Escola Básica e Secundária da Graciosa
Matemática – 7.º Ano
Potências de Base Racional e Expoente Natural
Potências
A definição usual de potência, remetendopara um expoente natural, reporta-se auma multiplicação .
Dado a inteiro e n natural, an representa oproduto
a a … a
n factores
Assim, por exemplo, 2� representasimplificadamente o produto 2 × 2 × 2 × 2 × 2
��
Todas as potências têm uma base e um expoente
A base da potência é o factor que se repete.
O expoente indica o número de vezes que o
factor se repete.
É a base da potência
É o expoente da potência
Exemplos
Na potência 25 ...
2 é a base da potência 5 é o expoente da potência
Na potência (-3)2 ...
-3 é a base da potência 2 é o expoente da potência
A potência ab lê-se “a elevado a b”
Assim:32 lê-se “três elevado a dois”
(-8)9 lê-se “menos oito elevado a nove”
�
�
��lê-se “cinco sextos elevado a dezoito”.
Mesmo sem saber o valor de uma potência épossível saber o seu sinal...
Se a base for positiva, a potência é sempre positiva.
Se a base for negativa e se o expoente for par a potência é
positiva, caso contrário é negativa
Resumindo...
Sinal da Base
+ -
O valor da potência é
positivo
Expoente par
O valor da potência é
positivo
Expoente ímpar
O valor da potência é negativo
Exemplos
A potência representa um número positivo porque a base é negativa mas oexpoente é par.
(−5)�
De facto, tem-se que:
(−5)�= (−5) × (−5) × (−5) × (−5) [pela definição de potência]
= 25 × 25 [pela propriedade associativada multiplicação]
= 625
625 é um número positivo.
A potência representa um número negativo porque a base é negativa maso expoente é ímpar.
(−3)�
De facto, tem-se que:
(−3)�= (−3) × (−3) × (−3) × (−3) × (−3) [pela definição de potência]
= 9 × 9 × (−3) [pela propriedade associativada multiplicação]
= −243
-243 é um número negativo.
A potência representa um número positivo porque a base é positiva.3�
De facto, tem-se que:
3� = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 [pela definição de potência]
= 9 × 9 × 3 [pela propriedade associativada multiplicação]
= 243
243 é um número positivo.
Potências cujas Bases são Fracções
Se tiver uma potência, de expoente n, cuja baseé uma fracção , obtenho uma fracção cujonumerador é igual a an e cujo denominador éigual a bn
Exemplos
Operações com Potências
À semelhança do que acontecia para aspotências de base e expoente naturais...
As potências de base racional e expoenteinteiro também gozam de propriedadesoperatórias para a multiplicação e para adivisão.
No caso da soma e da subtracção depotências, a solução passa por determinar ovalor das potências.
Multiplicação de Potências com a mesmaBase
O produto de duas potências de bases iguais éigual a uma potência com a mesma base eexpoente igual à soma dos outros expoentes.
Na multiplicação de potências com a mesmabase, mantêm-se as bases e somam-se osexpoentes.
Exemplos
−2 � × −2 � = −2 ���
= −2 ��
[Na multiplicação de potências com a mesmabase, mantêm-se as bases e somam-se osexpoentes.]
= 2��
=2
5
��
[Na multiplicação de potências com a mesmabase, mantêm-se as bases e somam-se osexpoentes.]
[Se uma potência tem base negativa e expoentepar, o seu valor é positivo]
Multiplicação de Potências com o mesmoExpoente
O produto de duas potências de expoentesiguais é igual a uma potência com o mesmoexpoente e base igual ao produto das outrasbases.
Na multiplicação de potências com o mesmoexpoente, mantêm-se os expoentes emultiplicam-se as bases.
Exemplos
−2
7
��
×5
3
��
= −2 × 5
7 × 3
��
= −10
21
��
−2 � × −3 � = 2 × 3 � = 6�
Na multiplicação depotências com o mesmoexpoente, mantêm-se osexpoentes e multiplicam-seas bases.
Divisão de Potências com a mesma Base
O quociente de duas potências de bases iguaisé igual a uma potência com a mesma base eexpoente igual à diferença dos outrosexpoentes.
Na divisão de potências com a mesma base,mantêm-se as bases e subtraem-se osexpoentes.
Exemplos
−2 � ÷ −2 � = −2 ��� = (−2)�
[Na divisão de potênciascom a mesma base,subtraem-se os expoentes]
−12
5
��
× −5 �� ÷ 12�� =12 × 5
5 × 1
��
÷ 12��
= 12�� ÷ 12��
[Na multiplicação depotências com o mesmoexpoente, multiplicam-seas bases]
= 12�����
= 12� = 12
[Na divisão de potências com a mesmabase, subtraem-se os expoentes]
Divisão de Potências com o mesmoExpoente
O quociente de duas potências de expoentesiguais é igual a uma potência com o mesmoexpoente e base igual ao quociente das outrasbases.
Na divisão de potências com o mesmoexpoente, mantêm-se os expoentes edividem-se as bases.
Exemplos
−10 �� ÷ −5 �� = −10 ÷ −5��
= 2��
2
3
�
÷3
4
�
=2
3÷
3
4
� [Na divisão de potências com omesmo expoente, mantêm-se osexpoentes e dividem-se as bases.]
=2
3×
4
3
�
[Na divisão de potências com omesmo expoente, mantêm-se osexpoentes e dividem-se as bases.]
[O quociente de dois númerosracionais é igual ao produto dodividendo pelo inverso do divisor]
=8
9
�
−185
�
1110
� =−
185
1110
�
= −18 × 10
5 × 11
�
= −180
55
�
= −36
11
�
Potência de Potência
Uma potência de potência é obtida quando umapotência é elevada a um segundo expoente.
O seu valor é igual a uma potênciacom a mesma base e expoente igualao produto dos outros expoentes.
Exemplos
−3 � �= −3 �×� = −3 ��
Na simplificação de uma potência depotência, multiplicam-se os expoentes.
−5
4
��
×7
10
�
= −5
4
��
×7
10
� [numa potência de potência,multiplicam-se os expoentes]
= −5
4
�
×7
10
�
= −5
4×
7
10
� [na multiplicação de potênciascom o mesmo expoente,multiplicam-se as bases]
= −35
40
�
= −7
8
�
=7
8
�
O que acontece quando o expoente de uma potência é nulo?
Desde que a base não seja zero, oseu valor é igual a 1.
Porquê?
Considerando um número a diferente de 0...
a0= a1-1[1-1=0]
a0= a1-1 = a1÷ a1
[O quociente de potências com amesma base é a potência com amesma base e expoente igual àdiferença entre o expoente dodividendo e do divisor]
a0= a1-1 = a1÷ a1=1
Logo, dado a≠0, tem-se que �� = 1
Dado � número natural qualquer, o valor de 0� é zero, ou seja, 0� = 0
Isto porque se atendermos à definição de potência, veremosque
n factores
0� = 0 × 0 × ⋯ × 0
Mas como 0 é o elemento absorvente da multiplicação…
0� = 0 × 0 × ⋯ × 0 = 0
Contudo, não é possível determinar o valor de ��. Trata-se de uma indeterminação.
Dados � número racional qualquer e � um número natural qualquer,tem-se que:• −� � = �� quando � é par;• −� � = −�� quando � é ímpar.
Verifica-se que
−� � = −1 × � � [O simétrico de um racional é igualao produto deste por −1]
= −1 � × �� [Pelas propriedades operatórias daspotências.]
Mas sabe-se que −1 � = 1 quando � é par. Pelo que:−� � = −1 � × �� = 1 × �� = ��
E sabe-se que −1 � = −1 quando � é ímpar. Pelo que:−� � = −1 � × �� = −1 × �� = −��