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Especificación y Estimación de los MODELOS ARCH
Horacio Catalán Alonso
N i b d 2011Noviembre de 2011
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Características de las series financieras:
1. Son leptokurticas (achatadas y con colas más gordas)más gordas)
2.Las relaciones entre ganancia y riesgo no son linealesno son lineales
3.La volatilidad aparece en clusters4 Leverage effect: la volatilidad es mayor 4.Leverage effect: la volatilidad es mayor
con una caída de la variable
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DLIPC40
V_IPC
0
.2
.4
.25
.30
.35
.40
-.4
-.2
.0
.10
.15
.20
-.680 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
DLIPC
.00
.05
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
4
5
6
Bolsa Mexicana de Valores IPC
1
2
3
Den
sity
0
1
-.7 -.6 -.5 -.4 -.3 -.2 -.1 .0 .1 .2 .3 .4 .5
Histogram Kernel
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ESPECIFICACIÓN ESPECIFICACIÓN DEL
MODELO ARCH(M)MODELO ARCH(M)
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El modelos ARCH(m) asume que la varianza El modelos ARCH(m) asume que la varianza depende de las noticias pasadas ó de los shocks pasados p
2222
2110 mtmttth −−− ++++= εαεαεαα L
),0( tt hN→ε ttt vh=ε ( )0,1iidN~tv
ARCH ⇒ parece más un MA ya que la ARCH ⇒ parece más un MA ya que la varianza condicional es un MA de los residuales al cuadradoresiduales al cuadrado
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La especificación genera dos implicaciones:La especificación genera dos implicaciones:
a) La varianza debe ser positiva y finitaa) La varianza debe ser positiva y finita
b) El método de estimación debido a que la b) El método de estimación, debido a que la media y varianza de la serie deben estimarse de manera simultáneade manera simultánea
Debe cumplirse
00 >α 0≥jα
i j
1)
)
Varianza positiva
las noticias más recientes ji αα > Para i > j2) las noticias más recientes
tienen un mayor impacto
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Especificación de los modelos ARCHp
1) Estimar la media condicional del la 1) Estimar la media condicional del la series de los rendimientos
Usualmente se estima un modelo ARMA(p q) de series de tiempo en algunos ARMA(p,q) de series de tiempo, en algunos casos simples solo se utiliza la constante
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Modelo para DLPOIL
Criterio AR(1) AR(2) AR(3) AR(4) AR(5) AR(6)
Akaike info criterion -2.072165 -2.066857 -2.063485 -2.068667 -2.067302 -2.078126*
Schwarz criterion -2.05101* -2.035062 -2.021006 -2.01546 -2.003325 -2.003334
Hannan Quinn criter 2 063763* 2 054227 2 046608 2 047526 2 041879 2 048403Hannan-Quinn criter -2.063763* -2.054227 -2.046608 -2.047526 -2.041879 -2.048403
Dos criterios indican que es un modelo AR(1)
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2) Identificar el efecto ARCH en el modelo
2222 ˆˆˆˆ
2) Identificar el efecto ARCH en el modelo
tktkttt euuuu +++++= −−−22
222
1102 ˆˆˆˆ αααα L
000: 210 === kH ααα L
0,,0,0:0,,0,0:
211
210
≠≠≠ k
k
HH
αααααα
L
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3) Identificar el ORDEN del modelo ARCH 3) Identificar el ORDEN del modelo ARCH
Correlograma sobre los residuales al cuadrado
Orden del ARCH
Correlograma sobre los residuales al cuadrado
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Criterio ARCH(1) ARCH(2) ARCH(3) ARCH(4)
Akaike info criterion 2 205135 2 211932 2 218494* 2 216438Akaike info criterion -2.205135 -2.211932 -2.218494* -2.216438
Schwarz criterion -2.162827* -2.159046 -2.155032 -2.142398
Hannan-Quinn criter -2.18833 -2.190925 -2.193286* -2.187028
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DPOIL cambios en los precios del petróleoDPOIL cambios en los precios del petróleo
Modelo ARCH(3):Los coeficientes son positivosARCH( ) ARCH( ) ARCH( )ARCH(3) < ARCH(2) < ARCH(1)El coeficiente de la constante es positivo
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El proceso ARCH debe ser estacionario pesto se garantiza cuando
∑ ≤≤m 10 ∑ =
≤≤i i1
10 α
RESID(-1)^2 0.406690RESID(-2)^2 0.313029RESID(-3)^2 0.121816Suma 0.841535
En este ejemplo el modelo ARCH es un proceso estacionario es decir la varianza no crece estacionario es decir la varianza no crece indefinidamente
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Varianza observada y estimada.24
Varianza observada y estimada
.16
.20
.12
DLPOIL^2Varianza estimada
04
.08
.00
.04
1980 1985 1990 1995 2000 2005 20101980 1985 1990 1995 2000 2005 2010
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Debilidades del modelo ARCH(m)( )
•Las restricciones en los parámetros es más difícil que se cumplen cuando aumenta el orden del ARCH
•La varianza solo se explica por las noticias no t á i f ió b l i d l aporta más información sobre la varianza de los
rendimientos
•Tiende a sobre estimar la varianza de la serie
•No distingue entre choques positivos o negativos
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ESPECIFICACIÓN ESPECIFICACIÓN DEL
MODELO GARCHMODELO GARCH
Tim BollerslevTim Bollerslev
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•Forward looking behaviour requiere Forward looking behaviour, requiere pronosticar adecuadamente la volatilidad y el riesgo de un activoriesgo de un activo
•La volatilidad no es una serie observable en el La volatilidad no es una serie observable en el momento t, se requieren datos históricos para estimar la volatilidadestimar la volatilidad
•Volatilidad histórica se estima con la varianza Volatilidad histórica se estima con la varianza del rendimiento simple (cambio en el precio del activo)del activo)
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Una opción: Exponantially Weigted MovingUna opción: Exponantially Weigted MovingAverage Models (EWMA) que es una extensión del promedio histórico pero haciendo que las promedio histórico pero haciendo que las observaciones más recientes tengan un mayor peso
( )1 21
12 −= −−
∞−∑λλσ jt
jt R
osrendimeintlosdevarianza21
0
==
jt
j
R( )0.94:sRiskmetric factor" decay"
ose d e tosdeva a a1
=−−
λjt
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La forma más sencilla es definida como:
( ) 2221 1 ttt Rλλσσ −+=+
La forma más sencilla es definida como:
( )1 ttt+
Implica que la varianza del periodo siguiente p q p gcomo un promedio ponderado de la varianza actual y el rendimiento actual al cuadradoy
Se asume un patrón sistemático en la pevolución de la varianza
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Una generalización del modelo ARCH(m) fue desarrollada por Bollerslev (1986) al proponer que la varianza condicional dependa de sus propios rezagos
∑∑ −− ++=p
itj
m
itit hh 20 βεαα ∑∑
== jitj
iitit
110 β
)0( h h ( )0 1iidN),0( tt hN→ε ttt vh=ε ( )0,1iidN~tv
La especificación GARCH se define como un modelo ARCH de orden infinito (Bollerslev, 1986)
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Especificación de los modelos GARCH(m,p)p ( ,p)
1) Estimar la media condicional de la 1) Estimar la media condicional de la series de los rendimientos
2) Identificar el efecto ARCH
3) Identificar el orden del modelo 3) Identificar el orden del modelo GARCH(m,p)
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Varianza rezagada
∑=
−
m
iiti
1
2εα∑=
−
p
jitjh
1β Noticias o
shocks
rezagada
=i 1=j 1 shocks
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Ejemplo para DLIPCEjemplo para DLIPC
12
1 765.0221.0000296.0 −− ++= ttt hh ε
Modelo GARCH(1,1)
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Criterios GARCH(1 1) GARCH(2 1) GARCH(1 2) GARCH(2 2)Criterios GARCH(1,1) GARCH(2,1) GARCH(1,2) GARCH(2,2)Akaike info criterion -1.953648* -1.950757 -1.951604 -1.946014Schwarz criterion -1.896595* -1.882294 -1.883141 -1.86614Hannan-Quinn criter. -1.9309* -1.92346 -1.924307 -1.914167
(Bollersle, 1986) demuestra que un modelo GARCH(1,1), tiene las propiedades estadísticas satisfactorias para tiene las propiedades estadísticas satisfactorias para capturar la volatilidad en los datos
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35
.30
.35
Varianza observada y ti d
.20
.25 estimada
.10
.15
00
.05
.0080 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
DLIPC^2 VF_DLIPC
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Restricciones en el modelo GARCHRestricciones en el modelo GARCH
00 >α los modelos GARH requiere
0≥β
0≥iαq
que la varianza condicional sea no negativa
0≥jβ
∑ <+),max(
1)(pm
iii βα
La varianza no crece al infinito describe un proceso estacionarioi proceso estacionario
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12
1 765.0221.0000296.0 −− ++= ttt hh ε0002960 000296.00 =α
221.01 =α El shock de las noticias
765.01 =β Volatilidad de un periodo anterior
0.98689411 =+ βαEl modelo GARCH es estacionarioEl modelo GARCH es estacionario
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EXTENSIONES EXTENSIONES DE LOS
MODELO GARCHMODELO GARCH
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Modelo GARCH M ejemplo DLIPCModelo GARCH-M, ejemplo DLIPC
Variable en la ecuación de la varianza
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Modelo exponencial GARCH (EGARCH) (Nelson, 1991)
∑∑∑ −− +⎥⎤
⎢⎡
−+⎥⎤
⎢⎡+=
ρ
βμαεαα *0 )ln(ln
qit
qit heh ∑∑∑
=−
= −= −
+⎥⎦
⎢⎣
+⎥⎦⎢⎣+ βμααα
1110 )ln(ln
jjtj
i iti
i itit h
hhh
Coef. positivos
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TGARCH (Threshold GARCH)( )
∑∑∑ Γ+++=rpm
h 22h εγβεαα ∑∑∑=
−−=
−=
− Γ+++=k
ktktkj
jtji
itit h111
0h εγβεαα
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Especificación y Estimación de los MODELOS ARCH
Horacio Catalán Alonso
N i b d 2011Noviembre de 2011