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Energiebänder im Festkörper
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Inhalt
Klassisch: • Energieniveaus eines freien Atoms
• Energie des Bohrschen Atommodells– Aufspaltung der Energieniveaus durch Kopplung bei
Annäherung eines zweiten AtomsQuantenmechanik:• Alle Elektronen eines Festkörpers bilden eine
quantenmechanische Gesamtheit, jedem Elektron wird eine Welle zugeordnet – Lösung der Schrödingergleichung für Elektronen im
„Kasten“ • Daraus resultiert das Bändermodell für
– Isolator– Halbleiter– Leiter
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Kristalline Festkörper
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Bohrsches Atommodell
r1
r2=4r1
r3=9r1
r4=16r1
E1=-13,6 eV
E2=-3,4 eV
E3=-1,5 eV
E1=-0,85 eV
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Klassisches Modell
• Aufbau der Atome nach Bohrs Modell
• Aufspaltung der Energieniveaus bei Kopplung an benachbarte Atome (analog dem Doppelpendel)
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Energie der Elektronen in Bohrs Atommodell
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
E [eV]
mal 0,0529 [nm]
Abstand vom Kern
Bindungsenergie
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Zwei Atome im Kasten, klassisch
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
016 14 12 10 8 6 4 2 0
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
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Zwei Atome im Kasten, klassisch
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
016 14 12 10 8 6 4 2 0
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
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Quantenmechanisches Modell
Die Elektronen von den in einem Festkörper gebundenen Atome werden als ein „gebundener Zustand“ aufgefasst
• Anstelle der lokalisierten Atome treten stehende Wellen im „Kasten“– Die Wellenlängen sind Teiler der doppelten
Kastenlänge • Anstelle der Energie der Elektronen in
Abhängigkeit vom Bahnradius tritt die Energie der Wellen in Abhängigkeit von der Wellenzahl
Berechnung mit der Schrödingergleichung für das Kastenpotential
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Zwei Teilchen in einem Kasten, quantenmechanisch
x=0 x=L
Klassisch:
Quantenmechanisch:
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Erste Welle für zwei Teilchen in einem Kasten
x=0 x=L
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Zweite Welle für zwei Teilchen in einem Kasten
x=0 x=L
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1/mWellenzahlen „die in den Kasten passen“
1 J
Energie zu Wellen mit Quantenzahl n
1 J
1 J
Wellenzahl und Energie
• Was kostet die Anregung einer Welle mit Wellenzahl n ?
nEnLm
22
22
2
nL
kn
nn Ekm
22
2
nEmL
hn
2
22
8
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Erste Welle für zwei Teilchen in einem Kasten
x=0 x=L
1m Wellenlänge
1 1/m Wellenzahl
1 J Energie
1
21
L
Lk
1
2
2
1 8mL
hE
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Zweite Welle für zwei Teilchen in einem Kasten
1m Wellenlänge
1 1/m Wellenzahl
1 J Energie
L2
Lk
22
2
2
2 8
4
mL
hE
x=0 x=L
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Elektronen sind „Fermionen“
Wellenzahl und Energie zur Wellenzahl können für eine Spin-Richtung nur einmal vergeben werden
• Der Festkörper (zunächst eine lineare Kette) habe die Länge L, er enthalte N Elementarzellen mit 2N Elektronen
• Man beginnt mit der Wellenzahl k1 =π/L und ordnet sie zwei Elektronen mit unterschiedlichem Spin zu
• Man erhöhe die Wellenzahl bis kN =N·π/L
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De Broglie Beziehung zwischen Wellen- und Teilcheneigenschaft
• Eine Welle mit Wellenzahl k entspricht einem Teilchen mit Impuls p=ħ·k
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1 1s ↓
2 1s ↓
3 1s ↓
4 1s ↓
Beispiel: Kristall mit vier Elementarzellen
• Jedem Elektronenpaar (↑↓), z. B. für He Atome, wird genau eine Energie εn zugeordnet
1 1s ↑
2 1s ↑
3 1s ↑
4 1s ↑
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Wellen im Kristall mit vier Elementarzellen
• Vier Wellen mit Wellenzahlen k=n·π/L passen in dieses Gitter, d. h. sie zeigen Knoten an den Enden des Kristalls
• Gitter mit vier Elementarzellen
0 1 2 3 4-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
X Axis Title
Y A
xis
Titl
e
F1 F2 F3 F4
xn
x
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Vier Wellen im Kristall mit vier Elementarzellen
• Aufenthaltswahrscheinlichkeit für vier Wellen mit Wellenzahlen k=n·π/L
n=2
n=1
n=3
n=4
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Energie εn der Elektronen von He im Kristall mit vier Elementarzellen
Energie εn=n2h2/(8mL2)
Impuls ~ n
• Zu jeder Welle mit Wellenzahl k=n·π/L gehört die Energie
• εn ~n2
Nummer n der Wellenzahl 1 1s ↑2 1s ↑
3 1s ↑4 1s ↑
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Volle Besetzung des 1s Niveaus im He-Kristall
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
1 s
mal 0,0529 [nm]
Abstand vom Kern
Bindungsenergie E [eV]
Energie Band
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Einbau von vier weiteren Elektronen in den Kristall mit vier Elementarzellen, z. B. Übergang von He mit zwei Elektronen zu Li mit drei Elektronen
Kristall aus He-Atomen
Kristall aus Li-Atomen
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Wellen zu den Wellenzahlen n=5,6,7,8
n=6
n=5
n=7
n=8
Vier weitere Elektronen benötigen weitere Wellenzahlen
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Zuordnung der Wellenzahlen
↑ und ↓ besetzt
Nur ↑ besetzt, vier ↓ Wellen noch frei!
1 1s ↓
2 1s ↓
3 1s ↓
4 1s ↓
1 1s ↑
2 1s ↑
3 1s ↑
4 1s ↑
1 2s ↓
2 2s ↓
3 2s ↓
4 2s ↓
1 2s ↑
2 2s ↑
3 2s ↑
4 2s ↑
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Vier freie Wellenzahlen (↓) in der 2s Schale des Li-Kristalls
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
1 s
mal 0,0529 [nm]
Abstand vom Kern
Bindungsenergie E [eV]
2 s
↑ und ↓ besetzt
Nur ↑ besetzt, vier ↓ Wellen noch frei!
Bandlücke
Band
Band
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Alternative Zuordnung:
↑ und ↓ besetzt
Nur zwei Paare ↑ ↓ besetzt, zwei Paare sind noch frei!
1 1s ↓
2 1s ↓
3 1s ↓
4 1s ↓
1 1s ↑
2 1s ↑
3 1s ↑
4 1s ↑
1 2s ↓
2 2s ↓
3 2s ↓
4 2s ↓
1 2s ↑
2 2s ↑
3 2s ↑
4 2s ↑
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Zwei freie Wellenzahlen (↑↓) in der 2s Schale des Li-Kristalls
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
1 s
mal 0,0529 [nm]
Abstand vom Kern
Bindungsenergie E [eV]
2 s
Bandlücke
Band
Band
↑ und ↓ besetzt
Nur zwei Paare ↑ ↓ besetzt, zwei Paare sind noch frei!
Leiter
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Freie Plätze im „Band“, elektrische Leiter
• Freie Wellenzahlen in einem Band erlauben den Elektronen – Energie und – Impuls (p=ħ·k)
aufzunehmen, – das Material ist elektrisch leitfähig
• Im Beispiel der Li-Kristall
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Voll Besetzte Bänder, Nichtleiter
Voll besetzt ist ein Band, wenn alle Wellenzahlen vergeben sind
• In diesen Bändern können die Elektronen keine Energie und keinen Impuls aufnehmen– Im Beispiel der He-Kristall
• diese Materialien sind Nichtleiter
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Volle Besetzung des 1s Niveaus des He Kristalls
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
1 s
mal 0,0529 [nm]
Abstand vom Kern
Bindungsenergie E [eV]
Energie Band ↑ und ↓ besetzt
Nichtleiter
![Page 32: Energiebänder im Festkörper. Inhalt Klassisch: Energieniveaus eines freien Atoms Energie des Bohrschen Atommodells –Aufspaltung der Energieniveaus durch](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070310/55204d8249795902118d5199/html5/thumbnails/32.jpg)
Kleine Bandlücke: Halbleiter
Bei genügend kleiner Bandlücke • Zwischen einem voll besetzten und• dem nächsten, unbesetzten Band
genügt eine kleine Energiezufuhr, um das Material vom nichtleitenden in den leitenden Zustand zu überführen
• Diese Materialien nennt man Halbleiter
![Page 33: Energiebänder im Festkörper. Inhalt Klassisch: Energieniveaus eines freien Atoms Energie des Bohrschen Atommodells –Aufspaltung der Energieniveaus durch](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070310/55204d8249795902118d5199/html5/thumbnails/33.jpg)
Modell eines Halbleiters: Kleine Bandlücke über dem Valenzband
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
1 s
mal 0,0529 [nm]
Abstand vom Kern
Bindungsenergie E [eV]
2 s
↑ und ↓ besetzt
↑ und ↓ besetzt
Bandlücke
Band
Valenz Band
Leitungs BandLeeres Leitungsband
Halbleiter
Kleine Bandlücke
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Zusammenfassung
Klassisch: • Energieniveaus eines freien Atoms
• Energie des Bohrschen Atommodells– Aufspaltung der Energieniveaus durch Kopplung bei
Annäherung eines zweiten AtomsQuantenmechanik:• Alle Elektronen eines Bandes bilden eine
quantenmechanische Gesamtheit, jedem Elektron wird eine Welle zugeordnet – Lösung der Schrödingergleichung für Elektronen im
„Kasten“ • Daraus resultiert das Bändermodell für
– Isolator– Halbleiter– Leiter
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Formel-zeichen
Wert SI Einheit Anmerkung
e 1,60 10-19 1 C Elementarladung
1,05 10-34
1 JsPlancksches Wirkungsquantum
h 6,63 10-34
me 9,11 10-31 1 kgMasse des Elektrons
8,85 10-12 1 F/mElektrische Feldkonstante
Konstanten
,
0