Download - Ejercicios Resueltos Calculo Vectorial
III-415 Cálculo Diferencial e Integral III
Arturo Profesor: Arturo Vega
Unidad: Cálculo Vectorial
Ejercicios Resueltos
1. Sea
Calcule a lo largo de la recta que va por el punto al punto
Solución:
Primero parametrizamos el segmento de recta:
El ejercicio será resuelto mediante notación diferencial
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2. Sea
Verifique que es conservativo
Solución:
Sea
Calculamos las derivadas de primer orden
Como se verifica que el campo es conservativo.
3. Determine si el campo vectorial es conservativo; si lo es
calcule una función potencial.
Solución:
Tomamos . Calculamos
Por lo tanto, es conservativo.
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Función potencial
Integramos con respecto a , respectivamente
Así concluimos que
4. Evaluar
Solución:
Vector Normal
Primero calculamos
La proyección sobre el plano es
Es decir la región es la comprendida entre los círculos y .
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Utilizamos coordenadas polares:
5. Calcule
Donde . Sabiendo que es la frontera del sólido , el cuál es
la región del espacio encerrada por el paraboloide y el plano de
ecuación
Solución:
está formado por dos superficies: y . Donde la primera es la superficie
parabólica y la segunda el plano; así
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Para la ,
Para está orientada hacia abajo, por lo que podemos tomar como vector normal unitario
a , obteniendo
Así
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6. Considere la integral
Dónde es la curva que se muestra en la figura
a) Verifique que la integral no depende de la trayectoria dada.
b) Calcule la integral planteada, sin usar el teorema fundamental de las integrales de
línea.
Solución:
El probar que la integral no depende de la trayectoria dada es equivalente a probar que el
campo vectorial es conservativo así
Si es el campo vectorial y tomamos como
, entonces
Como el rotacional del campo da como resultado el vector entonces se verifica que el
campo vectorial es conservativo y por consiguiente es independiente del camino.
Es por esto que podemos usar otra trayectoria que inicie en el punto y termine en el
punto (2,0,3). Es claro que lo más conveniente es que dicha trayectoria sea un segmento de
recta.
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Por lo tanto,
Además
Entonces
7. Calcule
Siendo y la superficie orientada en el
primer octante con un vector normal superior.
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Solución:
Primero
Además la proyección en el plano de la superficie es
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8. Sea el sólido limitado por el cilindro , en el plano y el plano
como se muestra en la figura
Calcular
Siendo y
corresponden a las superficies que limitan al sólido .
Solución:
Sea entonces
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Por otra parte la proyección en el plano del sólido es
Entonces
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9. Considere el campo vectorial definido por
a) Verifique que es conservativo.
b) Obtenga una función potencial para el campo .
c) Suponiendo que es un campo de fuerza, calcular el trabajo realizado por a
lo largo de la curva desde hasta
Solución:
Si , entonces
Así se verifica que el campo es conservativo.
Ahora buscamos la función potencial, estos es una función tal que .
Para esto debe cumplir
Integramos con respecto a , respectivamente
Así
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Por último para calcular el trabajo realizado por calculamos
Donde es una trayectoria con punto inicial y final los puntos y
respectivamente.
Entonces