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Digitale Messdatenverarbeitung mit Mikrorechnern
Digitale System- und Signalanalyse
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2DMM
GliederungGliederung
• 5.1 Einführung• 5.2 Abtastung• 5.3 Differenzengleichung
• 5.4 Laplacetransformation• 5.5 Z-Transformation
• 5.6 Näherungsweise Z-Transformation• 5.7 Übersicht über die Transformationen
• Beispiel: Tiefpass 1. Ordnung
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3DMM
5.1 Einführung
Die Fourier-Transformation erfolgt in der Praxis mit Hilfe von digitaler Signalverarbeitung, d.h. das zu analysierende Signal muss zunächst mit Hilfe eines Analog-Digital-Wandlers abgetastet und in der Amplitude quantisiert werden.
kontinuierliches Eingangssignal
zeitdiskretes Signal
Information über den Zeitverlauf gehen verloren
durch Abtastung:
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4DMM
Digitale Signale und Systeme:
Ein Beispiel aus der Regelungstechnik:Der digitale Regelkreis
A/D Regler D/A H Strecke
w(t) e(t) ê(kT)e(kT) û(kT) u(kT) u(t) y(t)
H: Halteglied
Moderne A/D oder D/A-Wandler sind sehr hochauflösend.
Sie können daher in den weiteren Betrachtungen weg-gelassen werden !
Ihre Quantisierungsfehler sind somit vernachlässigbar.
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5DMM
5.2 Abtastung und Aliasing-EffektAbtaster:Abtastung zu äquidistanten Zeitpunkten t = T (mit =0,1,...)Vereinfachung: t = Abtastfrequenz: T = 2/T mit T als Abtastzeit
Der Abtastvorgang eines analogen Signals entspricht der Modulation einer Impulsreihe von Dirac-ImpulsenDer Abtastvorgang eines analogen Signals entspricht der Modulation einer Impulsreihe von Dirac-Impulsen
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6DMM
Die Bandbreite des Eingangssignals muss begrenzt sein, da andernfalls durch die Abtastung die Eindeutigkeit aufgrund von Aliasing-Effekten verloren geht. Nach dem Abtasttheorem von Shannon muss die Abtastfrequenz fA mindestens doppelt so hoch sein, wie die größte auftretende Frequenz des Eingangssignals.
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7DMM
Wird das Abtasttheorem von Shannon T > 2max eingehalten, so kann kein Aliasing auftreten.
Da wichtige Signale in der Mess- und Regeltechnik nicht band-begrenzt sind (Sprung, Impuls), ist dies jedoch problematisch !
Aliasing-Effekt
Abhilfe: Antialiasing-Filter filtert Frequenzen > T /2 heraus Tiefpass
In der Folge können- versteckte Schwingungen auftreten oder- hochfrequente Störungen durch das Aliasing in einen tieferen Frequenzbereich transformiert werden.
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8DMM
5.3 Differenzengleichungen
Lineare dynamische Systeme mit dem Eingangssignal u(t) und dem kontinuierlichen Ausgangssignal y(t) können durch DGL´n beschrieben werden:
dny/dtn + ... + a1 dy/dt + a0 y = bm dm u/dtm + ... + b1 du/dt + b0 u
Laplace-transformiert:
Y(s) (sn + ... + a1 s + a0) = U(s) (bm sm + ... + b1 s + b0)
Dann ist G(s) = Y(s) / U(s) die (kontinuierliche) Übertragungsfunktion
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9DMM
Bei zeitdiskreten Signalen liegen diese n bzw. m Ableitungen nicht vor:Man kann die Ableitungen daher näherungsweise durch die Differenzenquotienten ersetzen:
dy/dt|t= T y(T) / T =y(T) – y(( - 1)T)
T(1. Ableitung)
Höhere Ableitungen werden als Differenzen der Differenzen gebildet:
y(T) – 2y(( - 1)T) + y(( - 2)T)
T2
d2y/dt2|t= T y(T) – y(( - 1)T)
T2
= (2. Ableitung)
( = 0,1,2,...)
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10DMM
Nach Einsetzen der Differentialquotienten in die DGL entsteht eine Differenzengleichung, die eine Beziehung zwischen n zeitlich zurückliegenden Abtastwerten des Ausgangssignals und n zurückliegenden Werten des Eingangsignals herstellt (Annahme m=n) :
Sind die letzten n Werte des Ausgangs und m Werte des Eingangs als Anfangswerte bekannt so lässt sich die Differenzengleichung rekursiv lösen, indem sie nach y(T) aufgelöst wird (T weggelassen) :
Anfangswerte (nm) :y(i) = y0i i= -n+1, -n+2,...,0u(j) = u0j j= -m+1, -m+2,...,0
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11DMM
Damit wird deutlich:
1. Ein dynamisches System bildet den Verlauf der Eingangsgröße in den Verlauf der Ausgangsgröße ab.
2. Die Differenzengleichung beschreibt das Systemverhalten „lokal“ in dem Sinne, dass die Werte der Eingangs- und Ausgangsgrößen zu n Abtastzeitpunkten ausreichen, um den nächsten Wert der Ausgangsgröße zu bestimmen.
3. Das zeitdiskrete System ist kausal, denn in die Bestimmung von y() gehen nur Werte von u und y ein, die zum selben Zeitpunkt oder früher aufgetreten sind.
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12DMM
Analog zum Kontinuierlichen lässt sich beispielsweise für ein System 2.Ordnung folgendes Blockschaltbild (in BNF) zeichnen:
u()
y()
T T
b0b1b2
a1a2
Die Nummerierung der Koeffizienten isthier jedoch entgegengesetzt !
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13DMM
Beispiel Aufstellen einer Differenzengleichung aus einer DGL
DGL eines PT1 : T1 dy/dt + y = u
Einsetzen des Differenzenoperators liefert:
y(T) – y(( - 1)T)T
T1 + y(T) = u(T)
(T1/T + 1) y(T) – T1/T y(( - 1)T) = u(T)
Aufgelöst nach dem neusten Ausgangselemententsteht eine Differenzengleichung:
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14DMM
Fouriertransformation DFT
Laplace Transformation Z-Transformation
kontinuierlich diskret
Übersicht Transformationen
FFT
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15DMM
Von der Fourier- zur LaplacetransformationVon der Fourier- zur Laplacetransformation
Fouriertransformation
Probleme
• technische Signale beginnen zu einem bestimmten Zeitpunkt• viele Signale sind nicht fouriertransformierbar, weil das Integral nicht existiert
Fourierrücktransformation
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16DMM
Lösung:• Beginn zum Nullzeitpunkt:
rechtsseitige Laplacetransformation f(x)=0, für x < 0
• Konvergenz für viele Funktionen durch „Dämpfung“ erzwingen
Einfügen eines Faktors exp(-t)
mit
Laplace-Integral
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17DMM
5.4 Definition Laplace - Transformation
Es werden bei der System- und Signalanalyse mit der Laplace-Transformation nur Zeitfunktionen f(t) betrachtet, deren Funktionswerte für t < 0 verschwinden.
Zeitfunktionen mit der Eigenschaft
f t für t( ) 0 0
heißen kausale Zeitfunktionen. Betrachtet man also nur kausale Zeitfunktionen, dann läßt sich folgende Definition der einseitigen Laplace-Transformation geben, bei der die untere Integrationsgrenze über den Zeitbereich bei t = 0 beginnt:
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18DMM
Unter der Laplace-Transformierten L{f(t)} der Zeitfunktion f(t) versteht man die durch die Funktionaltransformation
L f t F(s f t e dtst( ) ) ( )
0
definierte Funktion F(s). Dabei ist s = + j eine komplexe Variable, durch die Konvergenz für alle praktisch vorkommen-den Zeitfunktionen erreicht werden kann.
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19DMM
Laplace-Transformation einer Stufenfunktionf
t 1T 2T 3T nT (n+1)T
n
Das Laplace-Integral für die abschnittsweise konstante Funktion ergibt:
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20DMM
HaltegliedHalteglied
Geht man vom analogen Ursprungssignal y1(t) aus erhält man nach Abtastung, A/D und D/A –Wandlung als Ausgangsignal des Haltegliedes y2(t) :
A/D
D/A H
Das Halteglied GH (s) tritt bei jeder Laplacetransformation einer Stufenfunktion auf
• Es ist das mathematische Modell des A/D-Umsetzers
• Da es immer auftritt, kann es zur Vereinfachung weggelassen werden
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21DMM
• Durch die Abtastung ist die Laplace- Transformierte periodisch
j
j /2A
jA
• Um zu einer nichtperiodischen Darstellung zu kommen wird die komplexe Variable z eingeführt
Die komplexe s-Ebene
• gesucht ist also eine konforme Abbildung, die die periodischen Wiederholungen der s-Ebene auf sich selbst abbilden:
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22DMM
5.5 Die z-Transformation
mit
folgt die Definition der z-Transformation
• z-n trennt die Funktionswerte voneinander
• z-n entspricht einer Zeitverzögerung von n mal T von t=0 aus gesehen
Aus der Laplace-Transformierten einer Impulsreihe
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23DMM
Eigenschaften der Z-Transformation
Die Z-Transformation geht aus der Laplace-Transformation hervor und weist daher auch ähnliche Rechenregeln auf.
Überlagerungssatz: Die Z-Transformation ist eine lineare Transformation d.h., es gilt
Z{a f1() + b f2()} = a Z{ f1()} + b Z{f2()}
Verschiebungssatz: Verschiebung um ganze kT (k 0):
Z{f( - k)} = Z{f()} z –k
z auch als Verschiebeoperator bezeichnet.Da Systeme i.A. verzögernden Charakter haben, wird meist mit negativen Potenzen von z gerechnet.Die Multiplikation von F(z) mit z –1 bedeutet, dass die Folge f(k) um einen Abtastschritt nach rechts verschoben wird.z–1 ist also ein Verzögerungsoperator!
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24DMM
Eigenschaften der Z-Transformation
Faltungssatz: Für die Faltung zweier Folgen f1(k)f2(k) gilt:
Grenzwertsätze:Satz vom Anfangswert: f(0) kann aus Z{f()} für z bestimmt werden, vorrausgesetzt dieser Grenzwert existiert:
Satz vom Endwert: Falls dieser Grenzwert existiert gilt:
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25DMM
Summensatz: Es wird die aus der Folge f(k) durch Summenbildung erhaltene Folge betrachtet:
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26DMM
Übertragungsfunktion
Die bekannte Differenzengleichung
Führt man für die Wertefolgen y() und u() die Z-Transformierten ein, so lässt sich der Verschiebungssatz der Z-Transformation anwenden:
Yz(z)(1 + a1 z -1 + a2 z -2 + ... + anz -n )
= Uz(z)(b0 + b1 z -1 + b2 z -2 + ... + bnz -n )
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27DMM
Gz(z) = Yz(z)Uz(z)
=b0 z n + b1 z n-1 + b2 z n-2 + ... + bn z n + a1 z n-1 + a2 z n-2 + ... + an
=b0 + b1 z -1 + b2 z -2 + ... + bnz -n
1 + a1 z -1 + a2 z -2 + ... + anz -n
Als Quotient der Signale entseht eine Übertragungsfunktion, die Impulsübertragungsfunktion:
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28DMM
Die komplexe z-Ebene
Re{z}
Im{z}
j
• Die (stabile) linke Halbebene wird auf das Innere des Einheitskreises abgebildet.• Die j-Achse wird auf den Einheitskreises abgebildet.
• s=0 wird auf z=1 abgebildet.
S=0Z=1
S= 0,25 j
S= 0,5 j =- 0,5 j
=j/2
s z
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29DMM
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30DMM
Rücktransformation
Der Integrationsweg des Ringintegrals ist so zu wählen, dass er alle Singularitäten des Integranden umschließt.
Die Zuordnung einer Z-Transformierten zu einer Folge ist umkehrbar eindeutig.Direkte Rücktransformation
PBZ und KorrrespondenztabelleDie Z-Transformierte wird mit einer Partialbruchzerlegung in Summanden zerlegt und in Tabellen rücktransformiert.
PolynomdivisionDie Z-Transformierte wird mit z -n erweitert und der Zähler abdividiert. Es entsteht eine Potenzreihe in z -k, die direkt der Folge entspricht.
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31DMM
Zeitdiskret vs. kontinuierlich!Zeitdiskret vs. kontinuierlich!
Eine Impulsübertragungsfunktion ist als Anregung
für kontinuierliche Systeme technisch nicht
realisierbar. In der Praxis werden statt Impulsen,
Stufenfunktionen verwendet, die durch ein
Halteglied modelliert werden können.
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32DMM
Die Dynamik des Haltegliedes wird im
zeitdiskreten mit dem Term:
z
zGH
1
berücksichtigt.
Um aus einer Impulsübertragungsfunktion die Stufenübertragungsfunktion zu berechnen muss demzufolge die Übertragungsfunktion des Haltegliedes mit der Impulsübertragungsfunktion multipliziert werden.
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33DMM
5.6 Näherungsweise Z-Transformationexakte Z-Transformation z = eTs
Umkehrfunktion für s = 1/T ln z nicht zu einer gebrochen rationalen Funktion auflösbareinfachere Beziehungen gesucht, die auf gebrochen rationalen Zuordnungen beruhen.
Integration nach der Rechteckregel:Dazu betrachtet man die Sprungantwort eines einzelnen Integrators:
t = Tu
()
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34DMM
Obersumme : y = y() - y(-1)
In z geschrieben lautet der Zusammenhang:
Mit G(s) = Y(s) / U(s) = 1/s (Integrator !) folgt:
y = u dt dy/dt = u() y = t u()
y() - y(+1) = T u()
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35DMM
Entsprechend erhält man für die Untersumme, indem man der Fläche y u(-1)T statt u()T zuordnet:y() - y(+1) = T u(-1) und damit schließlich:
Untersumme:
t = T
u()
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36DMM
TrapezregelHier erhält man:
y() - y(+1) = T (u() + u( - 1)) / 2
Dies ergibt transformiert:
und damit:
Das selbe Ergebnis erhält man, wenn man in s = 1/T ln z (exakte Z-Trafo)den Logarithmus durch eine Reihenentwicklung annähert:
Abbruch nach dem ersten Gliedführt wieder auf die Tustinformel
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37DMM
Graphische Gegenüberstellung
Die exakte Z – Transformation bildet Geraden parallel zur imaginären Achse auf Kreise um den Ursprung in z ab. Die imaginäre Achse selbst wird auf den Einheitskreis in z abgebildet. Parallelen zur reellen Achse werden auf Geraden durch den Ursprung in z abgebildet.
Exakte Transformation
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38DMM
Transformation nach der Rechteckregel - Untersumme
Die Abbildung nach der Untersumme liefert optisch die schlechteste Anpassung.
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39DMM
Die Abbildung nach der Obersumme wirkt optisch etwas besser, weist aber noch erhebliche Verzerrungen auf.
Transformation nach der Rechteckregel - Obersumme
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40DMM
Transformation nach der Trapezregel
Für kleine Abtastzeiten in Relation zur Lage der Pole liefert die Tustinformel (Trapezregel) relativ gute Abbildungseigenschaften.
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41DMM
Ist eine bilineare Abbildung. Sie lässt sich immer als näherungsweise Z-Transformation verwenden, weil sich jede lineare DGL n-ter Ordnung in ein System linearer DGL´n erster Ordnung umschreiben lässt.
Wird für z wieder die komplexe Variable s eingeführt, erhält man den Zusammenhang zwischen der Frequenz a des kontinuierlichen analogen Systems und der Frequenz d des durch die bilineare Transformation genähertenzeitdiskreten digitalen Übertragungssystems, wenn man z = eTa s = e jdTa setzt :
s = j a = 2/Ta e jdTa - 1 e jdTa + 1
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42DMM
a = 2/Ta
(1/2j) (e jdTa /2 - e -jdTa /2 )
(1/2) (e jdTa /2 + e -jdTa /2 )
sin (dTa /2)
cos (dTa /2)
= 2/Ta tan (dTa /2)
Ist das Verhältnis s/ a zu berechnen, entfällt aus Normierungsgründen bei der Tustin-Formel der Faktor 2/Ta.
In diesem Fall ist
umgeformt: fa = 1/Ta tan (fdTa )nach fd aufgelöst: fd = 1/Ta arctan (faTa )
s = j a = 2/Ta e jdTa - 1 e jdTa + 1
* e -jdTa/2
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43DMM
5.7 Übersicht Transformationen
Abgetastete Impulsantwort Impuls-Übertragungsfunktion
kontinuierlich
diskret
Impulsantwort g(t)
Z
Z -1
Übertragungsfunktion G(s)L
L-1
Rek
onst
rukt
ione
n
Abt
astu
ng
Näherung
exakt (nicht praktikabel !)
G(s) G(z) (exakt) : Die Abhängigkeit von s und z entsteht durch das Abtast-Halteglied
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44DMM
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45DMM
Beispiel: Tiefpass 1. Ordnung
1. Übertragungsfunktion in s aufstellen
2. Bilineare Transformation nach z
3. Umformen, so dass sich eine Gleichung in z-1 ergibt
4. Nach Y(z) auflösen
5. In den Zeitbereich zurücktransformieren
6. Filterkoeffizienten ermitteln
7. Filter testen