ∈ Sλi − {0}=⇒ {v1, . . . , vk} l.i.
![Page 42: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/42.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
condición suficiente
demostración proposición
por inducción
obvio para k = 1. Supongo vale para un k ≥ 1planteamos
E = a1v1 + · · ·+ ak+1vk+1 = ~0
⇒ T (E)− λk+1E = ~0⇒ ai = 0 ∀i = 1, . . . , k⇒ ak+1vk+1 = ~0⇒ ak+1 = 0
![Page 43: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/43.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
condición suficiente
demostración proposición
por inducciónobvio para k = 1. Supongo vale para un k ≥ 1
planteamos
E = a1v1 + · · ·+ ak+1vk+1 = ~0
⇒ T (E)− λk+1E = ~0⇒ ai = 0 ∀i = 1, . . . , k⇒ ak+1vk+1 = ~0⇒ ak+1 = 0
![Page 44: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/44.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
condición suficiente
demostración proposición
por inducciónobvio para k = 1. Supongo vale para un k ≥ 1planteamos
E = a1v1 + · · ·+ ak+1vk+1 = ~0
⇒ T (E)− λk+1E = ~0⇒ ai = 0 ∀i = 1, . . . , k⇒ ak+1vk+1 = ~0⇒ ak+1 = 0
![Page 45: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/45.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
condición suficiente
demostración proposición
por inducciónobvio para k = 1. Supongo vale para un k ≥ 1planteamos
E = a1v1 + · · ·+ ak+1vk+1 = ~0
⇒ T (E)− λk+1E = ~0
⇒ ai = 0 ∀i = 1, . . . , k⇒ ak+1vk+1 = ~0⇒ ak+1 = 0
![Page 46: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/46.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
condición suficiente
demostración proposición
por inducciónobvio para k = 1. Supongo vale para un k ≥ 1planteamos
E = a1v1 + · · ·+ ak+1vk+1 = ~0
⇒ T (E)− λk+1E = ~0⇒ ai = 0 ∀i = 1, . . . , k
⇒ ak+1vk+1 = ~0⇒ ak+1 = 0
![Page 47: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/47.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
condición suficiente
demostración proposición
por inducciónobvio para k = 1. Supongo vale para un k ≥ 1planteamos
E = a1v1 + · · ·+ ak+1vk+1 = ~0
⇒ T (E)− λk+1E = ~0⇒ ai = 0 ∀i = 1, . . . , k⇒ ak+1vk+1 = ~0
⇒ ak+1 = 0
![Page 48: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/48.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
condición suficiente
demostración proposición
por inducciónobvio para k = 1. Supongo vale para un k ≥ 1planteamos
E = a1v1 + · · ·+ ak+1vk+1 = ~0
⇒ T (E)− λk+1E = ~0⇒ ai = 0 ∀i = 1, . . . , k⇒ ak+1vk+1 = ~0⇒ ak+1 = 0
![Page 49: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/49.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
condición suficiente
observación
observación/ejemplo (la condición no es necesaria)
A diagonalizable 6=⇒ los valores propios son 6=ejemplo
A =
(1 00 1
)
![Page 50: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/50.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
condición suficiente
observación
observación/ejemplo (la condición no es necesaria)A diagonalizable 6=⇒ los valores propios son 6=
ejemplo
A =
(1 00 1
)
![Page 51: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/51.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
condición suficiente
observación
observación/ejemplo (la condición no es necesaria)A diagonalizable 6=⇒ los valores propios son 6=ejemplo
A =
(1 00 1
)
![Page 52: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/52.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo
ejemplo 1
A =
2 −5 00 7 00 −5 2
determinar si A es diagonalizablese plantea χA(λ) = 0
→ λ = 2 (doble), λ = 7
S2 = R(1,0,0) + R(0,0,1) S7 = R(1,−1,1)
![Page 53: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/53.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo
ejemplo 1
A =
2 −5 00 7 00 −5 2
determinar si A es diagonalizable
se plantea χA(λ) = 0
→ λ = 2 (doble), λ = 7
S2 = R(1,0,0) + R(0,0,1) S7 = R(1,−1,1)
![Page 54: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/54.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo
ejemplo 1
A =
2 −5 00 7 00 −5 2
determinar si A es diagonalizablese plantea χA(λ) = 0
→ λ = 2 (doble), λ = 7S2 = R(1,0,0) + R(0,0,1) S7 = R(1,−1,1)
![Page 55: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/55.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo
ejemplo 1
A =
2 −5 00 7 00 −5 2
determinar si A es diagonalizablese plantea χA(λ) = 0→ λ = 2 (doble), λ = 7
S2 = R(1,0,0) + R(0,0,1) S7 = R(1,−1,1)
![Page 56: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/56.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo
ejemplo 1
A =
2 −5 00 7 00 −5 2
determinar si A es diagonalizablese plantea χA(λ) = 0→ λ = 2 (doble), λ = 7S2 = R(1,0,0) + R(0,0,1) S7 = R(1,−1,1)
![Page 57: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/57.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo
ejemplo 1
A
100
= 2
100
A
001
= 2
001
A
1−1
1
= 7
1−1
1
![Page 58: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/58.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo
ejemplo 1
A
100
= 2
100
A
001
= 2
001
A
1−1
1
= 7
1−1
1
![Page 59: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/59.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo
ejemplo 1
A
100
= 2
100
A
001
= 2
001
A
1−1
1
= 7
1−1
1
![Page 60: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/60.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1⇒
A
1 0 10 0 −10 1 1
=
1 0 10 0 −10 1 1
diag(2,2,7)
A semejante a matriz diagonal
![Page 61: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/61.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1⇒
A
1 0 10 0 −10 1 1
=
1 0 10 0 −10 1 1
diag(2,2,7)
A semejante a matriz diagonal
![Page 62: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/62.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
Sea T : R3 → R3 la t.l. tal que
C(T )C =
3 0 00 4 0−1 −2 2
diagonalizar T si es posibleplanteamos χT (λ) = 0
→ λ = 3,4,2
T es diagonalizable (equivalente a diag(3,4,2))se busca base de vep para diagonalizar
![Page 63: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/63.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
Sea T : R3 → R3 la t.l. tal que
C(T )C =
3 0 00 4 0−1 −2 2
diagonalizar T si es posibleplanteamos χT (λ) = 0
→ λ = 3,4,2
T es diagonalizable (equivalente a diag(3,4,2))se busca base de vep para diagonalizar
![Page 64: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/64.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
Sea T : R3 → R3 la t.l. tal que
C(T )C =
3 0 00 4 0−1 −2 2
diagonalizar T si es posible
planteamos χT (λ) = 0
→ λ = 3,4,2
T es diagonalizable (equivalente a diag(3,4,2))se busca base de vep para diagonalizar
![Page 65: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/65.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
Sea T : R3 → R3 la t.l. tal que
C(T )C =
3 0 00 4 0−1 −2 2
diagonalizar T si es posibleplanteamos χT (λ) = 0
→ λ = 3,4,2T es diagonalizable (equivalente a diag(3,4,2))se busca base de vep para diagonalizar
![Page 66: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/66.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
Sea T : R3 → R3 la t.l. tal que
C(T )C =
3 0 00 4 0−1 −2 2
diagonalizar T si es posibleplanteamos χT (λ) = 0→ λ = 3,4,2
T es diagonalizable (equivalente a diag(3,4,2))se busca base de vep para diagonalizar
![Page 67: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/67.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
Sea T : R3 → R3 la t.l. tal que
C(T )C =
3 0 00 4 0−1 −2 2
diagonalizar T si es posibleplanteamos χT (λ) = 0→ λ = 3,4,2T es diagonalizable (equivalente a diag(3,4,2))
se busca base de vep para diagonalizar
![Page 68: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/68.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
Sea T : R3 → R3 la t.l. tal que
C(T )C =
3 0 00 4 0−1 −2 2
diagonalizar T si es posibleplanteamos χT (λ) = 0→ λ = 3,4,2T es diagonalizable (equivalente a diag(3,4,2))se busca base de vep para diagonalizar
![Page 69: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/69.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
S3 = R(−1,0,1)
S4 = R(0,−1,1)
S2 = R(0,0,1)
⇒ en la base B = {(−1,0,1), (0,−1,1), (0,0,1)} tenemos
B(T )B = diag(3,4,2)
![Page 70: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/70.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2S3 = R(−1,0,1)
S4 = R(0,−1,1)
S2 = R(0,0,1)
⇒ en la base B = {(−1,0,1), (0,−1,1), (0,0,1)} tenemos
B(T )B = diag(3,4,2)
![Page 71: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/71.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2S3 = R(−1,0,1)
S4 = R(0,−1,1)
S2 = R(0,0,1)
⇒ en la base B = {(−1,0,1), (0,−1,1), (0,0,1)} tenemos
B(T )B = diag(3,4,2)
![Page 72: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/72.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2S3 = R(−1,0,1)
S4 = R(0,−1,1)
S2 = R(0,0,1)
⇒ en la base B = {(−1,0,1), (0,−1,1), (0,0,1)} tenemos
B(T )B = diag(3,4,2)
![Page 73: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/73.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2S3 = R(−1,0,1)
S4 = R(0,−1,1)
S2 = R(0,0,1)
⇒ en la base B = {(−1,0,1), (0,−1,1), (0,0,1)} tenemos
B(T )B = diag(3,4,2)
![Page 74: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/74.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2S3 = R(−1,0,1)
S4 = R(0,−1,1)
S2 = R(0,0,1)
⇒ en la base B = {(−1,0,1), (0,−1,1), (0,0,1)} tenemos
B(T )B = diag(3,4,2)
![Page 75: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/75.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
dada la matriz
A =
2 −4 10 7 00 −5 2
diagonalizar A si es posibleplanteamos χA(λ) = 0
→ λ = 2,2,7S2 = R(1,0,0), S7 = R(1,−1,1)
no hay 3 vep l.i.
⇒ NO es diagonalizable
![Page 76: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/76.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3dada la matriz
A =
2 −4 10 7 00 −5 2
diagonalizar A si es posibleplanteamos χA(λ) = 0
→ λ = 2,2,7S2 = R(1,0,0), S7 = R(1,−1,1)
no hay 3 vep l.i.
⇒ NO es diagonalizable
![Page 77: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/77.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3dada la matriz
A =
2 −4 10 7 00 −5 2
diagonalizar A si es posible
planteamos χA(λ) = 0
→ λ = 2,2,7S2 = R(1,0,0), S7 = R(1,−1,1)
no hay 3 vep l.i.
⇒ NO es diagonalizable
![Page 78: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/78.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3dada la matriz
A =
2 −4 10 7 00 −5 2
diagonalizar A si es posibleplanteamos χA(λ) = 0
→ λ = 2,2,7
S2 = R(1,0,0), S7 = R(1,−1,1)
no hay 3 vep l.i.
⇒ NO es diagonalizable
![Page 79: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/79.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3dada la matriz
A =
2 −4 10 7 00 −5 2
diagonalizar A si es posibleplanteamos χA(λ) = 0→ λ = 2,2,7
S2 = R(1,0,0), S7 = R(1,−1,1)
no hay 3 vep l.i.
⇒ NO es diagonalizable
![Page 80: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/80.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3dada la matriz
A =
2 −4 10 7 00 −5 2
diagonalizar A si es posibleplanteamos χA(λ) = 0→ λ = 2,2,7calculamos S2,S7
S2 = R(1,0,0), S7 = R(1,−1,1)
no hay 3 vep l.i.
⇒ NO es diagonalizable
![Page 81: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/81.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3dada la matriz
A =
2 −4 10 7 00 −5 2
diagonalizar A si es posibleplanteamos χA(λ) = 0→ λ = 2,2,7S2 = R(1,0,0), S7 = R(1,−1,1)
no hay 3 vep l.i.
⇒ NO es diagonalizable
![Page 82: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/82.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3dada la matriz
A =
2 −4 10 7 00 −5 2
diagonalizar A si es posibleplanteamos χA(λ) = 0→ λ = 2,2,7S2 = R(1,0,0), S7 = R(1,−1,1)
no hay 3 vep l.i.
⇒ NO es diagonalizable
![Page 83: Diagonalización - fing.edu.uy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072617/62df2ab33edc6b7ddd0bbb4c/html5/thumbnails/83.jpg)
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3dada la matriz
A =
2 −4 10 7 00 −5 2
diagonalizar A si es posibleplanteamos χA(λ) = 0→ λ = 2,2,7S2 = R(1,0,0), S7 = R(1,−1,1)
no hay 3 vep l.i. ⇒ NO es diagonalizable