Download - Ejercicios Resueltos Bedford
Universidad Nacional San Cristbal DeHuamangaFacultad De Ingeniera Minas, Geologa Y CivilEscuela De Formacin Profesional DeIngeniera Civil
Resolucin de Problemas
Mecnica para Ingeniera (Bedford-Fowler)
Cinemtica de Partcula y cuerpo Rgido Asignatura :Dinmica (IC-246)
Alumnos : z Caldern Quispe, Gilmer
z Navarro Bautista, Paul
z Maldonado Carlos, Juan Jos
z Infante Leva , Samuel
Docente : Ing. Cristian Castro Prez
Ayacucho - Peru - 2013
Problemas
1. Problema 2.33
Si =1 rad Y d/dt = 1rad/s, cual es la velocidad de P con respecto de O? Estrategia: se puede escribir la posicin de P respecto de O como:
s = (2pie) cos + (2pie) cos
Y luego calcular la derivada de esta expresin con respecto al tiempo para determinar la velocidad.
2 m 2 m
OP
s
Solucin
La ubicacin de P desde el punto O est dado por:
s = 2 cos + 2 cos = 4 cos
derivando respecto del tiempo para hallar la velocidad
ds d dt = 4sen dt
dtEvaluando para = 1rad y ds = 1rad/s
Universidad Nacional san Cristbal de HuamangaEscuela de Formacin Profesional Ing. CivilDepartamento Acadmico de Ingeniera Minas y civil
Dinmica# 11 "DAIMC
2. Problema 2.53
dsdt = 4sen(1rad) = 3,37m/s
Un oscilador consiste en una masa y un resorte conectados como se muestra. La coordenada s mide el desplazamiento de la masa respecto a su posicin cuando el resorte no esta estirado. Si el resorte es lineal, la masa esta sometida a una desaceleracin proporcional a s. Suponga que a = 4sm/s2 , y que la masa tiene una velocidad v = 1m/s en la posicin s = 0.
s
a) Qu distancia se mover la masa hacia la derecha antes de que el resorte se detenga?
b) )Qu velocidad tendr la masa cuando regrese a la posicin s = 0?
Solucin
como la aceleracion esta en funcion de S usaremos:
vdv = ads
Del datoa = 4s sustituyendo
vdv 4sds
integramos
v22 = v2
4s2+ C2
= 2s2 + C (1)2
Para v(0) = 1m/s y s = 0 en (1)
(1)2 1
22= 2(0)2 + C C =
Quedando la ecuacion (1) de la forma
v2
= 2s2 + 12 2
()a) La velocidad es cero cuando se detiene entonces.
(0)2 1
= 2s2 +2 2
quedara
1s = 2 m
la distancia que se mueve hacia la derecha
1 s = 2 m
b) La velocidad para s = 0
De la ecuacion
2v = 2(0)2 + 12 2v = 1m/s
como el mvil regresa
v = 1im/s
3. Problema 2.82
lllllllllllllllllllllllll
un automvil viaja a 100km/h sobre un camino recto con pendiente creciente cuyo perfil vertical se puede aproximar con la ecuacin mostrada. Cuando la coordenada horizontal del automvil es x = 400m, Cul es su aceleracin?
y
y = 0.0003x 2
x
Solucin
Datos
v = 100K m/h = 27 78m/s y = 0 0003x2 con c = 0 0003 y = cx2
sabemos que:
v = px 2 + y 2 (I )
derivando la ecuacin de la trayectoria
y = 2cxx
(I I )
Remplazando en la expresin(I)
q
2v = x 2 + (2cxx )
despejamos x
vx = q 1 + (2cx)2
(I I I )
remplazamos para x = 400m
x = 27 013m/s
Derivamos nuevamente (III)
2x = 4vcx (1 + (2cx))3/2
remplazamos para x = 400m
x = 0 099m/s2
Derivando la ecuacin (II )
y = 2c(x 2 + xx) Remplazando para x = 400m y = 0 414m/s2
La aceleracin ser
~a = 0 099i + 0 414j m/s2
4. Problema 2.107
un automvil incrementa su velocidad a una razn constante de 40mi/h en A y a 60mi/h enB. Cul es la magnitud de su aceleracin 2s despus de que pasa por el punto A?
y
120 pies
30 B Ax
80 pies
100 pies
30
80 pies
Solucin
Datos:
vA = 40mi/h 58 667pies/s vB = 60mi/h 88 0pies/s
Partamos de:
vdv = ads a=cte (condicin del problema)
Integrando
v2 = 2as + C para vA = 58 667pies/s; s = 0C = v2 2as = 3441 817
de v2 = 2as + C hallamos la aceleracin
v2 Ca =2s
s = 80(2) +
30180
(120 + 100)
Remplazando para vB = 88pies/ss = 275 192pies(88)2 3441 817a =2(275 192)a = 7 816pies/s2
La velocidad en funcion del tiempo
v(t) = vA + at 58 667 + (7 816)t1 2s(t) = vA + 2 at
1 58 667t + 2 (7 816)t2v(2) = 74 299pies/ss(2) = 132 966pies Ubicado en el primer arco
Hallando aceleracion normal
v2an = R
an =
(74 299)2120an = 46 003pies/s2q |a| =
(46 003)2 + (7 816)2|a| = 46 662pies/s2
5. Problema 2.132
La barra gira en el plano x y de la figura con velocidad angular constante 0 = 12rad/s. La componente radial de la aceleracin del collarn C es ar = 8r. Cuando r = 1m, la componente radial de la velocidad de C es vr = 2m/s. Determine la componente radial y transversal de la velocidad de C cuandor = 1,5m.
y
v 0
C
r
x
Solucin:
Usando la regla de la cadena y escribiendo en trminos de la aceleracin radial
d2r
dvr
dvr dr
dvr
Luego tenemos
d2 t =
= = vrdt dr dt dr
d2r
d 2ar = d2t r( dt )
= 8rd2r
d 2 2 2 2d2 t = ([ dt ]
Calculando la velocidad radial
8)r = (12
8 )r 136r rad/s
d2r
....d..v..rd2 t = vr dr = 136rvr 1 5Z Zvr dvr = 136
2 1
rdvr
v2r2
Resolviendo obtenemos
22= 136(2
1 52 122 2 )
vr = 13 2 m/s
Ademas tenemos
De esta manera tenomos:
dv = r dt = (1 5)(12) v = 18 m/s
V~ = 13 2er + 18e m/s
6. Problema 2.150
Dos automviles A y B se aproximan a una interseccin. A viaja a 20m/s y va desacelerando a 2m/s2 , y B viaja a 10m/s y va desacelerando a 3m/s2. En el sistema coordenado fijo a la tierra mostrado, determine la velocidad de A respecto a B y la velocidad de B respecto a A.
Solucin:
Se toma com origen de cooerdenadas la interseccion de su trayectoria
~vA = 20i y ~vB = 10j
~vA/B esta dado por ~vA/B = ~vA ~vB
~vA/B = 20i 10jvA/B = p(20)2 + (10)2 vA/B = 22 36 m/s
De forma analoga para V~B/A
~vB/A = 10j (20i) = 10j + 20ivB/A = 500 vB/A = 22 36 m/s
7. Problema 2.171
Un ro fluye hacia el norte a 3m/s (suponga que la corriente es uniforme). Si se quiere viajar en lnea recta del punto C al punto D en un bote que navega a velocidad constante de 10m/s respecto al agua, en qu direccin debe apuntar el bote? Cunto tarda en efectuar el cruce? ser
3 m/ s
D
400 m N
W E
S
C
500 m
Solucin:
Asumiendo un angulo medido desde el este
~vbote/tierra = ~vbote/agua + ~vagua/tierra~vbote/agua = 10(cosi + sinj)~vagua/tierra = 3m/sj~vbote/tierra = [(10cosi) + (3 + 10sinj)]
Queremos que el bote viaje en ngulo
tan =
400500
Por consiguiente tenemos:
3 + 10sin10cos
400=500
= 25 11
Calculando la velocidad absolutav = p(10cos)2 + (3 + 10sin)2 v = 11 60m/s
Por lo tanto el tiempo ser
t =
d 5002 + 4002=v 11 60t = 55 2 s
8. Problema 2.194
La velocidad v = 2m/s es constante. Cules son las magnitudes de la velocidad y aceleracin del punto P cuando x = 0,25m?
y
y = 0.2 sin x
P
x
1 m
Solucin:
Hallando el tiempo para x = 0,25
x = 2t (M RU )t = 0 125s
De la ecuacion y = 0 2sin(2t) derivamos
dy dtd2y
= 0 4cos(2t) (Velocidad)
2d2t = 0 8
sin(2t) (Aceleracin)
Remplazando para t = 0 125s y y = 0 141
dy dtd2y
= vy = 0 889 m/s
2d2t = ay = 5 58 m/s
POr consiguiente hallaremos los mdulos
|v| = v =
q v2 + v2
2 19 m/sx y|a| = a = pa2 + v2
5 58 m/s2x a
9. Problema 6.13
La placa rectangular oscila con brazos de igual longitud. Determine el vector de velocidad de(a) La placa rectangular (b) La barra AB
y
A xD10 rad/s
B C
Solucin:
Como se ve en la figura el cuadrilatero ABCD siempre forma un paralelogramo dado que AD =BC yAB = DC y por tanto necesariamente AD//BC y AB//DC .
= (porserunparalelogramo) = BC = 00
AB = AC = 10rad/s
De la figura
(I ) Y (II ) iguales hallando la parte a)
A~B = AB(cos, sin) (I )D~C = DC (cos, sin) (I I )
La barra AB por ser un cuerpo rigido todos los puntos de este poseen igual velocidad angular y que apunta en la direccion de eje Z +
~ AB = 10krad/s
hallando la parte b)
~vB = w~ ~rAB (I )~vC = ~vB + w~ 00 ~rBC (I I )~vC = ~ ~rDC ; Ademas ~rAB = ~rDC (I I I )
De las ecuacones (I),(II) y (III)
~vB + w~ 00 ~rBC = ~ ~rDC
00w~ ~rAB + w~
~rBC = 10k ~rABw~ 00 ~rBC = 10k (~rAB ~rAB )w~ 00 ~rBC = (0, 0, 0)w~ 00 = (0, 0, 0)rad/s
10. Problema 6.41
En la fig. p6.41, si AB = 2rad/s y BC = 4rad/s, Cul es la velocidad del punto C, donde el cubo de la excavadora est conectado?
y
v A B
Bv B C C
5.5 m 5 m
A
1.6 m
4 m3 m2.3 mx
Solucin:
Hallando el radio vector
~rA/B = 3i + (5,5 1,6)j = 3i + 3,9j(m)
Calculando la velocidad ene el punto B
~vB = ~ AB ~rA/B i j
k ~vB = 0 0 23 3 9 0
= 7 8i + 6j(m/s)
Encontrando el radio vector BC que es:
~rC/B = 2 3i + (5 5 5)j = 2 3i 0 5i
Hallando la velocidad en el punto C
~vC = ~vB + ~ BC ~rC/B i j
k ~vC = 7 8i + 6j +
0 0 4 2 3 0 5 0~vC = 9 8i 3 2j m/s
11. Problema 6.83
En la fig. p6.85, si AB = 2rad/s, AB = 2rad/s2, BC = 1rad/s, y BC = 2rad/s2,Cul es la aceleracin del punto C donde se conecta el cucharn de la excavadora?
y
v A Ba A B
B
av B C CB C
5.5 m 5 m
A
1.6 m
4 m3 m2.3 mx
Solucin:
De la grafica hallando los puntos A, B,y C medidos del extremo inferior izquierdo
~rA = 4i + 1 6j~rB = 7i + 5 5j~rC = 9 3i + 5j
Calculando los vectores de posicin relativos
~rB/A = rB rA = (7i + 5 5j) (4i + 1 6j) = 3i + 3 9j~rC/B = rC rB = (9 3i + 5j) (7i + 5 5j) = 2 3i 0 5j
Encontrando la aceleracin del punto B
AB~aB = ~ AB ~rB/A 2
~rB/A i j
k ~aB = 0 0 23 3 9 0
(22)(3i + 3 9j)~aB = 2(3 9i + 3j) 4(3i + 3 9j) = 19 8i 9 6j m/s2
La aceleracin del punto C en trminos de la aceleracin en el punto B es:
BC~aC = ~aB + ~ BC ~rC/B 2
~rC/B i j
k ~aC = 19 8i 9 6j +
0 0 4 12(2 3i 0 5j)2 3 0 5 0~aC = 24 1i 18 3j m/s2
12. Problema 6.110
La velocidad angular AC = 50 /s. Determine la velocidad angular del actuador hidrulicoBC y la razn a la que se extiende.
C
aA C
v A C
2.4 m
A B
1.4 m1.2 m
Solucin:
Transformando la velocidad angular
AC = 5( 180 ) = 0 0873 rad/s
La velocid del punto C est dado por
~vC = ~ AC ~rC/A i j
k ~vC =
0 0 AC2 6 2 4 0
= 2 2094i + 0 2269j m/s (I )
Hallando el vector unitario paralelo al actuador BC
1 2i + 2 4j e = 1 22 + 2 42 = 0 4472i + 0 8944j
La velocidad del punto C en trminos de la velocidad del actuador est dado por:
~vC = vC rel~e + ~ BC ~rC/B i j
k ~vC = vC rel(0 4472i + 0 8944j) +
0 0 BC 1 2 2 4 0~vC = vC rel (0 4472i + 0 8944j) + BC (2 4i + 1 2j) (I I )
Comparando las ecuaciones (I ) y (II )
0 2094 = 0 4472vC rel 2 4BC (I I I )0 2269 = 0 8944vcrel + 1 2BC (I V )
Resolviendo las ecuacones (III ) y (IV )
BC = 0 1076 rad/s vC rel = 0 109 m/s
Que es tambin la velocidad de extensin del actuador
13. Problema 6.134
Un automvil A en latitud norte L viaja hacia el norte en una carretera con orientacin norte- sur a una velocidad constante . Determine las componentes X,Y,Z de la velocidad y aceleracin del automvil (a) respecto al sistema coordenado fijo a la Tierra mostrado; (b) respecto a un sistema coordenado sin giro con su origen en el centro de la Tierra.N
y
xA LB RE
Solucin:
a) Hallando la velocidad y la aceleracin respecto al coordenado fijo a la tierra~vrel = vj
v2~arel = i El movimento que describe es un circuloRE
b) Hallando respecto a un sistema coordenado sin giro
~vA = ~vArel + ~ E ~rA/B + ~rB (~vB = 0)~va = vj + (E sinLi + E cosLj) REi~va = vj E RE cosLk~aA = ~aB + ~aArel + 2~ E ~vArel + ~ ~rA/B + ~ E (~ E ~rA/B )
donde E esta dado por:
~ E = E sinLi + E cosLj y ~rA/B = R~ E i v2~aA = 0 E
i + 2vE sinLk + (E sinLi + E cosLj) (E RE cosLk)
Rv2 2 2 2
R~aA = (E
+ E RE cos L)i + (E RE sinLcosL)j + 2vE sinLk