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Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de La Plata
ESTRUCTURAS III Para alumnos de la carrera de Ingeniería Aeronáutica y Mecánica de la UNLP
EJEMPLOS DE RESOLUCIÓN DE PLACAS PLANAS RECTANGULARES
POR EL METODO DE GALERKIN Autores:
Ing. Juan Pablo Durruty
-2008-
Estructuras III
Página 1 de 14
METODO DE GALERKIN PARA LA RESOLUCION DE PLACAS PLANAS RECTANGULARES.
EJEMPLO 1: BORDES SIMPLES
Resolver la placa utilizando el método Galerkin, usando como:
wap=α11.x1.y1+α12.x2.y2+α21.x2.y1+α22.x2.y2 Determinar: w, Mx, My en A w, Mx y My en los puntos del 1 al 8 La presentación de los resultados debe ser de la siguiente manera:
w= α.q.a4/N M=β.q.a2
Aplicando la condición de Galerkin:
( ) 0..../,22 =−∇∇∫∫ dydxNqw koa ϕ
ϕk = X(x) . Y(y)
wap=α11.x1.y1 + α12.x1.y2 + α21.x2.y1 + α22.x2.y2
Transformamos las variables tal que varíen entre 0 y 1: 2a
xx = 2b
yy = (1)
7 6 8
4
3
A 5
1 2
b/4 b
a/4 a
µ= 0,3 b/a =1,4 Bordes simples q=cte
Estructuras III
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4
4
22
4
4
422
.2
yw
yxw
xww ap ∂
∂+
∂∂∂
+∂∂
=∇∇
Aplicando (1)
4
4
422
4
224
4
422 16
.3216
yw
byxw
baxw
aw ap
∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂=∇∇
jijap yxw ∑= α 96,12
2
==abν
∂∂
+∂∂
∂+
∂=∇∇
4
4
22
4
4
4
2222 1216
yw
yxw
xw
baw ap ν
ν
[ ]IVjiji
IIj
IIijij
IVijiap yxyxyx
aw ∑∑∑ ++=∇∇ α
νααν
ν1216
422
∫∫∫∫ =∇∇ dydxNqdydxw kkap ϕϕ22
( ) dxdyyxN
aqydxdyxyxyxx LkLkIV
jiII
jII
iIV
iij ∫∫∫∑∫−−−−
=++1
1
41
1
1
1
1
1 1612 νν
να
Por ser placa simétrica respecto del eje X y al eje Y.
∫ ∫∫ ∫
∫∑∫∫∑∫
=
++
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
2
ydxdyxAydxdyxyx
ydxdyxyxydxdyxyx
LkLkIV
ji
LkII
jII
iijLkjIV
iij
ν
ανα
Siendo :
NaqA
16
4ν=
∫∫
∑ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
=
=
ν++να
1
0L
1
0
k
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0L
IVjKiL
IIjk
IIiLjk
IViij
ydyxdxA
ydyyxdxx1ydyyxdxx2ydyyxdxx
Llamando:
∫=1
0
xdxxa jiIV
ij ∫=1
0
ydyyb jIV
iij
∫=1
0
xdxxc jII
iij ∫=1
0
ydyyd jII
iij
Estructuras III
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∫=1
0
ydyye jiij ∫=1
0
xdxxf jiij
∫=1
0
xdxg ii ∫=1
0
ydyh ii
Se arman las cuatro ecuaciones K = 1 L =1
∫∫∑ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =
++
1
01
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0111111
12 ydyxdxAydyyxdxxydyyxdxxydyyxdxx IVji
IIj
IIij
IViij ν
να
[ ] [ ]
] ] 112121122121212211211121112121
2111211121111211111111111111
hgAbf1dc2eabf1dc2ea
bf1dc2eabf1dc2ea
=
ν++να+
ν
++να+
+ν
++να+ν
++να
K = 1 L= 2
[ ] [ ]
] ] 212221222122212212211221122121
2211221222111212111211121111
hgAbf1dc2eabf1dc2ea
bf1dc2eabf1dc2ea
=
ν++να+
ν
++να+
+ν
++να+ν
++να
K = 2 L = 1
[ ] [ ]
] ] 122122212221222221111121112221
2112211221211211121112111211
hgAbf1dc2eabf1dc2ea
bf1dc2eabf1dc2ea
=
ν++να+
ν
++να+
+ν
++να+ν
++να
K = 2 L = 2
[ ] [ ]
] ] 222222222222222221111121122221
2212221222211212121212121211
hgAbf1dc2eabf1dc2ea
bf1dc2eabf1dc2ea
=
ν++να+
ν
++να+
+ν
++να+ν
++να
Estructuras III
Página 4 de 14
De tabla: 56 24
1 +−= xxx
2462
59
514 xxxx +−=
análogamente para el eje Y 56 24
1 +−= yyy
2462 5
95
14 yyyy +−=
a11 = 76,8 a12 = a21 = 4,39 a22 = 13,312 b11 = 76,8 b12 = b21 = 4,39 b22 = 13,312 c11 = -31,1 c12 = c21 = -1,34 c22 = -0,623 d11 = -31,1 d12 = d21 = -1,34 d22 = -0,623 e11 = 12,6 e12 = e21 = 0,52 e22 = 0,047 f11 = 12,6 f12 = f21= 0,52 f22 = 0,047 g1 = 3,2 g2 = 0,183 h1 = 3,2 h2 = 0,183 Reemplazando en las ecuaciones: con ν=1.96
4324,8.α11 + 189,8.α12 + 212.14.α21 + 9,23.α22 = A.10,24
189,8.α11 + 94,32.α12 + 9,23.α21 + 5,6.α22 = A.0,5856
212,14.α11 + 9,23.α12 + 440,3.α21 + 15,34.α22 = A.0.5856
9,23.α11 + 5,6.α12 + 15,34.α21 + 2,32.α22 = A.0.0335
NaqA
16
4ν=
4324,8.α11 + 189,8.α12 + 212.14.α21 + 9,23.α22 = 20,1.q.a4/16.N
189,8.α11 + 94,32.α12 + 9,23.α21 + 5,6.α22 = 1,15.q.a4/16.N
212,14.α11 + 9,23.α12 + 440,3.α21 + 15,34.α22 = 1,15.q.a4/16.N
9,23.α11 + 5,6.α12 + 15,34.α21 + 2,32.α22 = 0,066.q.a4/16.N
α11= 2.82 . 10-4 q.a4/N α12=1.867. 10-4. q.a4/N
α21=1.4536 . 10-5 .q.a4/16.N α22=1.003.10-4. q.a4/N
x
Estructuras III
Página 5 de 14
)59
514)(
59
514(..10.003,1
)56)(59
514(..10.4536,1
)59
514)(56(..10.867,1
)56).(56(10.82,2
2462464
4
242464
5
246244
4
24244
4
yyyxxxNaq
yyxxxNaq
yyyxxNaq
yyxxN
qawap
+−+−+
++−+−+
++−+−+
++−+−=
−
−
−
−
)( 2
2
2
2
yw
xwNM x ∂
∂+
∂∂
−= µ 2a
xx = 2b
yy =
)(4)
44
( 2
2
2
2
222
2
22
2
yw
xw
aN
by
wax
wNM x∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂−=
νµµ
)(42
2
2
2
2 yw
xw
aNM x
∂
∂+
∂
∂−=
νµ
)1(42
2
2
2
2 xw
yw
aNM y
∂
∂+
∂
∂−= µ
ν
+−+
+−+
++−
+−+
+
+−−+
++−−=∂
∂
−
−
−
−
246244
24244
5
24624
4
2424
42
2
59
514
518
51683010.003,1
)56(5
185
1683010.4536,1
59
514)1212(10.867,1
)56)(1212(.10.82,2
yyyxx
yyxxN
qa
yyyxN
qa
yyxN
qaxw
+−
+−+
−
+−+
+
+−+−+
+−+−=∂
∂
−
−
−
−
518
516830
59
51410.003,1
)1212(59
51410.4536,1
518
516830)56(10.867,1
)1212)(56(.10.82,2
242464
4
22464
5
24244
4
2244
42
2
yyxxxN
qa
yxxxN
qa
yyxxN
qa
yxxN
qayw
Estructuras III
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Punto Coordenada
1 (-1/2 : -1/2 ) 2 ( 0 ; -1/2 ) 3 (1/2 ;-1/2 ) 4 (-1/2 ; 0 ) 5 ( 1/2 ; 0 ) 6 (-1/2 ; 1/2 ) 7 ( 0 ;1/2 ) 8 ( 1/2 ; 1/2) A ( 0 ; 0 )
Puntos Coordenadas Wap (qa4/N) 2
2
xw
∂
∂ (qa4/N) 2
2
yw
∂
∂ (qa4/N) Mx
(qa2 ) My
(qa2 )
1, 3, 6 y 8 -1/2 ;-1/2 0.0038 -0.00977 -0.01111 0.046 0.0344 2 y 7 0 ;-1/2 0.0053 -0.0124 -0.0154 0.059 0.0463 4 y 5 -1/2 ; 0 0.00504 -0.01284 -0.014137 0.06 0.04426
A 0 ; 0 0.00705 -0.01666 -0.01356 0.075 0.0477
y
x
7 6 8
4
3
A 5
1 2
Estructuras III
Página 7 de 14
EJEMPLO 2: UN BORDE EMPOTRADO Y TRES SIMPLES
Aplicando la condición de Galerkin:
( ) 0..../,22 =−∇∇∫∫ dydxNqw koa ϕ
ϕk = X(x) . Y(y)
wap=α11.x1.y1 + α12.x1.y2 + α21.x2.y1 + α22.x2.y2
Transformamos las variables tal que varíen entre 0 y 1: 2a
xx = 2b
yy = (1)
4
4
22
4
4
422
.2
yw
yxw
xww ap ∂
∂+
∂∂∂
+∂∂
=∇∇
Aplicando (1)
4
4
422
4
224
4
422 16
.3216
yw
byxw
baxw
aw ap
∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂=∇∇
jijap yxw ∑= α 96,12
2
==abν
∂∂
+∂∂
∂+
∂=∇∇
4
4
22
4
4
4
2222 1216
yw
yxw
xw
baw ap ν
ν
[ ]IVjiji
IIj
IIijij
IVijiap yxyxyx
aw ∑∑∑ ++=∇∇ α
νααν
ν1216
422
7 6 8
4
3
A 5
1 2
B
b/4 b
a/4 a
µ= 0,3 b/a =1,4 q=cte
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Página 8 de 14
∫∫∫∫ =∇∇ dydxNqdydxw kkap ϕϕ22
( ) dxdyyxN
aqydxdyxyxyxx LkLkIV
jiII
jII
iIV
iij ∫∫∫∑∫−−−−
=++1
1
41
1
1
1
1
1 1612 νν
να
Por ser placa simétrica respecto del eje x.
∫ ∫∫ ∫
∫∑∫∫∑∫
−−
−−
=
++
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
2
ydxdyxAydxdyxyx
ydxdyxyxydxdyxyx
LkLkIV
ji
LkII
jII
iijLkjIV
iij
ν
ανα
Siendo :
NaqA
16
4ν=
∫∫
∑ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
−
− − −
=
=
ν++να
1
1L
1
0
k
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1L
IVjKiL
IIjk
IIiLjk
IViij
ydyxdxA
ydyyxdxx1ydyyxdxx2ydyyxdxx
Llamando:
∫=1
0
xdxxa jiIV
ij ∫−
=1
1
ydyyb jIV
iij
∫=1
0
xdxxc jII
iij ∫−
=1
1
ydyyd jII
iij
∫−
=1
1
ydyye jiij ∫=1
0
xdxxf jiij
∫=1
0
xdxg ii ∫−
=1
1
ydyh ii
Estructuras III
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Se arman las cuatro ecuaciones K = 1 L =1
∫∫∑ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫−− − −
=
++
1
11
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1111111
12 ydyxdxAydyyxdxxydyyxdxxydyyxdxx IVji
IIj
IIij
IViij ν
να
[ ] [ ]
] ] 112121122121212211211121112121
2111211121111211111111111111
hgAbf1dc2eabf1dc2ea
bf1dc2eabf1dc2ea
=
ν++να+
ν
++να+
+ν
++να+ν
++να
k = 1 L= 2
[ ] [ ]
] ] 212221222122212212211221122121
2211221222111212111211121111
hgAbf1dc2eabf1dc2ea
bf1dc2eabf1dc2ea
=
ν++να+
ν
++να+
+ν
++να+ν
++να
k = 2 L = 1
[ ] [ ]
] ] 122122212221222221111121112221
2112211221211211121112111211
hgAbf1dc2eabf1dc2ea
bf1dc2eabf1dc2ea
=
ν++να+
ν
++να+
+ν
++να+ν
++να
k = 2 L = 2
[ ] [ ]
] ] 222222222222222221111121122221
2212221222211212121212121211
hgAbf1dc2eabf1dc2ea
bf1dc2eabf1dc2ea
=
ν++να+
ν
++να+
+ν
++να+ν
++να
Estructuras III
Página 10 de 14
De tabla: 56 24
1 +−= xxx
2462
59
514 xxxx +−=
23 234
1 +−−+= yyyyy
234562 3
431
37
31 yyyyyy +−−+=
a11 = 384/5 a12 = a21 = 768/175 a22 = 34944/(105.25) b11 =288/5 b12 = b21 = 608/105 b22 = 5344/315 c11 = -1088/35 c12 = c21 = -704/(105.5) c22 = 17984/(105.11.25) d11 = -384/35 d12 = d21 = -64/105 d22 = -54528/93555 e11 =1216/(3.105) e12 = e21 = 128/462 e22 = 17728/(3861.105) f11 =3968/(3.105) f12 = f21= 9088/(33.105.5) f22 = 52864/(105.75.143) g1 = 16/5 g2 = 32/175 h1 = 12/5 h2 = 76/315 Reemplazando en las ecuaciones: con ν=1.96
1633,387674.α11+116.8148.α12+78,04487062.α21+5,56753.α22= A.7,68
116,8148.α11+151,8524655.α12+5,567553.α21+6,479681464.α22=A.0,7720635
78,04487062.α11+5,56753.α12+115,7676132.α21+8,126755.α22=A.0.438857142
5,56753.α11+6,479681464.α12+8,126755.α21+2,2733.α22=A.0.044118
NaqA
16
4ν=
1633,387674.α11+116.8148.α12+78,04487062.α21+5,56753.α22 = 15,0528.q.a4/16.N
116,8148.α11+151,8524655.α12+5,567553.α21+6,479681464.α22 = 1,51324446.q.a4/16.N
78,04487062.α11+5,56753.α12+115,7676132.α21+8,126755.α22 = 0,86016.q.a4/16.N
5,56753.α11+6,479681464.α12+8,126755.α21+2,2733.α22 = 0.08647128.q.a4/16.N
α11=0.0089518436.q.a4/16.N α11=5.595.10-4. q.a4/N
α12=0.0028450705.q.a4/16.N α12=1.77816.10-4. q.a4/N
α21=0.0092975826.q.a4/16.N α21=5.811.10-5. q.a4/N
α22=0.0046806643.q.a4/16.N α22=2.9254.10-4. q.a4/N
x
y
Estructuras III
Página 11 de 14
)34
337
31)(
59
514(..10.9254,2
)23)(59
514(..10.811,5
)34
337
31)(56(..10.77816,1
)23).(56(10.595,5
23
4562464
4
2342464
5
23
456244
4
234244
4
yyyyyxxxNaq
yyyyxxxNaq
yyyyyxxNaq
yyyyxxN
qawap
+−−++−+
++−−++−+
++−−++−+
++−−++−=
−
−
−
−
)( 2
2
2
2
yw
xwNM x ∂
∂+
∂∂
−= µ 2a
xx = 2b
yy =
)(4)
44
( 2
2
2
2
222
2
22
2
yw
xw
aN
by
wax
wNM x∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂−=
νµµ
)(42
2
2
2
2 yw
xw
aNM x
∂
∂+
∂
∂−=
νµ
)1(42
2
2
2
2 xw
yw
aNM y
∂
∂+
∂
∂−= µ
ν
+−−+
+−+
++−−+
+−+
+
+−−+−+
++−−+−=∂
∂
−
−
−
−
23
456244
234244
5
23
45624
4
23424
42
2
34
337
31
518
51683010.9254.2
)23(5
185
1683010.811.5
34
337
31)1212(10.77816.1
)23)(1212(.10.595,5
yyyyyxx
yyyyxxN
qa
yyyyyxN
qa
yyyyxN
qaxw
+−++
+−+
−+
+−+
+
+−+++−+
+−++−=∂
∂
−
−
−
−
38228
32030
59
51410.9254.2
)6612(59
51410.811.5
38228
32030)56(10.77816.1
)6612)(56(.10.595,5
2342464
4
22464
5
234244
4
2244
42
2
yyyyxxxN
qa
yyxxxN
qa
yyyyxxN
qa
yyxxN
qayw
Estructuras III
Página 12 de 14
Punto Coordenada 1 (-1/2 : -1/2 ) 2 ( 0 ; -1/2 ) 3 (1/2 ;-1/2 ) 4 (-1/2 ; 0 ) 5 ( 1/2 ; 0 ) 6 (-1/2 ; 1/2 ) 7 ( 0 ;1/2 ) 8 ( 1/2 ; 1/2) A ( 0 ; 0 )
B ( 0 ; 1 ) Puntos Coordenadas Wap
(qa4/N) 2
2
xw
∂
∂ (qa4/N) 2
2
yw
∂
∂ (qa4/N) Mx
(qa2 ) My
(qa2 )
1 -1/2 ;-1/2 0.00356 -0.00936 -0.0137072 0.04583216 0.039206 2 0 ;-1/2 0.00492916 -001123 -0.018822475 0.056444 0.0518892 3 1/2 ; -1/2 0.00356 -0.00936 -0.0137072 0.04583216 0.039206 4 -1/2 ; 0 0.0040202 -0.010411 -0.01014467 0.047855 0.0322 5 1/2 ; 0 0.0040202 -0.010411 -0.01014467 0.047855 0.0332 6 -1/2 ; 1/2 0.002008 -0.00530226 -0.001886 0.0223637 0.0102117 7 0 ; 1/2 0.00277546 -0.006284 -0.0023338 0.026565 0.01230366 8 1/2 ; 1/2 0.002008 -0.005530226 -0.001886 0.0223637 0.0102117 A 0 ; 0 0.005595 -0.01301 -0.014414120 0.0608634 0.04503 B 0 ; 1 0 0 0.04186808 -0.0256335 -0.085445
y
x
7 6 8
4
3
A 5
1 2
B
Estructuras III
Página 13 de 14
TABLA DE INTEGRALES
( )y ó x ==ε
ε1 Polinomios
ε2
ε ε4 26 5− + ε ε ε6 14
54 9
52− +
ε ε4 22 1− + ε ε ε6 4 22− +
ε ε ε ε4 3 23 2+ − − + ε ε ε ε ε6 1
35 7
34 1
33 4
32+ − − +
εε d∫ 21 12,59682539 0,405349206 3,86031746
∫ εεε d21 0,524559884 0,036940836 0,217056277
εε d∫ 22 0,046943278 0,008524808 0,04373911
εεε dII11∫ -31,08571428 -1,219047019 -10,97142857
∫∫ = εεεεεε dd IIII1221 -1,34095238 0 -0,609523805
εεε dII22∫ -0,62282251 -0,11082251 0,582811010
εεε dIV11∫ 76,8 12,8 57,6
∫∫ = εεεεεε dd IVIV1221 4,388571428 1,828571428 5,79047619
Estructuras III
Página 14 de 14
( )y ó x ==ε
ε1 Polinomios
ε2
ε ε4 26 5− + ε ε ε6 14
54 9
52− +
ε ε4 22 1− + ε ε ε6 4 22− +
ε ε ε ε4 3 23 2+ − − + ε ε ε ε ε6 1
35 7
34 1
33 4
32+ − − +
εεε dIV22∫ 13,312 5,485714285 16,96507936
εε d∫ 1 3,2 0,53333333 2,4
εε d∫ 2 0,182857142 0,076190476 0,241269841
Límites de Integración
∫1
0 LKεε ∫1
0 LKεε ∫−1
1 LKεε