EJERCICIOS RESUELTOS DE LA UNIDAD Nro 1

1.4.2 Ejercicios Resueltos Sobre

Nmeros Complejos

1Determine analtica y grficamente los complejos z = (x,y), que verifican las siguientes relaciones:

a) Re(z) = -2.

b)

.. SOLUCIN

a) Si z = (x,y), como x = Re(z) = -2, se sigue, entonces, que z es un par ordenado que

tiene la forma z = (-2,y). Geomtricamente, representa una lnea recta paralela al eje y, que pasa por el punto de la

abscisa -2 (Fig. 3.a).

b) Si z = (x,y), como y = ,entonces, los valores de z, que verifican ,

son todos aquellos nmeros complejos cuya ordenada y verifica : -2y < 3; o

equivalentemente: y -2 y y

=

= .

Como 30 = 4 7 + 2 y 31 = 4 7 + 3 ,entonces:

;

Por lo tanto,

3. Encuentre los valores de x e y para los cuales se verifica la siguiente igualdad : x + y +1 + (x - y + 3 )i = 1 + 7i .

.. SOLUCIN

Sean y .

Recordando que dos complejos son iguales si y slo si sus correspondientes partes reales e

imaginarias son iguales, se tiene, entonces :

x + y +1= 1 y x - y + 3 = 7. Resolviendo simultneamente el sistema anterior, se obtiene

: x = 2 e y = -2.

4. Efecte las operaciones indicadas en cada uno de los siguientes literales, expresando el

resultado en la forma (a + bi).

a) (2m+5+i) + [2 + (3m - 2)i].

b) .

.. SOLUCIN

a) (2m+5+i) + [2 + (3m - 2)i] = 2m + 5 +i +2 +3mi -2i = (2m +7 ) +(-1 +3m ).i

b) En primer lugar,

Tambin ,

Por tanto ,

5.Demuestre la propiedad 9 del teorema de la seccin 1.3.4.

.... SOLUCIN

Sea z = a + bi ; a = Re(z) , b = ,

entonces, y . Es decir , y, por tanto, (1).

Ahora, como a, a| a| (2). De (1) y (2), se concluye que a | z | ,es decir,

.

Procediendo en forma similar, se demuestra que .

6.Demuestre la propiedad 12 del teorema de la seccin 1.3.4.

.. SOLUCIN

(Propiedad 7)

(Propiedad 1)

= (Distributiva )

= (Propiedad 7)

Pero, la igualdad: indica que los trminos: y son

complejos conjugados uno del otro y por la propiedad 2, se sigue que:

Por tanto , (1).

Ahora bien ,de acuerdo con la propiedad 9 , , tambin,

(2).

De (1) y (2), se tiene :

0 equivalentemente ,

De donde .

7. Determine analtica y grficamente los complejos z que verifican :

a) 1 | z | 3.

b) | z - 1 + i | = 1.

.. SOLUCIN

Sea z = x + yi la forma binomial del nmero complejo buscado .

a) 1 | z | 3 o tambin , (1). La desigualdad (1) es

equivalente a la conjuncin de las desigualdades : (2) y

(3). Geomtricamente, (2) representa todos los puntos (x,y) del plano complejo que estn por fuera del crculo unidad (incluyendo la circunferencia (Fig. 4.a.)).

De la misma forma, (3) representa geomtricamente todos los puntos (x,y) del plano

complejo que estn en el interior del crculo centrado en el origen y radio 3, incluyendo la

circunferencia (Fig. 4.b).

Como (2) y (3) se cumplen de manera simultnea esto significa geomtricamente que, se

debe considerar, como solucin de la desigualdad inicial, la regin comn o interseccin de

las regiones de las figuras (4.a) y (4.b), esta es la corona que aparece en la Fig. 4.c.

b) | z - 1 + i | = 1 | x + iy - 1 + i | = 1 |( x -1 ) + ( y + 1 )i | = 1

(4)

La ecuacin (4) representa geomtricamente todos los puntos del plano complejo que estn

sobre la circunferencia de radio 1 , centrada en el punto C(1,-1).(Fig. 5).

8. Pruebe que si y son dos nmeros complejos ,entonces :

.. SOLUCIN

Se prueba la igualdad transformando el primer miembro en el segundo. Esto es ,

(Propiedad 7)

(Propiedad 1)

(Efectuando los productos y simplificando).

(Propiedad 7)