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Equações Diferenciais Ordinárias
Prof. Guilherme Jahnecke Weymar
AULA 03
Equações diferenciais de primeira ordem
Equações separáveis
Fonte:
Material Daniela Buske, Boyce, Bronson, Zill,
diversos internet
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Equações separáveis
As equações diferenciais ordinárias separáveis são equações que podem ser escritas na forma (1)
Seja
Então
Substituindo-se g(y) por dh/dy na equação (1) obtemos
(2)
)()( xfdx
dyyg
dyygyh )()(
)(ygdy
dh
)(xfdx
dy
dy
dh
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Mas pela regra da cadeia
O que implica que (2) pode ser escrita como: (3)
A eq. (3) é do tipo (1.3) ( , vista na aula 02), ou seja, é da forma
Em que Y(x) = h(y(x)). Assim, integrando-se (3) dos dois lados obtemos que a solução geral de (1) é dada implicitamente por
Equações separáveis
dx
dy
dy
dhxyh
dx
d))((
)(tqdt
dy
)())(( xfxyhdx
d
)(xfdx
dY
Cdxxfxyh )())((
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Equações separáveis
Também podemos obter a solução anterior da seguinte maneira:
Integrando-se em relação a x ambos os membros de (1) obtemos
Que pode ser reescrita como
Fazendo a substituição y’dx = dy obtemos
Observação: As curvas que são soluções de uma equação separável podem ser vistas como curvas de nível da função
Cdxxfdxdx
dyyg )()(
Cdxxfdxyyg )(')(
Cdxxfdyyg )()(
dxxfxyhyxFz )())((),(
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Exemplo 1: Modo de resolução 1
Encontrar a solução geral da EDO:
A EDO pode ser reescrita como:
ou pela regra da cadeia:
Assim a solução geral é dada implicitamente por:
As soluções são elipses (ver fig. 1) que são curvas de nível da
função
O gráfico da função F(x,y) dada é um parabolóide elíptico (ver fig.
2)
Equações separáveis
xdx
dyy 42
xdx
dyy
dy
d4)( 2
xydx
d4)( 2
Cxdxxy 22 2)4(
22 2),( xyyxFz
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Equações separáveis
Exemplo 1: Modo de resolução 2
Encontrar a solução geral da EDO:
Integrando-se em relação a x ambos os membros obtemos:
Fazendo a substituição y’dx = dy obtemos:
Assim a solução geral é dada implicitamente por
As soluções são elipses (ver fig. 1) que são curvas de nível da
função
O gráfico da função F(x,y) dada é um parabolóide elíptico (ver
fig. 2)
xyyxdx
dyy 4'2ou 42
Cxy 22 2
22 2),( xyyxFz
Cdxxdxyy 4'2
Cdxxydy 42
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Equações separáveis
Figura 1: Soluções da equação diferencial do exemplo 1
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Equações separáveis
Figura 2: Soluções da equação diferencial do exemplo 1 como curvas de nível do parabolóide elíptico z = F(x,y) = 2x2+y2.
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Equações separáveis
Exemplo 2:a) Encontre a solução do PVI
b) Determine o intervalo de validade da solução, ou seja, o maior intervalo contendo x0=1 para o qual a solução y(x) e sua derivada dy/dx estão definidas.
c) Determine os pontos onde a solução tem um máximo local.
d) Faça um esboço do gráfico da solução.
0)1(33
122
yy
x
dx
dy
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Equações separáveis
Exercício: Fazer pela primeira metodologia para verificar
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Equações separáveis
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Equações separáveis
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Equações separáveis
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Equações separáveis
Figura 3: Solução do PVI do exemplo 2.
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Equações separáveis
Figura 4: Soluções da EDO e do PVI do exemplo 2.
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Equações separáveis
Figura 5: Soluções da EDO do exemplo 2 como curvas de nível de uma função de duas variáveis z=f(x,y)=y3-3y-x2+x.
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Equações Homogêneas
Definição: Função homogênea
Se uma função f satisfaz
Para algum número real n, então dizemos que f é uma
função homogênea de grau n .
),(),( yxfyxf n
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Equações Homogêneas
Exemplo 1:
),()(),(
),(22222222
22
yxfyxyxyxf
yxyxf
f é homogênea de grau 2
Exemplo 2:
),(13),(
13),(32233
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yxfyxxyxf
xyxyxf
F não é homogênea
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Equações Homogêneas
Exemplo 3:
),()/()/(),(
)/(),(0//
/
yxfyxseneyxseneyxf
yxseneyxfyxyx
yx
f é homogênea de grau zero
OBS: 1. Nos exemplos 2 e 3 observamos que uma constante
adicionada à função destrói a homogeneidade, a menos que a função seja homogênea de grau zero.
2. Uma função homogênea pode ser reconhecida examinado o grau de cada termo
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Equações Homogêneas
Definição: Equação homogênea
Uma equação diferencial da forma
é chamada de homogênea se ambos os coeficientes M
e N são funções homogêneas do mesmo grau.
0),(),( dyyxNdxyxM
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Equações Homogêneas
Método de solução: Equação homogênea
Uma equação diferencial homogênea
pode ser resolvida por meio de uma substituição algébrica.
Neste caso a substituição:
transformará a equação em uma equação diferencial de 1ª
ordem separável.
0),(),( dyyxNdxyxM
vxy
xdvvdxdyvxy ;Lembrando:
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Equações Homogêneas
Exemplo 1:
0)( 22
22
dyyxxydx
yx
xy
dx
dy
xdvvdxdyvxy ;Substituição:
fç homog. de mesmo grau
ccv
vx
v
dvv
x
dx
v
dvv
x
dxx
dvvxdxxv
dvvxdxxv
dvxvxdxxvvxvx
xdvvdxxvxxvxdx
2
2y/xv
2
3
2
3
2
3
2
2323
2323
3232322
222
2y
xlny
2
1lnln
)1()1(
)1(
)separáveis (variáveis 0)1(
0)()(
0))((
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Exercícios
• Resolva as equações diferenciais homogêneas:1) Sol. Geral:
2) Sol. Geral:
3) Sol. Geral:
4) Sol. Geral:
5) Sol. Geral:
6) Sol. Particular:
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Equações Homogêneas
Observações: Caso M(x,y) e N(x,y) sejam funções de trinômios
lineares em x e y, ou seja
(1)
Teremos de analisar se os coeficientes a1, a2, b1 e b2 são
proporcionais ou não.
0)()( 222111 dycybxadxcybxa
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Equações Homogêneas
1º caso:
Os coeficientes a1, a2, b1 e b2 são proporcionais , ie,
Substituindo em (1):
(2)
A transformação
reduz (2) à forma de uma equação de variáveis separáveis.
0)(])([ 222122 dycybxadxcybxaR
022
11 ba
ba
21212
1
2
1 e RbbRaaRb
b
a
a
2
222 ;
b
dxadtdyybxat
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Equações Homogêneas
2º caso:
Os coeficientes a1, a2, b1 e b2 não são proporcionais , ie,
A transformação
onde h e k são coordenadas da solução do sistema
reduz (1) à forma de uma equação homogênea.
022
11 ba
ba
dYdy
dXdx
kYy
hXx
0
0
222
111
cybxa
cybxa