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Dimensionnement de problèmes géomécaniques
quasistatiques grâce à un critère de stabilité matériel sous
Cast3M
F. Prunier, B. Chomette, M. Brun, F. Darve
INSA de Lyon/LGCIE
28/11/2014
Prunier et al. (INSA de Lyon/LGCIE) Dimensionnement de problèmes géoméca 28/11/2014 1 / 23
1 Stabilité dans les matériaux élasto-plastiques
2 Stabilité d’un ouvrage : coefficient de sécurité
3 Conclusions
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Stabilité dans les matériaux élasto-plastiques
Corpus théorique à l’échelle du VER I
Critère suffisant de stabilité de Hill [1]hypothèse : solide soumis à des charges mortes sur une partie de safrontière et fixe sur le reste de sa frontière.
∫{∫
δsijd
(
∂uj
∂Xi
)}
dV0 > 0 (1)
Sous hypothèse de petites déformations, sur un VER :
w2 = dσ : dε > 0 (2)
Soit Nt l’opérateur tangent tel que
dε = N dσ (3)
alorsw2 = dσ Ns dσ (4)
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Stabilité dans les matériaux élasto-plastiques
Corpus théorique à l’échelle du VER II
1
0. 5
0
0.5
1
1
0. 5
0
0.5
11
0. 5
0
0.5
1
1
0. 5
0
0.5
1
1
0. 5
0
0.5
110
5
0
5
10
(λ1, λ2, λ3) > 0 (λ1, λ2) > 0, λ3 = 0
(λ1, λ2) > 0, λ3 < 0 λ1 > 0, λ2 = 0, λ3 < 0
Figure : Solutions de l’équation : w2 = 0 ⇔ λ1X2 + λ2Y
2 + λ3Z2 = 0, qui est
une réduction de la quadrique dσ Ns dσ = 0 [2]
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Stabilité dans les matériaux élasto-plastiques
Illustration et signification physique à l’échelle du VER I
considérons un chemin de sollicitation proportionnel en contraintes :
dσ1 = cst cst ∈ R∗
dσ1 + R dσ3 = 0 R ∈ R∗
dσ2 = dσ3
(5)
70 75 80 85 90 95 100 105 110 1150
5
10
15
20
25
30
35
40
45
(a)
expériementalINL
p (kPa)
q(k
Pa)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70
5
10
15
20
25
30
35
40
45
(b)
expériementalINL
q(k
Pa)
ε1 (%)
Figure : Réponses du chemin proportionnel en contraintes pour un sable lâche.
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Stabilité dans les matériaux élasto-plastiques
Illustration et signification physique à l’échelle du VER II
0 200 400 600 800 1000 12000
500
1000
1500
2000
2500
0 50 100 150
50
100
150
200
250
300
350
400
(a) (b)
√2 σ3 (kPa)
√2 σ3 (kPa)
σ1
(kPa)
σ1
(kPa)
limite du domainede bifurcation chemin de chargement
Figure : Cônes d’instabilité pour ce sable lâche le long du trajet imposé, etdomaine de bifurcation.
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Stabilité dans les matériaux élasto-plastiques
Illustration et signification physique à l’échelle du VER III
102 103 104 105 106
110.5
111
111.5
112
112.5
113
113.5
114
(b)σ1 (kPa)
ε1−
2ε3 R
100 105 110 115 120 125 130 135 140-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
expériementalINLpic de εv
σ1 (kPa)
ε1−
2ε3 R
Figure : Cônes d’instabilités et définition d’une règle d’écoulement généralisée [3]
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Stabilité dans les matériaux élasto-plastiques
Illustration et signification physique à l’échelle du VER IV
Relation constitutive généralisée en variables mixtes :
dε1 −2dε3
Rdσ1 + R dσ3
= S
dσ1
2dε3
R
(6)
au "pic" de ε1 −2ε3
Ron a :
S
dσ1
2dε3
R
=
[
00
]
(7)
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Stabilité dans les matériaux élasto-plastiques
Lien avec l’énergie cinétique
On peut montrer que [4] :
2Ec(t + δt) = −∫
V0
δsij
(
∂(δuj )
∂Xi
)
dV0 (8)
hypothèses :
à t le solide est à l’équilibre
le solide est soumis à des charges mortes sur une partie de son contouret fixe sur le reste
Ec(t) de classe C 1 au moins ⇒ Ec(t) = Ec(t) = 0
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Stabilité dans les matériaux élasto-plastiques
Stabilité locale dans les problèmes aux limites
Normalisation de w2 :
w2n =w2
||dσ|| ||dε|| (9)
Figure : Isovaleurs de w2n
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Stabilité d’un ouvrage : coefficient de sécurité
intégration de w2
après calcul "technique" d’intégration par éléments finis [5] :
W2 =
∫
V
dε dσ dV = dQ K dQ = dQ dF (10)
normalisation :
W2n =W2
∫
V||dσ|| · ||dε|| dV
(11)
W2n peut être utilisé comme un facteur de sécurité : positif la structureest stable sur le chemin imposé par les conditions limites, négatif ou nul lastructure est instable.Castem : utiliser la fonction INTG pour l’intégration du dénominateur.pour le numérateur on a le choix : INTG ou produit scalaire dQ dF
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Stabilité d’un ouvrage : coefficient de sécurité
vérification sur un problème homogène I
Essais triaxial non drainé sur matériaux lâche.
Uz
Ur = −Uz/2
Figure : Maillage et conditions limites pour l’essai non drainé (C.U.+u).
chemin de sollicitation et relation constitutive associée :
P
{
dεz
dσr
}
=
{
dq
dεv
}
(12)
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Stabilité d’un ouvrage : coefficient de sécurité
vérification sur un problème homogène II
60 70 80 90 1000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Displacement controlledForce controlled
diverged point out of scale
q(k
Pa)
p′ (kPa)0 5 10 15 20
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
displacement controlledForce controlled
diverged point out of scale
εz (%)
W2n
Figure : Réponse du modèle dans un plan d’invariants. Évolution de W2n et w2n
pour les deux type de contrôles.
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Stabilité d’un ouvrage : coefficient de sécurité
vérification sur un problème homogène III
Castem : pour le pilotage en déviateur, on utilise les multiplicateurs deLagrange pour imposer εv = 0 aux limites. Une condition RELA pour lebord haut et une deuxième condition RELA pour lier le bord haut et le borddroit cinématiquement.
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Stabilité d’un ouvrage : coefficient de sécurité
Calcul d’une paroi clouée I
Figure : Principe de construction d’un mur cloué. Dimensions (en find’excavations) et conditions limites
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Stabilité d’un ouvrage : coefficient de sécurité
Calcul d’une paroi clouée II
isovaleurs pour la phase de construction la plus critique.
Figure : εp
eqet w2n à la dernière excavation juste avant d’insérer la dernière ligne
de clous.
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Stabilité d’un ouvrage : coefficient de sécurité
Calcul d’une paroi clouée III
Figure : Déformée du maillage sous chargement. Maximum atteint vers 500 kPa
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Stabilité d’un ouvrage : coefficient de sécurité
Calcul d’une paroi clouée IV
Figure : εp
eqet w2n à la divergence du calcul
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Stabilité d’un ouvrage : coefficient de sécurité
Calcul d’une paroi clouée V
0 5 10 15 20/0 100 200 300 400 500 6000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
incrément de calcul / contrainte en tête (kPa)
W2n
phasage travaux chargement
Figure : Évolution de W2n sur l’ensemble du calcul de la paroi
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Stabilité d’un ouvrage : coefficient de sécurité
Calcul d’une paroi clouée VI
Castem : Calcul fait par succession de reprise de calcul. Les maillagesexcavés sont obtenus avec l’opérateur DIFF. Les modèles, et états decontraintes-déformations projetés avec l’opérateur REDU.
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Conclusions
Conclusions et perspectives
w2n et W2n critères d’analyse de stabilités pertinents dans lesproblèmes élasto-plastiques non associés et plus généralement dans lesproblèmes de structure "sans viscosité" avec perte de symétriemajeure de l’opérateur tangent (exemple pendule de Ziegler avec forcesuiveuse [6]).
critère facile à utiliser expérimentalement et facile à implémenter danstout type de code de calcul.
formulation physique du problème doit décrire la physique observée(formulation de la loi de comportement et schéma numérique doiventêtre adapté). Exemple : problème de description de la localisation aumoment de la rupture.
perspective : formulation d’un problème en dynamique pour décrire latransition de régime statique vers dynamique au moment de la pertede stabilité (à faire sur un problème de liquéfaction pour éviter lesproblèmes liés à la description de localisation des déformations).
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Conclusions
Références I
R. Hill, A general theory of uniqueness and stability in elasto-plasticsolids, Journal of the Mechanics and Physics of Solids 6 (1958)236–249.
F. Prunier, F. Nicot, F. Darve, F. Laouafa, S. Lignon, 3d multi scalebifurcation analysis of granular media, Journal of EngineeringMechanics (ASCE) 135(6) (2009) 493–509.
F. Laouafa, F. Prunier, A. Daouadji, H. Al-Gali, F. Darve, Stability ingeomechanics, experimental and numerical analyses, InternationalJournal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics 35(2)(2011) 112–139.
F. Nicot, F. Darve, A micro-mechanical investigation of bifurcation ingranular materials, International Journal of Solids and Structures 44(2007) 6630–6652.
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Conclusions
Références II
F. Prunier, F. Laouafa, S. Lignon, F. Darve, Bifurcation modeling ingeomaterials : from the second-order work criterion to spectralanalyses, International Journal for Numerical and Analytical Methodsin Geomechanics 33 (2009) 1169–1202.
J. Lerbet, M. Aldowadji, N. Challamel, F. Nicot, F. Prunier, F. Darve,P-positive definite matrices and stability of nonconservative systems.,Journal of Applied Mathematics and Mechanics (ZAMM) 92(5) (2012)409–422.
Prunier et al. (INSA de Lyon/LGCIE) Dimensionnement de problèmes géoméca 28/11/2014 23 / 23