Dualidades y Geometría en Teoría de Cuerdas
División Partículas y Campos, AFA
Septiembre 2013
Carmen Núñez
IAFE (CONICET-UBA)/DF, FCEN-UBA
En colaboración con Gerardo Aldazabal, Walter Baron, David Geissbhuler, Diego Marqués, Victor Penas
Contenidos
Algunos problemas abiertos en teoría de cuerdas
Aspectos de la compactificación y T-dualidad
Necesidad de nuevas herramientas geométricas
Teoría Doble de Campos
Otras dualidades
Perspectivas
Teoría de Cuerdas
• Consistencia matemática 10 D
Muchas propiedades atractivas:
gravedad cuántica, grupos de gauge
grandes, acoplamientos de gauge quirales,
no hay parámetros ajustables, unicidad: no hay libertad análoga a elección del grupo de gauge y representaciones en QFT
Buena comprensión de teoría perturbativa (análoga al desarrollo en diagramas de Feynman en teoría cuántica de campos)
Tipo I (N=1), IIA, IIB (N=2), Heteróticas SO(32) y E8E8 (N=1)
Campos bosónicos no masivos:
Dilatón , Métrica GMN, Tensor antisimétrico BMN (H=dB)
Campo de gauge AM,
p-formas RR: CM, CMNP en IIB; CMN, CMNPQ en IIA
Acción efectiva bajas energías en 10D
Teoría perturbativa de cuerdas
ijk
ijki
i
sugra HHReGxdS12
14210
Cuerdas en 4D
Conexión con la física observada compactificar dimensiones extra. Algunos modelos en 4D contienen las partículas del ME. Pero…
No hay todavía un modelo completamente realista, que reproduzcatodos los detalles de la física observada
No hay un criterio para seleccionar un modelo de entre todos los posibles (landscape)
En general, los vacíos contienen campos escalares no masivos(módulos) que no se observan, la mayoría tienen <0 y es difícilconcebir mecanismo de ruptura susy que no genere grande
Mejorar: Aspectos no-perturbativos y proceso de compactificación
.
• La periodicidad XX+2R tiene dos efectos:
• Estados de la cuerda deben ser univaluados el operador
que traslada las cuerdas alrededor de S1 debe dejar los estados invariantes el momento del centro de masa de la cuerda está cuantizado
• Las cuerdas cerradas se pueden
enrollar
Compactificación en S1
ZnR
np ,
ZwwRXX ;2)()2(
)2exp( iRp
Energía de cuerda enroscada en círculo de radio R:
longitud ~ wR por tension T~ ls-2
Energías asociadas a modos de momento son independientes de T
2
s
windingl
wRE
0windingE
2
s
windingl
RE
2
2
s
windingl
RE
R
nEmomentum
Escalas de energía
R2<< ls2 modos de winding son mas livianos
y dominan a bajas energías
R2>> ls2 modos de momento mas livianos
Energía de osciladores T pero
independientes de R
R2 ~ ls2 hay que mantener todos los modos
2
2
smomento
winding
l
R
E
E
)2~
(22
2 NNl
Es
sosciladore
Escalas de energía
(ls=1)
Cuatro
contribuciones
a la masa
Ajuste de nivel
Simetría wnR
RR ;1~
nwNN ~
)2~
(222
2
22 NNRw
R
nM
Espectro de masas
Límite estados de winding muy pesadosdecompactificación excitaciones de momento
natural infinitesimales y generan continuo
excitaciones de momento se desacoplan
En cambio, si sorpresa! estados de winding forman un continuo
espectro parece el de teoría no compacta
Espectro de cuerdas en círculos de distintos radios
R
R
Círculos con radios menores que Rmin = ls son T-duales a círculos con radios más grandes
0R
T-dualidad
En teoría de campos hay momento compacto pero no winding, y no hay estados que se hagan livianos cuando R0
En teoría de cuerdas los límites R0 y R son físicamente idénticos
Las cuerdas experimentan la geometría de una manera muy distinta a las partículas puntuales
La simetría de T-dualidad de las compactificaciones en círculos se
generaliza a O(d,d) en compactificaciones toroidales en Td con métrica
Gij y campo antisimétrico Bij de fondo constantes
El momento y el winding son ahora d-dimensionales y se pueden
combinar en un momento 2d-dimensional
dMdap
wP
a
aM 2,...,1;,...,1,
Compactificaciones toroidales
Compactificación toroidal
El operador de masa en n= Dd dimensiones resulta
Contiene la métrica generalizada, matriz simétrica 2d2d
La simetría se generaliza a O(d,d), que actúa
),( ddOBGBGGB
BGG
lj
kl
ikij
kj
ik
kj
ikij
MN
H
;)2~
(2 NNPPM N
MN
MH
RRR
1~
MNQN
PQ
MP HH
N
MN
M
M
M PPPPNN 2
1
2
1~
MN
MN
01
10
O(d,d) actúa
T-dualidad en dirección de isometría k Reglas de Buscher
T-dualidad establece la equivalencia de teorías formuladas en campos de fondo muy diferentes. En particular, en geometrías muy diferentes
kk
kjkikjki
ijij
kk
kiki
kk
kjkikjki
ijij
kk
kiki
kk
kk
G
GBBGBB
G
GB
G
BBGGGG
G
BG
GG
,
,,,1
hht
Geometría generalizada
T-dualidad mezcla G y B requiere otro tipo de variedades:
Geometría Generalizada, no-geometría, geometría doble, T-folds
Geometría Generalizada (Hitchin, 2003; Gualtieri, 2004) considera vectores Vi y formas i como V + TM T*M. Estructuras sobre este espacio más grande. Corchete de Courant
T-folds (Hull 2006): localmente parecen variedad Riemannianapero construída con parches pegados con funciones transición que incluyen transformaciones de dualidad + difeos y gauge
Geometría doble pone TM y T*M al mismo nivel duplicando el número de dimensiones de la variedad.
)(2
1],[],[ 1212212211 2121
VVVV iidVVVV LL
Grupos simetría global grandes
Grupos de gauge Abelianos
E.g. N=8: global local
U(1)28
Campos materia no cargados
por grupo gauge abeliano
Teorías efectivas más complicadas
Simetrías de gauge no-abelianas
Campos materia cargados.
Propiedades fenomenológicas atractivas.
Potencial escalar: ᴧ,
estabilización módulos, ruptura susy
SUGRA 10DIIA , IIB
SUGRA 4 D
T6
SUGRA DEFORMADA 4DFLUJOS GEOMÉTRICOS
Reducción con flujos de p-formas
Flujos geométricos (torsión)
ABCp fF
cba
bc
a eeTde
Promover subgrupo
Simetría Global localfABC información sobre
Subgrupo gaugeado
GaugingsNo-geométricos
fABC
No geometría
Sugras deformadas contienen más gaugings de los que pueden obtenerse por compactificaciones geométricas
Gaugings no identificados en dimensiones más altas
no-geométricos
Algunos aspectos de la compactificación no están bien entendidos
Gaugings faltantes se pueden explicar introduciendo simetrías de dualidad en la acción efectiva
SUGRA 10D
Reducción SS Compactificación
en T6 twisteado con flujos
GAUGED SUGRA 4D T-dualidad GAUGED SUGRA 4D
flujos geométricos flujos duales geométricos
abc & Habc & no-geométricos
???
La idea es incorporar las propiedades de T-dualidad (cuerdas) en una teoría de campos (partículas)
Las cuerdas pueden trasladarse y enroscarse. Estos grados de libertad están relacionados por T-dualidad:
Momento ( R ) Enrollamiento (1/R)
y su dinámica se describe con teoría de cuerdas
Las partículas sólo pueden trasladarse y su dinámica se describe con teoría de campos
Se pueden describir estas propiedades de las cuerdas con teorías de campos?
TEORIA DOBLE DE CAMPOSHull, Zwiebach (2009)
Hohm, Hull, Zwiebach (2010)
Cuerdas y Partículas
Posibilidad 1: Espacio “grande”, modos de winding muy pesados y la descripción de bajas energías de las cuerdas es la supergravedad, una teoría de campos, límite de partícula de las cuerdas
Posibilidad 2: tomar supergravedad y hacerla invariante O(D,D)
Teoría Doble de Campos
Hay que darles más libertad a las partículas: permitir que se muevan en un espacio doble.
Problema: Modos pesados M(w) ~ R ~ 1/M(p)
i
i
idualidadT
i
xx
wp
~
Vínculo fuerte
Solución: Mantener modos de momento en las direcciones grandes y modos de winding en las direcciones pequeñas
Vínculo fuerte
En este caso la Teoría Doble de Campos no es doble! En particular
wi=0 Teoría Doble de Campos = Supergravedad
Pero se puede relajar… Y así esta propuesta es una realización del sueño de Kaluza Klein: geometrizar agregando dimensiones
0)(~
0 i
ii
iwp
i
i
i
i
i
i
x
x
w
p~~
Teoría Doble de CamposHull, Zwiebach (2009)
Hohm, Hull, Zwiebach (2010)
Todo objeto en una teoría invariante de dualidad debe pertenecer a alguna representación del grupo de dualidad. En particular, xi
deben suplementarse con
XM representación fundamental O(D,D)
Indices suben y bajan con la métrica de O(D,D)
Introducir campos dobles y escribir
con simetría global O(D,D) manifiesta
Dixwxp i
ii
i ,...,1,~,
DMi
i
M
i
i
M
x
xX 2,...,1,~,~
ix~
MN
MN
01
10
)~,( i
i xx
)~,(~ xxxxddS DD
DFT L
Contenido de campos
Sector bosónico universal de gravedad Gij, Bij,
Campos organizados en la METRICA GENERALIZADA 2D × 2D
DILATON GENERALIZADO INVARIANTE O(D,D)
ijk
ijki
iD
sugra HHReGxdS12
142
2 eGd
),( DDOBGBGGB
BGG
lj
kl
ikij
kj
ik
kj
ikij
MN
H
MNQN
PQ
MP HH
),(~ 2 dexxddS dDD
DFT HR
0~
ijk
ijki
iD
NSNS HHReGxdS12
142
NLK
KL
M
MN
KLN
KL
M
MN
N
MN
MNM
MNMN
NMNM
MN ddddd
HHHHHH
HHHHHR
2
1
8
1
444),(
Simetría O(D,D) manifiesta
Formulación de métrica generalizada
Invariancia de gauge
ijk
ijki
iD
NSNS HHReGxdS12
142
L
BLBBGLGG ijijijijijij
,,
ijjiijij BB ~~
Difeomorfismos of GR
y transformaciones de gauge de 2-forma
• TDC tiene una simetría de gauge generada por un parámetro
)~
( ,
i
i
M
Invariancia de gauge
En el marco M=(i,0)
Difeomorfismos of GR
y transformaciones de gauge de 2-form
)(
)()(
22 dM
M
d
MPN
PP
NPNM
PP
MMNP
P
MN
ee
HHHH
L
BLBBGLGG ijijijijijij
,,
ijjiijij BB ~~
• Invariancia de gauge y clausura del álgebra de gauge conducen a
• En particular, los vínculos se pueden resolver imponiendo el vínculo fuerte
• Pero no es necesario
• Y al relajarlo…
dM
M
d
M
M eedG 22),,,( HRR
),(~ 2 dexxddS dDD
DFT HR
0),,(~ 22 dGeexdxdS ddM
MDFT H R
0)&( gaugedeparámetroscamposG P
P
00)(~
Gi
i
00)(~
Gi
i
Relajar vínculo fuerte
Invariancia de gauge y clausura condición más débil
Ciertos backgrounds permiten relajar el vínculo fuerte y dan teoría verdaderamente doble
Massive type IIA O. Hohm, S. Kwak (2011)
Sugerido por compactificaciones de Scherk-Schwarz
G. Aldazabal, W. Baron, D. Marqués, C.N. (2011); D. Geissbhuler (2011)
Suficiente pero no necesario para invariancia gauge y clausura
M. Graña, D. Marqués (2012)
Soluciones dobles explícitas en D. Geissbhuler, D. Marqués, C.N., V. Penas
(2013)
SUGRA 10D
SS reduction
on twisted T6
GAUGED SUGRA 4D O(d,d) GAUGED SUGRA 4D
flujos geométricos flujos duales geométricos
abc & Habc & no-geométricos
O(D,D) Teoría Doblede Campos
SS reductionon twisted T6,6
Reducción dimensional de DFT
El vínculo fuerte es suficiente para satisfacer los vínculos
pero en principio no es necesario.
En ambos casos, DFT es una teoría restringida: los campos y parámetros de gauge no son genéricos
De qué manera restringen los campos los vínculos relajados?
0)( M
M
0)( M
MG
Compactificación de Scherk-Schwarz
Separar las coordenadas
Elegir un ansatz de reducción: dar una dependencia explícita
(x, y) Campos restringidos!
Insertar el ansatz en la acción e integrar la dependencia en Y
Se obtiene una teoría efectiva definida sobre las coordenadas X
),~(;),~;,~(),( yyYyyxxYX
Esquema de reducción
In 2D-dimensional torus identify
n coordinates → space-time coordinates xµ
n coordinates → dual coordinates
Compactify dual space on R=0 torus => space-time is
decompactified.
We are left with a (n+2d)-dimensional space
SS dimensional reduction get effective action of DFT
in (D-d)-dimensions
x~
Ansatz de reducción
Elegimos el ansatz (no el más general)
Los campos y parámetros de gauge están restringidos a esta forma
Si impusiéramos el vínculo fuerte estarían más restringidos: sólo dependerían de la mitad de las coordenadas
DFT evaluada en este ansatz se describe efectivamente por
sugra deformada en menor dimensión
),()(),(ˆ)(),(
)(ˆ),(),()(ˆ)(),(
DDOYUXYUYX
XdYXdYUXYUYX T
HH
Relajación del vínculo fuerte
Al evaluar la teoría en este ansatz, toda la dependencia en Y está contenida en los flujos (constantes)
En particular, los vínculos quedan:
más el vínculo fuerte en las coordenadas externas
El vínculo fuerte implica
Los vínculos relajados son:
Un subconjunto de nuevas soluciones no satisface el vínculo fuerte
][][ 33 ABCND
M
N
C
M
BADABC UUUf
0][ D
EC
E
AB ff
0 ECDABE
0][][ DCE
ABEDCE
ABE ff
0)(
DFT G=0
Reducción Reducción
Scherk-Schwarz Scherk-Schwarz
GAUGED SUGRAen espacio externo
0)(
0][ D
EC
E
AB ff
Consistencia
consistencia
consistencia
db
cd
acab
cb
ac
cb
acab
ABab
aij
a
a
b
ab
ab
baA
ab
bc
db
cd
ac
baba
abaij
bgbhgb
bggescalaresdb
bB
gg
gbbAvectoresndb
g
gggbgbgbggbB
bforman
gG
gmetricang
dilatónnd
efectivosfísiCamposSeparaciónDCampos
H
B
2
dim2
2
1
2dim
dim
dim
cos2
A
HMN
Relación con sugra deformada N=4
La acción efectiva
EF
CDABBD
FAC
EABCB
DDA
C
AB
AB
BA
AB
xn
eff
ffff
DDggg
RexgxdS
HHHH
HH
H
12
1
4
1
8
1
12
1
4
14)( )(2
GG
FF
V potencial escalar
AC
DBD
C
CB
DAD
C
AB
A
ACBA
ABC
CBBC
AAAA
AfAfD
AAAAAfB
AAfAA
ABHHHH
G
F
,33
,
][][
•
• Democracia O(d,d): los gaugings se definen de manera totalmentecovariante: los flujos geométricos y no-geométricos están en pie de igualdad
Democracia O(d,d)
ND
M
N
C
M
BADABC UUUf ][3
Aplicaciones y extensiones de DFT
DFT permitió explorar algunas propiedades teóricas de la teoría de cuerdas que trascienden la supergravedad y la geometría Riemanniana
Algunos desarrollos recientes incluyen:
Interpretación geométrica de flujos no-geométricos en compactificacionescon flujos de teorías de cuerdas
G. Aldazabal, W. Baron, D. Marqués, C.N. (2011)
D. Geissbhuler (2011)
Identificación de nuevas estructuras geométricas
D. Andriot, R. Blumenhagen, O. Hohm, M. Larfors, D. Lust, P. Patalong
(2011, 2012)
Descripción de órbitas de branas exóticas F. Hassler, D., Lust (2013)
J. de Boer, M. Shigemori (2010, 2012)
T. Kikuchi, T. Okada, Y. Sakatani (2012)
et al. (2012)
Extensiones
Formulación heterótica y tipo II Siegel, Andriot, Hohm, Kwak
Estructuras no-conmutativas/no-asociativas en cuerdas cerradas
R. Blumenhagen, E. Plauschinn, D. Andriot, C. Condeescu,
C. Floriakis, M. Larfors, D. Lust , P. Patalong (2010-2012)
Correcciones ’, O. Hohm, W. Siegel, B. Zwiebach (2012,2013)
Nuevas posibilidades para fijado de módulos y vacíos dS,
Dibitteto, Fernandez-Melgarejo, Marqués, Roest (2012)
U-dualidad, Teoría M Berman, Coplan, Godazgar, West, Perry, Thompson, Coimbra, Waldram, Aldazabal, Graña, Marqués, Rosabal
Dualidades
Descubrimiento de D-branas efectos no perturbativos, conexiones entre teorías consideradas diferentes y simetrías de dualidad
Dualidades
Dualidad S (fuerte-débil): Estados y vacíos con acoplamiento g en una teoría estados y vacíos con 1/g en teoría dual. G = SL(2,Z)
Dualidad T: En compactificaciones Td con campos de fondo, relaciona teorías con campos de fondo muy diferentes. G = O(d,d)
Dualidad U: Combina dualidad T y S. Grupo de U-dualidad de teoría M reducida en Td
d=4 G = SL(5) d=6 G = E6
d=5 G = SO(5,5) d=7 G = E7
Resumen y conclusiones
DFT promueve dualidad T a simetría de teoría de campos
Da una acción para objetos definidos en una geometría generalizada en el espacio doble
Vínculos consistencia de gauge admiten soluciones que violan el vínculo fuerte permiten ir más allá de supergravedad
Calculamos conexiones y curvaturas en el espacio doble con vínculos relajados, que se pueden interpretar como identidades Bianchi
• Permite hacer contacto con sugra gauged N=4, conteniendo todas las órbitas de dualidad de flujos no-geométricos (FABCF
ABC). Los flujos no-geométricos son geométricos en el espacio doble
Preguntas y problemas abiertos
• Entender mejor la geometría O(D,D) subyacente a la DFT
• Se puede extender la construcción más allá de toros? Calabi-Yau?
• Correcciones ‟. Producto interno y C-bracket se corrigen deformación del Courant bracket y otras estructuras en GG
• Más allá de T-dualidad? U-dualidad?
• Relación entre DFT y teoría de cuerdas. Es este un truncado consistente de la teoría de cuerdas? No hay estados masivos, pero consistente
• Teoría de hoja de mundo?
DFT vs Geometría Generalizada
La geometía doble de DFT difiere de la geometría estándar.
DFT difiere un poco de Generalized Geometry (Hitchin, 2003; Gualtieri, 2004)
GG considera vectores Vi y 1-formas i como V + TM T*M . Estructuras sobre este espacio más grande.
El corchete de Courant generaliza el corchete de Lie
V y no se tratan simétricamente
DFT pone TM y T*M al mismo nivel duplicando la variedad.
Parámetros de Gauge
C-bracket
)(2
1],[],[ 1212212211 2121
VVVV iidVVVV LL
)~
( ,
i
i
M
P
MPM
N
NM
C ]21[]21[212
1],[
Relación con sugra deformada
Las transformaciones de gauge
).,.,(),~,(ˆ gaugetransfBtransfdifeosA
AD
CBC
D
DB
CAC
D
AB
CBBC
AAAA
ff
AfALA
bLb
gLg
HHH
ˆ
ˆ
][ˆ
ˆ
~2
Soluciones de Scherk-Schwarz
Todos los vínculos se pueden resolver restringiendo los campos y parámetros de gauge
con
vínculos cuadráticos N=4 gauged sugra
Estas configuraciones cumplen todos los vínculos de consistencia
Los flujos dinámicos resultan:
Este ansatz contiene el SC (U=1, =0, xi, i=1,…, D). Es un límite particular en que todas las dimensiones compactas están decompactificadas
)()(ˆ,)()(ˆ)( YxddYUxXEM
I
I
A
M
A
)()(ˆ)()( YUxxXM
I
I
A
AM
0
2
3
][
][
KLH
IJH
M
M
IIN
JN
M
M
JI
NK
N
JM
M
IIJK
ff
UUUUf
constUUUf
K
C
J
B
I
AIJKABCABC fFF ˆˆˆˆ
Curvatura Generalizada
El tensor de Riemann convencional en índices planos no es un escalar por difeomorfismos generalizados
Se puede modificar agregando nuevos términos
Proyecciones con dan
y las EOM
Identidades de Bianchi
KLQ
QMNKLQ
QMNKLMNMNKLMNKL RR R
)(2
1MNMNMNP H MNKL
NLMK PP RR
ABCDECD
E
ABBCDAABCD ZFFFD3
4
3
4][][][ R
MKNL
KL
MN P RR
Teoría Doble de Campos
En teoría invariante de dualidad, todos los objetos deben estar en representaciones del grupo de dualidad.
Representación fundamental de O(D,D) tiene dimensión 2D
Los índices suben y bajan con métrica O(D,D)
Di
DMxwxp
x
xX i
ii
i
i
i
M
,...,1
2,...,1,~,~
MN
MN
01
10
Breve reseña histórica
Compactificaciones en orbifolds toroidales o CY: susy se puede romper espontáneamente por efectos no-perturbativos en 4D
Desconocimiento de efectos no-perturbativos en teoría de cuerdas teoría de campos
Acciones efectivas de cuerdas a bajas energías: Supergravedades
Los módulos que parameterizan el tamaño y la forma de la variedad interna campos escalares no masivos en 4D
ijk
ijki
iD
NSNS HHReGxdS12
142
D-branas
„90: descubrimiento D-branas
• Ingredientes construcción modelos ~ ME 4D
• Fuentes para campos RR (desconocidas antes): p-formas
• Nuevos vacíos susy de teorías tipo II con flujos de fondo
• Más interesantes teórica y fenomenológicamente
Flujos de campos antisimétricos V para los módulos
Mecanismo eficiente de estabilización de módulos y ruptura de susy
ZF
p
pp
1
'2
1
Compactificación con flujos
Compactificaciones con flujos supergravedades deformadas
Deformaciones de sugras abelianas ordinarias donde los parámetros
de deformación ~ flujos cuantizados
Sugras deformadas contienen mas gaugings que los que pueden obtenerse mediante compactificaciones geométricas
Algunos aspectos de las compactificaciones no están bien entendidos
Flujos no-geométricos se pueden obtener promoviendo dualidades a simetrías de la teoría a bajas dimensiones
T-dualidad
El espectro es invariante ante
Esta equivalencia se extiende a las interacciones.
Así como el momento está asociado a la coordenada X, el winding
tiene coordenada asociada, y la teoría en descripta en cualquiera de las coordenadas duales es equivalente
wnR
RR ;1~
XwXp~
,
PA
M
PP
MMA
P
PM
AM
MM
M EEEdd ,2
1
Difeomorfismos Generalizados
• Los vínculos de clausura toman la forma:
y aseguran que FABC, FA transforman como escalares y S es invariante de gauge
• Imponer estas condiciones solo requiere una versión relajada del SC la teoría admite campos verdaderamente dobles
• Los vínculos se pueden interpretar como identidades de Bianchi para un tensor de Riemann generalizado
M
M
BBBM
M
A
CAB
C
CABC
NB
N
AM
M
CAB
C
BACAB
C
AB
CDE
ABEECD
E
ABBCDAABCD
EDEED
dDEE
FFFDFDZ
FFFDZ
;
,02
2
04
3
4
3
][
][
][][][
Breve reseña histórica
Desde „80 objetivo: encontrar modelos 4D con N=1 espontáneamente rota a bajas energías que contengan al ME
Compactificación de teorías heteróticas E8E8 y SO(32) en
variedades Calabi-Yau configuraciones de vacío con susy N=1
Susy N=1 a la escala de compactificación muy restrictivo:
si el vacío es un producto de un espacio 4D máximamente simétrico variedad compacta M4 CY y <B> = 0. Módulos
Mejora con factor multiplicando a M4: <B>≠0, pero variedad interna ya no es Kahler. Variedades no Kahler? Teoría 4D ?
9,...,4,;3,...,0,;)(22 nmdxdxGdxdxeds nm
mn
xA m
¿Qué es DFT?
Una descripción unificada del espacio-tiempo con simetría manifiesta de T-dualidad, que incorpore las perspectivas de los modos de momento y de winding en un pie de igualdad
Idea: duplicar el número de coordenadas. Introducir nuevo conjunto de coordenadas, duales al winding. Describir propiedades de cuerdas con teoría de campos agregar grados de libertad
El espacio-tiempo extendido, 2D dimensiones, permite incluir simétricamente una geometría y su T-dual.
Teoría doble de campos: Considerar y construir
con simetría global O(D,D) manifiesta
)~,( i
i xx)~,(~ xxxxddS DD
DFT L
No geometría
Sugras deformadas contienen mas gaugings que los que pueden obtenerse mediante compactificaciones geométricas
Algunos aspectos de las compactificaciones no están bien entendidos
Flujos no-geométricos se pueden obtener promoviendo dualidades a simetrías de la teoría a bajas dimensiones requiere otro tipo de variedades
Geometría Compleja Generalizada, no-geometría, geometría doble, T-folds (funciones de transición involucran transformaciones de T-dualidad)
Geometría, conexiones, curvatura
Tendenciosamente escribimos la acción
Pero la acción y EOM de DFT se pueden obtener tomando trazas y proyecciones de un tensor de Riemann generalizado RMNPQ
La construcción trasciende la geometría Riemanniana porque se basa en derivada de Lie generaliza
Hay que generalizar las nociones de conexiones, torsión y curvatura
E.g. condiciones de torsión nula y compatibilidad no determinan completamente las conexiones y curvaturas, solo algunas proyecciones
I. Jeon, K. Lee, J. Park (2011), O. Hohm, B. Zwiebach (2012)
Estas construcciones asumen el vínculo fuerte. Se puede relajar?
),(~ 2 dexxddS dDD
DFT HR
Campos básicos vielbeins EAM y dilaton generalizados
EAM se puede parametrizar en términos del vielbein de la métrica
D-dimensional metric métrica Minkowski D-dimensional
Los campos se organizarn en flujos dinámicos:
No-constantes y dependientes de los campos, originan los gaugings o flujos constantes al compactificar (e.g. Fabc=Habc)
Formulación con flujos de DFTW. Siegel (1993)
D. Geissbhuler, D. Marqués, C.N., V. Penas (2013)
NB
ABMA
MNNB
ABMA
MN EEESE ;H
d
E
d
M
M
AAN
N
B
MM
B
A
M
BE
M
CNC
N
BM
M
AABC
eedEEEEF
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12
1
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R
),(~ 2 dEexxddS dDD
DFT R
Se anula con strong constraint
Acción de métrica generalizada módulo término que viola el SC
La acción
La acción tiene la forma del sector eléctrico del potencial escalar de N=4 D=4 gauged supergravity
Esta acción generaliza la formulación de métrica generalizada, incluyendotodos los términos que se anulan con el strong constraint
Formulación Geométrica de DFT
Definir derivada covariante
Determinar las conexiones imponiendo un conjunto de condiciones: Compatibilidad con bein generalizado:
Compatibilidad con métrica O(D,D) invariante
Compatibilidad con métrica generalizada
Covariancia difeomorfismos generalizados
Covariancia por transformaciones dobles de Lorentz : Lorentz scalar
Torsión nula: torsión usual no es covariante
Compatibilidad con el dilatón generalizado
Solo determinan algunas proyecciones de las conecciones
K
B
B
MA
N
A
K
MN
K
AM
K
AM VVVV
B
MA
N
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MK
N
MK
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PM Fd 2