Download - Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 1: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/1.jpg)
Diszkrét matematika I. gyakorlatVizsgafeladatok megoldása
Bogya Norbert
2012. december 5.
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 2: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/2.jpg)
Teljes feladatsor #1
Tartalom
1 Teljes feladatsor #1
2 Teljes feladatsor #2
3 Teljes feladatsor #3
4 Teljes feladatsor #4
5 Válogatott feladatok
6 Végső bölcsesség
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 3: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/3.jpg)
Teljes feladatsor #1
1. kérdés
1. feladatMennyi a z komplex szám képzetes része az alábbiak közül, ha(4− 2i) z = 2+ 14i?(Emlékeztető: a képzetes rész az i együtthatója a kanonikusalakban.)
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 4: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/4.jpg)
1. kérdés
1. feladatMennyi a z komplex szám képzetes része az alábbiak közül, ha(4− 2i) z = 2+ 14i?(Emlékeztető: a képzetes rész az i együtthatója a kanonikusalakban.)
HintMeg kell oldani a
(4− 2i) z = 2+ 14i
egyenletet a komplex számok körében, ahol z az ismeretlen!
Megoldás:
z =2+ 14i4− 2i
· 4+ 2i4+ 2i
=−20+ 60i
20= −1+ 3i
![Page 5: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/5.jpg)
Teljes feladatsor #1
2. kérdés
2. feladatIgazak-e az alábbi egyenlőségek tetszőleges A,B,C halmazokra?
Ha A ⊆ B , akkor A× A ⊆ B × B.A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) .
A ∪ (B ∩ A) = A.
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 6: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/6.jpg)
2. kérdés
2. feladatIgazak-e az alábbi egyenlőségek tetszőleges A,B,C halmazokra?
Ha A ⊆ B , akkor A× A ⊆ B × B.A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) .
A ∪ (B ∩ A) = A.
HintMivel a vizsga tesztes, rajzolgatni is lehet.
Megoldás:Igaz. (Kijön a definícióból.)Igaz. (Az unió disztributív a metszetre nézve.)Igaz. (Elnyelési tulajdonság.)
![Page 7: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/7.jpg)
Teljes feladatsor #1
3. kérdés
3. feladatLegyen A = P(N) az N = {1, 2, 3, . . .} hatványhalmaza, és legyenρ =
{(X ,Y ∈ A2 : X ∩ Y véges
)}. Mely tulajdonságokkal
rendelkezik a ρ reláció az alábbiak közül?
? szimmetrikus antiszimmetrikus reflexív egyik sem ?
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 8: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/8.jpg)
3. kérdés
3. feladatLegyen A = P(N) az N = {1, 2, 3, . . .} hatványhalmaza, és legyenρ =
{(X ,Y ∈ A2 : X ∩ Y véges
)}. Mely tulajdonságokkal
rendelkezik a ρ reláció az alábbiak közül?
? szimmetrikus antiszimmetrikus reflexív egyik sem ?
HintNe essünk azonnal teljesen kétségbe.
Megoldás:Szimmetrikus. Triviális. (Metszetben nem számít a sorrend.)Nem antiszimmetrikus. (Az előző miatt már ez is triviális.)Nem reflexív. Ez már nem feltétlen triviális. Ellenpélda:N ∈ P(N) viszont (N,N) /∈ ρ, mert N ∩ N nem véges.
![Page 9: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/9.jpg)
Teljes feladatsor #1
4. kérdés
4. feladat
Az x3 + x2 − 2x + 10 polinomot maradékosan osztjuk az x + 3polinommal. Mi lesz az osztás maradéka az alábbiak közül?
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 10: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/10.jpg)
4. kérdés
4. feladat
Az x3 + x2 − 2x + 10 polinomot maradékosan osztjuk az x + 3polinommal. Mi lesz az osztás maradéka az alábbiak közül?
HintPolinomosztás.
Megoldás:
x3 + x2 − 2x + 10 = (x + 3) · (x2 − 2x + 4)− 2
![Page 11: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/11.jpg)
Teljes feladatsor #1
5. kérdés
5. feladatLegyen F egy olyan formula, amelyik a „Ha péntek van és mindenkialszik, akkor senki sem fél” ítéletet formalizálja. Az alábbi
U : (∀x) (∀y) (¬A(x) ∧ F (x) ∧ P)
V : (P ∧ (∀x)A(x))→ ((∀y)¬F (y))W : (P ∧ (∀x) (∃y)) (A(x) ∨ F (y))
képletek közül (alkalmas elsőrendű nyelv esetén) melyik az, amelyikF -vel ekvivalens formula?
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 12: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/12.jpg)
5. kérdés
5. feladatLegyen F egy olyan formula, amelyik a „Ha péntek van és mindenkialszik, akkor senki sem fél” ítéletet formalizálja. Az alábbi
U : (∀x) (∀y) (¬A(x) ∧ F (x) ∧ P)
V : (P ∧ (∀x)A(x))→ ((∀y)¬F (y))W : (P ∧ (∀x) (∃y)) (A(x) ∨ F (y))
képletek közül (alkalmas elsőrendű nyelv esetén) melyik az, amelyikF -vel ekvivalens formula?
Megoldás:Egyértelmű, hogy a V formulát keressük. Az első mást jelent, azutolsó szintaktikailag nem is (jó) formula.
![Page 13: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/13.jpg)
Teljes feladatsor #1
6. kérdés
6. feladatIgazak-e az alábbi kijelentések?
Létezik N→ N3 bijektív leképezés.Létezik Q7 → R bijektív leképezés.Létezik R→ N2 bijektív leképezés.
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 14: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/14.jpg)
6. kérdés
6. feladatIgazak-e az alábbi kijelentések?
Létezik N→ N3 bijektív leképezés.Létezik Q7 → R bijektív leképezés.Létezik R→ N2 bijektív leképezés.
HintA feladat a számosságokhoz kapcsolódik.
Megoldás:|N| = ℵ0 = ℵ0 =
∣∣N3∣∣ =⇒ létezik bijekció∣∣Q7
∣∣ = ℵ0 6= c = |R| =⇒ nem létezik bijekció|R| = c 6= ℵ0 =
∣∣N2∣∣ =⇒ nem létezik bijekció
![Page 15: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/15.jpg)
Teljes feladatsor #1
7. kérdés
7. feladat
Mennyi az A =
−1 2 12 1 31 0 1
mátrix determinánsa?
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 16: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/16.jpg)
7. kérdés
7. feladat
Mennyi az A =
−1 2 12 1 31 0 1
mátrix determinánsa?
Megoldás:Kifejtem a determinánst a második oszlopa szerint:∣∣∣∣∣∣
−1 2 12 1 31 0 1
∣∣∣∣∣∣ = −2∣∣∣∣ 2 31 1
∣∣∣∣+ 1∣∣∣∣ −1 1
1 1
∣∣∣∣= −2 · (−1) + 1 · (−2) = 0.
![Page 17: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/17.jpg)
Teljes feladatsor #1
8. kérdés
8. feladat
Az A =
−1 2 12 1 31 0 1
mátrix négyzetének hány zérus eleme van?
(Azaz A2 kilenc eleme közül hány egyenlő 0-val?)
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 18: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/18.jpg)
8. kérdés
8. feladat
Az A =
−1 2 12 1 31 0 1
mátrix négyzetének hány zérus eleme van?
(Azaz A2 kilenc eleme közül hány egyenlő 0-val?)
Megoldás:
AA A · A = A2 =⇒
−1 2 12 1 31 0 1
−1 2 1 6 0 62 1 3 3 5 81 0 1 0 2 2
![Page 19: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/19.jpg)
Teljes feladatsor #1
9. kérdés
9. feladatAz alábbiak közül mely esetben mondhatjuk, hogy egy négyzetesmátrix determinánsa biztosan nulla?
A mátrix sorvektorrendszere lineárisan független.A mátrix megegyezik a transzponáltjával.A mátrix valamelyik oszlopában minden elem nulla.
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 20: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/20.jpg)
9. kérdés
9. feladatAz alábbiak közül mely esetben mondhatjuk, hogy egy négyzetesmátrix determinánsa biztosan nulla?
A mátrix sorvektorrendszere lineárisan független.A mátrix megegyezik a transzponáltjával.A mátrix valamelyik oszlopában minden elem nulla.
Megoldás:Biztosan NEM nulla. (Paralelepipedon.)Semmi releváns információ nincs a kijelentésben a feladatszempontjából.Biztosan nulla. (Kifejtjük a csupa nulla oszlop szerint.)
![Page 21: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/21.jpg)
Teljes feladatsor #1
10. kérdés
10. feladat
Az R5-ben tekintsük azS =
{(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 : x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0
}részhalmazt. Hány dimenziós az S altér? (Gondoljunk a lineárisegyenletrendszerekről tanultakra!)
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 22: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/22.jpg)
10. kérdés
10. feladat
Az R5-ben tekintsük azS =
{(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 : x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0
}részhalmazt. Hány dimenziós az S altér? (Gondoljunk a lineárisegyenletrendszerekről tanultakra!)
HintA tanár úr már gondolt rá.
Megoldás:Megoldjuk az egyenletet (egyenletrendszert), és a szabad változókszáma adja a megoldásaltér dimenzióját. Most látható, hogy 4szabadismeretlen van, tehát az S altér 4-dimenziós.
![Page 23: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/23.jpg)
Teljes feladatsor #2
Tartalom
1 Teljes feladatsor #1
2 Teljes feladatsor #2
3 Teljes feladatsor #3
4 Teljes feladatsor #4
5 Válogatott feladatok
6 Végső bölcsesség
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 24: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/24.jpg)
Teljes feladatsor #2
1. kérdés
1. feladat
Legyen A = {0, 1, 3, 4, 5} és ρ ={(x , y) ∈ A2 : x − y = 1
}⊆ A2.
Mely tulajdonságokkal rendelkezik a ρ reláció az alábbiak közül?
? antiszimmetrikus reflexív részbenrendezés egyik sem ?
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 25: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/25.jpg)
1. kérdés
1. feladat
Legyen A = {0, 1, 3, 4, 5} és ρ ={(x , y) ∈ A2 : x − y = 1
}⊆ A2.
Mely tulajdonságokkal rendelkezik a ρ reláció az alábbiak közül?
? antiszimmetrikus reflexív részbenrendezés egyik sem ?
Megoldás:Antiszimmetrikus, mert (a, b) ∈ ρ és (b, a) ∈ ρ egyszerre nemis teljesülhet. (Logika - implikáció: h→bármi = igaz.)Nem reflexív, mert bármely a ∈ A esetében a − a = 0, azaz(a, a) /∈ ρ.Nem részbenrendezés, mivel nem is reflexív. (Egyébként nem istranzitív.)
![Page 26: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/26.jpg)
Teljes feladatsor #2
2. kérdés
2. feladatLegyen A = P ({1, 2}) és B = P ({2, 3}) , ahol tetszőleges Xhalmazra P (X ) az X hatványhalmazát jelöli. Hány elemű az A4Bhalmaz?
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 27: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/27.jpg)
2. kérdés
2. feladatLegyen A = P ({1, 2}) és B = P ({2, 3}) , ahol tetszőleges Xhalmazra P (X ) az X hatványhalmazát jelöli. Hány elemű az A4Bhalmaz?
HintEgyszerűen meg kell adni A4 B-t.
Megoldás:A = {∅, {1} , {2} , {1, 2}}B = {∅, {2} , {3} , {2, 3}}A4B = (A \ B) ∪ (B \ A) ={{1} , {1, 2}} ∪ {{3} , {2, 3}} = {{1} , {3} , {1, 2} , {2, 3}}
![Page 28: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/28.jpg)
Teljes feladatsor #2
3. kérdés
3. feladat
Alteret alkotnak-e R2-ben az alábbi részhalmazok?{(x , y) ∈ R2 : 2x + 5y = 0
}{(x , y) ∈ R2 : x + y = 25
}{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 25
}
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 29: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/29.jpg)
3. kérdés
3. feladat
Alteret alkotnak-e R2-ben az alábbi részhalmazok?{(x , y) ∈ R2 : 2x + 5y = 0
}{(x , y) ∈ R2 : x + y = 25
}{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 25
}HintMit mondtam utolsó órán az alterekről?
Megoldás:Igen, mert minden homogén lineáris egyenletrendszermegoldásaltere altér.Nem altér, mert nincs benne a nullvektor.Nem altér, mert nincs benne a nullvektor.
![Page 30: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/30.jpg)
Teljes feladatsor #2
4. kérdés
4. feladat
Az A =
012
mátrix transzponáltját AT -tal jelölve mennyi az
A · AT szorzatmátrix determinánsa az alábbiak közül?
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 31: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/31.jpg)
4. kérdés
4. feladat
Az A =
012
mátrix transzponáltját AT -tal jelölve mennyi az
A · AT szorzatmátrix determinánsa az alábbiak közül?
HintIgen speciális mátrixszorzást kell végrehajtani, de ne ijedjünk megtőle.
Megoldás:
AT =(0 1 2
)0 1 2
0 0 0 01 0 1 22 0 2 4
det
0 0 00 1 20 2 4
= 0
![Page 32: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/32.jpg)
Teljes feladatsor #2
5. kérdés
5. feladatIgazak-e szükségképpen az alábbi kijelentések, ha A = (aij )4×4 (valósszámokból álló) mátrixot jelöl, A−→x =
−→0 az a homogén lineáris
egyenletrendszer, amelynek mátrixa A, és a szóban forgó vektorok, illetvealterek az R4 vektortér elemei, illetve alterei.
Ha A-nak van inverze, akkor az A−→x =−→0 megoldásainak altere
kétdimenziós.
Ha A-nak van inverze, akkor az A−→x =−→0 megoldásainak altere
nulladimenziós.
Ha A-nak van inverze, akkor az A−→x =−→0 megoldásainak altere
négydimenziós.Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 33: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/33.jpg)
5. kérdés
5. feladatIgazak-e szükségképpen az alábbi kijelentések, ha A =
(aij)4×4 (valós számokból álló)
mátrixot jelöl, A−→x =−→0 az a homogén lineáris egyenletrendszer, amelynek mátrixa A,
és a szóban forgó vektorok, illetve alterek az R4 vektortér elemei, illetve alterei.
Ha A-nak van inverze, akkor az A−→x =−→0 megoldásainak altere kétdimenziós.
Ha A-nak van inverze, akkor az A−→x =−→0 megoldásainak altere nulladimenziós.
Ha A-nak van inverze, akkor az A−→x =−→0 megoldásainak altere négydimenziós.
Megoldás:A-nak van inverze
=⇒ det(A) 6= 0
=⇒ A sorvektorai lineárisan független vektorrendszert alkotnak
=⇒ A-ban Gauss-elimináció során nem tűnik el sor
=⇒ A lépcsős alaknak 4 sora van.
=⇒ Nincs szabadismeretlen.
=⇒ A megoldásaltér dimenziója nulla.
![Page 34: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/34.jpg)
Teljes feladatsor #2
6. kérdés
6. feladatTautológiák-e az alábbi formulák?
(¬ (∃x) (∃y) (¬A(x) ∨ ¬B(y)))↔ ((∀x) (∀y) (A(x) ∧ B(y)))((A ∨ B)→ C )↔ ((A→ C ) ∨ (B → C ))
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 35: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/35.jpg)
6. kérdés
6. feladatTautológiák-e az alábbi formulák?
(¬ (∃x) (∃y) (¬A(x) ∨ ¬B(y)))↔ ((∀x) (∀y) (A(x) ∧ B(y)))((A ∨ B)→ C )↔ ((A→ C ) ∨ (B → C ))
HintAz egyik predikátum-, a másik ítéletkalkulusbeli formula.
Megoldás:Tautológia: a ↔ két oldalán egymással ekvivalens formulákállnak. (Ugyanaz a tagadás, más formában.)Ha nincs jobb ötlet: igazságtábla, és megnézni, hogymindenhol igaz jön-e ki. NEM.
![Page 36: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/36.jpg)
Teljes feladatsor #2
7. kérdés
7. feladat
Legyen f : Z2 → Z, (x , y) 7→ x + y ésg : Z→ Z2, x 7→ (x − 1, x + 1) . Melyek az igaz kijelentések azalábbiak közül?
? f injektív g szürjektív g injektív egyik sem ?
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 37: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/37.jpg)
7. kérdés
7. feladat
Legyen f : Z2 → Z, (x , y) 7→ x + y ésg : Z→ Z2, x 7→ (x − 1, x + 1) . Melyek az igaz kijelentések azalábbiak közül?
? f injektív g szürjektív g injektív egyik sem ?
Megoldás:f nem injektív. Ellenpélda: (1, 4) 7→ 5, (2, 3) 7→ 5 DE(1, 4) 6= (2, 3) .g nem szürjektív. A (0, 0)-nak nincs őse.g injektív. Definíció szerint könnyen kijön.
![Page 38: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/38.jpg)
Teljes feladatsor #2
8. kérdés
8. feladat
Legyen −→a = (−3, 0, 1, 2) ,−→b = (−1, 2, 0, 0) , −→c = (−2,−2, 1, 2)
és−→d = (1, 2, 1, 2) ∈ R4, és persze
−→0 = (0, 0, 0, 0) . Melyek
lineárisan függőek az alábbi vektorrendszerek közül?
? −→a ,−→b ,−→c
−→b ,−→c ,
−→d −→a ,
−→b−→0 ,−→a ,
−→d egyik sem ?
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 39: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/39.jpg)
8. kérdés
8. feladat
Legyen −→a = (−3, 0, 1, 2) ,−→b = (−1, 2, 0, 0) , −→c = (−2,−2, 1, 2)
és−→d = (1, 2, 1, 2) ∈ R4, és persze
−→0 = (0, 0, 0, 0) . Melyek
lineárisan függőek az alábbi vektorrendszerek közül?
? −→a ,−→b ,−→c
−→b ,−→c ,
−→d −→a ,
−→b−→0 ,−→a ,
−→d egyik sem ?
HintStandard feladat, nincs szükség segítségre.
Megoldás:Lineárisan függő.Lineárisan független.Lineárisan független.Lineárisan függő.
![Page 40: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/40.jpg)
Teljes feladatsor #2
9. kérdés
9. feladatLegyen A = {0, 1, 2, 3, 4} , C = {{2} ,A \ {2}} ,D = {{0, 2, 3} , {1, 2, 3} , {4}} és E = {P(∅), {1} , {3, 4}} . Atéglalapban felsoroltak közül, melyek osztályozásai az A halmaznak?
? C D E ?
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 41: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/41.jpg)
9. kérdés
9. feladatLegyen A = {0, 1, 2, 3, 4} , C = {{2} ,A \ {2}} ,D = {{0, 2, 3} , {1, 2, 3} , {4}} és E = {P(∅), {1} , {3, 4}} . Atéglalapban felsoroltak közül, melyek osztályozásai az A halmaznak?
? C D E ?
HintHogy néz ki az osztályozás?
Megoldás:C osztályozásD nem osztályozás (a 2-es két blokkban szerepel)E nem osztályozás (a 2-es biztos nem szerepel egy blokkbansem)
![Page 42: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/42.jpg)
Teljes feladatsor #2
10. kérdés
10. feladat
Hány olyan eleme van a
0 2 00 0 11 1 1
mátrix inverzének (a kilenc
közül), amelyik egész szám? Pontosabban, az A−1-ben hány helyenvan egész szám? (Tehát ha egy szám több helyen is fellép, akkortöbbször számoljuk.) Ha nem létezik az A−1, akkor az „egyéb”lehetőséget jelölje meg.
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 43: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/43.jpg)
10. kérdés
10. feladat
Hány olyan eleme van a
0 2 00 0 11 1 1
mátrix inverzének (a kilenc közül), amelyik
egész szám? Pontosabban, az A−1-ben hány helyen van egész szám? (Tehát ha egy
szám több helyen is fellép, akkor többször számoljuk.) Ha nem létezik az A−1, akkor
az „egyéb” lehetőséget jelölje meg.
Megoldás:
0 2 0 1 0 00 0 1 0 1 01 1 1 0 0 1
∼
1 1 1 0 0 10 2 0 1 0 00 0 1 0 1 0
∼
1 1 1 0 0 10 1 0 1
2 0 00 0 1 0 1 0
∼
1 0 0 − 12 −1 1
0 1 0 12 0 0
0 0 1 0 1 0
![Page 44: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/44.jpg)
Teljes feladatsor #3
Tartalom
1 Teljes feladatsor #1
2 Teljes feladatsor #2
3 Teljes feladatsor #3
4 Teljes feladatsor #4
5 Válogatott feladatok
6 Végső bölcsesség
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 45: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/45.jpg)
Teljes feladatsor #3
1. kérdés
1. feladatLegyen U egy tetszőleges alaphalmaz (más szóval univerzum), éslegyenek A,B,C az U tetszőleges részhalmazai. Igazak-eszükségképpen az alábbi egyenlőségek?
A× A = ∅(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C ) ∪ (B ∩ C )
A4 A = A
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 46: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/46.jpg)
1. kérdés
1. feladatLegyen U egy tetszőleges alaphalmaz (más szóval univerzum), éslegyenek A,B,C az U tetszőleges részhalmazai. Igazak-eszükségképpen az alábbi egyenlőségek?
A× A = ∅(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C ) ∪ (B ∩ C )
A4 A = A
Megoldás:Hamis. Triviális.Igaz: a metszet disztributív az unióra nézve. (Fordítva is igaz.)Hamis: A4 A = (A ∪ A) \ (A ∩ A) = A \ A = ∅.
![Page 47: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/47.jpg)
Teljes feladatsor #3
2. kérdés
2. feladatLegyen A = Z× Z, és tekintsük az alábbi leképezéseket:
α : A→ A, (x , y) 7→ (y , x), β : A→ A, (x , y) 7→ (x3,−y),γ : A→ Z, (x , y) 7→ x + y , δ : Z→ A, x 7→ (x ,−x).
Melyek injektívek ezen leképezések közül?
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 48: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/48.jpg)
2. kérdés
2. feladatLegyen A = Z× Z, és tekintsük az alábbi leképezéseket:
α : A→ A, (x , y) 7→ (y , x), β : A→ A, (x , y) 7→ (x3,−y),γ : A→ Z, (x , y) 7→ x + y , δ : Z→ A, x 7→ (x ,−x).
Melyek injektívek ezen leképezések közül?
Megoldás:α injektív. Definíció szerint könnyen kijön.β injektív. Definíció szerint könnyen kijön.γ nem injektív. Ellenpélda: (2, 3) 7→ 5, (1, 4) 7→ 5 DE(2, 3) 6= (1, 4) .δ injektív. Definíció szerint könnyen kijön.
![Page 49: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/49.jpg)
Teljes feladatsor #3
3. kérdés
3. feladatLegyen C = {{1, 5, 6} , {0, 4} ,X} . Minek kell választanunk az Xhalmazt az alábbi téglalapban felsoroltak közül, hogy C osztályozáslegyen a {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} halmazon?
! ∅ {2} {∅, 3} {2, 3} {3, 4, 5} egyik sem !
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 50: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/50.jpg)
3. kérdés
3. feladatLegyen C = {{1, 5, 6} , {0, 4} ,X} . Minek kell választanunk az Xhalmazt az alábbi téglalapban felsoroltak közül, hogy C osztályozáslegyen a {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} halmazon?
! ∅ {2} {∅, 3} {2, 3} {3, 4, 5} egyik sem !
HintHogy néz ki az osztályozás?
Megoldás: Triviális: {2, 3} .
![Page 51: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/51.jpg)
Teljes feladatsor #3
4. kérdés
4. feladatIgaz-e az alábbi relációk esetén, hogy a kérdéses relációrészbenrendezés?{
((x1, y1) , (x2, y2)) ∈ Z2 × Z2 : x1 + y1 ≤ x2 + y2}a Z2
halmazon{(x , y) ∈ Z2 : x2 = y2
}a Z2 halmazon{
(x , y) ∈ Z2 : x3 = y3}a Z2 halmazon
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 52: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/52.jpg)
4. kérdés
4. feladatIgaz-e az alábbi relációk esetén, hogy a kérdéses relációrészbenrendezés?{
((x1, y1) , (x2, y2)) ∈ Z2 × Z2 : x1 + y1 ≤ x2 + y2}a Z2
halmazon{(x , y) ∈ Z2 : x2 = y2
}a Z2 halmazon{
(x , y) ∈ Z2 : x3 = y3}a Z2 halmazon
Megoldás:Nem, mivel nem antiszimmetrikus. Ellenpélda:((−1, 1) , (−2, 2)) és ((−2, 2) , (−1, 1)) is benne van, de(−1, 1) 6= (−2, 2) .Nem, mivel nem antiszimmetrikus. Ellenpélda: (−2, 2) és(2,−2) is benne van, de −2 6= 2.Igen, részbenrendezés.
![Page 53: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/53.jpg)
Teljes feladatsor #3
5. kérdés
5. feladat
Legyen S ={(x , y , z) ∈ Q3 : x2 < y2 + z2
}. Az alábbi halmazok
közül ikszelje be a megszámlálhatóan végteleneket!
S S × N S ∪ Z R R \ N egyik sem
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 54: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/54.jpg)
5. kérdés
5. feladat
Legyen S ={(x , y , z) ∈ Q3 : x2 < y2 + z2
}. Az alábbi halmazok
közül ikszelje be a megszámlálhatóan végteleneket!
S S × N S ∪ Z R R \ N egyik sem
Hint|N| = |Q| = ℵ0, |R| = cSzámosságaritmetika alaptétele.
Megoldás:|S | = ℵ0|S × N| = max {ℵ0,ℵ0} = ℵ0|S ∪ Z| = max {ℵ0,ℵ0} = ℵ0|R| = c|R \ N| = c
![Page 55: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/55.jpg)
Teljes feladatsor #3
6. kérdés
6. feladatHány ∨ (diszjunkciójel) kell az
A→ (B ↔ C )
formula teljes diszjunktív normálformájának felírásához? (Vigyázat,eggyel kevesebb, mint a diszjunkció tagjainak száma.)
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 56: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/56.jpg)
6. kérdés
6. feladatHány ∨ (diszjunkciójel) kell az A→ (B ↔ C ) formula teljesdiszjunktív normálformájának felírásához? (Vigyázat, eggyelkevesebb, mint a diszjunkció tagjainak száma.)
Megoldás:
A → (B ↔ C )i i i i ii h i h hi h h h ii i h i hh i i i ih i i h hh i h h ih i h i h
=⇒ 6 „igaz-sor”
=⇒ 6 klóz (zárójeles tag aTDNF-ben)
=⇒ 5 darab ∨-jel
![Page 57: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/57.jpg)
Teljes feladatsor #3
7. kérdés
7. feladatMelyik a (∀x) ((∃y)B(y)→ (∀z)A(x , z)) formula negáltjávalekvivalens formula az alábbiak közül?
F : (∀x) ((∀z)A(x , z)→ (∃y)B(y))G : (∃x) ((∀y) (¬B(y))→ (∃z) (¬A(x , z)))H : (∃x) ((∃y)B(y) ∧ (∃z) (¬A(x , z)))
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 58: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/58.jpg)
7. kérdés
7. feladatMelyik a (∀x) ((∃y)B(y)→ (∀z)A(x , z)) formula negáltjávalekvivalens formula az alábbiak közül?
F : (∀x) ((∀z)A(x , z)→ (∃y)B(y))G : (∃x) ((∀y) (¬B(y))→ (∃z) (¬A(x , z)))H : (∃x) ((∃y)B(y) ∧ (∃z) (¬A(x , z)))
HintMELYIK...
Megoldás: H
![Page 59: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/59.jpg)
Teljes feladatsor #3
8. kérdés
8. feladat
Mennyi a t paraméter értéke, ha az R3-beli
(1, 1, 2) , (2, 1, t) , (1, 2, 1)
vektorrendszer lineárisan függő?
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 60: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/60.jpg)
8. kérdés
8. feladat
Mennyi a t paraméter értéke, ha az R3-beli
(1, 1, 2) , (2, 1, t) , (1, 2, 1)
vektorrendszer lineárisan függő?
HintStandard feladat, csak van benne egy paraméter.
Megoldás:
1 1 22 1 t1 2 1
∼ 1 1 2
0 −1 t − 40 1 −1
∼ 1 1 2
0 −1 t − 40 0 t − 5
Lin. függő ⇐⇒ tűnik el sor ⇐⇒ t = 5.
![Page 61: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/61.jpg)
Teljes feladatsor #3
9. kérdés
9. feladat
Legyen −→v1 ,−→v2 ,−→v3 egy vektorrendszer az R5 vektortérben. Igazak-eszükségképpen az alábbi állítások (a „lin.” a „lineárisan” rövidítése)?
Ha −→v1 ,−→v2 ,−→v3 lin. független, akkor −→v1 +−→v2 +−→v3 6=−→0 .
Ha −→v1 ,−→v2 ,−→v3 lin. függő, akkor van olyan λ, µ ∈ R, hogy−→v3 = λ−→v1 + µ−→v2 .Ha −→v1 ,−→v2 ,−→v3 lin. függő, akkor −→v3 ,−→v2 ,−→v1 is lin. függő.
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 62: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/62.jpg)
9. kérdés
9. feladat
Legyen −→v1 ,−→v2 ,−→v3 egy vektorrendszer az R5 vektortérben. Igazak-eszükségképpen az alábbi állítások (a „lin.” a „lineárisan” rövidítése)?
Ha −→v1 ,−→v2 ,−→v3 lin. független, akkor −→v1 +−→v2 +−→v3 6=−→0 .
Ha −→v1 ,−→v2 ,−→v3 lin. függő, akkor van olyan λ, µ ∈ R, hogy−→v3 = λ−→v1 + µ−→v2 .Ha −→v1 ,−→v2 ,−→v3 lin. függő, akkor −→v3 ,−→v2 ,−→v1 is lin. függő.
Megoldás:Igaz.Nem igaz.Igaz.
![Page 63: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/63.jpg)
Teljes feladatsor #3
10. kérdés
10. feladat
Legyen C =
2 1 41 1 21 2 1
. Melyik a C−1 mátrix legnagyobb
abszolút értékű eleme?
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 64: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/64.jpg)
10. kérdés
10. feladat
Legyen C =
2 1 41 1 21 2 1
. Melyik a C−1 mátrix legnagyobb
abszolút értékű eleme?
Megoldás:
C−1 =
3 −7 2−1 2 0−1 3 −1
![Page 65: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/65.jpg)
Teljes feladatsor #4
Tartalom
1 Teljes feladatsor #1
2 Teljes feladatsor #2
3 Teljes feladatsor #3
4 Teljes feladatsor #4
5 Válogatott feladatok
6 Végső bölcsesség
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 66: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/66.jpg)
Teljes feladatsor #4
1. kérdés
1. feladatMilyen tulajdonságai vannak a Z-n értelmezettρ =
{(x , y) ∈ Z2 : x2 ≤ y2
}⊆ Z2 relációnak az alábbiak közül?
? szimmetrikus antiszimmetrikus reflexív tranzitív egyik sem ?
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 67: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/67.jpg)
1. kérdés
1. feladatMilyen tulajdonságai vannak a Z-n értelmezettρ =
{(x , y) ∈ Z2 : x2 ≤ y2
}⊆ Z2 relációnak az alábbiak közül?
? szimmetrikus antiszimmetrikus reflexív tranzitív egyik sem ?
Megoldás:Nem szimmetrikus: (0, 1) ∈ ρ de (1, 0) /∈ ρ.Nem antiszimmetrikus: (−1, 1) ∈ ρ, (1,−1) ∈ ρ de 1 6= −1.Reflexív: minden x ∈ Z-re (x , x) ∈ ρ, mert x2 ≤ x2.Tranzitív: x2 ≤ y2-ből és y2 ≤ z2-ből következik, hogyx2 ≤ z2.
![Page 68: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/68.jpg)
Teljes feladatsor #4
2. kérdés
2. feladatLegyen z az a komplex szám, amelyre (3− i)z = 5+ 5i . Mennyi zképzetes része (azaz az i együtthatója z kanonikus alakjában) azalábbiak közül?
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 69: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/69.jpg)
2. kérdés
2. feladatLegyen z az a komplex szám, amelyre (3− i)z = 5+ 5i . Mennyi zképzetes része (azaz az i együtthatója z kanonikus alakjában) azalábbiak közül?
Hint
Úgy kell megoldani, mint egy középiskolai lineáris egyenletet.
Megoldás:
(3− i)z = 5+ 5i
z =5+ 5i3− i
z =5+ 5i3− i
· 3+ i3+ i
=10+ 20i
10z = 1+ 2i
![Page 70: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/70.jpg)
Teljes feladatsor #4
3. kérdés
3. feladatHány ∨ (diszjunkció jel) van az A→ (B ∨ (¬C )) teljes diszjunktívnormálformájában? (Vigyázat, eggyel kevesebb, mint a diszjunkciótagjainak a száma!)
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 71: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/71.jpg)
3. kérdés
3. feladatHány ∨ (diszjunkció jel) van az A→ (B ∨ (¬C )) teljes diszjunktívnormálformájában? (Vigyázat, eggyel kevesebb, mint a diszjunkciótagjainak a száma!)
Megoldás:Igazságtáblázat ⇒ megnézni hány különböző kiértékelésre igaz (a8-ból) ⇒ez lesz a diszjunkció tagjainak a száma.Másik megoldás:
A→ (B ∨ (¬C )) = hA = i & B ∨ (¬C ) = h
B = h & ¬C = hB = h & C = i
A formula 1 darab kiértékelésre hamis, tehát 7 darabra igaz. Így a ∨jelek száma 6.
![Page 72: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/72.jpg)
Teljes feladatsor #4
4. kérdés
4. feladat
Legyen A =
1 2 30 2 30 0 3
. Mennyi A (valós) sajátértékeinek
összege az alábbiak közül?
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 73: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/73.jpg)
4. kérdés
4. feladat
Legyen A =
1 2 30 2 30 0 3
. Mennyi A (valós) sajátértékeinek
összege az alábbiak közül?
HintElég speciális a mátrix alakja.
Megoldás:Trianguláris mátrix sajátértékei a főátlóban lévő elemei.
![Page 74: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/74.jpg)
Teljes feladatsor #4
5. kérdés
5. feladatMekkora annak a parallelepipedonnak a térfogata, amelynek egyikcsúcsa az origó, és az origóval szomszédos (azaz éllel összekötött)csúcsai pedig az (1, 1, 0), (0, 2, 2), és (1, 0, 1) pontok?
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 75: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/75.jpg)
5. kérdés
5. feladatMekkora annak a parallelepipedonnak a térfogata, amelynek egyikcsúcsa az origó, és az origóval szomszédos (azaz éllel összekötött)csúcsai pedig az (1, 1, 0), (0, 2, 2), és (1, 0, 1) pontok?
HintEz egy alkalmazása a determinánsoknak.
Megoldás:Felírjuk a determinánst, és kifejtjük az első sora szerint:∣∣∣∣∣∣
1 1 00 2 21 0 1
∣∣∣∣∣∣ = 1∣∣∣∣ 2 20 1
∣∣∣∣− 1∣∣∣∣ 0 21 1
∣∣∣∣= 2− (−2) = 4
![Page 76: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/76.jpg)
Teljes feladatsor #4
6. kérdés
6. feladatIgazak-e az alábbiak?
R× N megszámlálhatóan végtelen.|N| = ℵ0 a legkisebb végtelen számosság.|Z×Q| = ℵ0.
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 77: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/77.jpg)
6. kérdés
6. feladatIgazak-e az alábbiak?
R× N megszámlálhatóan végtelen.|N| = ℵ0 a legkisebb végtelen számosság.|Z×Q| = ℵ0.
Hint|N| = |Z| = |Q| = ℵ0, |R| = c .Számosságaritmetika alaptétele.
Megoldás:Hamis: R× N = max {c ,ℵ0} = c .Igaz.Igaz: |Z×Q| = max {ℵ0,ℵ0} = ℵ0.
![Page 78: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/78.jpg)
Teljes feladatsor #4
7. kérdés
7. feladatAz alábbi
A : (∀x) (∀y) (∀z) (xfygz = xgyfxgz ∧ xgyfz = xfzgyfz)B : (∀x) (∀y) (∀z) (xyzfg = xygxzgf ∧ xyfzg = xzgyzgf )C : (∀x) (∀y) (∀z) (xyzgf = xyfxzfg ∧ xygzf = xzfyzfg)
formulák közül melyik az, amelyik azt fejezi ki fordított lengyeljelölésben, hogy az f kétváltozós művelet disztributív a gkétváltozós műveletre?
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 79: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/79.jpg)
7. kérdés
7. feladatAz alábbi
A : (∀x) (∀y) (∀z) (xfygz = xgyfxgz ∧ xgyfz = xfzgyfz)B : (∀x) (∀y) (∀z) (xyzfg = xygxzgf ∧ xyfzg = xzgyzgf )C : (∀x) (∀y) (∀z) (xyzgf = xyfxzfg ∧ xygzf = xzfyzfg)
formulák közül melyik az, amelyik azt fejezi ki fordított lengyeljelölésben, hogy az f kétváltozós művelet disztributív a gkétváltozós műveletre?
HintMELYIK...?Fordított lengyel jelölés = postfix ábrázolás.Használjunk konkrét f és g -t, például szorzást és összeadást.
![Page 80: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/80.jpg)
7. kérdés
7. feladat’Melyik formula fejezi ki fordított lengyel jelölésben, hogy az fkétváltozós művelet disztributív a g kétváltozós műveletre?
Megoldás:Infix ábrázolás:
x · (y + z) = (x · y) + (x · z)xf (ygz) = (xfy)g(xfz)
Postfix ábrázolás:
xyz + · = xy · xz ·+xyzgf = xyfxzfg
Ez már elég? Nem.Válasz: C .
![Page 81: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/81.jpg)
Teljes feladatsor #4
8. kérdés
8. feladat
Legyen −→a = (3, 2, 0, 1) ,−→b = (−1, 1, 2, 1) ,
−→v = (12, 3,−6, 0) ∈ R4. Írjuk fel a −→v vektort −→v = λ−→a + µ−→b
alakban (λ, µ ∈ R). Melyik a λ+ µ szám (tehát a két együtthatóösszege) az alábbiak közül?
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 82: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/82.jpg)
8. kérdés
8. feladat
Legyen −→a = (3, 2, 0, 1) ,−→b = (−1, 1, 2, 1) , −→v = (12, 3,−6, 0) ∈ R4. Írjuk fel a −→v
vektort −→v = λ−→a + µ−→b alakban (λ, µ ∈ R). Melyik a λ+ µ szám (tehát a két
együttható összege) az alábbiak közül?
HintStandard módszer vs. gondolkozzunk vs. vegyük észre.
Megoldás:
3 −1 122 1 30 2 −61 1 0
∼
1 1 02 1 30 2 −63 −1 12
∼
1 1 00 −1 30 2 −60 −4 12
∼ ( 1 1 00 1 −3
)
![Page 83: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/83.jpg)
Teljes feladatsor #4
9. kérdés
9. feladat
Legyen −→a = (1,−1, 2) és−→b = (−2, 1, 1) . Melyik az −→a ×
−→b
vektoriális szorzat a téglalapban felsoroltak közül?
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 84: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/84.jpg)
9. kérdés
9. feladat
Legyen −→a = (1,−1, 2) és−→b = (−2, 1, 1) . Melyik az −→a ×
−→b
vektoriális szorzat a téglalapban felsoroltak közül?
HintCsak tudni kell mi az a vektoriális szorzás.
Megoldás:
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣i j k1 −1 2−2 1 1
∣∣∣∣∣∣= i
∣∣∣∣ −1 21 1
∣∣∣∣− j∣∣∣∣ 1 2−2 1
∣∣∣∣+ k∣∣∣∣ 1 −1−2 1
∣∣∣∣= −3i − 5j − k = (−3,−5,−1)
![Page 85: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/85.jpg)
10. kérdés
10. feladatJelölje be a téglalapban felsorol elemek közül azokat, amelyek
szerepelnek (egyszer vagy többször) az A =
1 −1 1−1 0 1−2 1 −1
mátrix inverzében!
![Page 86: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/86.jpg)
10. kérdés
10. feladatJelölje be a téglalapban felsorol elemek közül azokat, amelyek
szerepelnek (egyszer vagy többször) az A =
1 −1 1−1 0 1−2 1 −1
mátrix inverzében!
Megoldás:1 −1 1 1 0 0−1 0 1 0 1 0−2 1 −1 0 0 1
∼1 −1 1 1 0 00 −1 2 1 1 00 −1 1 2 0 1
∼
1 −1 1 1 0 00 1 −2 −1 −1 00 −1 1 2 0 1
∼1 0 −1 0 −1 00 1 −2 −1 −1 00 0 −1 1 −1 1
∼
1 0 −1 0 −1 00 1 −2 −1 −1 00 0 1 −1 1 −1
∼1 0 0 −1 0 −10 1 0 −3 1 −20 0 1 −1 1 −1
=⇒ A−1 =
−1 0 −1−3 1 −2−1 1 −1
![Page 87: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/87.jpg)
Válogatott feladatok
Tartalom
1 Teljes feladatsor #1
2 Teljes feladatsor #2
3 Teljes feladatsor #3
4 Teljes feladatsor #4
5 Válogatott feladatok
6 Végső bölcsesség
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 88: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/88.jpg)
Válogatott feladatok
1. kérdés
1. feladat
Alteret alkotnak-e R2-ben az alábbi részhalmazok?{(x , y) ∈ R2 : 2x − 3y = 1
}{(x , y) ∈ R2 : 2x + 3y = 0
}{(x , y) ∈ R2 : x2 + y3 = 23
}
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 89: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/89.jpg)
1. kérdés
1. feladat
Alteret alkotnak-e R2-ben az alábbi részhalmazok?{(x , y) ∈ R2 : 2x − 3y = 1
}{(x , y) ∈ R2 : 2x + 3y = 0
}{(x , y) ∈ R2 : x2 + y3 = 23
}Megoldás:
Nem, mert nincs benne a nullvektor.Igen. Minden homogén egyenlet(rendszer) megoldásai alteretalkotnak.Nem, mert nincs benne a nullvektor.
![Page 90: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/90.jpg)
Válogatott feladatok
2. kérdés
2. feladat
Melyik lesz a sajátértéke a valós A =
(1 32 6
)mátrixnak az
alábbiak közül?
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 91: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/91.jpg)
2. kérdés
2. feladat
Melyik lesz a sajátértéke a valós A =
(1 32 6
)mátrixnak az
alábbiak közül?
HintFőátlóból kivonok x-et, veszem az így kapott mátrix determinánsát,ami egy polinom, és ezen polinom gyökei a sajátértékek.
Megoldás:∣∣∣∣ 1− x 32 6− x
∣∣∣∣ = (1− x)(6− x)− 3 · 2 = x2 − 7x
x2 − 7x = 0 ⇐⇒ x = 0 vagy x = 7
![Page 92: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/92.jpg)
Válogatott feladatok
3. kérdés
3. feladat
Legyen A = {0, 1, . . . , 8} , α ={(x , y) ∈ A2 : |x − y | < 6
}⊆ A2,
β = α−1α és γ = A2 \ β. Az alábbiak közül mely tulajdonságokkalrendelkezik az A halmazon definiált γ reláció?
tranzitív antiszimmetrikus dichotom egyik sem
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 93: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/93.jpg)
3. kérdés
3. feladat
Legyen A = {0, 1, . . . , 8} , α ={(x , y) ∈ A2 : |x − y | < 6
}⊆ A2,
β = α−1α és γ = A2 \ β. Az alábbiak közül mely tulajdonságokkalrendelkezik az A halmazon definiált γ reláció?
tranzitív antiszimmetrikus dichotom egyik sem
HintLegalább az alaphalmaz véges.
Megoldás:α = „legfeljebb 5 távolságra vannak”α−1 = α
β = „legfeljebb 10 távolságra vannak” = A2
γ = ∅=⇒ γ tranzitív, antiszimmetrikus, nem dichotóm.
![Page 94: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/94.jpg)
Válogatott feladatok
4.kérdés
4.feladatAz X mátrixról annyit tudunk, hogy(
−1 22 −3
)· X =
(−2 2−2 3
).
Melyik X az alábbi mátrixok közül?
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 95: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/95.jpg)
4. kérdés
4. feladatAz X mátrixról annyit tudunk, hogy(
−1 22 −3
)· X =
(−2 2−2 3
).
Melyik X az alábbi mátrixok közül?
HintTalálomra el is kezdhetünk behelyettesíteni.
Megoldás:
X =
(−1 22 −3
)−1·(−2 2−2 3
)=
(3 22 1
)·(−2 2−2 3
)=
(−10 12−6 7
)
![Page 96: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/96.jpg)
Válogatott feladatok
5. kérdés
5. feladat
Legyen A = {0, 1, 2} , α = {(0, 1) , (0, 2) , (1, 2)} ⊆ A2 ésβ = {(0, 2)} ⊆ A2. Melyik az αβ reláció az alábbiak közül?
A2 A2 \ α ∅ α β egyik sem
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 97: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/97.jpg)
5. kérdés
5. feladat
Legyen A = {0, 1, 2} , α = {(0, 1) , (0, 2) , (1, 2)} ⊆ A2 ésβ = {(0, 2)} ⊆ A2. Melyik az αβ reláció az alábbiak közül?
A2 A2 \ α ∅ α β egyik sem
HintRelációszorzás „=” egymás utáni végrehajtás.
Megoldás: ∅
![Page 98: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/98.jpg)
Válogatott feladatok
6. kérdés
6. feladatAz alábbi részbenrendezett halmazok közül melyiknek van legkisebbeleme?
Megoldás: Mindnek van.
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 99: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/99.jpg)
Válogatott feladatok
7. kérdés
7. feladatLegyen
α : N→ N, x 7→
{1, ha x = 1x − 1, ha x > 1
,
β : N→ N, x 7→ x + 1.Az alábbi kijelentések közül ikszeljük be az igazakat.
α szürjektív β injektív β szürjektívaz előzőek egyike sem
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 100: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/100.jpg)
7. kérdés
7. feladatLegyen
α : N→ N, x 7→
{1, ha x = 1x − 1, ha x > 1
,
β : N→ N, x 7→ x + 1.Az alábbi kijelentések közül ikszeljük be az igazakat.
α szürjektív β injektív β szürjektívaz előzőek egyike sem
Megoldás:α szürjektív, mert az x tetszőleges természetes szám őse(például) az x + 1 szám.β injektív, mert ha x + 1 = y + 1, akkor x = y .β nem szürjektív, mivel az 1-nek nincs őse.
![Page 101: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/101.jpg)
8. kérdés
8. feladat
Legyen ϕ : N→ N, x 7→(x2 + 5, x2 + 1
), és
ψ : N× N→ Z, (x , y) 7→ x − y . Igazak-e az alábbiak:„ϕψ szürjektív.”„ϕ injektív.”„ψ szürjektív.”
![Page 102: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/102.jpg)
Válogatott feladatok
8. kérdés
8. feladat
Legyen ϕ : N→ N× N, x 7→(x2 + 5, x2 + 1
), és
ψ : N× N→ Z, (x , y) 7→ x − y . Igazak-e az alábbiak:„ϕψ szürjektív.”„ϕ injektív.”„ψ szürjektív.”
Megoldás:ϕ injektív, mert „koordinátánként” injektív.ψ szürjektív, mert egy negatív x egész szám őse például a(0, |x |) számpár, pozitív egész x esetén az őse például (x , 0),és a nullának is végtelen sok őse van.ϕψ nem szürjektív. Nem létezik olyan x ∈ N, melyrex (ϕψ) = 0.
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 103: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/103.jpg)
Végső bölcsesség
Tartalom
1 Teljes feladatsor #1
2 Teljes feladatsor #2
3 Teljes feladatsor #3
4 Teljes feladatsor #4
5 Válogatott feladatok
6 Végső bölcsesség
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat
![Page 104: Diszkrét matematika I. gyakorlat](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052305/588da28f1a28ab21218b9f96/html5/thumbnails/104.jpg)
Végső bölcsesség
Tanács
If you don’t study...
... the exam.
Bogya Norbert Diszkrét matematika I. gyakorlat