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Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe IITeil 10: Integralrechnung
Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik
Sommersemester 2010/11
Internetseite zur Vorlesung:
http://www.mathematik.hu-berlin.de/˜neumann/
Didaktik der Mathematik der S II, Integralrechnung Sommersemester 2010/11
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Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II
Der Integralbegriff
Zugänge zum IntegralMögliche Zugänge zum IntegralProbleme der Zugänge
Flächenberechnung über Ober- und Untersumme
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Mögliche Zugänge zum Integral
1. Bestimmung von orientierten (!) Flächeninhalten bzw.Flächeninhaltsfunktionen unter Funktionsgraphen(Ober- und Untersummen – Riemann-Integral)
2. Bestimmung von Stammfunktionen - Umkehrung des Ableitens3. Rekonstruktion von Beständen aus Änderungen
(siehe 1. Teil der Vorlesung)
Alle drei Aspekte sind bei der Behandlung der Differentialrechnung vonBedeutung und sollten berücksichtigt werden.Aber: In welcher Reihenfolge und mit welcher Gewichtung?
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Mögliche Zugänge zum Integral
1. Bestimmung von orientierten (!) Flächeninhalten bzw.Flächeninhaltsfunktionen unter Funktionsgraphen(Ober- und Untersummen – Riemann-Integral)
2. Bestimmung von Stammfunktionen - Umkehrung des Ableitens3. Rekonstruktion von Beständen aus Änderungen
(siehe 1. Teil der Vorlesung)
Alle drei Aspekte sind bei der Behandlung der Differentialrechnung vonBedeutung und sollten berücksichtigt werden.Aber: In welcher Reihenfolge und mit welcher Gewichtung?
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Probleme der Zugänge
Zu 1.: Bestimmung von (orientierten!) Flächeninhalten bzw.Flächeninhaltsfunktionen unter Funktionsgraphen(Ober- und Untersummen)
I „Klassischer Zugang“, der nach wie vor einen wichtigen Aspektbei der Behandlung des Integrals darstellen sollte
I ABER: Gefahr der Identifikation: „Integral = Flächeninhalt“I Häufig Vernachlässigung der Orientierung
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Probleme der Zugänge
Zu 1.: Bestimmung von (orientierten!) Flächeninhalten bzw.Flächeninhaltsfunktionen unter Funktionsgraphen(Ober- und Untersummen)
I „Klassischer Zugang“, der nach wie vor einen wichtigen Aspektbei der Behandlung des Integrals darstellen sollte
I ABER: Gefahr der Identifikation: „Integral = Flächeninhalt“I Häufig Vernachlässigung der Orientierung
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Probleme der Zugänge
Zu 1.: Bestimmung von (orientierten!) Flächeninhalten bzw.Flächeninhaltsfunktionen unter Funktionsgraphen(Ober- und Untersummen)
I „Klassischer Zugang“, der nach wie vor einen wichtigen Aspektbei der Behandlung des Integrals darstellen sollte
I ABER: Gefahr der Identifikation: „Integral = Flächeninhalt“I Häufig Vernachlässigung der Orientierung
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Probleme der Zugänge
Aufgabe aus TIMMSDidaktik der Mathematik der S II, Integralrechnung Sommersemester 2010/11
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Probleme der Zugänge
Außerdem:
Zu frühe analytische Definition des Riemann-Integrals∫ b
af (x)dx = lim
n→∞Un = lim
n→∞= On
(falls lim
n→∞Un = lim
n→∞= On
)führt zu „Missverhältnis von begrifflichem und terminologischemAnspruch gegenüber realisiertem Niveau der Diskussion“ (KIRSCH)
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Probleme der Zugänge
Zu 2.: Bestimmung von Stammfunktionen - Umkehrung des Ableitens
Über das Zusammentragen bisheriger Erkenntnisse:
Funktion Flächeninhaltsfunktionf mit A mit
f (x) = c A(x) = c·xf (x) = a·x A(x) = 1
2 ·a·x2
f (x) = x2 A(x) = 13 ·x
3
f (x) = x3 A(x) = 14 ·x
4
gelangt man zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung alsDefinition: ∫ b
af (x)dx := F(b)− F(a) mit F′(x) = f (x)
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Probleme der Zugänge
I Einseitig rechnerische OrientierungI Begrifflicher Zugang (was ist ein Integral?) kommt zu kurzI Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sollte eine
wichtige Erkenntnis sein, wird aber zur Definition „degradiert“.
„Antididaktische Inversion“
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Probleme der Zugänge
I Einseitig rechnerische OrientierungI Begrifflicher Zugang (was ist ein Integral?) kommt zu kurzI Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sollte eine
wichtige Erkenntnis sein, wird aber zur Definition „degradiert“.
„Antididaktische Inversion“
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Integration als Rekonstruktion von Beständen
Zu 3: Motivation der Integration überRekonstruktion von Beständen aus Änderungen
„Integrieren heißt Rekonstruieren“
(DANCKWERTS/VOGEL)
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Integration als Rekonstruktion von Beständen
Ein EinstiegsbeispielIn eine leere Badewanne wird eine gewisse Zeit Wasser eingelassen, danndie Wasserzufuhr gestoppt, gleichzeitig der Abfluss geöffnet und nach einerWeile wieder geschlossen:
Wie viel Wasser befindet sich nach einer beliebigen Zeit t in der Wanne?
Stellen Sie die Wassermenge als (stückweise definierte) Funktion in Abhän-gigkeit von der Zeit dar und fertigen Sie einen Graphen dieser Funktion an.
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Integration als Rekonstruktion von Beständen
.
I Aus der derZuflussgeschwindigkeitdes Wassers zu jedemZeitpunkt wird auf dieWassermenge in derWanne zu jedem Zeitpunktzurückgeschlossen.
I Zuflussgeschwindigkeit:Ableitung V ′(t) –momentaneÄnderungsrate derWassermenge
→ Aus der Änderungsrate V ′
die Funktion Vwiederhergestellt(rekonstruiert).
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Integration als Rekonstruktion von Beständen
Das lateinische Wort für Wiederherstellen ist „integrare“.
Vorteil des Zugangs:
I Grundverständnis vom Integrieren als Rekonstruieren
I Integral als orientierter Flächeninhalt
I Integral als Umkehrung der Ableitung
I Sinnvolle Anwendungsaufgaben nach Einführung desIntegralbegriffs
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Integration als Rekonstruktion von Beständen
Das lateinische Wort für Wiederherstellen ist „integrare“.
Vorteil des Zugangs:
I Grundverständnis vom Integrieren als Rekonstruieren
I Integral als orientierter Flächeninhalt
I Integral als Umkehrung der Ableitung
I Sinnvolle Anwendungsaufgaben nach Einführung desIntegralbegriffs
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Zusammenfassung
Vorgeschlagener Ablauf:
1. Rekonstruktion von Beständen aus Änderungen
2. Bestimmung von Flächeninhalten Ober- und Untersumme
3. Integral als Umkehrung der Ableitung: Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung
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Ober- und Untersumme unter der Normalparabel:Die Streifenmethode des Archimedes
Annäherung an den Flächeninhalt A, der von der Kurve zuf (x) = x2 und der x− Achse eingeschlossen wird.1. Schritt: Betrachtung des Intervalls I=[0;1],Teilung in n = 4 gleich große Teilintervalle
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Ober- und Untersumme für n = 4
Für Rechtecke der Breite 14 : Breite · Hohe
UntersummeU4 = 1
4 · f (04) +
14 · f (
14) +
14 · f (
24) +
14 · f (
34)
U4 = 14 · (0 + 1
16 + 14 + 9
16) =1464 ≈ 0, 22(FE)
ObersummeO4 = 1
4 · f (14) +
14 · f (
24) +
14 · f (
34) +
14 · f (
44)
O4 = 14 · (
116 + 1
4 + 916 + 1) = 30
64 ≈ 0, 47(FE)
U4 < A < O4
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Ober- und Untersumme für n = 4
Für Rechtecke der Breite 14 : Breite · Hohe
UntersummeU4 = 1
4 · f (04) +
14 · f (
14) +
14 · f (
24) +
14 · f (
34)
U4 = 14 · (0 + 1
16 + 14 + 9
16) =1464 ≈ 0, 22(FE)
ObersummeO4 = 1
4 · f (14) +
14 · f (
24) +
14 · f (
34) +
14 · f (
44)
O4 = 14 · (
116 + 1
4 + 916 + 1) = 30
64 ≈ 0, 47(FE)
U4 < A < O4
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Ober- und Untersumme für n = 4
Für Rechtecke der Breite 14 : Breite · Hohe
UntersummeU4 = 1
4 · f (04) +
14 · f (
14) +
14 · f (
24) +
14 · f (
34)
U4 = 14 · (0 + 1
16 + 14 + 9
16) =1464 ≈ 0, 22(FE)
ObersummeO4 = 1
4 · f (14) +
14 · f (
24) +
14 · f (
34) +
14 · f (
44)
O4 = 14 · (
116 + 1
4 + 916 + 1) = 30
64 ≈ 0, 47(FE)
U4 < A < O4
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Ober- und Untersumme für n = 4
Für Rechtecke der Breite 14 : Breite · Hohe
UntersummeU4 = 1
4 · f (04) +
14 · f (
14) +
14 · f (
24) +
14 · f (
34)
U4 = 14 · (0 + 1
16 + 14 + 9
16) =1464 ≈ 0, 22(FE)
ObersummeO4 = 1
4 · f (14) +
14 · f (
24) +
14 · f (
34) +
14 · f (
44)
O4 = 14 · (
116 + 1
4 + 916 + 1) = 30
64 ≈ 0, 47(FE)
U4 < A < O4
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Ober- und Untersumme für n = 4
Für Rechtecke der Breite 14 : Breite · Hohe
UntersummeU4 = 1
4 · f (04) +
14 · f (
14) +
14 · f (
24) +
14 · f (
34)
U4 = 14 · (0 + 1
16 + 14 + 9
16) =1464 ≈ 0, 22(FE)
ObersummeO4 = 1
4 · f (14) +
14 · f (
24) +
14 · f (
34) +
14 · f (
44)
O4 = 14 · (
116 + 1
4 + 916 + 1) = 30
64 ≈ 0, 47(FE)
U4 < A < O4
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Ober- und Untersumme für n = 4
Für Rechtecke der Breite 14 : Breite · Hohe
UntersummeU4 = 1
4 · f (04) +
14 · f (
14) +
14 · f (
24) +
14 · f (
34)
U4 = 14 · (0 + 1
16 + 14 + 9
16) =1464 ≈ 0, 22(FE)
ObersummeO4 = 1
4 · f (14) +
14 · f (
24) +
14 · f (
34) +
14 · f (
44)
O4 = 14 · (
116 + 1
4 + 916 + 1) = 30
64 ≈ 0, 47(FE)
U4 < A < O4
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Ober- und Untersumme für n Teilintervalle
2. Schritt: Betrachtung des Intervalls I=[0;1],Teilung in n gleich große Teilintervalle
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Ober- und Untersumme für n Teilintervalle für I=[0;x]
3. Schritt: Betrachtung des Intervalls I=[0;x]
für n Teilintervalle der Länge xn
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Aufgabe zu Schritt 2 und 3:
a) Zu Schritt 2:Ermitteln Sie Un und On für f (x) = x2 über dem Intervall I = [0, 1].
Verwenden Sie dazu die Summenformeln∑
k=1k2 = 1
6 · n · (n + 1) · (2n + 1)
und bestimmen Sie limn→∞
Un bzw. limn→∞
On.
Hausaufgabe:b) Zu Schritt 3:Ermitteln Sie wieder lim
n→∞Un bzw. lim
n→∞On jedoch nun für I = [0; x].
c) Ermitteln Sie limn→∞
Un bzw. limn→∞
On für I = [0; x]
für die Funktion f zu f(x) = 2x2 + x.
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