5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 1/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
Ejercicios de repaso 2 Análisis en el dominio de la frecuencia
Problema 1
Enunciado
Para el siguiente circuito concentrado, obtenga las fórmulas para calcular sus parámetros S co-
rrespondientes al ser medidos con respecto a una impedancia de referencia .
Solución
Recordemos que los parámetros S están definidos de tal forma que dónde
Vector de onda reflejada.
Vector de onda incidente.
Matriz de parámetros S.
Lo anterior representado matricialmente para una red de dos puertos es:
Así bien podemos encontrar los parámetros S de la red del enunciado con las expresiones:
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 2/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
Las ondas de voltaje están ubicadas de la siguiente forma en el circuito:
Calculemos primero y , para ello habremos de hacer que la onda incidente en el puerto dos
sea . Note que esto último se logra poniendo una carga con valor de en el puerto 2. Con
ésta condición el circuito queda de la siguiente forma:
El primer parámetro a calcular será entonces . Recordemos que los elementos de la diagonal de
la matriz de parámetros S, es decir , son los coeficientes de reflexión del puerto indicado en sus
subíndices () bajo la condición de haber acoplado el resto de los puertos del sistema. Así bien:
Donde es la impedancia de entrada medida desde el puerto 1 y puede ser calculada como:
[ ( )] Ahora calculemos . Para éste caso note que como , significa que , de modo
que:
Observe que se puede obtener con el divisor de voltaje formado por la impedancia y el para-
lelo , mientras que el voltaje incidente se puede obtener como :
{[][ ()]}
Pero recuerde que para la condición establecida, así bien, tras hacer algo de álgebra lle-
gamos a que:
()
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 3/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
Por la simetría del circuito, habremos de intuir que haciendo un procedimiento similar, pero ahora
con la condición , encontraremos que y que . Así bien, en general:
()
Dónde
[ ( )]
Ejercicio 2
EnunciadoEl siguiente circuito en es un filtro paso-bajo que utiliza , , y . Utilizando las fórmulas del problema anterior (tomando ), grafique la magnitud y la fase de y en un intervalo de frecuencia de a
(utilice Matlab o cualquier otro programa similar).
Solución
Encontremos las impedancias de las diferentes ramas LC presentes en el circuito. En primer lugar,
la impedancia del circuito LC en serie compuesto por los componentes de valor y tiene una
impedancia que podemos calcular de la siguiente forma:
Ahora calculemos la impedancia del circuito LC en paralelo :
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 4/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
Con éstas expresiones y las encontradas en el ejercicio 1, podemos escribir un programa que nos
ayude a obtener las gráficas pedidas en el enunciado. En éste caso, presento aquí un código para
tal fin para correrse en Matlab.
% X = [L Cp Lp C]
function [S11,S21]=pi_LC6(X)
Zo=50;
fi = 10; % Frecuencia inicial ff = 10e9; % Frecuencia final fp = 300; % Número de puntos de frecuencia f = linspace (fi, ff, fp); % Vector de frecuencia w = 2*pi*f; % Frecuencia angular (rad/s) j = sqrt(-1); %Unidad imaginaria s = j*w;
L =X(1); Cp = X(2); Lp = X(3); C = X(4);
ZL = s*L; ZCp = 1./(s*Cp); ZLp = s*Lp; ZC = 1./(s*C);
Zp=ZC+ZLp; Zs=((ZCp.^-1)+(ZL.^-1)).^-1; Zi=(Zp.^-1+(Zs+(Zp.^-1+Zo.^-1).^-1).^-1).^-1;
S11=(Zi-Zo)./(Zi+Zo); S12=(1+S11).*(Zp.^-1+Zo.^-1).^-1./(Zs+(Zp.^-1+Zo.^-1).^-1);
subplot(2,2,1); plot(f./1e9,abs(S11)); grid on; ylabel('|S_{11}|'); xlabel('frequency (GHz)');
subplot(2,2,2); plot(f./1e9,angle(S11)*(180/pi)); grid on;
ylabel('fase de S_{11} (grados)'); xlabel('frequency (GHz)');
subplot(2,2,3); plot(f./1e9,abs(S12)); grid on; ylabel('|S_{12}|'); xlabel('frequency (GHz)');
subplot(2,2,4);
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 5/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
plot(f./1e9,angle(S12)*(180/pi)); grid on; ylabel('fase de S_{12} (grados)'); xlabel('frequency (GHz)');
Al declarar un vector de entrada con los valores correspondientes de X, obtenemos las siguientesgráficas:
Ejercicio 3
Enunciado
La red de dos puertos mostrada a continuación funciona de tal forma que los voltajes y las corrien-
tes de los puertos tienen los siguientes valores (medidos con respecto a una impedancia de refe-
rencia ):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
| S 1 1
|
frequency (GHz)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
f a s e
d e
S 1 1
( g r a d o s )
frequency (GHz)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
| S 1 2
|
frequency (GHz)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
f a s e
d e
S 1 2
( g r a d o s )
frequency (GHz)
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 6/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
Calcule las impedancias de entrada de cada puerto ( y ), y las ondas de voltaje incidentes y
reflejadas de cada puerto (es decir: , , y ).
Solución
Para encontrar las impedancias de entrada bastará con aplicar la ley de Ohm en cada puerto. Así
entonces:
Ahora, para encontrar las ondas de voltaje reflejado e incidente podemos utilizar la expresión
(siendo
el voltaje presente en el puerto
), y para ello primero habremos de
calcular el coeficiente de reflexión de cada puerto. Esto último es sencillo ya que contamos conlas impedancias de entrada de cada puerto, así bien:
Ya teniendo ambos coeficientes de reflexión, ahora procedemos a calcular los voltajes incidentes
como habíamos acordado anteriormente:
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 7/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
Para calcular los voltajes reflejados y utilizaremos la expresión (siendo el
voltaje en el puerto ):
Ejercicio 4
Enunciado
Una red de cuatro puertos tiene sus parámetros S como se muestran a continuación (medidos a
una frecuencia de operación dada).
(a) ¿Es esta red es recíproca?; (b) ¿Es esta red una red sin pérdidas?; (c) ¿Cuáles son las pérdidas
de retorno en el puerto 1 cuando todos los demás puertos están acoplados?; (d) ¿Cuáles son las
pérdidas de inserción y el retraso de fase (en grados) entre los puertos 2 y 4, cuando el resto de los
puertos terminan en una carga acoplada?; (e) ¿Cuáles son las pérdidas de retorno del puerto 1 si elpuerto 3 termina en un corto-circuito y el resto de los puertos terminan en cargas acopladas?.
Solución
Inciso (a)
Note que se cumple que , de modo que la matriz es simétrica y por lo tanto, recíproca.
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 8/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
Inciso (b)
La condición para que la red no tenga pérdidas conociendo sus parámetros S, es que la matriz de
parámetros S sea unitaria, es decir . Lo anterior también significa que
∑
Se puede demostrar que para el caso de una matriz compleja simétrica y además unitaria:
∑||
Esto quiere decir que la suma del cuadrado de las magnitudes de una columna debe ser igual a .
Sin embargo, para la matriz S descrita en el enunciado del ejercicio, para la primer (es decir, )
columna sucede que
∑||
De modo que esta matriz S no es unitaria, y por lo tanto la red sí tiene pérdidas.
Inciso (c)
La cantidad de pérdidas de retorno denotada por (por su significado en inglés Return Loss) está
definida por:
De modo que para poder conseguir las pérdidas de retorno del puerto 1 ( ) de antemano ha-
bremos de calcular el coeficiente de reflexión para dicho puerto (). Pero observe que para la
condición en que todos los puertos están acoplados salvo el puerto 1 (esto por la defini-
ción de los parámetros S) y entonces:
||
Inciso (d)
La cantidad pérdidas de inserción denotadas por (por su significado en inglés Insertion Loss)
está definida por:
De modo que para poder calcular las pérdidas de inserción del puerto 2 al 4 () habrá que cal-
cular primero el coeficiente de transmisión del puerto 2 al 4 respectivamente (). Para el caso en
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 9/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
que todos los puertos terminan en una carga acoplada salvo el puerto 2, se cumple que
(esto por la definición de los parámetros S) y entonces:
||
El coeficiente de transmisión también contiene información acerca del ángulo de fase que
existe entre el puerto 2 y el 4 . De hecho en general se puede comprobar que para un coefi-
ciente de transmisión entre dos puertos h () de la forma , es la ganancia de volta-
je de un puerto a otro y es el ángulo de desfase entre dichos puertos siempre y cuando todos los
puertos de la red están acoplados salvo el puerto . En conocimiento de esto último, podemos
obtener de la siguiente manera:
()
Inciso (e)
Las pérdidas de retorno se definieron anteriormente en la solución al inciso (c), ahora hay que
calcularlo para el puerto 1 cuando el puerto 3 tiene un corto-circuito en sus terminales ( ) y
se acopla el resto de los puertos (haciendo esto que ). Dadas estas condiciones ha-
brá que calcular .
Acorde con la definición de los parámetros S y aplicando las condiciones dadas en el párrafo ante-
rior:
De aquí podemos extraer dos ecuaciones con las cuales podemos armar un sistema de dos ecua-
ciones:
A simple vista podríamos decir que se trata de un sistema con más incógnitas que ecuaciones,pero recordemos que una de las condiciones fue que , pero además , y que
por lo tanto y ahora sí podemos resolver nuestro sistema de ecuaciones.
Tras hacer algo de álgebra para resolver este sistema de ecuaciones, encontramos que:
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 10/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
Habiendo obtenido este resultado, es ahora pan comido calcular las pérdidas de retorno:
||
Ejercicio 5
Enunciado
Utilizando parámetros ABCD, calcule el voltaje en la carga del siguiente circuito cuando la frecuen-
cia de entrada es de . Asuma que , , , , ,
y
.
Solución
Una estrategia rápida para obtener el voltaje en la carga es representar este circuito como dos
redes de dos puertos en cascada utilizando parámetros ABCD conectadas a una carga . Comen-
cemos pues a hacer dicha transformación.
Tanto la resistencia de la fuente como la línea de transmisión cuentan con sus parámetros ABCD al
representarse como redes de dos puertos, como se presenta a continuación:
Note entonces que el voltaje en la carga es el mismo que el voltaje de salida de la segunda red, es
decir, de la línea de transmisión, por lo tanto podemos expresar dicho voltaje en términos del vol-
taje de entrada con la expresión:
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 11/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
Multiplicando ambas matrices de parámetros ABCD, obtenemos:
Y de aquí podemos obtener el sistema de ecuaciones:
Note que conocemos todas las cantidades que aparecen en la primera ecuación (o al menos po-
demos calcularlas), salvo quizá , pero es aquí donde podemos aplicar un pequeño truco: resulta
ser que . Al hacer la sustitución sobre la primera ecuación obtenemos:
Que ahora sí, se trata de una ecuación con una sola incógnita. Ahora comienza el trabajo duro, hay
que calcular los parámetros que nos faltan. Quizá uno de los factores más laboriosos de encontrar
será , así que comenzaremos por ahí.
Notarás que nos han dado como dato la frecuencia de operación y la permeabilidad efectiva de
la línea de transmisión. Estos datos son suficientes para calcular ya que precisamente:
Siendo la frecuencia de operación. Mientras que la velocidad de propagación es:
Combinando ambas expresiones, obtenemos
Disponiendo de
ya el resto es más sencillo, podemos obtener los parámetros ABCD de la línea de
transmisión, los cuales son:
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 12/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
Los otros parámetros que aparecen en la ecuación ya corresponden a la red con una resistencia en
serie () y dichos parámetros son:
Antes de utilizar la ecuación que habíamos quedado, manipulémosla un poco para poder expresar
el resultado de forma más directa. Resolvamos entonces para
Ejercicio 6
Enunciado
Utilizando los parámetros ABCD del problema 5, y tomando , , , y , esboze una gráfica de la magnitud y la fase del voltaje en la carga desde
hasta cuando: (a) , ; (b) , . Utilice Matlab o
cualquier otro software similar.
Solución
Inciso (a)
Para el caso en que y , las gráficas que se obtuvieron para el voltaje de salida
fueron las siguientes:
0 2 4 6 8 10
1.14
1.16
1.18
1.2
1.22
1.24
1.26
1.28
1.3
| V L
| [ V ]
Frecuencia [GHz]
0 2 4 6 8 10-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
F a s e d e V L
[ G r a d o s ]
Frecuencia [GHz]
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 13/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
Inciso (b)
Para el caso en que y , las gráficas que se obtuvieron para el voltaje de salida
fueron las siguientes:
El programaPara realizar las gráficas anteriores, se escribió una breve rutina en Matlab:
%Parámetros del circuito f=linspace(100E6,10E9,1000); B= (2*pi*f*2)/(0.3E9); l=0.025; Z0=50; RL=50; RS=50; VS=1.5*exp(-0*1i);
%Parámetros ABCD de la resistencia RS
A1=1; B1=RS; C1=0; D1=1;
%Parámetros ABCD de la línea de transmisión A2=cos(B*l); B2=1i*Z0*sin(B*l); C2=1i*(Z0^-1)*sin(B*l); D2=A2;
%Obtención del voltaje en la carga VL VL=VS./(A1*A2+B1*C2+(A1*B2+B1*D2)/RL);
%Gráfica de la magnitud de VL subplot(1,2,1); plot(f/1E9,abs(VL)); grid on; ylabel('|V_L| [V]'); xlabel('Frecuencia [GHz]');
%Gráfica de la fase de VL subplot(1,2,2);
0 2 4 6 8 100.75
0.75
0.75
0.75
0.75
0.75
| V L
| [ V ]
Frecuencia [GHz]
0 2 4 6 8 10-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
F a s e d e V L
[ G r a d o s ]
Frecuencia [GHz]
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 14/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
plot(f/1E9,angle(VL)*180/pi); grid on; ylabel('Fase de V_L [Grados]'); xlabel('Frecuencia [GHz]');
Recuerde que para el inciso (a) y (b) se utilizaron valores de RS y RL distintos.
Ejercicio 7
Enunciado
Utilizando de nuevo los parámetros ABCD del problema 5 y tomando , , , y , grafique la magnitud y la fase del voltaje en la carga desde hasta cuando: (a) , ; (b) , . Utilice Matlab o cual-
quier otro software similar.
Solución
Inciso (a)
Para la condición en que , , al variar la longitud de la línea de transmisión
obtenemos las siguientes gráficas.
Note que hay un mínimo de voltaje aproximadamente cada , y esto es precisamente porque
la longitud de onda es . Recordemos que la distancia entre un máximo y un mínimo de
voltaje es
.
Inciso (b)
En contraste, cuando , , al variar la longitud de la línea de transmisión, obte-
nemos:
0 5 10 15
1.14
1.16
1.18
1.2
1.22
1.24
1.26
1.28
1.3
| V L
| [ V ]
Distancia l [cm]
0 5 10 15-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
F a s e d e V L
[ G r a d o s ]
Distancia l [cm]
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 15/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
El programa
El programa utilizado para hacer estas gráficas es muy similar al anterior, con la única variante de
que ahora el parámetro a variar es la longitud en vez de la frecuencia. Véalo usted mismo:
%Parámetros del circuito f=1E9; B= (2*pi*f*2)/(0.3E9); l=linspace(1E-3,150E-3,1000); Z0=50; RL=50; RS=50; VS=1.5*exp(-0*1i);
%Parámetros ABCD de la resistencia RS A1=1; B1=RS; C1=0;
D1=1;
%Parámetros ABCD de la línea de transmisión A2=cos(B*l); B2=1i*Z0*sin(B*l); C2=1i*(Z0^-1)*sin(B*l); D2=A2;
%Obtención del voltaje en la carga VL VL=VS./(A1*A2+B1*C2+(A1*B2+B1*D2)/RL);
%Gráfica de la magnitud de VL subplot(1,2,1);
plot(l/1E-2,abs(VL)); grid on; ylabel('|V_L| [V]'); xlabel('Distancia l [cm]');
%Gráfica de la fase de VL subplot(1,2,2); plot(l/1E-2,angle(VL)*180/pi); grid on; ylabel('Fase de V_L [Grados]');
0 5 10 150.75
0.75
0.75
0.75
0.75
0.75
| V
L | [ V ]
Distancia l [cm]
0 5 10 15-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
F a s e d e
V L
[ G r a d o s ]
Distancia l [cm]
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 16/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
xlabel('Distancia l [cm]');
Recuerde que para cada inciso es necesario cambiar RL y RS.
Ejercicio 8
Enunciado
Utilizando parámetros ABCD, calcule el voltaje en la carga del siguiente circuito cuando la frecuen-
cia de la señal de entrada es . Asuma que , , , , , y que .
Solución
De forma muy similar al ejercicio 5, empleando los parámetros ABCD de cada una de las cuatro
redes de dos puertos (la resistencia , la bobina y las dos líneas de transmisión), podemos lle-
gar a una expresión que nos permita calcular el voltaje en la salida rápidamente.
En general, los parámetros de esas cuatro partes son:
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 17/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
Paro además agregaremos una matriz más para representar la carga como una red de dos puertos,
cuya corriente de salida es cero (pues estaría desconectado), así bien:
Donde los elementos de la quinta matriz están definidos por la red:
En conocimiento de los elementos de todas las matrices, podemos ahora obtener los parámetros
totales, y así entonces:
El parámetro está definido en función del voltaje de salida y el voltaje de entrada cuando la
corriente de salida es cero:
Entonces podemos obtener el voltaje de carga con la siguiente expresión:
Al hacer todos los cálculos numéricos en Matlab, obtenemos:
El programa utilizado para hacer los cálculos fue el siguiente:
%Parámetros del circuito f=1E9;
B=(2*pi*f*2)/(0.3E9); l=0.025; Z0=50; RL=75; RS=25; L=1E-9; VS=1.5*exp(-0*1i);
%Parámetros ABCD de la resistencia RS A1=1;
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 18/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
B1=RS; C1=0; D1=1;
%Parámetros ABCD de la línea de transmisión A2=cos(B*(l/2));
B2=1i*Z0*sin(B*(l/2)); C2=1i*(Z0^-1)*sin(B*(l/2)); D2=A2;
%Parámetros ABCD de la inductancia L A3=1; B3=1i*2*pi*f*L; C3=0; D3=1;
%Parámetros ABCD de la línea de transmisión A4=cos(B*(l/2)); B4=1i*Z0*sin(B*(l/2)); C4=1i*(Z0^-1)*sin(B*(l/2));
D4=A2;
%Parámetros ABCD de la carga A5=1; B5=0; C5=1/RL; D5=1;
%Definición de las matrices ABCD1=[A1 B1 ; C1 D1]; ABCD2=[A2 B2 ; C2 D2]; ABCD3=[A3 B3 ; C3 D3]; ABCD4=[A4 B4 ; C4 D4]; ABCD5=[A5 B5 ; C5 D5];
%Matriz total ABCDT=ABCD1*ABCD2*ABCD3*ABCD4*ABCD5;
%Como la corriente es cero en el último puerto podemos utilizar el%parámetro A total, ya que precisamente el parámetro A está definido como%AT=VS/VL cuando IL=0 y por lo tanto VL=VS/AT. VL=VS/ABCDT(1,1);
%Obtención de la magnitud del voltaje abs(VL)
%Obtención del ángulo de desfase angle(VL)*180/pi
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 19/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
Ejercicio 9
Enunciado
Utilizando de nuevo los parámetros ABCD del problema 8, tomando , ,
,
,
, grafique la magnitud y la fase del voltaje en la carga desde
hasta cuando: (a) , ; (b) , . Utilice
Matlab o cualquier otro software similar.
Solución
Inciso (a)
Para el caso en que y , las gráficas para la magnitud y la fase del voltaje
son:
Inciso (b)
Para el caso en que y , las gráficas para la magnitud y la fase del voltaje
son:
0 2 4 6 8 100.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
| V L
| [ V ]
Frecuencia [GHz]
0 2 4 6 8 10-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
F a s e d e V L
[ G r a d o s ]
Frecuencia [GHz]
0 2 4 6 8 100.62
0.64
0.66
0.68
0.7
0.72
0.74
0.76
| V L
| [ V ]
Frecuencia [GHz]
0 2 4 6 8 10-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
F a s e d e V L
[ G r a d o s ]
Frecuencia [GHz]
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 20/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
Programa
El programa utilizado para generar estas gráficas es:
%Parámetros del circuito l=0.025; Z0=50;
RL=75; RS=25; L=1E-9; VS=1.5*exp(-0*1i);
fmin=100E6; fmax=10E9; N=1000; df=(fmax-fmin)/N;
VL=zeros(1000,1);
for k=1:N
%Definición del vector de frecuencias f(k)=fmin+(k-1)*df;
%Cálculo de beta B=(2*pi*f(k)*2)/(0.3E9);
%Parámetros ABCD de la resistencia RS A1=1; B1=RS; C1=0; D1=1;
%Parámetros ABCD de la línea de transmisión A2=cos(B*(l/2)); B2=1i*Z0*sin(B*(l/2)); C2=1i*(Z0^-1)*sin(B*(l/2)); D2=A2;
%Parámetros ABCD de la inductancia L A3=1; B3=1i*2*pi*f(k)*L; C3=0; D3=1;
%Parámetros ABCD de la línea de transmisión A4=cos(B*(l/2)); B4=1i*Z0*sin(B*(l/2)); C4=1i*(Z0^-1)*sin(B*(l/2)); D4=A2;
%Parámetros ABCD de la carga A5=1; B5=0; C5=1/RL;
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 21/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
D5=1;
%Definición de las matrices ABCD1=[A1 B1 ; C1 D1]; ABCD2=[A2 B2 ; C2 D2]; ABCD3=[A3 B3 ; C3 D3];
ABCD4=[A4 B4 ; C4 D4]; ABCD5=[A5 B5 ; C5 D5];
%Matriz total ABCDT=ABCD1*ABCD2*ABCD3*ABCD4*ABCD5;
%Como la corriente es cero en el último puerto podemos utilizar el%parámetro A total, ya que precisamente el parámetro A está definido
como%AT=VS/VL cuando IL=0 y por lo tanto VL=VS/AT. VL(k)=VS/ABCDT(1,1);
end
%Gráfica de la magnitud de VL subplot(1,2,1); plot(f/1E9,abs(VL)); grid on; ylabel('|V_L| [V]'); xlabel('Frecuencia [GHz]');
%Gráfica de la fase de VL subplot(1,2,2); plot(f/1E9,angle(VL)*180/pi); grid on; ylabel('Fase de V_L [Grados]');
xlabel('Frecuencia [GHz]');
Ejercicio 10
Enunciado
Utilizando de nuevo los parámetros ABCD del problema 8, y tomando , , , y , grafique la magnitud y la fase del voltaje en la carga desde hasta cuando: (a) , ; (b) , . Utilice
Matlab o cualquier otro software similar.
Solución
Inciso (a)
Para el caso en que y , las gráficas para la magnitud y la fase del voltaje
son:
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 22/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
Inciso (b)
Para el caso en que
y
, las gráficas para la magnitud y la fase del voltaje
son:
El programa
El programa utilizado para generar las gráficas anteriores es:
%Parámetros del circuito f=1E9; Z0=50; RL=50;
RS=50; L=1E-9; VS=1.5*exp(-0*1i);
lmin=10E-3; lmax=300E-3; N=1000; dl=(lmax-lmin)/N;
VL=zeros(1000,1);
0 50 100 150 200 250 300
1.14
1.16
1.18
1.2
1.22
1.24
1.26
1.28
1.3
| V L
| [ V ]
Longitud [cm]
0 50 100 150 200 250 300-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
F a s e d e V L
[ G
r a d o s ]
Longitud [cm]
0 50 100 150 200 250 3000.7485
0.7485
0.7485
0.7485
0.7485
0.7485
| V L
| [ V ]
Longitud [cm]
0 50 100 150 200 250 300-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
F a s e d e V L
[ G r a d o s ]
Longitud [cm]
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 23/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
for k=1:N
%Definición del vector de frecuencias l(k)=lmin+(k-1)*dl;
%Cálculo de beta B=(2*pi*f*2)/(0.3E9);
%Parámetros ABCD de la resistencia RS A1=1; B1=RS; C1=0; D1=1;
%Parámetros ABCD de la línea de transmisión A2=cos(B*(l(k)/2)); B2=1i*Z0*sin(B*(l(k)/2)); C2=1i*(Z0^-1)*sin(B*(l(k)/2));
D2=A2;
%Parámetros ABCD de la inductancia L A3=1; B3=1i*2*pi*f*L; C3=0; D3=1;
%Parámetros ABCD de la línea de transmisión A4=cos(B*(l(k)/2)); B4=1i*Z0*sin(B*(l(k)/2)); C4=1i*(Z0^-1)*sin(B*(l(k)/2)); D4=A2;
%Parámetros ABCD de la carga A5=1; B5=0; C5=1/RL; D5=1;
%Definición de las matrices ABCD1=[A1 B1 ; C1 D1]; ABCD2=[A2 B2 ; C2 D2]; ABCD3=[A3 B3 ; C3 D3]; ABCD4=[A4 B4 ; C4 D4]; ABCD5=[A5 B5 ; C5 D5];
%Matriz total ABCDT=ABCD1*ABCD2*ABCD3*ABCD4*ABCD5;
%Como la corriente es cero en el último puerto podemos utilizar el%parámetro A total, ya que precisamente el parámetro A está definido
como%AT=VS/VL cuando IL=0 y por lo tanto VL=VS/AT. VL(k)=VS/ABCDT(1,1);
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 24/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
end
%Gráfica de la magnitud de VL subplot(1,2,1); plot(l/1E-3,abs(VL)); grid on;
ylabel('|V_L| [V]'); xlabel('Longitud [cm]');
%Gráfica de la fase de VL subplot(1,2,2); plot(l/1E-3,angle(VL)*180/pi); grid on; ylabel('Fase de V_L [Grados]'); xlabel('Longitud [cm]');
Ejercicio 11
EnunciadoUna resistencia debe estar conectada a una línea de transmisión cuya impedancia ca-
racterística es , longitud física , y una constante dieléctrica efectiva . Para evitar reflexiones a la frecuencia de operación , un transformador de
impedancias de cuarto de onda con la misma se inserta entre la línea de transmisión y la carga
(vea el circuito de abajo). Asuma que , y . (a) Encuentre la impedancia carac-
terística requerida de un transformador de cuarto de onda para lograr un acoplamiento per-
fecto a , (b) Utilizando los parámetros ABCD y Matlab, grafique la magnitud y la fase de la
fuente de corriente antes y después de insertar el transformador de cuarto de onda, desde
hasta
.
Solución
Inciso (a)
La impedancia característica del transformador de cuarto de onda está dado por el promedio
geométrico de las impedancias a acoplar, es decir:
√
La longitud del transformador debe ser, como su propio nombre lo dice, de un cuarto de la longi-tud de onda . La longitud de onda se puede calcular como se muestra a continuación:
√
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 25/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
Por lo tanto, la longitud de nuestro transformador de cuarto de onda debe ser:
Inciso (b)
Para el caso en que no se tiene el transformador de cuarto de onda instalado en el circuito, la for-
ma de onda de la corriente de entrada es:
El programa utilizado para generar estas gráficas es:
%Parámetros del circuito VS=1*exp(-0*1i); Ee=3.6; RL=80; RS=50; l1=150E-3; Z01=50; l2=0.3E9/(4*3E9*sqrt(Ee)); Z02=sqrt(Z01*RL);
%Inicializaciones y definiciones para el ciclo de cálculos fmin=60E6; fmax=6E9; N=1000; df=(fmax-fmin)/N; f=zeros(1000,1); VL=zeros(1000,1);
IL=zeros(1000,1); IS=zeros(1000,1);
for k=1:N
%Definición del vector de frecuencias f(k)=fmin+(k-1)*df;
%Cálculo de beta
0 1 2 3 4 5 67.5
8
8.5
9
9.5
10
10.5
11
11.5
12
12.5
| I S | [ m A ]
Frecuencia [GHz]
0 1 2 3 4 5 6-15
-10
-5
0
5
10
15
F
a s e d e I S [ G r a d o s ]
Frecuencia [GHz]
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 26/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
B=(2*pi*f(k)*sqrt(Ee))/(0.3E9);
%Parámetros ABCD de la resistencia RS A1=1; B1=RS; C1=0;
D1=1; %Parámetros ABCD de la línea de transmisión A2=cos(B*(l1)); B2=1i*Z01*sin(B*(l1)); C2=1i*(Z01^-1)*sin(B*(l1)); D2=A2;
%Parámetros ABCD de la carga A3=1; B3=0; C3=1/RL; D3=1;
%Definición de las matrices ABCD1=[A1 B1 ; C1 D1]; ABCD2=[A2 B2 ; C2 D2]; ABCD3=[A3 B3 ; C3 D3];
%Matriz total ABCDT=ABCD1*ABCD2*ABCD3;
%Como la corriente es cero en el último puerto podemos utilizar el%parámetro A total, ya que precisamente el parámetro A está definido
como%AT=VS/VL cuando IL=0 y por lo tanto VL=VS/AT.
VL=VS/ABCDT(1,1);
%Conociendo VL, es posible calcular la corriente en la fuente IL %utilizando el parámetro CT2: IS(k)=VL*ABCDT(2,1);
end
%Gráfica de la magnitud de VL subplot(1,2,1); plot(f/1E9,abs(IS)/1E-3); grid on; ylabel('|I_S| [mA]');
xlabel('Frecuencia [GHz]');
%Gráfica de la fase de VL subplot(1,2,2); plot(f/1E9,angle(IS)*180/pi); grid on; ylabel('Fase de I_S [Grados]'); xlabel('Frecuencia [GHz]');
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 27/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
Inciso (c)
Una vez que se ha instalado el transformador de cuarto de onda
Note que conforme nos acercamos a la corriente de la fuente se vuelve menos sensible a la
frecuencia mientras que la fase tiende a cero ya que a esa frecuencia el circuito se comporta de
forma resistiva ( ).
El programa utilizado para generar éstas gráficas es:
%Parámetros del circuito VS=1*exp(-0*1i); Ee=3.6; RL=80;
RS=50; l1=150E-3; Z01=50; l2=0.3E9/(4*3E9*sqrt(Ee)); Z02=sqrt(Z01*RL);
%Inicializaciones y definiciones para el ciclo de cálculos fmin=60E6; fmax=6E9; N=1000; df=(fmax-fmin)/N; f=zeros(1000,1); VL=zeros(1000,1);
IL=zeros(1000,1); IS=zeros(1000,1);
for k=1:N
%Definición del vector de frecuencias f(k)=fmin+(k-1)*df;
%Cálculo de beta B=(2*pi*f(k)*sqrt(Ee))/(0.3E9);
0 1 2 3 4 5 67.5
8
8.5
9
9.5
10
10.5
11
11.5
12
12.5
| I S | [ m A ]
Frecuencia [GHz]
0 1 2 3 4 5 6-15
-10
-5
0
5
10
15
F a s e d e I S [ G r a d o s ]
Frecuencia [GHz]
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 28/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
%Parámetros ABCD de la resistencia RS A1=1; B1=RS; C1=0; D1=1;
%Parámetros ABCD de la línea de transmisión A2=cos(B*(l1)); B2=1i*Z01*sin(B*(l1)); C2=1i*(Z01^-1)*sin(B*(l1)); D2=A2;
%Parámetros ABCD del transformador de cuarto de onda A3=cos(B*(l2)); B3=1i*Z02*sin(B*(l2)); C3=1i*(Z02^-1)*sin(B*(l2)); D3=A3;
%Parámetros ABCD de la carga A4=1; B4=0; C4=1/RL; D4=1;
%Definición de las matrices ABCD1=[A1 B1 ; C1 D1]; ABCD2=[A2 B2 ; C2 D2]; ABCD3=[A3 B3 ; C3 D3]; ABCD4=[A4 B4 ; C4 D4];
%Matriz total
ABCDT=ABCD1*ABCD2*ABCD3*ABCD4;
%Como la corriente es cero en el último puerto podemos utilizar el%parámetro A total, ya que precisamente el parámetro A está definido
como%AT=VS/VL cuando IL=0 y por lo tanto VL=VS/AT. VL=VS/ABCDT(1,1);
%Conociendo VL, es posible calcular la corriente en la fuente IL %utilizando el parámetro CT2: IS(k)=VL*ABCDT(2,1);
end
%Gráfica de la magnitud de VL subplot(1,2,1); plot(f/1E9,abs(IS)/1E-3); grid on; ylabel('|I_S| [mA]'); xlabel('Frecuencia [GHz]');
%Gráfica de la fase de VL subplot(1,2,2);
5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-de-repaso-2-analisis-en-el-dominio-de-la-frecuencia 29/29
Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
plot(f/1E9,angle(IS)*180/pi); grid on; ylabel('Fase de I_S [Grados]'); xlabel('Frecuencia [GHz]');