Download - Diskrétní Fourierova transformace
Diskrétní Fourierova transformace
Transformace
InverzníTransformace
Zpracovánív
transform. oblasti
Zpracovánív
časové oblasti
x(n) X(n)
x(n)‘ X(n)‘
Základní idea transformace
• Spojitá Fourierova transformace
dtetxfX ftj 2)()(
• Diskrétní Fourierova transformace (exponenciální tvar)
1
0
/2)()(N
n
NnkjenxkX
• Diskrétní Fourierova transformace (goniometrický tvar)
1
0
)/2sin()/2cos()()(N
n
NnkjNnknxkX
k – index DFT ve frekvenční oblasti, k=1,2,…,N-1
• Každá hodnota X(m) je určená součtem součinů vstupních vzorků s hodnotami komplexní sinusoidy cos(Φ)-jsin(Φ). Přesná frekvence sinusoidy fa(m) závisí na počtu vzorků vstupního signálu N a vzorkovací frekvenci fs:
N
kfkf s
a )(
Př. Při vzorkování 500 Hz a počtu vzorků N=4 jsou frekvence fa následující:
X(0 )= 0HzX(1)=125 HzX(2)=250 HzX(3)=375 Hz
Xreal
Ximag
Ф
Xmag
Xm(k)=Xreal(k)+jXimag(k)
22 )()( kXkXXX imagrealmagmag
)(
)(tan 1
kX
kXX
real
imag
222 )()()()( kXkXkXkX imagrealmagPS
Polární tvar DFT
• Při použití polární reprezentace DFT – pozor na následující možné problémy :
– správnou konverzi fáze - sw většinou vrací fázový úhel v radiánech a to v rozsahu <–π/2, π/2 >
– při výpočtu fáze pozor na nulovou reálnou část ( přetečení) (fáze je v tomto případě ±90º
– pozor na správnou konverzi úhlu z intervalu <–π/2, π/2 > na interval <0, π >– fáze u velmi nízkých amplitud, které se ztrácí v šumů může chaoticky kmitat
okolo nulové hodnoty
• Př : Uvažujme signál x(t) vzorkovaný frekvencí 8kHz reprezentovaný 8 vzorky
x(0) = 0.3535 x(1) = 0.3535 x(2) = 0.6464 x(3) = 1.0607 x(4) = 0.3535 x(5) = -1.0607 x(6) = -1.3535 x(7) = -0.3535
)4
310002sin(5.0)10002sin()(
tttx
Vlastnosti DFT
1. Linearita k1x1(n)+ k2x2(n) ↔ k1X1(n)+ k2X2(n)
2. Periodičnost - funkce x(n) a X(n) jsou periodické s periodou P=N
3. Kruhový časový posun
4. Kruhový frekvenční posun
celénkXennxkn
Nj
0
)2(
0 ),()(0
celékkkXnxekn
Nj
00
)2(
),()(0
4. Kruhová konvoluce v časové oblasti
5. Kruhová konvoluce ve frekvenční oblasti
6. Obraz obrácené posloupnosti
7. Vlastnosti spektra reálné posloupnosti
)()()()( 2121 kXkXnxnx
)()(1
)()( 2121 kXkXN
nxnx
)()( kXnx
)()()( kNXkXkX
)()(
)()(
)](Im[)](Im[
)](Re[)](Re[
kNk
kNXkX
kNXkX
kNXkX
8. Vlastnosti spektra reálné a sudé posloupnosti• je-li x(n) reálná a sudá je i X(k) reálná sudá
9. Vlastnosti spektra reálné a liché posloupnosti
• je-li x(n) reálná a lichá, pak je X(k) imaginární, lichá
10. Alternativní vzorec pro výpočet IDFT
*1
0
2* )(
1)(
N
k
knNj
ekXN
nx
K výpočtu inverzní transformace je možné použít algoritmů pro výpočet DFT:
• nejprve obrátíme znaménka hodnot imaginární části X(k),• vypočteme DFT• obrátíme znaménka imaginárních částí vypočtených hodnot• výsledek vydělíme N
Vlastnosti fázové charakteristiky
2-D DFT
• Z předchozích vztahů vyplývá, že 2D DFT je možné počítat postupně s využitím 1D DFT: 1. vypočteme DFT pro jednotlivé řádky obrazu
f(x,y) → F(u,y)
2. Určíme 1D DFT pro každý sloupec matice F(u,y)
Zobrazení DFT – použití logaritmické transformace
Log(u,v) = k log(1+ F(u,v))
• Natočení obrazu
Vlastnosti 2-D DFT
• Lineární kombinace obrazů
k1 f(x,y) + k2 g(x,y) <==> k1 F(u,v) + k2 G(u,v)
• Posun obrazu – nemění se spektrum, ale fázový posun
• Zvětšení obrazu
• Sinusovka
• Čtverec
• Gausián
• Impulsy
Filtrace ve frekvenční oblasti
Dolní propust
Filtr DP =
x
*
=
Filtrace ve frekvenční oblasti
Holní propust
Filtr HP =
x
*
=
Filtrace ve frekvenční oblasti
Pásmová propust
Filtr PP =
x
*
=
Filtrace šumu
původní – filtrovaný obraz