Download - dr inż. Monika Lewandowska
![Page 1: dr inż. Monika Lewandowska](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020219/5681355f550346895d9cc47b/html5/thumbnails/1.jpg)
Rozwiązanie analityczne hiperbolicznego równania przewodzenia ciepła dla przypadku
cienkiej warstwy obustronnie ogrzewanej promieniowaniem laserowym
dr inż. Monika Lewandowska
![Page 2: dr inż. Monika Lewandowska](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020219/5681355f550346895d9cc47b/html5/thumbnails/2.jpg)
Plan seminarium• Cel pracy • Sformułowanie zagadnienia • Model matematyczny zagadnienia
– Model w zmiennych wymiarowych– Model w zmiennych bezwymiarowych
• Rozwiązanie modelu– Transformacja Laplace’a – Rozwiązanie w dziedzinie obrazu– Rozwiązanie w dziedzinie oryginału– Weryfikacja poprawności rozwiązania
• Przykładowe obliczenia i dyskusja wyników• Podsumowanie i wnioski
![Page 3: dr inż. Monika Lewandowska](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020219/5681355f550346895d9cc47b/html5/thumbnails/3.jpg)
Cel pracy
Celem pracy było znalezienie niestacjonarnego pola temperatury
w cienkiej warstwie ogrzewanej obustronnie promieniowaniem
laserowym
![Page 4: dr inż. Monika Lewandowska](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020219/5681355f550346895d9cc47b/html5/thumbnails/4.jpg)
Podstawowe założenia
• Badany ośrodek - cienka warstwa o grubości l
• Stała temperatura początkowa T0
• W chwili początkowej rozpoczyna się ogrzewanie obu powierzchni ośrodka
• Zagadnienie jednowymiarowe
• Izolowane brzegi
• Stałe parametry termofizyczne
x0 l
![Page 5: dr inż. Monika Lewandowska](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020219/5681355f550346895d9cc47b/html5/thumbnails/5.jpg)
Model matematycznyR ó w n a n ie b ila n su e n e r g ii
),( txgx
q
t
Tc p
gęstość ośrodka [kg/m3]cp – ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu [J/(kg K)]
q – gęstość strumienia ciepła [W/(m2 K)]g – wydajność wewnętrznego źródła ciepła [W/m3]
R ó w n a n i e C a t t a n e o
xT
ktq
tq k
k – przewodność cieplna [W/(m K)]tk – czas relaksacji strumienia ciepła [s]
![Page 6: dr inż. Monika Lewandowska](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020219/5681355f550346895d9cc47b/html5/thumbnails/6.jpg)
Model matematyczny
Hiperboliczne równanie przewodzenia ciepła
gt
gt
cx
Ta
t
T
t
Tt k
pk
12
2
2
2
- dyfuzyjność cieplna ośrodka [m2/s] - prędkość propagacji fali termicznej [m/s]
)/( pcka
ktaw /
txgtxgtxg rl ,,,
xRtItxgl exp1,
xlRtItxgr exp1,
Model ogrzewania laserowego
I(t) – intensywność padającego promieniowania laserowego [W/m2] R – współczynnik odbicia powierzchni metalu – współczynnik pochłaniania metalu [m-1]
![Page 7: dr inż. Monika Lewandowska](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020219/5681355f550346895d9cc47b/html5/thumbnails/7.jpg)
Warunki graniczne
Warunki początkowe:
0)0,( TxT
)0,(1
)0,( 0)0,( xgc
xtT
xqp
Warunki brzegowe:
0,0 0),0( t
xT
tq
0, 0),(
tLx
TtLq
![Page 8: dr inż. Monika Lewandowska](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020219/5681355f550346895d9cc47b/html5/thumbnails/8.jpg)
Zmienne bezwymiarowe
awxX 2/
ktt 2/
00 / TTTT m
0/ TTcgt mpk
0/ TTcwq mp
![Page 9: dr inż. Monika Lewandowska](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020219/5681355f550346895d9cc47b/html5/thumbnails/9.jpg)
Model w postaci bezwymiarowej
4222
2
2
2
X
Równanie przewodzenia ciepła:
Warunki graniczne:
00, X
0,20, XX
0,0 X
0,
LX
Model źródła ciepła:
,,, XXX rl XXl exp, 0
XLXr exp, 0
![Page 10: dr inż. Monika Lewandowska](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020219/5681355f550346895d9cc47b/html5/thumbnails/10.jpg)
Rozwiązanie zagadnienia metodą transformacji Laplace’a
,,,,, XLXXXX llrl
Transformata Laplace’a równania i warunków brzegowych
XsssXssdX
sXdl
l
exp22,2,
02
2
0,0 sdX
d l
0, sLdX
d l
![Page 11: dr inż. Monika Lewandowska](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020219/5681355f550346895d9cc47b/html5/thumbnails/11.jpg)
Rozwiązanie w dziedzinie obrazu
XsBsAXsBsAXsAsXl expexpexp, 210
20
0 2
22
ss
sssA
LsBLsB
LLsB
sB
sAsA
expexp
expexp01
LsBLsB
LLsB
sB
sAsA
expexp
expexp02
2/12 sssB
![Page 12: dr inż. Monika Lewandowska](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020219/5681355f550346895d9cc47b/html5/thumbnails/12.jpg)
Rozwinięcie w szereg dwumianowy
0
0
01
)(
)12()(exp)exp(
)(
2)(exp
)()(exp)(
n
n
sB
XLnsBL
sB
XnLsB
sAXsBsA
0
1
02
)(
)12()(exp)exp(
)(
2)(exp
)()(exp)(
n
n
sB
XLnsBL
sB
XnLsB
sAXsBsA
![Page 13: dr inż. Monika Lewandowska](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020219/5681355f550346895d9cc47b/html5/thumbnails/13.jpg)
Rozwiązanie w dziedzinie oryginału
0
0
0 1
0
,)12()exp(
,)12()exp(
),2(),2(
)exp()(),(
ni
ni
n nii
Hil
XLnhL
XLnhL
XnLhXnLh
XfX
pduufpuIu
pph
pHi
i
for)()exp(
0for0),( 2/122
0
duuuuf pmmpHi )(exp)(exp)(1
)(0
2/121 1m 1 p
![Page 14: dr inż. Monika Lewandowska](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020219/5681355f550346895d9cc47b/html5/thumbnails/14.jpg)
Weryfikacja poprawności rozwiązania
• Porównanie wyników otrzymywanych na podstawie rozwiązania analitycznego z wynikami obliczeń numerycznych uzyskanych za pomocą algorytmu MacCormacka
• Sprawdzenie czy uzyskane rozwiązania spełniają równanie bilansu energii dla całego ośrodka
),(2
XX
0
0
0 00exp1
4),(2, dLdXdXdXX
LL
![Page 15: dr inż. Monika Lewandowska](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020219/5681355f550346895d9cc47b/html5/thumbnails/15.jpg)
Wyniki obliczeń dla źródła impulsowego
0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0X
0 .0 1
0 .1
1
0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0X
0 .1
1
XXX l exp)(),(),( 0
5 , 1 , 1 , )()( 0 L
![Page 16: dr inż. Monika Lewandowska](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020219/5681355f550346895d9cc47b/html5/thumbnails/16.jpg)
Wyniki obliczeń dla źródła impulsowego
0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0X
0 .0
0 .5
1 .0
1 .5
2 .0
0 2 4 6 8 1 0
X
0 .0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
1 .2
5 , 1 , )()( 0
![Page 17: dr inż. Monika Lewandowska](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020219/5681355f550346895d9cc47b/html5/thumbnails/17.jpg)
Wyniki obliczeń dla źródła stałego
)( u
1L 10 1
![Page 18: dr inż. Monika Lewandowska](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020219/5681355f550346895d9cc47b/html5/thumbnails/18.jpg)
Wyniki obliczeń dla źródła stałego
)( u
1L 10 10
![Page 19: dr inż. Monika Lewandowska](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020219/5681355f550346895d9cc47b/html5/thumbnails/19.jpg)
Wyniki obliczeń dla źródła stałego
)( u
10 1 10L
![Page 20: dr inż. Monika Lewandowska](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020219/5681355f550346895d9cc47b/html5/thumbnails/20.jpg)
Podsumowanie i wnioski
• Otrzymano rozwiązanie analityczne hiperbolicznego równania przewodzenia ciepła dla przypadku cienkiej warstwy ogrzewanej obustronnie promieniowaniem laserowym
• Poprawność rozwiązania została zweryfikowana przez porównanie z wynikami obliczeń numerycznych oraz sprawdzenie bilansu energii dla całego ośrodka
• Wyniki porównano z wynikami obliczeń numerycznych z pracy Torii et al. Uzyskane przez nas przyrosty temperatury są wyższe od opisanych przez Torii et al. (szczególnie dla małych wartości i L), a rozbieżności narastają dla dłuższych czasów. Świadczy to o zastosowaniu przez Torii et al. błędnego schematu różnicowego dla brzegów ośrodka.
![Page 21: dr inż. Monika Lewandowska](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020219/5681355f550346895d9cc47b/html5/thumbnails/21.jpg)
Literatura
• M. Lewandowska: Hyperbolic heat conduction in the semi-infinite body with a time dependent laser heat source. Heat Mass Transfer 37 (2001) 333-342.
• M. S. Torii, W-J Yang: Heat transfer mechanisms in thin film with laser heat source. Int. J. Heat Mass Transfer 48 (2005) 537-544.
• M. Lewandowska, L. Malinowski: An analytical solution of the hyperbolic heat conduction equation for the case of a finite medium symmetrically heated on both sides. Int. Com. Heat Mass Transfer 33 (2006) 61-69