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Dinamica Populacional Dinamica de Fluidos Infectologia Reacao Quımica Bibliografia
Equacoes Diferenciais OrdinariasAula: Aplicacoes de EDO’s de Primeira Ordem
Prof. Rafael Rodrigo OttoboniDepartamento de Matematica - ICENE
10 de abril de 2019
Prof. Rafael Rodrigo Ottoboni Departamento de Matematica - ICENEEquacoes Diferenciais Ordinarias Aula: Aplicacoes de EDO’s de Primeira Ordem
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Sumario
Dinamica Populacional
Dinamica de Fluidos
Infectologia
Reacao Quımica
Bibliografia
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Aplicacao 1
Uma populacao de bacterias cresce a uma taxa proporcional apopulacao presente. Sabendo que apos uma hora a populacao e 2vezes a populacao inicial, determine a populacao como funcao dotempo e o tempo necessario para que a populacao triplique. Facaum esboco do grafico da populacao em funcao do tempo.
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Observe que a EDO que modela a situacao da aplicacao 1 e
dP
dt= αP. (1)
Observe que a edo (1) e separavel e sua solucao geral e dada por:∫1
PdP =
∫αdt
ou seja
ln|P| = αt + C
ou ainda
P(t) = Keαt (2)
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Dos dados do problema temos:
P(0) = p0 e P(1) = 2p0 (3)
Substituindo (3) em (2) obtemos:
p0 = P(0) = K e 2p0 = P(1) = Keα
ou seja
2p0 = p0eα
ou ainda
α = ln 2
Voltando a (2) temos que
P(t) = p0et.ln 2 = p0e
ln(2t)
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ou seja
P(t) = p02t
Note que
P(t) = 3p0 ⇐⇒ 2t = 3⇐⇒ tln2 = ln 3⇐⇒
⇐⇒ t =ln 3
ln 2≈ 1, 585horas ≈ 1 hora e 35minutos
Assim o tempo necessario para que a populacao triplique e 1 hora e 35 minutos
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Aplicacao 2
A taxa com que uma gota esferica se evapora
(dV
dt
)e
proporcional a sua area. Determine o raio da gota em funcao dotempo, supondo que no instante t = 0 o seu raio e r0 e que emuma hora o seu raio seja a metade
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A equacao diferencial que modela o fenomeno da aplicacao 2 e
dV
dt= αA (4)
Sabemos que V =4
3πr3. Como r = r(t), derivando V com relacao
a t, temos
dV
dt=
4
3π3r2 dr
dt= 4πr2 dr
dt(5)
Por outro lado sabemos que
A = 4πr2 (6)
Substituindo (5) e (6) em (4) obtemos
dr
dt= α
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A equacao acima e separavel e sua solucao geral e dada por
r(t) = αt + A (7)
Sabendo que r(0) = r0 e r(1) =r02
e substituindo em (7) obtemos
r0 = A
r02
= α + A
ou seja
A = r0 e α = − r02
(8)
Substituindo (8) em (7) obtemos
r(t) = r0
(−1
2t + 1
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Aplicacao 3
Suponha que em uma comunidade de 100 pessoas, inicialmenteapenas uma pessoa seja portadora de um vırus e que a taxa comque o vırus se espalha na comunidade seja proporcional ao produtoentre o numero de pessoas infectadas e o numero de pessoas naoinfectadas. Se for observado que apos 4 semanas 5 pessoas estaoinfectadas. Determine o numero de pessoas infectadas em funcaodo tempo. Faca um esboco do grafico da solucao.
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O problema de valor inicial que modela a situacao da aplicacao 3 e
di
dt= αi(100− i) (9)
i(0) = 1 (10)
Observe que a edo (9) e separavel pois a mesma e equivalente a
1
i(100− i)di = αdt
Sabemos que a solucao geral da equacao (9) e dada por∫1
i(100− i)di =
∫αdt (11)
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Sabendo que
1
i(100− i)=
A
i+
B
100− i⇐⇒ −A + B = 0 e 100A = 1⇐⇒
⇐⇒ A =1
100= B
Voltando a (11) temos∫1
100
1
idi +
∫1
100
1
100− idi =
∫αdt
ou seja
1
100
[ln|i | − ln|100− i |
]= αt + L
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ou ainda
ln
∣∣∣∣∣ i
100− i
∣∣∣∣∣= 100αt + Q
ou seja
i
100− i= Re100αt
ou ainda
i = 100Re100αt − iRe100αt
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Desta forma, a solucao geral da edo (9) e dada explicitamente por:
i(t) =100Re100αt
1 + Re100αt(12)
Substituindo i(0) = 1 em (12)obtemos
1 =100R
1 + R
ou seja
1 + R = 100R
ou ainda
R =1
99(13)
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Substituindo (13) em (12) obtemos
i(t) =
100
99e100αt
1 +1
99e100αt
=100e100αt
99 + e100αt
ou seja a solucao do pvi (9)− (10) e dada explicitamente por
i(t) =100e100αt
99 + e100αt(14)
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Pelo enunciado a aplicacao 3 e sabendo que 4 meses = 1 mes,temos que
5 = i(1) =100e100α
99 + e100α
ou seja
495 + 5e100α = 100e100α
ou ainda
e100α =495
95=
99
19ou seja
α =1
100ln
(99
19
)(15)
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Substituindo (15) em (14) obtemos que
i(t) =
100
(99
19
)t
99 +
(99
19
)t =100
99
(99
19
)−t+1
=100
99
(19
99
)t
+1
Logo o numero de pessoas infectadas em funcao do tempo e
i(t) =100
99
(19
99
)t
+1
,
onde t e medido em mes
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Aplicacao 4
Duas substancias quımicas, A e B, sao combinadas para formaruma substancia C. A taxa ou velocidade de reacao e proporcionalao produto das quantidades instantaneas de A e B nao convertidasna substancia C. Inicialmente ha 40g de A, 50g de B, e para cadagrama de A sao usados 2g de B. E observado que em 5 minutos saoformados 10 g de C. Quanto sera formado em 20 minutos? Qualsera a quantidade limite de C apos um longo perıodo? Quantoresta das substancias A e B apos um longo perıodo de tempo?
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Observe inicialmente que para obtermos Q gramas de C precisamos
deQ
3gramas de A e
2Q
3gramas de B
Como, inicialmente ha 40g de A e 50g de B, temos que asquantidades remanescentes de A e B sao respectivamente:
40− Q
3e 50− 2Q
3
Desta forma a edo que modela a situacao da aplicacao 4 e
dQ
dt= α
(40− Q
3
).
(50− 2Q
3
)ou equivalente
dQ
dt= β(120− Q).(75− Q) (16)
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A equacao (16) e separavel e sua solucao geral e dada por∫1
(120− Q)(75− Q)dQ =
∫βdt (17)
Sabendo que
1
(120− Q)(75− Q)=
A
(120− Q)+
B
(75− Q)⇐⇒
⇐⇒ −A− B = 0 e 75A + 120B = 1⇐⇒
⇐⇒ B = −A e 75A− 120A = 1⇐⇒
⇐⇒ A = − 1
45e B =
1
45
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Voltanto a (17) temos∫− 1
45
1
120− QdQ +
∫1
45
1
75− QdQ = βt + C
ou seja
−ln|120− Q|+ ln|75− Q| = 45βt + K
ou ainda
ln
∣∣∣∣∣ 75− Q
120− Q
∣∣∣∣∣= 45βt + K
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ou seja
75− Q = (120− Q)Le45βt
ou ainda
(−1 + Le45βt)Q = 120Le45βt − 75
Assim, a solucao geral da EDO (16) e dada explicitamente por:
Q(t) =120Le45βt − 75
Le45βt − 1(18)
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Sabendo que Q(0) = 0 e substituindo em (18) temos
0 =120L− 75
L− 1
onde L =75
120=
15
24. Desta forma a solucao da EDO (16) com a
condicao inicial Q(0) = 0 e
Q(t) =1800e45βt − 1800
15e45βt − 24(19)
Substituindo Q(5) = 10 em (19) obtemos
150e225β − 240 = 1800(e225β − 1)
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ou seja
(1800− 150)e225β = 1800− 240
ou ainda
e225β =1560
1650=
156
165=
52
55
ou seja
β =1
225ln
(52
55
)
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Voltando a (19) concluımos que a quantidade da substancia Cproduzida em funcao do tempo com Q(0) = 0 e Q(5) = 10 e
Q(t) =
1800
[(52
55
) t
5−1
]
15
(52
55
) t
5−24
Neste caso Q(20) ≈ 30 e limQ→+∞
Q(t) = 75
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Sabemos que para produzir Q gramas de C precisamos deQ
3
gramas de A e2Q
3gramas de B.
Assim para produzir 75 gramas de C precisamos de 25 gramas deA e 50 gramas de B.Logoa quantidade remanescente de A e B apos um longo perıodo de tempo e respectivamente 15 gramas e 0 gramas.
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Bibliografia
• Santos, R. J. Topicos de Equacoes Diferenciais. BeloHorizonte-MG: Impressa Universitaria da UFMG, 2012.
• Zill, D. G. Equacoes Diferenciais com aplicacao emmodelagem. Traducao da 9. ed Norte Americana. SaoPaulo-SP: Cengage Learning, 2011.
Prof. Rafael Rodrigo Ottoboni Departamento de Matematica - ICENEEquacoes Diferenciais Ordinarias Aula: Aplicacoes de EDO’s de Primeira Ordem