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ANÁLISE DAS TENSÕES
ESTADO GERAL DE TENSÃO
Tensor de TensõesTensor de Tensões
Tensões Principais
σσσσσσσσijij==
σσσσσσσσijij==
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Tensões Principais
Estado de tensão 3D
Estado plano de tensão
0322
13 =−+− III PpP σσσ
( ) 22
2,1 22 xyyxyx τ
σσσσσ +
−±
+=
I1, I2, I3 Invariantes das tensões
zyxI σσσ ++=1
2223 2 xyzzxyyzxzxyzxyzyxI τστστστττσσσ −−−+=
2222 zxyzxyxzzyyxI τττσσσσσσ −−−++=
Solução 3 raízes σσσσ1 ≥≥≥≥ σσσσ2 ≥σ≥σ≥σ≥σ3
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Direções PrincipaisDireções Principais
( )( )
( )0
-
-
-
pz
py
px
=
n
m
l
zyzx
yzyx
xzxy
σστττσστττσσ
Desenvolvendo a equação para σ1 Obtém-se l1, m1 e n1
Para σ2 obtém-se l2, m2 e n2
Para σ3 obtém-se l3, m3 e n3
121
21
21 =++ nmlLembrando que
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[ ]
=
n
m
l
S
S
S
ij
z
y
x
.σ
Resultante no plano ABC
Análise de Tensão 3D
222 τσ +=S
2222zyx SSSS ++=
ou
Para calcular Sx, Sy e Sz
nSmSlS zyx ++=σ
Tensão normal e de cisalhamento num plano qualquer
γβ
α
cos
cos
cos
==
=
n
m
l
Cossenos diretores
Condição de equilíbrio nlmnlmnml zxyzxyzyx τττσσσσ 22222 +++++=
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Círculo de Círculo de MohrMohr 3D3D
Máximas tensões de cisalhamento no sistema 3D
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CIRCULO DE MOHR PARA O ESTADO TRIPLO DAS TENSÕES
Determinação da tensão normal e de cisalhamento num plano qualquer
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Critérios de Escoamentos que estudaremos:
� Materiais Dúcteis:
� Teoria da Tensão de Cisalhamento Máxima ou Critério de Escoamento de Tresca
� Teoria da Energia de Distorção Máxima ou Critério de von Mises.
� Materiais Frágeis:
� Teoria da Tensão Normal Máxima –W. Rankine
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Kabs
≥maxτ
K= tensão de escoamento no cisalhamento
K=−2
minmax σσ
K2minmax =−σσ
Qual o valor de K?
No teste de tração: σmax= σ1; σmin=0
No escoamento: σ1= σe=2K
ee
e
K
K
σσσσσ
=−⇒=
=−
minmax2
20
Teoria da Tensão de Cisalhamento Máxima ou
Critério de Escoamento de Tresca
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Fazendo σ2=0:
e
e
e
e
e
e
caso
caso
caso
caso
caso
caso
σσσσ
σσσσ
σσσσσσ
σσσσσσσσσσσσ
=−⇒
⟩⟩
=−⇒
⟩⟩⟩
=−⇒
⟩⟩
=−⇒
⟩⟩
=−⇒
⟩⟩
=−⇒
⟩⟩
1
13
3
31
3
13
1
31
13
13
31
31
0
0:6
0
0:5
0
0:4
0
0:3
0:2
0:1
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Teoria da Energia de Distorção Máxima ou Critério de von Mises
Quando a energia de distorção no ponto crítico do componente atingir o mesmo valor da energia de distorção do corpo de prova no momento do seu escoamento, iniciará também o escoamento do componente naquele ponto”
332211 2
1
2
1
2
1 εσεσεσ ++=U
( )[ ]3122
1 σσνσε +−=E
( )[ ]2133
1 σσνσε +−=E
( )[ ]3211
1 σσνσε +−=E
( )[ ]2331212
32
22
1 22
1 σσσσσσνσσσ ++−++=E
U
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( ) ( ) ( )[ ]213
232
2216
1 σσσσσσν −+−+−+=E
U d
Densidade de deformação (U) é a soma de duas componentes:Hidrostática e Distorção
Hidrostática: responsável somente por mudança de volume. É associada a tensãoprincipal média:σmed= (σ1+σ2+σ3)/3
Distorção: responsável pela energia necessária para distorcer o elemento. Subtraindo a parte hidrostática do estado de tensão, a parte restante da tensão, (σ1-σmed), (σ2-σmed) e (σ3-σmed), provoca a energia de distorção como mostra a fig. C.
= +
Substituindo-se σ1, σ2 e σ3 por (σ1-σmed), (σ2-σmed) e (σ3-σmed), na equação de U obtém-se Ud:
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( ) 2
3
1eed E
U σν+=
( ) ( ) ( )[ ] 21
213
232
221
2
1 σσσσσσσ −+−+−=e
22221
21 eσσσσσ =+−
No ensaio de tração uniaxial, σ1=σe, σ2 = σ3 = 0 e temos:
Como a teoria de distorção máxima requer que Ud = (Ud)e temos que:
No Caso do estado plano de tensões, σ3 = 0
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2 3-σ σ
1 3-σ σ
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Representação dos critérios de Tresca e von Mises acrescentando ainda diversos processos de conformação mecânica
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Teoria da tensão normal máxima – W. Rankine - 1800
Teoria válida para materiais frágeis
A teoria da tensão normal máxima estabelece que um material frágil falha quando a tensão principal máxima atinge um valor limite igual ao limite de resistência que o material suporta quando submetido à tração simples.
Caso o material esteja submetido ao estado plano de tensões tem-se que:
rσσ =2rσσ =1
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Planos Planos OctaedraisOctaedrais
( ) ( ) ( )[ ] 21
213
232
2213
1 σσσσσστ −+−+−=oct
3321 σσσσ ++=oct
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Interpretação Física do critério de escoamento de Interpretação Física do critério de escoamento de vonvon MisesMises utilizando utilizando o valor crítico da tensão de cisalhamento o valor crítico da tensão de cisalhamento octedraloctedral
( ) ( ) ( )[ ] 21
213
232
2213
1 σσσσσστ −+−+−=oct
Em tração uniaxial eoct στ3
2=
Igualando as equações acima:
( ) ( ) ( )[ ] 21
213
232
221
2
2
1 σσσσσσσ −+−+−=e
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Comparação dos três critériosComparação dos três critérios
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ExemplosExemplos
� Exemplo 1– O estado de tensão em torno de um ponto é dado pelo tensor das tensões mostrado abaixo. Determine as tensões principais.
=1 12- 0
12- 6- 0
0 0 5-
ijσ MPa
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ExemplosExemplos
� Exemplo 2– O eixo maciço da figura abaixo tem raio 0,5 in e é feito de aço com limite de escoamento σe = 36 ksi. Determinar se o carregamento provocará falha sua falha de acordo com os critérios de Tresca e de Von Mises.
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ExemplosExemplos� Exemplo 3 - Um vaso de pressão cilíndrico usado em motor de
foguete, de parede fina, é construído de material cujo escoamento é σe = 200 MPa, raio do cilindro = 1,25 m, pressão interna p = 0,7 MPa. Usando um fator de segurança igual a 2, determine a espessura do vaso, para que não ocorra falha (explosão). Obtenha a solução através dos critérios de escoamento de Tresca e de von Mises.
� Verifique, pelos critérios de Tresca e de von Mises, se o estado de tensões representado na figura abaixo é estável. Considere σe = 200 MPa.
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� Exemplo 3 - Um vaso de pressão cilíndrico usado em motor de foguete, de parede fina, é construído de material cujo escoamento é σe = 200 MPa, raio do cilindro = 1,25 m, pressão interna p = 0,7 MPa. Usando um fator de segurança igual a 2, determine a espessura do vaso, para que não ocorra falha (explosão). Obtenha a solução através dos critérios de escoamento de Tresca e de von Mises.
� Exemplo 4 - Prove que a diferença máxima entre os critérios de escoamento de Tresca e de von Mises é da ordem de 15,4%.
� Exemplo 5 - Mostre que a superposição de um estado hidrostático de tensões a um estado de tensões não altera as previsões dos critérios
de escoamento de Tresca e de von Mises.