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1º.- EL ESPACIO DE TRES DIMENSIONES
Coordenadas de un punto: Tomamos un punto
fijo O (origen) del espacio real de tres
dimensiones (que es en el que nos movemos).
Cada punto P del espacio determina con O un
vector único OP . De este modo, la descripción
analítica de los puntos del espacio se reducirá a
la de los vectores libres del espacio.
Sea 321 ,, eeeB = , una base del espacio de los
vectores libres. Existe una terna de números
(x1, x2, x3) tales que:
332211 ··· exexexOP ++=
Es decir, fijado un punto O y una base 321 ,, eeeB = :
A CADA PUNTO Le corresponde UN VECTOR Le corresponden UNAS
COORDENADAS
P OP (x1, x2, x3)
A cada punto le corresponderán unas coordenadas y recíprocamente.
Por todo lo anterior ( ) 321 ,,; eeeOR = se llama sistema de referencia en el espacio.
En adelante, y mientras no se diga lo contrario,
se supone que estamos utilizando una base
ortonormal.
A los ejes de coordenadas, rectas que pasan por
el origen y son paralelas a los vectores de la
base, los llamaremos X, Y, Z.
OBTENCIÓN GRÁFICA DE LAS COORDENADAS DE UN PUNTO P:
Se proyecta P sobre los planos coordenados XY, XZ, YZ, y los puntos obtenidos se proyectan sobre los
ejes coordenados X, Y, Z:
segmento PD=c (paralelo al eje z)
segmento OA=BD=a (perpendicular al eje Y)
segmento OB=AD=b ( perpendicular al eje X)
Las coordenadas del punto P serán (a, b, c).
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VECTOR QUE UNE DOS PUNTOS:
Dados dos puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) el
vector AB tiene de coordenadas:
( )121212 ,, zzyyxxOAOBAB −−−=−=
O sea, para obtener las coordenadas del vector que va de un punto a otro, se restan: (coordenadas del
extremo)- (coordenadas del origen).
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:
Sean A y B dos puntos distintos, M el punto medio del segmento AB, entonces se verifica:
ABMBAM2
1== . Por tanto:
( ) ( ) =−−−+=+=+= 121212111 ,,2
1,,
2
1zzyyxxzyxABOAAMOAOM
+++=
2,
2,
2
212121 zzyyxx
Semisuma de las coordenadas de los extremos de los segmentos.
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2º.- ECUACIONES DE LA RECTA
Una recta r en el espacio queda determinada por un punto A y un vector u no nulo, que se llama vector
director de la recta. El vector aOA = se llama vector de posición del punto A.
ECUACIÓN VECTORIAL:
Un punto cualquiera, X, de la recta cumple la condición siguiente: RtutAX = ,
Si a y x son los vectores de posición de los puntos A y X, respectivamente, se tiene que:
Rtutax =− ,
de donde:
Rtutax += ,
Al hacer variar t en R e van obteniendo los puntos de r.
ECUACIONES PARAMÉTRICAS:
Si en la ecuación vectorial sustituimos los vectores por sus coordenadas se obtiene:
(x, y, z)=(x1, y1, z1) + t(a, b, c)
ECUACIÓN CONTINUA:
Si despejamos el parámetro t de cada ecuación anterior e igualamos, obtenemos:
c
zz
b
yy
a
xx 111 −=
−=
−
x=x1 + ta
y=y1 + tb tR
z=z1 + tc
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Si uno o dos de los tres denominadores son nulos, la expresión carece de sentido numérico. No obstante
se acostumbra a poner la igualdad en cualquier caso dándole sentido simbólico, de proporción.
Otra forma de determinar una recta r es mediante un punto A y dos vectores n y 'n perpendiculares
a r. El vector director de la recta se obtiene haciendo el producto vectorial de n y 'n : 'nxn .
PUNTOS ALINEADOS:
Tres o más puntos del espacio son colineales o están alineados cuando pertenecen a la misma recta.
nAAAA ,...,,, 321 están alineados rango ( ) 1,...,, 13121 =nAAAAAA .
3º.- ECUACIONES DEL PLANO
Un plano a en el espacio queda determinado mediante un punto A y dos vectores v y w no nulos y no
proporcionales (paralelos al plano), que se llaman vectores direccionales del plano.
ECUACIÓN VECTORIAL:
Un punto cualquiera X pertenece al plano a, si el vector AX depende de v y w ; es decir:
RsRtwsvtAX += ,,
o también: ( ) 0,,det =wvAX
Si a y x son los vectores de posición de los puntos A y X, respectivamente, se tiene que:
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del dibujo se tiene: AXOAx += (siendo wsvtAX += )
de donde:
RsRtwsvtax ++= ,,
ECUACIONES PARAMÉTRICAS:
Sustituyendo en la ecuación anterior los vectores por sus coordenadas se tiene:
( ) ( ) ( ) ( )',',',,,,,, 111 cbascbatzyxzyx ++=
de donde:
++=
++=
++=
'
,'
'
1
1
1
sctczz
RsRtsbtbyy
sataxx
ECUACIÓN IMPLÍCITA:
Si utilizamos la expresión vectorial, se obtiene:
0
'''
111
=
−−−
cba
cba
zzyyxx
(puesto que el rango de la matriz asociada a este determinante es dos, ya que el vector ax − es
combinación lineal de los vectores wv, ).
Desarrollando el determinante por la primera fila, se obtiene:
( ) ( ) ( ) 0''''''
111 =−+−+− zzba
bayy
ca
caxx
cb
cb
Aquí, operando y simplificando, se llega a una ecuación del tipo:
en la que A, B y C no son los tres nulos y es la ecuación implícita o general del plano.
ECUACIÓN NORMAL:
Otra forma de determinar una plano a es mediante un punto A del plano y un vector n normal
(perpendicular) al plano.
Ax+By+Cz+D=0
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Si X es cualquier punto del plano, se verifica:
0)·(0· =−= axnAXn
Si ( )CBAn ,,= , sustituyendo las coordenadas de los vectores en la expresión anterior, se tiene:
( ) ( ) ( ) 0111 =−+−+− zzCyyBxxA
o bien, operando:
Ax+By+Cz+D=0
ECUACIÓN SEGMENTARIA:
Un plano “a” no paralelo a ninguno de los tres ejes, y que no pasa por el origen, corta a los ejes en tres
puntos. Sean A(a,0,0), B(0,b,0) y C(0,0,c):
Sea ( )0,,baABv −== y ( )caACw ,0,−== :
0
0
0 =
−
−
−
ca
ba
zyax
Operando, se obtiene:
1=++c
z
b
y
a
x
ECUACIONES DE LOS EJES Y DE LOS PLANOS COORDENADOS:
Planos: OXY z=0
OXZ y=0
OYZ x=0
Ejes: OX
=
=
0
0
z
y; OY
=
=
0
0
z
x;
OZ
=
=
0
0
y
x
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4º.- POSICIONES RELATIVAS DE RECTA Y PLANO
Las posiciones de una recta y un plano en el espacio son:
-Recta y plano secantes:
Tienen un punto en común.
-Recta y plano paralelos:
No tienen ningún punto en común.
-Recta contenida en el plano:
Todos los puntos de la recta pertenecen al
plano.
EXPRESIÓN VECTORIAL:
Consideramos la ecuación vectorial de la recta y la ecuación vectorial normal del plano:
utaxr +=: y 0: = nXA
Se presentan los siguientes casos:
0 nu Recta y plano secantes (Los vectores no son
ortogonales).
0= nu A Recta y plano paralelos (Los vectores son
ortogonales, pero no tienen puntos
comunes).
A Recta contenida en el plano (Los vectores
son ortogonales y tienen un punto en
común).
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EXPRESIÓN ANALÍTICA:
Consideramos la recta y el plano dados por las ecuaciones generales (recta como intersección de dos
planos):
=+++
=+++
0
0:
1111 DzCyBxA
DCzByAxr y a: A2x+B2y+C2z+D2=0
Estudiamos el sistema formado por estas tres ecuaciones. La matriz A de los coeficientes y la matriz M
ampliada son:
=
222
111
CBA
CBA
CBA
A y
=
2222
1111
DCBA
DCBA
DCBA
M
Se tienen los siguientes casos:
Rango(A)=3 rango(M)=3 Sistema compatible determinado. Los tres planos se cortan en
un único punto. Por tanto, la recta y el plano son secantes.
Rango(A)=2 rango(M)=3 Sistema incompatible. No tienen ningún punto en común. Por
tanto, la recta y el plano son paralelos.
rango(M)=2 Sistema compatible indeterminado. Las infinitas soluciones
dependen de un parámetro. Por tanto, la recta está contenida
en el plano.
5º.- POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
Las posiciones de dos planos en el espacio son:
-Planos secantes:
Tienen en común los puntos de una recta.
-Planos paralelos:
No tienen ningún punto en común.
-Planos coincidentes:
Tienen todos sus puntos en común.
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EXPRESIÓN VECTORIAL
Consideramos los planos y dados por las ecuaciones vectoriales normales:
0·: = nXA y 0·: = nXA
Se tienen los siguientes casos:
( ) 2, = nnrango Planos secantes (Los vectores normales no son paralelos).
( ) 1, = nnrango nA Planos paralelos (Los vectores normales son paralelos y un
punto no es común a los dos planos).
nA Planos coincidentes (Los vectores normales son paralelos y
tienen un punto común).
Consideramos los planos a y b dados por las ecuaciones vectoriales:
wsvtax ++= : y '': wsvtax ++=
Se tienen los siguientes casos:
( ) 3',',, =wvwvrango Planos secantes (Hay 3 vectores linealmente independientes).
( ) 2',',, =wvwvrango nA Planos paralelos (Sólo hay dos vectores l.i. y un
punto no es común a los dos planos).
nA Planos coincidentes (Sólo hay dos vectores l.i. y
tienen un punto común).
EXPRESIÓN ANALÍTICA:
Consideramos los planos y dados por las ecuaciones generales:
: Ax+By+Cz+D=0
:A’x+B’y+C’z+D’=0
Estudiaremos el sistema formado por estas dos ecuaciones:
La matriz de los coeficientes A y la matriz ampliada M son:
=
''' CBA
CBAA y
=
'''' DCBA
DCBAM
rango(A)=2 rango(M)=2 Sistema compatible indeterminado. Las infinitas soluciones
dependen de un parámetro. Por tanto, los dos planos se cortan
en una recta y son secantes.
rango(A)=1 rango(M)=1 Sistema compatible indeterminado. Las dos ecuaciones son
linealmente dependientes. Por tanto, los planos tienen todos
sus puntos en común, es decir, son paralelos coincidentes.
rango(M)=2 Sistema incompatible. Los planos no tienen ningún punto en
común, por tanto, son paralelos distintos.
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En la práctica es más ágil estudiar la proporcionalidad de coeficientes y términos independientes.
=='''' D
D
C
C
B
B
A
A Planos paralelos distintos.
==='''' D
D
C
C
B
B
A
A Planos paralelos coincidentes.
Coeficientes no proporcionales Planos secantes.
Se llama haz de planos paralelos al conjunto de planos paralelos a uno dado y su ecuación es:
Ax+By+Cz+k=0, k R
6º.- POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS
Consideramos los planos , y g dados por sus ecuaciones generales:
:Ax+By+Cz+D=0
:A1x+B1y+C1z+D1=0
g:A2x+B2y+C2z+D2=0
Estudiaremos el sistema formado por estas tres ecuaciones. La matriz de los coeficientes A y la matriz
ampliada M son:
=
222
111
CBA
CBA
CBA
A y
=
2222
1111
DCBA
DCBA
DCBA
M
Rango(A)=3 rango(M)=3
Sistema compatible determinado.
Los tres planos se cortan en un
punto.
Rango(A)=2 rango(M)=3 Sistema incompatible. Los tres planos no tienen ningún
punto en común.
Los planos se cortan
dos a dos formando
una superficie
prismática.
Dos de los planos son
paralelos y el otro los
corta.
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Rango(A)=2 rango(M)=2 Sistema compatible indeterminado. Las infinitas soluciones
dependen de un parámetro.
Los tres planos son
distintos y se cortan
en una recta.
Dos planos son
coincidentes y el otro
los corta.
Rango(A)=1 rango(M)=2 Sistema incompatible. Puesto que rango(A)=1, los tres
planos son paralelos.
Los planos son
paralelos y distintos
dos a dos.
Dos de los planos son
coincidentes y el otro
paralelo a ellos y
distinto.
rango(M)=1 Sistema compatible indeterminado.
El sistema se reduce
a una sola ecuación y
los planos son
coincidentes.
HAZ DE PLANOS SECANTES:
Se llama haz de planos secantes al conjunto de planos que pasan por una recta que se llama arista del
haz y su ecuación es:
t(Ax+By+Cz+D)+s(A1x+B1y+C1z+D1 )=0, t, sR
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7º.- POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
Las posiciones de dos rectas en el espacio son:
-Rectas secantes:
Tienen un punto en común.
-Rectas coincidentes:
Tienen todos los puntos en común.
-Rectas paralelas:
No tienen ningún punto en común y
están en un mismo plano.
-Rectas cruzadas:
No tienen ningún punto en común y no están
en un mismo plano.
EXPRESIÓN VECTORIAL:
Consideramos las rectas r y s dadas por sus ecuaciones vectoriales: utaxr +=: y vtbxs +=:
Se presentan los siguientes casos:
( ) 2, =vurango ( ) 3,, =ABvurango Los vectores directores no son paralelos y
los tres vectores son l.i.. Por tanto, se
cruzan.
( ) 2,, =ABvurango Los vectores directores no son paralelos,
pero los tres vectores son l.d. Luego, se
cortan.
( ) 1, =vurango ( ) 2,, =ABvurango Los vectores directores son paralelos, pero
las rectas no pueden coincidir. Luego son
paralelas distintas.
( ) 1,, =ABvurango Los tres vectores son paralelos, luego las
rectas son coincidentes.
En la práctica se estudia la proporcionalidad de los tres vectores:
• Si los vectores directores son proporcionales: paralelas o coincidentes. Si los tres vectores son
proporcionales, coincidentes. En caso contrario paralelas distintas.
• Si los vectores directores no son proporcionales: secantes o se cruzan. Si además el determinante
formado por los tres vectores es 0 rectas secantes. En caso contrario, se cruzan.
EXPRESIÓN ANALÍTICA:
Consideramos las rectas r y s dadas por sus ecuaciones generales (como intersección de 2 planos):
=+++
=+++
0
0:
1111 DzCyBxA
DCzByAxr y
=+++
=+++
0
0:
3333
2222
DzCyBxA
DzCyBxAs
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Sea A la matriz de los coeficientes y M la matriz ampliada.
Se presentan los siguientes casos:
Rango(A)=3 rango(M)=4 Sistema incompatible. Los cuatro planos no tienen ningún punto
en común. Por tanto, se cruzan.
rango(M)=3 Sistema compatible determinado. Se cortan en un punto. Por
tanto, secantes.
Rango(A)=2 rango(M)=3 Sistema incompatible. Las rectas están en el mismo plano.
Luego son paralelas distintas.
rango(M)=2 Sistema compatible indeterminado. Sólo dos ecuaciones son
independientes. Son coincidentes.