Matemáticas V - Geometría Analítica Prof. Jesús Calixto Suárez. 49
V. DISCUSIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS
A. ANÁLISIS DE UNA ECUACIÓN
En la geometría analítica hay dos problemas por resolver: 1. Dada la ecuación de una curva construir una gráfica. 2. Dadas algunas condiciones de la gráfica encontrar su ecuación.
Por el momento el primer caso ya se estudió. Por ejemplo; la ecuación 2 1y x
2 1f x x se puede realizar su gráfica.
Para el segundo caso se tiene que hacer un análisis de la ecuación, que consiste en encontrar:
1. Intersecciones con los ejes. 2. Simetrías con los ejes. 3. Extensiones para x (dominio), para y (imagen) y asíntotas. 4. Tabulación y gráfica.
1. INTERSECCIONES CON LOS EJES.
Veamos que sucede cuando una curva corta al eje x o al eje y.
Como podrás darte cuenta, siempre que una curva corta al eje x, en estos puntos la ordenada (y) siempre toma el valor de cero, y en las intersecciones con el eje y la abscisa (x) es la que vale cero, es decir:
Intersecciones con el eje x
Intersección con el eje y
A B C
D
Coordenadas de estos puntos: A (¿quién sabe?, 0) B (¿quién sabe?, 0) C (¿quién sabe?, 0) D (0, ¿quién sabe?)
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Ejemplo: Encontrar las intersecciones con los ejes coordenada x e y si la ecuación de la
curva es: 2 4x xy y
Primero para las intersecciones con el eje x (se hace 0y ), sustituyendo; 2 (0) 0 4x x 2 4x 2x ó 2x
Entonces las intersecciones con el eje x son:
Para las intersecciones con el eje y (se hace 0x ), se tiene:
2
0 0 4y y
4y
entonces la intersección con el eje y es:
Ejercicios.- Encuentra las intersecciones con los ejes de las siguientes ecuaciones:
a) 2 2 9x y
b) 2 6 16x xy y
c) 2 4 1 0y xy x
d) 2 6 8 0x x y
e) 2 8 7 0y y x
Para encontrar las intersecciones con el eje x, se hace:
y=0 y se despeja x.
De igual maneara para el eje y, se hace: x=0 y se despeja y.
(–2,0) (2,0)
(0, 4)
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2. SIMETRÍAS
Para las simetrías, tenemos que una función es simétrica con el eje x si lo que está arriba del eje x es lo mismo que lo que está abajo
la simetría con el eje y se presenta si lo que hay a la derecha del eje y es lo mismo que del lado izquierdo.
Finalmente, una ecuación tiene simetría con el origen si al trazar la curva y x lo que hay
arriba de ella es lo que hay abajo.
Ejemplo.- Encontrar las simetrías de la ecuación 2 8 2 17 0y x y
Para la simetría con el eje x se tiene que observar el exponente de y, si contiene sólo
términos cuadráticos 2y o con potencias pares 2 4 6, , , ...y y y , entonces sí hay
simetría con x, así, nuestra ecuación tiene a 2y (exponente par) y a 12y (exponente
impar), por tanto no hay simetrías con el eje x. www.calix
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Para ver la simetría con el eje y, de manera análoga, sólo debe de haber exponentes pares para x, y en nuestra ecuación hay 8x (exponente impar), por tanto tampoco hay simetría con el eje y.
Finalmente, para la simetría con el origen, tanto x como y deberán presentar exponentes pares, o bien, tener el término xy, o ambas cosas. Para nuestra ecuación
2 8 2 17 0y x y no hay simetrías con el origen, pues existen 12y y 8x con
exponentes impares.
Ejercicios.- Decir si hay simetrías con el eje x, con el eje y o con el origen para:
a) 2 22 0x x y
b) 2 2 4x y
c) 2 24 16x y
d) 2 2 0x xy y
e) 2 26x x y
3. EXTENSIONES (DOMINIO E IMAGEN)
Cuando tenemos una ecuación 3 6 0xy x , encontrar las extensiones significa encontrar
el Dominio (extensión para x) y la imagen o rango (extensión para y).
A) EXTENSIÓN PARA X (DOMINIO)
Primero despejamos a y y posteriormente contestaremos, tomando en cuenta dicho despeje, qué valores puede asumir x.
3 6 0xy x
3 6xy x
3 6xy
x
¿Qué valores puede tomar x? Bueno, esto también ya se había realizado cuando se calculó el dominio de funciones sin graficar y como x está como denominador no podrá tomar el valor de cero. Esto quiere decir que en 0x hay una asíntota vertical
éste término tiene “y” y además es positivo, por tanto, se quedará de este lado de la igualdad y quitaremos lo demás.
ahora sólo falta quitar “x” que está multiplicando con “y”
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es decir, la extensión para x es E ,0 0,x
B) EXTENSIÓN PARA Y (IMAGEN O RANGO)
Para la extensión de y, despejamos a x: 3 6 0xy x
como hay dos términos que tienen a x, los dejaremos del lado izquierdo 3 6xy x
factorizando a x
3 6
6
3
x y
xy
¿Qué valores puede tomar y? Recuerda que en los números reales no hay raíces cuadradas
de números negativos y tampoco divisiones por cero, entonces en 6
3x
y
claramente y no
puede ser 3. Esto quiere decir que hay ahora una asíntota horizontal en 3y
y para la extensión en y tenemos: E ,3 3,y
Asíntota vertical, coincide con el eje y x=0
Extensión de x Extensión de x Ext
ensi
ón
de
y E
xten
sió
n d
e y
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Ejercicios.- Encontrar las extensiones para x (despejar y) y las extensiones para y (despejar x)
a) 2 4 0xy y
b) 5 2 0xy x y
c) 2 6 2 3xy y
d) 2 4 4 20 0x x y
e) 2 29 16 144x y
4. TABULACIÓN Y GRÁFICA
En esta cuarta y última parte que se tiene que realizar en el análisis de una ecuación, hay que tomar el despeje de y y hacer una tabulación como ya la has realizado cuando graficaste una función, tomando en cuenta la información obtenida de las intersecciones con los ejes, extensiones, asíntotas y simetrías. Realicemos un ejemplo completo de como analizar una ecuación. Ejemplo 1.- Analizar la ecuación 2 3 6 0xy y
Consideremos la siguiente tabla, la cual la puedes utilizar para cualquier ecuación que desees analizar y completemos la información requerida:
Se hace Operaciones Intersecciones con los ejes
0y y se despeja a x Con x: ( , 0)
( , 0)
0x y se despeja y Con y: ( 0, )
( 0, )
Simetrías
Ver exponentes pares de x
Con y: ( sí ) ( no )
Ver exponentes pares de y
Con x: ( sí ) ( no )
Ver exponentes pares de x e y y si está el término xy
Con el origen: ( sí ) ( no )
Extensiones
Se despeja x Para y: x
Asíntota horizontal y
Se despeja y Para x: y
Asíntota vertical x www.calix
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Completando la tabla tenemos:
Se hace Operaciones Intersecciones con los ejes
0y y se despeja a x 2 0 3 0 6 0
6 0¡Absurdo!
x
Con x: ( no , 0)
( no , 0)
0x y se despeja y
2 0 3 6 0
6 3
2
y y
y
y
Con y: ( 0, 2 )
( 0, )
Simetrías
Ver exponentes pares de x
impar
2 3 6 0xy y Con y: ( sí ) ( no )
Ver exponentes pares de y
impar
2 3 6 0xy y Con x: ( sí ) ( no )
Ver exponentes pares de x e y y si está el término xy
Además de xy está y
2 3 6 0xy y
Con el origen:
( sí ) ( no )
Extensiones
Se despeja x
2 3 6 0
2 3 6
3 6
2
xy y
xy y
yx
y
Para y: 3 6
2x
y
y
Asíntota horizontal 0y
Se despeja y
2 3 6 0
2 3 6
6
2 3
xy y
y x
yx
Para x: 6
2 3y
x
Asíntota vertical 32x
Finalmente tomamos el despeje de y 6
2 3y
x
y tabulamos:
x y –4 0.5 –3 0.6 –2 0.8 –1 1.2
0 2 1 6 2 –6 3 –2 4 –1.2
Poner primero: Intersecciones Asíntotas
(0,2)
Asíntota horizontal 0y
Asíntota vertical
3
2x www.ca
lixto.
com.m
x
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Si ponemos los puntos calculados en nuestra tabla terminamos graficando nos debe quedar:
Ejercicios.- Analizar las siguientes ecuaciones (realizar los cuatro pasos: intersecciones, extensiones y asíntotas, simetrías, tabulación y gráfica):
a) 2 8 1y x
b) 3 4 0xy y x
c) 2 2 4 0x y
d) 2 4 0xy y
e) 2 24 16 0x y
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