ESTIMASI PARAMETER REGRESI LOGISTIK
MULTINOMIAL MENGGUNAKAN
MAKSIMUM LIKELIHOOD
SKRIPSI
BHISTOK JAYA BOY MARTAHAN SITINJAK
160803079
S1-MATEMATIKA
DEPARTEMENMATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2021
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ESTIMASI PARAMETER REGRESI LOGISTIK
MULTINOMIAL MENGGUNAKAN
MAKSIMUM LIKELIHOOD
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar
Sarjana Sains
BHISTOK JAYA BOY MARTAHAN SITINJAK
160803079
S1-MATEMATIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2021
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERNYATAAN ORISINALITAS
ESTIMASI PARAMETER REGRESI LOGISTIK
MULTINOMIAL MENGGUNAKAN
MAKSIMUM LIKELIHOOD
SKRIPSI
Saya menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, 11 Februari 2021
Bhistok Jaya Boy Martahan Sitinjak
160803079
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
i
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ii
ESTIMASI PARAMETER REGRESI LOGISTIK
MULTINOMIAL MENGGUNAKAN
MAKSIMUM LIKELIHOOD
ABSTRAK
Skripsi ini membahas penaksiran parameter pada regresi logistik multinomial.
Regresi logistik multinomial atau disebut juga model logit politomus adalah model
regresi yang digunakan untuk menyelesaikan kasus regresi dengan variabel terikat
berbentuk multinomial (lebih dari dua kategori) dengan satu atau lebih variabel
bebas. Pada regresi logistik multinomial estimasi parameter yang digunakan adalah
estimasi maksimum likelihood ( maximum likelihood estimation). Transformasi
logit dilakukan untuk mendapat model regresi logistik multinomial. Uji parameter
yang digunakan adalah uji simultan atau secara keseluruhan variabel dan uji parsial
atau secara sebagian.
Kata Kunci : Estimasi Maksimum Likelihood, Regresi Logistik Multinomial
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
iii
ESTIMASI PARAMETER REGRESI LOGISTIK
MULTINOMIAL MENGGUNAKAN
MAKSIMUM LIKELIHOOD
ABSTRACT
This thesis discusses parameter estimation in multinomial logistic regression.
Multinomial logistic regression or also called polytomial logit model is a
regression model used to solve regression cases with the dependent variable in the
form of multinomial (more than two categories) with one or more independent
variables. In multinomial logistic regression, the parameter estimation used is the
maximum likelihood estimation. Logit transformation was performed to obtain a
multinomial logistic regression model. The parameter test used is the simultaneous
test or the whole variable and partial or partial test.
Keywords: Maximum Likelihood Estimation, Multinomial Logistic Regression
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
iv
PENGHARGAAN
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala rahmat dan
karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan
judul “Estimasi Parameter Regresi Logistik Multinomial Menggunakan
Maksimum Likelihood”.
Dalam penyusunan skripsi ini tidak terlepas dukungan dari berbagai pihak.
Penulis secra khusus mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada
semua pihak yang telah membantu. Penulis banyak menerima bimbingan, petunjuk
dan bantuan serta dorongan dari berbagai pihak baik yang bersifat moral maupun
material. Oleh karena itu pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima
kasih kepada:
1. Bapak Dr. Muryanto Amin, S.Sos, M.Si selaku Rektor Universitas Sumatera
Utara (USU) beserta jajarannya.
2. Bapak Prof. Dr. Kerista Sebayang, M.S selaku Dekan Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara (FMIPA USU)
beserta jajarannya.
3. Bapak Dr. Suyanto, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku
Ketua dan Sekertaris Departemen Matematika FMIPA USU.
4. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dosen Pembimbing dan Pembimbing
Akademik penulis, yang telah memberikan arahan, saran dan motivasi
kepada penulis serta telah meluangkan waktu dalam pengerjaan skripsi ini.
5. Ibu Dr. Elly Rosmaini, M.Si dan Ibu Dr. Dra. Rahmawati Pane, M.Si selaku
Dosen Pembanding yang telah memberikan arahan, kritik dan saran yang
membangun kepada penulis dalam pengerjaan skripsi ini.
6. Ayahanda Polmer Sitinjak dan Ibunda Suharni Sinaga yang telah
memberikan dukungan baik secara material dan moral serta Saudara
penulis, Adhit Sitinjak dan Gamaliel Sitinjak yang telah memberikan
semangat, motivasi, nasihat dan doa kepada penulis.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
v
7. Orang-orang yang saya kasihi teman semasa SMA dan kuliah Miranda
Simbolon, BPH HMM Periode 2019/2020 dan semua rekan-rekan
Mahasiswa/i angkatan 2016 yang telah memotivasi dan memberikan
semangat kepada penulis dalam penyelesaian skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa dalam proses penulisan skripsi ini masih jauh dari
kesempurnaan baik materi maupun cara penulisannya. Oleh karena itu, penulis
mengharapkan kritik dan saran yang membangun demi penyempurnaan skripsi ini.
Akhir kata, penulis mengucapkan terimakasih dan semoga penelitian ini dapat
bermanfaat.
Medan, 11 Februari 2021
Penulis,
Bhistok Jaya Boy M Sitinjak
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PENGESAHAN SKRIPSI i
ABSTRAK ii
ABSTRACT iii
PENGHARGAAN iv
DAFTAR ISI vi
DAFTAR TABEL viii
DAFTAR LAMPIRAN ix
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Batasan Masalah 3
1.4 Tujuan Penelitian 4
1.5 Manfaat Penelitian 4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisis Regresi 5
2.1.1 Model Regresi Linear 6
2.1.2
Model Regresi Non Linear 7
2.2 Regresi Logistik 8
2.3 Regresi Logistik Multinomial 8
2.3.1 Estimasi Parameter 10
2.4 Pengujian Parameter 13
2.4.1 Pengujian Parameter dengan Uji Simultan
(Uji G)
13
2.4.2 Pengujian Parameter dengan Uji Wald
(Uji Parsial)
14
2.5 Uji Kebaikan Model 14
2.6 Koefisien Determinasi 15
2.7 Odd Ratio 16
BAB 3 METODE PENELITIAN
3.1 Studi Literatur 18
3.2 Metode Pengumpulan Data 18
3.3 Metode Pengolahan Data 19
3.4 Kerangka Penelitian 20
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Regresi Logistik Multinomial 21
4.2 Transformasi Logit pada Model Regresi Multinomial 23
4.3 Metode Maksimum Likelihood 24
4.3.1 Iterasi Pertama 27
4.3.2 Iterasi Kedua 29
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
vii
4.3.3 Iterasi Ketiga 31
4.4 Uji Parameter 33
4.4.1 Uji Simultan 35
4.4.2 Uji Parsial 35
4.5 Uji Kebaikan Model (gooodness of fit) 37
4.6 Koefisien Determinasi 37
4.7 Pemodelan Regresi Logistik Multinomial 38
4.8 Interpretasi Model 39
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan 42
5.2 Saran 42
DAFTAR PUSTAKA 43
LAMPIRAN 45
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
viii
DAFTAR TABEL
Nomor
Tabel Judul Halaman
3.1 Variabel dependen 18
3.2 Variabel independen 19
4.1 Hasil Penduga Parameter 34
4.2 Uji Simultan 35
4.3 Hasil Uji Parsial untuk semua variabel 35
4.4 Hasil Uji Parsial untuk variabel yang berpengaruh 36
4.5 Hasil Uji Kebaikan Model 37
4.6 Hasil Koefisien Determinasi 38
4.7 Uji Koefisien Determinasi untuk variabel yang berpengaruh 38
4.8 Hasil Uji Odds Ratio 40
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ix
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor
Lampiran Judul Halaman
1 Metode Newton Raphson 45
2 Data Pasien Penyakit Diabetes Mellitus 54
3 Output SPSS untuk Pendugaan Parameter 59
4 Output SPSS untuk Uji Simultan 60
5 Output SPSS untuk Uji Parsial (Wald) 61
6 Output SPSS untuk Uji Kebaikan Model 62
7 Output SPSS untuk Uji Koefisien Determinasi 63
8 Output SPSS untuk Uji Odd Ratio 64
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Statistika adalah ilmu pengetahuan yang membahas tentang cara-cara
pengumpulan fakta, pengolahan serta analisis pembuatan keputusan dan
penarikan kesimpulan yang cukup beralasan berdasarkan fakta dan pengolahan
data yang dilakukan. Salah satu analisis pada statistika adalah analisi regresi.
Analisis regresi adalah salah satu penelitian terapan kuantitatif yang
memberikan keleluasaan kepada peneliti untuk menyusun model hubungan
atau pengaruh beberapa variabel independen terhadap variabel dependent.
Analisis regresi digunakan untuk mempelajari hubungan antara dua
variabel atau lebih, dengan maksud bahwa dari hubungan tersebut dapat
memperkirakan besarnya dampak kuantitatif yang terjadi dari perubahan suatu
kejadian terhadap kejadian lainnya. Berdasarkan pola hubungannya analisis
regresi dibagi menjadi 2 yaitu analisis regresi linear dan analisi regresi non-
linear.
Pada model regresi linear diasumsikan bahwa peluang variabel
independen X dalam contoh acak bersifat tetap dan bukan nilai peubah acak
dan peluang variabel dependen Y merupakan peluang acak kontinu yang
diasumsikan saling bebas dan menyebar normal. Adakalanya peluang variabel
dependen berupa peluang dikotomi. Peluang dikotomi adalah peluang
indikator yang terdiri atas data biner, bernilai 1 atau 0. Data tersebut
dibangkitkan dari pemetaan numerik dari satu tindakan atau percobaan yang
menghasilkan hanya dua kemungkinan kejadian.
Data yang mengandung peluang respon biner tidak dapat dianalisis regresi
linear biasa, karena penduga parameter pada regresi linear mengguakan metode
kuadrat terkecil yang mengasumsikan data menyebar normal dengan ragam
homogen. Asumsi-asumsi ini tidak dipenuhi oleh data biner, jika asumsi-
asumsi ini diabaikan maka model yang diperoleh tidak sesuai dengan keadaan
sebenarnya. Oleh karena itu model yang tepat untuk menyelidiki hubungan
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
2
antara peluang respon biner dengan peluang penjelasnya adalah menggunakan
analisis regresi logistik.
Regresi logistik adalah salah satu bentuk regresi non-linear yang
mempunyai variabel dependen yang diskrit dan mempunyai sebaran binomial,
sedangkan variable independennya dapat terdiri dari variabel yang continu,
diskrit, dikotomus, ataupun gabungannya. Regresi logistik terbagi menjadi dua
yaitu regresi logistik biner dan logistik multinomial.
Regresi logistik biner adalah suatu analisis regresi yang digunakan untuk
menggambarkan hubungan antara variabel independen dengan sekumpulan
variabel dependen, dimana variabel dependen bersifat biner atau dikotomus.
Variabel dikotomus adalah variabel yang hanya mempunyai dua kemungkinan
nilai, misalnya sukses dan gagal. Sedangkan variabel independen sering
disebut juga dengan covariate. Hasil pengukuran suatu variabel seringkali
mempunyai ciri berupa dua atau lebih kemungkinan nilai yang dikenal sebagai
variabel kategorik. Variabel kategorik yang tidak memiliki urutan disebut
sebagai variabel nominal sedangkan yang memiliki urutan disebut variabel
ordinal. Kedua jenis variabel ini, baik nominal maupun ordinal sering disebut
juga sebagai variabel multinomial. Regresi logistik multinomial, yang tidak
mempertimbangkan sifat ordinal data, juga dapat diterapkan untuk meneliti
sebuah variabel ordinal maupun memanfaatkan sifat ordinal data dapat
meningkatkan keserderhanaan dan kekuatan model (Agresti, 2002). Model
regresi logistik multinomial efektif digunakan pada variabel terikat yang terdiri
atas banyak kategori (Zulfikri, 2014).
Regresi logistik dan regresi linear mempunyai tujuan yang sama yaitu
menyelidiki variabel dependen dengan satu atau lebih variabel independen.
Keduanya mengestimasi parameter model yang diharapkan. Analisis regresi
menggunakan variabel dependen kontinu, sedangkan analisi regresi logistik
menggunakan variabel dependen kategorik.
Metode yang dapat digunakan untuk mengestimasi parameter model
regresi logistik, yaitu metode moment, noniterative weighted least square
methods, dan maximum likelihood methods. Metode momen adalah metode
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
3
tertua yang paling lama digunakan. Metode ini memiliki prosedur yang paling
mudah dalam memperoleh estimator atau penduga dari satu atau lebih
parameter populasi dan dasar metode momen yaitu mendapatkan estimasi
parameter populasi dengan menyamakan momen-momen populasi dengan
momen-momen sample. Metode noniterative weighted least square methods
dapat digunakan dalam kasus multivariable, meskipun penerapan pendekatan
noniterative weighted least square methods dibatasi oleh perkiran 𝜋(𝑥) bukan
nol atau 1 untuk sebagian besar nilai X dalam kumpulan data. . Dengan jumlah
variabel independen yang besar, atau bahkan beberapa variable kontinu,
kondisi ini yang tidak akan bertahan.
Salah satu metode yang lebih umum dan digunakan pada sebagian besar
paket program komputer adalah Maximum likelihood . Maximum likelihood
merupakan dasar pendekatan dalam menaksirkan parameter pada model regresi
logistik. Pada dasarnya metode maksimum likelihood memberikan nilai
taksiran parameter dengan memaksimalkan fungsi likelihood. Untuk itu
digunakan uji dan hipotesis statistik untuk menentukan apakah variabel
independen dalam model signifikan atau berpengaruh secara nyata terhadap
variabel dependen.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian di latar belakang didapati terdapat beberapa metode
untuk menaksir parameter regresi logistik multinomial yaitu, metode moment,
noniterative weighted least square methods, dan maximum likelihood. Metode
moment umum digunakan untuk menaksir parameter pada analisi regresi,
tetapi tidak dapat digunakan dalam kasus multivariable. Sedangkan metode
noniterative weighted least square methods dapat digunakan dalam kasus
multivariable, tetapi metode tersebut memiliki batasan dalam pengumpulan
data. Oleh karena itu, metode estimasi parameter yang cocok untuk menaksir
parameter adalah metode maksimum likelihood karena dapat digunakan pada
data multivariabel dan tidak memiliki batasan dalam pengumpulan data.
1.3 Batasan Masalah
Agar penelitian yang dilakukan dapat menghasilkan penelitian yang fokus
dan akurat, maka diberikan batasan masalah dalam penelitian ini yaitu :
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
4
1. Model regresi logistik yang akan diestimasi adalah model regresi
logistik multinomial.
2. Metode maksimum likelihood digunakan sebagai metode untuk
mengestimasi model regresi logistik multinomial.
1.4 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mengestimasi parameter regresi logistik
multinomial dengan menggunakan estimasi maksimum likelihood.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah:
1. Bagi penulis mengetahui tentang proses dan hasil dari menentukan
model regresi logistik multinomial dengan penaksiran parameter
menggunakan metode maksimum likelihood.
2. Bagi pembaca dapat memberikan pengetahuan dan gambaran mengenai
langkah serta hasil dari model regresi logistik multinomial dengan
penaksiran parameter menggunakan metode maksimum likelihood.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan disampaikan teori dan konsep yang berkaitan dengan
pemodelan regresi logistik multinomial dan penduga parameter dengan metode
maksimum likelihood. Akan diuraikan tata cara uji parameter, uji kebaikan
model dan odd ratio untuk mendapatkan model logit terbaik. Semua materi
yang dijelaskan berguna untuk mengolah data regresi logistik multinomial.
2.1 Analisis Regresi
Analisis regresi merupakan alat analisis statistik yang mempelajari pola
dan mengukur hubungan antara dua atau lebih variabel. Tujuannya adalah
untuk membuat perkiraan (prediksi) yang dapat dipercaya untuk nilai suatu
variabel dependen, jika nilai variabel independen yang berhubungan
dengannya diketahui.
Dalam analisis regresi, suatu persamaan regresi digunakan untuk
menggambarkan pola atau fungsi hubungan yang terdapat antar variabel.
Variabel yang akan diestimasi nilainya disebut variabel dependen dan biasanya
di plot pada sumbu tegak (sumbu 𝑌), sedangkan variabel yang diasumsikan
memberikan pengaruh terhadap variasi variabel dependen disebut variabel
independen dan biasanya di plot pada sumbu datar (sumbu 𝑋). Variabel
independen dinotasikan denganm𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘(k ≥ 1) sedangkan variabel
dependen dinotasikan dengan 𝑌. Hubungan fungsional antara kedua variabel
tersebut akan dituliskan dalam persamaan matematik (persamaan regresi) yang
akan bergantung pada parameter-parameter.
Berdasarkan pola hubungannya, analisis regresi terbagi menjadi dua,
yaitu regresi linear dan regresi non linear. Hal ini bergantung pada data
variabel 𝑋 dan 𝑌 yang ditebarkan pada scatter plot. Jika data tersebut
membentuk sebuah garis lurus, maka disebut regresi linear, sedangkan jika
data yang ditebarkan tidak mengikuti garis lurus tetapi mengikuti suatu bentuk
kurva tertentu, maka disebut regresi non linear.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
6
2.1.1 Model Regresi Linear
Regresi linear terbagi menjadi dua, yaitu regresi linear sederhana dan
regresi linear berganda. Regresi linear sederhana digunakan untuk mengamati
pengaruh satu variabel independen terhadap variabel dependen. Regresi linear
berganda mengamati pengaruh beberapa (minimal dua) variabel independen
terhadap variabel dependen. Secara matematis, regresi linear berganda
dengan 𝑘 variabel independen (𝑋) dan satu variabel dependen (𝑌) dapat
dituliskan dalam persamaan berikut:
𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖1 + 𝛽2𝑋𝑖2 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑖𝑘 + 휀𝑖; i = 1,2, …, n (2.2)
di mana:
𝑌𝑖 = variabel dependen (Y) ke-i yang dapat diamati
𝑋𝑖𝑗 = variabel independen 𝑋𝑗 ke-i yang dapat diamati (j = 1,2, …, k)
𝛽𝑘 = parameter-parameter yang tidak diketahui dari model
휀𝑖 = galat (error term) dalam pengamatan i (diasumsikan berdistribusi normal
dengan rata-rata nol dan varians 𝜎2 )
Bila dirinci untuk setiap pengamatan:
𝑌1 = 𝛽0+𝛽1𝑋11+𝛽2𝑋12+⋯+𝛽𝑘𝑋1𝑘+휀1
𝑌2 = 𝛽0+𝛽1𝑋21+𝛽2𝑋22+⋯+𝛽𝑘𝑋2𝑘+휀2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮
𝑌𝑛 = 𝛽0+𝛽1𝑋𝑛1+𝛽2𝑋𝑛2+⋯+𝛽𝑘𝑋𝑛𝑘+휀𝑛
Dengan cara matriks dapat distulis sebagai berikut:
[
𝑌1𝑌2
⋮𝑌𝑛
] = [
1 𝑋11 𝑋12 ⋯ 𝑋1𝑘
1 𝑋21 𝑋22 ⋯ 𝑋2𝑘
⋮1
⋮𝑋𝑛1
⋮𝑋𝑛2
⋯⋯
⋮𝑋𝑛𝑘
] +
[ 𝛽0
𝛽1
𝛽2
⋮𝛽𝑘]
+[
휀1휀2
⋮휀𝑘
]
Jika Y, X, β, dan ε didefinisikan sebagai notasi matriks masing-masing
dalam urutan 𝑛 ×1, 𝑛 × (𝑘 + 1), (𝑘 + 1) × 1, dan 𝑛 ×1. Maka, persamaan
(2.2) dapat disederhanakan menjadi:
Y = Xβ + ε (2.3)
di mana ε adalah sisa (error) berdistribusi normal yang saling bebas
dengan ekspektasi E(ε) = 0 dan dispersi (kovarians) Cov(ε) = 𝜎2I,
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
7
dengan I adalah matriks identitas 𝑛 × 𝑛 dan X biasanya ditetapkan
sebagai matriks desai model.
Asumsikan bahwa persamaan (2.3) adalah model yang tetap. Prinsip
dari metode kuadrat terkecil (ordinary least square) adalah menentukan
(mengestimasi) �̂� yang meminimumkan jumlah kuadrat error 휀𝑇 ε, di
mana 𝑇 melambangkan matriks transpose. Jumlah kuadrat dapat ditulis
sebagai fungsi dari β, dalam persamaan berikut:
S(β) = (𝐘 − 𝐗𝛃)𝐓(𝐘 − 𝐗𝛃) (2.4)
S(β) adalah bilangan asli non negative dari fungsi kuadratik,
sehingga dapat dipastikan terdapat nilai minimum berhingga dari S(β).
Solusi untuk β, yang dinotasikan dengan �̂� diminimalkan oleh S(β)
sebagai hasil dari solusi persamaan normal. Solusi tersebut adalah
estimator kuadrat terkecil dari β dalam persamaan berikut:
�̂� = (𝐗𝐓𝐗)−𝟏(𝐗𝐓𝐘) (2.5)
2.1.2 Model Regresi Non Linear
Model regresi linear memberikan kerangka kerja yang luas dan fleksibel
sesuai dengan kebutuhan banyak analisis, namun model ini tidak sesuai untuk
semua situasi. Hubungan antara variabel dependen dan variabel independen
dapat berupa persamaan diferensial atau solusi untuk persamaan diferensial.
Hal ini akan mengarah pada bentuk non linear.
Menurut Montgomery et al. (1992) model regresi non linear dalam
parameter adalah suatu model yang apabila didiferensialkan hasilnya masih
merupakan fungsi dalam parameter tersebut. Macam-macam model regresi
non linear diantaranya adalah model parabola kuadratik, model parabola
kubik, model eksponen, model geometrik, model gompertz, model hiperbola,
dan model logistik. Model regresi non linear dalam parameter 𝜃 dapat
dituliskan sebagai berikut:
𝑦𝑖 = f(𝑥𝑖, 𝜃) + 휀𝑖 , i = 1, 2, … , n. (2.6)
di mana :
𝑦𝑖 = variabel terikat ke- i
𝑥𝑖 = variabel bebas ke- i
𝜃 = parameter yang tidak diketahui
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
8
휀𝑖 = error, dimana 휀 ~N(0, 𝜎2)
2.2 Regresi Logistik
Regresi logistik adalah bagaimana satu variabel yaitu variabel
dependen dipengaruhi oleh satu atau lebih variabel lain yaitu variabel
independen dengan tujuan untuk memprediksi nilai rata-rata variabel
dependen yang didasarkan pada nilai variabel independen (Widarjono, 2010).
Menurut Hosmer dan Lemeshow (2000), tujuan melakukan analisis data
menggunakan regresi logistik adalah untuk mendapatkan model terbaik dan
sederhana, tetapi model tersebut sejalan dengan tinjauan dari ilmu biologi
untuk menjelaskan hubungan antara hasil variabel dependen dengan variabel
independen.
2.3 Regresi Logistik Multinomial
Regresi logistik multinomial (nominal dan ordinal) merupakan salah
satu pendekatan pemodelan yang dapat digunakan untuk mendeskripsikan
hubungan beberapa variabel independen dengan suatu variabel dependen
multinomial(polytomous).
Data berskala nominal merupakan data dengan angka yang diberikan
kepada objek mempunyai arti sebagai label dan tidak menunjukkan tingkatan
apapun. Sedangkan data ordinal merupakan data yang menunjukkan suatu
tingkatan pada variabel dependennya. Apabila terdapat k yang berarti
banyaknya kategori pada variabel independen maka model logistik yang
terbentuk sebanyak k - 1. Menurut Agresti (1990), model umum regresi
logistik multinomial untuk p banyaknya variabel dependen yang dinyatakan
dalam vektor 𝑥𝑖 seta probabilitas kategori independen ke-k sebagai berikut:
𝜋𝑘(𝑥𝑖) = 𝑃(𝑦 = 𝑘|𝑥𝑖) =exp(𝑔𝑘(𝑥𝑖))
∑ exp (𝑔𝑗(𝑥𝑖))𝑘−1𝑗=0
(2.7)
Jika ada urutan pada kategori dependen (respon ordinal) maka model
yang digunakan regresi logistik ordinal. Misalkan z adalah variabel kontinu
yang dapat dipotong-potong dengan titik-titik 𝐶1 , … , 𝐶𝑗−1 untuk
mendefinisikan j kategori ordinal yang masing-masing dengan peluang
𝜋1, … , 𝜋𝑗 dimana ∑ 𝜋𝑖 = 1𝑗𝑖=1 . Ada beberapa model yang dapat digunakan
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
9
untuk regresi logistik ordinal ini, antara lain model logit kumulatif,
proportionalodds, adjacent categories logit, dan continuation ratio logit.
Cumulative odds untuk kategori ke-j adalah
𝑃(𝑧 ≤ 𝐶𝑗)
𝑃(𝑧 > 𝐶𝑗)=
𝑥1 + ⋯+ 𝑥𝑗
𝑥𝑗 + 1 + ⋯ + 𝑥𝑗
Sehingga model kumulatif logit adalah
log (𝑥1+⋯+𝑥𝑗
𝑥𝑗+1+⋯+𝑥𝑗) = 𝑥𝑗
𝑇𝛽𝑗 (2.8)
Jika penduga linier 𝑥𝑗𝑇𝛽𝑗 pada persamaan (2.8) memiliki intercept 𝛽0𝑗
untuk kategori ke-j tetapi variabel kovariat tidak tergantung pada j, maka
digunakan model proportional odds, yaitu
log (𝑥1+⋯+𝑥𝑗
𝑥𝑗+1+⋯+𝑥𝑗) = 𝛽0𝑗 + 𝛽1𝑥1 + ⋯+ 𝛽𝑝−1𝑥𝑝−1 (2.9)
Alternatif lainnya dari model kumulatif odd adalah rasio dari peluang
sukses untuk kategori yang bersebelaha, yaitu
𝜋1
𝜋2 ,
𝜋2
𝜋3 , … ,
𝜋𝑗−1
𝜋𝑗
Sehingga model adjacent logit menjadi
log (𝜋𝑗
𝜋𝑗+1) = 𝑥𝑗
𝑇𝛽𝑗 (2.10)
Model rasio peluang lainnya adalah
𝜋1
𝜋2
,𝜋1 + 𝑝𝑖2
𝜋3
, … ,𝜋𝑖 + ⋯+ 𝜋𝑗−1
𝜋𝑗
Atau
𝜋1
𝜋2 + ⋯+ 𝜋𝑗 ,
𝑝𝑖2
𝜋3 + ⋯ + 𝜋𝑗 , … ,
𝜋𝑗−1
𝜋𝑗
Sehingga model logit rasio menjadi
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
10
log𝜋𝑗
𝜋𝑗+1+⋯+𝜋𝑗=𝑥𝑗
𝑇𝛽𝑗 (2.11)
2.3.1 Estimasi Parameter
Metode estimasi yang mengarah pada metode least squares dalam
model regresi linear disebut maximum likelihood estimation (Hosmer dan
Lemeshow, 1989). Metode tersebut mengestimasi parameter β dengan cara
memaksimumkan dengan mensyaratkan data harus mengikuti distribusi
tertentu. Pada regresi logistik, setiap pengamatan dapat ditentukan fungsi
likelihood-nya.
Jika 𝑥𝑖 dan 𝑦𝑖 adalah variabel independen dan variabel dependen yang
saling independensi, i = 1,2, …, n maka fungsi probabilitas untuk setiap
pasangan (𝑥𝑖, 𝑦𝑖) adalah sebagai berikut:
𝑓(𝑥) = 𝜋(𝑥𝑖)𝑦𝑖(1 − 𝜋(𝑥𝑖))
1−𝑦𝑖; 𝑦𝑖 = 0,1 (2.12 )
dengan:
𝜋(𝑥𝑖) =𝑒
(∑ 𝛽𝑗𝑥𝑗𝑝𝑗=0 )
1 + 𝑒(∑ 𝛽𝑗𝑥𝑗
𝑝𝑗=0
) (2.13)
di mana ketika j = 0 maka nilai 𝑥𝑖𝑗 = 𝑥𝑖0 = 1. Setiap pasangan pengamatan
diasumsikan bebas sehingga fungsi likelihood-nya merupakan gabungan dari
fungsi distribusi masing-masing pasangan , sebagai berikut:
𝑙(𝛽) = ∏ 𝑓(𝑥𝑖) = ∏ 𝜋(𝑥𝑖)𝑦𝑖(1 − 𝜋(𝑥𝑖))
1−𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
(2.14)
Berdasarkan persamaan (2.14) akan dicari log likelihood untuk
mempermudah proses perhitungan selanjutnya, karena akan mencapai
maksimum pada 𝛽 yang sama. Persamaan tersebut dapat diubah menjadi:
𝐿(𝛽) = ln 𝑙(𝛽)
= ln ∏ 𝜋(𝑥𝑖)𝑦𝑖(1 − 𝜋(𝑥𝑖))
1−𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
11
= ∑ ln𝜋(𝑥𝑖)𝑦𝑖(1 − 𝜋(𝑥𝑖))
𝑛𝑖−𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
= ∑ ln [(𝜋(𝑥𝑖)
1 − 𝜋(𝑥𝑖))
𝑦𝑖
(1 − 𝜋(𝑥𝑖))𝑛𝑖
]
𝑛
𝑖=1
= ∑ [𝑦𝑖ln (𝜋(𝑥𝑖)
1 − 𝜋(𝑥𝑖)) + 𝑛𝑖 ln(1 − 𝜋(𝑥𝑖))]
𝑛
𝑖=1
Dengan melakukan substitusi persamaan (2.14) diperoleh:
𝐿(𝛽) = [𝑦𝑖 ∑ 𝛽𝑗𝑥𝑖𝑗 + 𝑛𝑖 ln1
1 + 𝑒∑ 𝛽𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=0
𝑝
𝑗=0
]
= [𝑦𝑖 ∑ 𝛽𝑗𝑥𝑖𝑗 + 𝑛𝑖 ln (1 + 𝑒∑ 𝛽𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=0 )
−1𝑝
𝑗=0
]
= [𝑦𝑖 ∑𝛽𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝
𝑗=0
− 𝑛𝑖 ln (1 + 𝑒∑ 𝛽𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=0 )]
sehingga,
𝐿(𝛽) = ∑[∑𝑦𝑖𝑥𝑖𝑗
𝑛
𝑖=1
]𝛽𝑗 − ∑ 𝑛𝑖 ln [1 + 𝑒∑ 𝛽𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=0 ] (2.15)
𝑛
𝑖=1
𝑝
𝑗=0
Persamaan (2.15) dideferensialkan terhadap β untuk memperoleh nilai
estimator �̂�0, �̂�1, … , �̂�𝑘 yang memaksimumkan 𝐿(𝛽).
𝜕𝐿(𝛽)
𝜕𝛽𝑗= ∑ ∑
𝜕
𝜕𝛽𝑗
(𝑥𝑖𝑗𝑦𝑖𝛽𝑗) − ∑ 𝑛𝑖
𝜕
𝜕𝛽𝑗
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=0
𝑝
𝑗=0
[ln (1 + 𝑒∑ 𝛽𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=0 )]
= ∑ ∑ 𝑥𝑖𝑗𝑦𝑖 + ∑𝑛𝑖 (∑ 𝑥𝑖𝑗𝑒
∑ 𝛽𝑗𝑥𝑖𝑗𝑝𝑗=0𝑝
𝑗=0
1 + 𝑒∑ 𝛽𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=0
)
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑝
𝑗=0
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
12
= ∑∑ 𝑥𝑖𝑗𝑦𝑖 + ∑ ∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖𝑗 (𝑒
(∑ 𝛽𝑗𝑥𝑗𝑝𝑗=0 )
1 + 𝑒(∑ 𝛽𝑗𝑥𝑗
𝑝𝑗=0
))
𝑝
𝑗=0
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑝
𝑗=0
Menurut definisi model regresi logistik pada persamaan 2.13, maka
persamaa yang didapat sebagai berikut:
𝜕𝐿(𝛽)
𝜕𝛽𝑗= ∑ 𝑦𝑖𝑥𝑖𝑗 − ∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖𝑗𝜋(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
(2.16)
𝑛
𝑖=1
Selanjutnya persamaan (2.16) disamakan dengan nol, namun sering kali
diperoleh hasil yang eksplisit, sehingga dilakukan metode numerik untuk
memperoleh estimasi parameternya, yaitu metode iterasi Newton Raphson untuk
memaksimumkan fungsi likelihood. Metode Newton Raphson adalah metode
iterasi untuk menyelesaikan persamaan non linear (Agresti, 2007). Langkah-
langkah iterasi Newton Raphson diberikan sebagai berikut:
1. Menentukan nilai taksiran awal estimasi parameter �̂�(0). Taksiran yang
digunakan sama seperti pada regresi linear pada persamaan (2.5)
dengan
𝑋 = [
1 𝑥11𝑥12 ⋯ 𝑥1𝑝
1 𝑥21𝑥22 ⋯ 𝑥2𝑝
⋮1
⋮𝑥𝑛1
⋮𝑥𝑛2
⋯
⋯
⋮𝑥𝑛𝑝
]; Y = [
𝑦1
𝑦2
⋮𝑦
𝑛
]
2. Membentuk vector gradien
𝑔(𝑡)(𝑔(𝑡)) = (𝜕𝑙(𝛽)
𝜕𝛽0), (
𝜕𝑙(𝛽)
𝜕𝛽1), … , (
𝜕𝑙(𝛽)
𝜕𝛽𝑃)
Dengan p adalah banyaknya variabel independen.
3. Membentuk Matriks Hessian H
𝐻(𝑡)(𝛽(𝑡)) =
[ 𝜕2𝑙𝑛𝐿(𝛽)
𝜕𝛽02
𝜕2𝑙𝑛𝐿(𝛽)
𝜕𝛽0𝜕𝛽1
…𝜕2𝑙𝑛𝐿(𝛽)
𝜕𝛽0𝜕𝛽𝑝
𝜕2𝑙𝑛𝐿(𝛽)
𝜕𝛽0𝜕𝛽1
𝜕2𝑙𝑛𝐿(𝛽)
𝜕𝛽12
…𝜕2𝑙𝑛𝐿(𝛽)
𝜕𝛽1𝜕𝛽𝑝…
𝜕2𝑙𝑛𝐿(𝛽)
𝜕𝛽0𝜕𝛽𝑝
…𝜕2𝑙𝑛𝐿(𝛽)
𝜕𝛽1𝜕𝛽𝑝
……
…𝜕2𝑙𝑛𝐿(𝛽)
𝜕𝛽𝑝2 ]
4. Memasukan nilai �̂�(0) ke dalam elemen vector g dan matriks H
sehingga diperoleh vektor 𝑔(𝑡)(𝛽(𝑡)) dan matriks 𝐻(𝑡)(𝛽(𝑡))
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
13
5. Iterasi dimulai dari t = 0 dilakukan iterasi pada persamaan berikut:
𝛽(𝑡+1) = 𝛽(𝑡)−(𝐻(𝑡)(𝛽(𝑡)))−1
𝑔(𝑡)(𝛽(𝑡))
Nilai 𝛽(𝑡) merupakan sekumpulan estimator parameter yang konvergen
pada iterasi ke-t.
6. Apabila belum diperoleh estimator parameter yang konvergen, maka
kembali pada langkah sebelumnya hingga iterasi ke t = t + 1. Iterasi
akan berhenti jika |𝛽(𝑡+1) − 𝛽(𝑡)| < 휀 . Hasil estimasi yang diperoleh
adalah 𝛽(𝑡+1) pada iterasi terakhir.
2.4 Pengujian Parameter
Menurut Hosmer dan Lemeshow (2000) pengujian terhadap
parameter model dilakukan sebagai upaya memeriksa peranan variabel
bebas terhadap model. Uji yang dilakukan ada dua yaitu:
2.4.1 Pengujian Parameter dengan Uji Simultan atau Uji G
Statistik uji G yaitu uji yang digunakan untuk menguji peranan
variabel bebas dalam model secara bersama-sama. Adapun pengujian
hipotesis yang dilakukan adalah:
𝐻0: 𝛽𝑗 = 0
𝐻1: 𝛽𝑗 ≠ 0 , 𝑗 = 1,2, . . , 𝑝
Digunakan uji statistik G, yaitu
𝐺 =𝐷(𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑝𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑎𝑡𝑖)
𝐷(𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑎𝑡𝑖)
= −2 ln [𝑙0
𝑙𝑘]
𝐺 = −2ln(𝑙0) − (−2 ln(𝑙𝑘))
dengan 𝑙0 adalah likelihood tanpa variabel independen dan 𝑙𝑘 adalah
likelihood dengan variabel independen.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
14
Jika hipotesis nol benar, statistik uji G akan berdistribusi Chi-Square
dengan derajat bebas k, dengan k adalah banyaknya variabel independen
dalam model. Dengan demikian kriteria penolakan 𝐻0 adalah 𝐺 > 𝑋𝑘,⍺2
Untuk mengetahui 𝛽𝑗 mana yang berpengaruh signifikan, dapat
dilakukan uji parameter 𝛽𝑗 secara parsial dengan Uji Wald.
2.4.2 Pengujian Parameter dengan Uji Wald (Uji Parsial)
Pengujian variabel dilakukan satu per satu menggunakan statistik
Uji Wald (Hosmer dan Lemeshow, 2000). Hipotesis yang akan diuji adalah
sebagai beriut:
𝐻0: 𝛽𝑗 = 0
𝐻1: 𝛽𝑗 ≠ 0 , 𝑗 = 1, 2, 3,… , 𝑝
Statistik uji:
𝑊 = [�̂�𝑗
𝑆𝐸(𝛽�̂�)]2
; 𝑗 = 1, 2,… , 𝑝 (2.12)
Dengan �̂�𝑗 adalah penduga dari �̂�𝑗 dan 𝑆𝐸(𝛽�̂�) adalah standart error
dari 𝛽𝑗 (penduga galat baku dari 𝛽𝑗). W diasumsikan mengikuti distribusi
Chi-Square dengan derajat bebas 1. Menurut Utomo (2009) 𝐻0 akan ditolak
jika nilai 𝑊 > 𝑋(1;⍺)2 atau (p – value) < ⍺. Jika 𝐻0 ditolak maka dapat
disimpulkan bahwa 𝛽𝑗 signifikan. Dengan kata lain, variael independen X
secara parsial berpengaruh signifikan terhadap variabel dependen.
2.5 Uji kebaikan Model
Uji kebaikan model (goodness of fit) penting dilakukan untuk
mengetahui apakah model yang diperoleh sesuai atau tidak. Statistik uji
yang digunakan adalah Pearson dengan hipotesis:
𝐻0: model regresi logistik sesuai (tidak ada perbedaan yang nyata
antara hasil observasi dengan prediksi model)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
15
𝐻1: model regresi logistik tidak sesuai (ada perbedaan yang nyata
antara hasil observasi dengan prediksi model)
Statistik uji yang digunakan adalah statisik uji Pearson dengan
rumus:
�̂� = ∑(𝑜𝑘 − 𝑛𝑘�̅�𝑘)
2
𝑛𝑘�̅�𝑘(1 − �̅�𝑘) (2.13)
𝑔
𝑘=1
di mana,
𝑜𝑘 : jumlah kejadian yang diamati di kelompok- k
𝑛𝑘 : jumlah observasi kelompok di kelompok- k
�̅�𝑘 : rata-rata kejadian kelompok- k
Statistik uji �̂� berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas g. 𝐻0
diterima apabila nilai (𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒) > ⍺ atau nilai �̂� ≤ 𝑋2 (Hosmer dan
Lemeshow, 2000).
2.6 Koefisien Determinasi
Koefisien determinasi (R-Square) adalah ukuran yang menunjukkan
seberapa besar viariasi dalam data kadar gula darah penderita diabetes
mellitus dapat dijelaskan oleh model regresi yang dibangun. Koefisien
seterminasi merujuk kepada kemampuan dari variabel independen dalam
menerangkan variabel dependennya. Besarnya nilai koefisien determinasi
pada model regresi logistik ditunjukkan oleh nilai Mc Fadden,
CoxanandSnell, dan Nagelkerke R-Square.
Pengujian koefisien determinasi dilakukan untuk melihat seberapa
besar variabel-variabel independen mempengaruhi nilai variabel dependen.
Suatu model dikatakan baik bila koefisien Nagelkerke lebih dari 70% yang
artinya bahwa variabel independen yang dibuat model mempengaruhi 70%
terhadap variabel dependen.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
16
𝑅𝑀𝐹2 = 1 − [
𝑙𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙 𝐵
𝑙𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙 𝐴]
Dengan 𝑅𝑀𝐹2 merupakan koefisien determinasi McFadden. Berikut
adalah rumus untuk mencari koefisien determinasi Cox and Snell.
𝑅𝐶𝑆2 = 1 − exp [−
2
𝑛[𝑙𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑(𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙 𝐵) − 𝑙𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑(𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙 𝐴)]]
Dengan 𝑅𝐶𝑆2 merupakan koefisien determinasi Cox and Snell.
𝑅𝑀𝐴𝑋2 = 1 − exp [−
2
𝑛 x 𝑙𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑(𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙 𝐴)]
𝑅𝑁2 = [
𝑅𝐶𝑆2
𝑅𝑀𝐴𝑋2 ]
Dengan 𝑅𝑁2 merupakan koefisien determinasi Nagelkerke.
2.7 Odd Ratio
Menurut (Hosmer dan Lemeshow, 2000) rasio kecenderungan
adalah ukuran yang memperkirakan berapa besar kecenderungan variabel-
variabel independen terhadap variabel dependen. Odd Ratio berfungsi untuk
menginterpretasikan hubungan antara variabel independen dan variabel
dependen. Jika OR = 1 menunjukkan bahwa tidak ada hubungan antara
variabel independen dan variabel dependen. Jika OR > 1 menunjukkan
bahwa nilai peluang sukses lebih tinggi dari nilai yang dijadikan
pembanding. Sedangkan jika nilai OR < 1, maka peluang sukses lebih kecil
dari nilai yang dijadikan pembanding. Sebagai contoh model regresi logistik
multinomial dengan variabel dependen (Y) yang dari tiga kategori 1, 2 dan
3 dan dua variabel independen (X) yaitu 𝑋1 dan 𝑋2. Jika variabel
independen 𝑋1 berskala kategori yang terdiri dari dua kategori, yaitu 0 dan
1, sedangkan variabel terikat 𝑋2 kontinu, maka rumus Odd Ratio variabel
𝑋1 pada fungsi logit 1 adalah
𝜓 =𝑃(𝑌 = 1|𝑥 =,𝑋2)/𝑃(𝑌=𝑘|𝑥=1,𝑋2)
𝑃(𝑌 = 1|𝑥 = 0, 𝑋2)/𝑃(𝑌=𝑘|𝑥=0,𝑋2)= exp[𝛽1] (2.14)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
17
Untuk 𝜓 = 0 berarti bahwa 𝑥 = 1 memiliki kecenderungan yang
sama dengan 𝑥 = 0 untuk menghasilkan 𝑌 = 1. Jika 1 < 𝜓 < ∞ berarti
𝑥 = 1 memiliki kecenderungan lebih besar 𝜓 kali dibandingkan 𝑥 = 0
untuk menghasilkan 𝑌 = 1 dan sebaliknya untuk 0 < 𝜓 < 1
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB III
METODE PENELITIAN
Pada bab ini akan disampaikan studi literatur, metode pengumpulan
data, metode pengolahan data dan kerangkan penelitian mengenai ”Estimasi
Parameter Regresi Logistik Multinomial Menggunakan Metode Maksimum
Likelihood”.
3.1 Studi Literatur
Penelitian ini bersifat literatur dan melakukan studi kepustakaan
untuk mengkaji dan menelaah berbagai buku, jurnal, karya ilmiah, laporan
dan berbagai tulisan lainnya yang berkaitan dengan pokok permasalahan
yang dibahas dalam penelitian ini.
3.2 Metode Pengumpulan Data
Data yang digunakan pada penulisan skripsi ini adalah diperoleh dari
peneliatian Universitas Standford tentang penyakit Diabetes Mellitus tahun
2004 (https://web.stanford.edu/~hastie/Papers/LARS/diabetes.data). Pada
skripsi ini data dikelompokkan sesuai dengan kategori yang ditentukan
dengan mengambil sampel sebanyak 100 pasien. Faktor usia, jenis kelamin,
indeks massa tubuh, tekanan darah, dan 5 ukuran serum darah merupakan
variabel independen dari variabel dependenkadar gula darah penyakit
diabete mellitus. Tabel 3.1 menunjukkan variabel independen dan variabel
dependen.
Tabel 3.1 Variabel dependen
Variabel Nama Variabel Kode Keterangan
Dependen
Kadar Gula Darah Y 1 = Rendah (<100 mg/dl)
2 = Normal (100-140
mg/dl)
3 = Tinggi (>140 mg/dl)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
19
Tabel 3.2 Variabel independen
Independen Usia 𝑋1 Skala Rasio
Jenis Kelamin 𝑋2 1 = Laki-laki
2 = Perempuan
Indeks Massa
Tubuh
𝑋3 1 = Kurus (<18,5 kg)
2 = Ideal (18,5 – 24,9 kg)
3 = Gemuk (>24,9 kg)
Tekanan Darah 𝑋4 1 = Rendah (<100 mmHg)
2 = Normal (100-120
mmHg)
3 = Tinggi (>120 mmHg)
Tingkat Kolesterol 𝑋5 Skala Rasio
Low Density
Lipoprotein
𝑋6 Skala Rasio
High Density
Lipoprotein
𝑋7 Skala Rasio
Thyrocalcitonin
Hormone
𝑋8 Skala Rasio
Loss Trigliserida 𝑋9 Skala Rasio
3.3 Metode Pengolahan Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data yang
diambil dari penelitian sebelumnya. Banyaknya pengamatan yang
digunakan 100 pasien, Y = Kadar Gula Darah, 𝑋1 = Usia, 𝑋2 = Jenis
Kelamin, 𝑋3 = Indeks Massa Tubuh, 𝑋4 = Tekanan Darah, 𝑋5 = Tingkat
Kolestrol, 𝑋6 = Low Density Lipoprotein, 𝑋7 = High Density Lipoprotein,
𝑋8 = Thyrocalcitonin Hormone, 𝑋9 = Loss Trigliserida yang merupakan
regresi logistik multinomial.
Langkah kerja yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Pengumpulan literatur yang berasal dari buku dan jurnal
yang menunjang sumber ilmiah untuk penelitain. Tinjauan
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
20
literatur yang digunakan terbagi menjadi dua yaitu aspek
statistik dan aspek non- statistik.
2. Menentukan variabel dependen dan variabel independen
yang akan digunakan.
3. Mengestimasi parameter model regresi logistik multinomial
dengan bantuan Software SPSS 22.0
4. Melakukan Uji Simultan dan Uji Parsial
5. Melakukan Uji kebaikan model regresi logistik multinomial
dilakukan untuk menguji layak atau tidaknya model yang
dihasilkan.
6. Melakukan Uji Odd rasio untuk mengetahui resiko
kecenderungan suatu kategori terhadap kategorinya
7. Melakukan pemodelan regresi logistik multinomial
8. Kesimpulan dan Saran
3.4 Kerangka Penelitian
Studi Literatur
li Menentukan Variabel Dependen dan variabel Independen
Estimasi Parameter
Uji Simultan dan Uji Parsial
Pemodelan peluang persamaan regresi logistik multinomial
Uji Simultan dan Uji Parsial
Uji kebaikan model regresi logistik
multinomial
Uji Odd Rasio
Kesimpulan dan saran
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan disampaikan hasil beserta pembahasan
penyelesaian dari “Estimasi Parameter Regresi Logistik Multinomial
Menggunakan Metode Maksimum Likelihood”. Pembahasan meliputi
penjelasana regresi logistik multinomial, pendugaan parameter, uji
parameter, hingga pemodelannya dengan pendekatan refresi logistik
multinomial.
4.1 Regresi Logistik Multinomial
Model regresi logistik multinomial adalah model regresi logistik
dengan variabel independen lebih dari satu (Hosmer nad Lemeshow, 1989).
Untuk model regresi dengan variabel dependen berskala ordinal tiga
kategori digunakan kategori variabel hasil Y dikoding 1, 2, dan 3. Variabel
Y terparameterisasi menjadi tiga fungsi logit. Pengembangan model logit
multinomial dapat dijelaskan sebagai berikut.
Misalkan variabel dependen terdiri dari tiga kategori:
𝑃1 : Probabilitas memilih kejadian 1.
𝑃2 : Probabilitas memilih kejadian 2.
𝑃3 : Probabilitas memilih kejadian 3.
Diberikan sejumlah p variabel independen yang dinyatakan dengan
vektor x = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑝) dan diasumsikan masing-masing variabel
tersebut berskala interval maupun berskala rasio, maka model regresi
multinomial dinyatakan sebagai :
𝜋(𝑥𝑖) = 𝑒𝑔(𝑥𝑖)
1+𝑒𝑔(𝑥𝑖) , i = 1, 2, … , n;
dengan
𝑔(𝑥𝑖) = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
22
Atau model dapat ditulis sebagai:
𝜋(𝑥𝑖) = 𝑒
(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)
1+𝑒(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)
(4.1)
di mana,
𝜋(𝑥𝑖) = peluang saat variabel independen bernilai i pada data penelitian
e = eksponen
𝛽0 = konstanta
𝛽1, 𝛽2, … , 𝛽𝑛 = koefisien parameter variabel independen
𝑥𝑖1, 𝑥𝑖2, … , 𝑥𝑖𝑛 = variabel independen ke-ij, i = 1, 2, … , n, j = 1, 2, … , n.
Dengan demikian maka apabila variabel dependennya berupa 3
kategori yang diberi kode 1, 2, dan 3, maka persamaannya adalah sebagai
berikut:
1. P(Y =1|x) = 𝜋1(x)=
exp (𝛽10+ 𝛽11𝑥1+⋯+ 𝛽1𝑛𝑥𝑛)
1+exp(𝛽10+ 𝛽11𝑥1+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑛)+exp (𝛽20+ 𝛽21𝑥1+⋯+ 𝛽2𝑛𝑥𝑛)
(4.2)
2. P(Y=2|x)=𝜋2(x)=
exp (𝛽20+ 𝛽21𝑥1+⋯+ 𝛽2𝑛𝑥𝑛)
1+exp(𝛽10+ 𝛽11𝑥1+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑛)+exp (𝛽20+ 𝛽21𝑥1+⋯+ 𝛽2𝑛𝑥𝑛)
3. P(Y=3|x)=𝜋3(x)=
exp (𝛽30+ 𝛽31𝑥1+⋯+ 𝛽3𝑛𝑥𝑛)
1+exp(𝛽10+ 𝛽11𝑥1+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑛)+exp (𝛽20+ 𝛽21𝑥1+⋯+ 𝛽2𝑛𝑥𝑛)
Dari persamaan (4.2) dapat diketahui bahwa variabel dependen
dengan tiga kategori akan membentuk dua persamaan logit. Dari tiga
kategori akan ditentukan salah satu kategori dari variabel dependen
digunakan sebagai pembanding. Model regresi logistik dengan tiga
variabel dependen memiliki fungsi logit sebagai berikut:
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
23
𝑔1(x) = ln[𝜋1(𝑥)
𝜋3(𝑥)]
= 𝛽10 + 𝛽11𝑥1 + 𝛽12𝑥2 + … + 𝛽1𝑛𝑥𝑛
= x𝛽1 (4.3)
𝑔2(x) = ln[𝜋2(𝑥)
𝜋3(𝑥)]
= 𝛽20 + 𝛽21𝑥1 + 𝛽22𝑥2+ … + 𝛽2𝑛𝑥𝑛
= x𝛽2 (4.4)
(Hosmer dan Lemeshow, 2000)
4.2 Transformasi Logit pada Model Regresi Multinomial
Menurut Hosmer dan Lemeshow (2000) pada model regresi logistik
multinomial, untuk menghubungkan suatu fungsi nonlinear dengan fungsi
linear sehingga memudahkan dalam mengestimasi parameter 𝛽, diperlukan
transformasi logit ln[𝜋(𝑥𝑖)
1−𝜋(𝑥𝑖)]
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa:
ln[𝜋(𝑥𝑖)
1−𝜋(𝑥𝑖)] = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + 𝛽2𝑥𝑖2 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛
Bukti:
𝜋(𝑥𝑖) = 𝑒
(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)
1+𝑒(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)
dan
1 - 𝜋(𝑥𝑖) = 1 - 𝑒
(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)
1+𝑒(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)
=1+𝑒
(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)
1+𝑒(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)
−𝑒
(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)
1+𝑒(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
24
= 1
1+𝑒(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)
sehingga didapatkan
𝜋(𝑥𝑖)
1−𝜋(𝑥𝑖) =
𝑒(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)
1+𝑒(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)
÷1
1+𝑒(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)
= 𝑒
(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)
1+𝑒(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)
× (1 + 𝑒(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛))
= 𝑒(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)
ln[𝜋(𝑥𝑖)
1−𝜋(𝑥𝑖)] = ln 𝑒(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)
= 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + 𝛽2𝑥𝑖2 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛 (4.5)
Terbukti.
Jadi persamaan logit pada model regresi logistik multinomial adalah
g(𝑥𝑖) = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + 𝛽2𝑥𝑖2 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛 (4.6)
4.3 Maksimum Likelihood Estimasi
Misalkan terdapat sampel terdiri n observasi bebas yang
berpasangan yaitu (𝑥𝑖,𝑦𝑖), i =1, 2, 3, …, n. Dengan model regresi logistik
multinomial adalah 𝜋(𝑥𝑖) = 𝑒𝑔(𝑥𝑖)
1+𝑒𝑔(𝑥𝑖) dan fungsi kepadatan adalah f(𝑦𝑖;
𝜋(𝑥𝑖)) = (𝜋(𝑥𝑖))𝑦𝑖
.[1 − 𝜋(𝑥𝑖)]1−𝑦𝑖, i = 1, 2, 3, … , n dengan 𝑦𝑖 = 0, 1.
Maka dapat dibentuk fungsi likelihood sebagai berikut:
l(𝛽) = ∏ 𝑓[𝑦𝑖; 𝜋(𝑥𝑖)]𝑛𝑖=1
= ((𝜋(𝑥1))𝑦1[1 − 𝜋(𝑥1)]
1−𝑦1).((𝜋(𝑥2))𝑦2[1 − 𝜋(𝑥2)]
1−𝑦2) …
((𝜋(𝑥𝑛))𝑦𝑛[1 − 𝜋(𝑥𝑛)]
1−𝑦𝑛)
= ∏ (𝜋(𝑥𝑖))𝑦𝑖
. [1 − 𝜋(𝑥𝑖)]1−𝑦𝑖𝑛
𝑖=1 ), i = 1, 2, … , n (4.7)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
25
Dari persamaan (4.7) di atas untuk mempermudah dalam proses
perhitungan selanjutnya, maka dicari log likelihoodnya, karena akan
mencapai maksimum pada 𝛽 yang sama. Jadi persamaan (4.7) diatas dapat
diubah menjadi:
l(𝛽) = ln l(𝛽)
= ln(((𝜋(𝑥1))𝑦1[1 − 𝜋(𝑥1)]
1−𝑦1).((𝜋(𝑥2))𝑦2[1 −
𝜋(𝑥2)]1−𝑦2) … ((𝜋(𝑥𝑛))
𝑦𝑛[1 − 𝜋(𝑥𝑛)]1−𝑦𝑛))
= ln(𝜋(𝑥1))𝑦1
+ ln(1 − 𝜋(𝑥1)1−𝑦1 + … + ln(𝜋(𝑥2))
𝑦2
+ ln(1 − 𝜋(𝑥2)1−𝑦2 + … + (𝜋(𝑥𝑛))
𝑦𝑛 +
ln(1 − 𝜋(𝑥𝑛)1−𝑦𝑛
=∑ ln(𝜋(𝑥𝑖))𝑦𝑖𝑛
𝑖 + ∑ ln𝑛𝑖 (1 − 𝜋(𝑥𝑖)
1−𝑦𝑖
= ∑ (𝑛𝑖 𝑦𝑖 ln(𝜋(𝑥𝑖)) + ∑ (𝑛
𝑖 (1 − 𝑦𝑖)ln(1 − 𝜋(𝑥𝑛))
Dengan substitusi 𝜋(𝑥1) = 𝑒𝑔(𝑥𝑖)
1+𝑒𝑔(𝑥𝑖) , dimana g(𝑥𝑖) = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 +
… + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛 diperoleh
l(𝛽) = ∑ (𝑦𝑖𝑛𝑖=1 ln [
𝑒𝑔(𝑥𝑖)
1+𝑒𝑔(𝑥𝑖)] + (1 − 𝑦𝑖)ln [
1
1+𝑒𝑔(𝑥𝑖)])
𝑙(𝛽) = ∑ 𝑦𝑖(ln (𝑛𝑖 𝑒𝑔(𝑥𝑖)) − 𝑦𝑖 ln(1 + 𝑒𝑔(𝑥𝑖)) + (1 −
𝑦𝑖). (ln1 − ln(1 + 𝑒𝑔(𝑥𝑖))))
= ∑ (𝑦𝑖ln (𝑛𝑖 𝑒𝑔(𝑥𝑖)) − 𝑦𝑖 ln(1 + 𝑒𝑔(𝑥𝑖)) + (1 −
𝑦𝑖). (− ln(1 + 𝑒𝑔(𝑥𝑖))))
= ∑ (𝑦𝑖ln (𝑛𝑖 𝑒𝑔(𝑥𝑖)) − 𝑦𝑖 ln(1 + 𝑒𝑔(𝑥𝑖)) −
ln(1 + 𝑒𝑔(𝑥𝑖)) + 𝑦𝑖 ln(1 + 𝑒𝑔(𝑥𝑖)))
= ∑ (𝑦𝑖ln (𝑛𝑖 𝑒𝑔(𝑥𝑖)) − ln ln(1 + 𝑒𝑔(𝑥𝑖)))
= ∑ (𝑦𝑖𝑛𝑖 (𝑔(𝑥𝑖)) − ln ln(1 + 𝑒𝑔(𝑥𝑖)))
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
26
= ∑ (𝑦𝑖𝑛𝑖 (𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛) − ln (1 +
𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛))) (4.8)
Untuk memperoleh nilai estimator �̂�0, �̂�1, … , �̂�𝑛 yang
memaksimumkan l(𝛽), persamaan diatas dideferensialkan terhadap setiap
𝛽𝑛, 𝑛 = 0, 1, 2,… , 𝑛 yaitu :
l(𝛽) = ∑ (𝑛𝑖 𝛽0𝑦0 + 𝛽1𝑥𝑖1𝑦1 + ⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛𝑦𝑖 − ln(1 +
𝑒(𝛽0). 𝑒(𝛽1𝑥𝑖1) … 𝑒(𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)))
𝜕𝑙(𝛽)
𝜕𝛽0=∑ [𝑦𝑖 + 0 −𝑛
𝑖=1
(1
1+𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛) x 𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛) )]
= ∑ [𝑦𝑖 + 0 − (𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)
1+𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛) )]𝑛
𝑖=1
𝜕𝑙(𝛽)
𝜕𝛽1=∑ [0 + 𝑥𝑖1𝑦𝑖 −𝑛
𝑖=1
(1
1+𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛) x 𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛). 𝑥𝑖1 )]
=∑ [𝑥𝑖1𝑦𝑖 + 𝑥𝑖1𝑦1 −𝑛𝑖=1
(1
1+𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛) x 𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛). 𝑥𝑖1)]
𝜕𝑙(𝛽)
𝜕𝛽𝑛=∑ [𝑥𝑖𝑛𝑦𝑖 + 𝑥𝑖1𝑦1 −𝑛
𝑖=1
(1
1+𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛) x 𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛). 𝑥𝑖𝑛 )]
Karena j = 1, 2, … , n maka didapatkan
𝜕𝑙(𝛽)
𝜕𝛽𝑗=∑ [𝑥𝑖𝑗𝑦𝑖 + 𝑥𝑖1𝑦1 −𝑛
𝑖=1
(1
1+𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛) x 𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛). 𝑥𝑖𝑗)]
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
27
= ∑ [𝑥𝑖𝑗𝑦𝑖 − (𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)
1+𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛) . 𝑥𝑖𝑗)]
𝑛𝑖=1 (4.9)
Sehingga diperoleh persamaan likelihood:
1. ∑ [𝑦𝑖 (𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)
1+𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛) )]𝑛
𝑖=1 = 0 (4.10)
2. ∑ [𝑥𝑖𝑗𝑦𝑖 − (𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)
1+𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛) . 𝑥𝑖𝑗)]
𝑛𝑖=1 = 0 (4.11)
dengan j = 1, 2, … , n
Estimasi parameter β dari persamaan (2.12) diperoleh dengan
memaksimumkan 𝐿(𝛽). Yang perlu menjadi perhatian bahwa fungsi
logaritma bersifat monoton naik sehingga jika fungsi log-likelood mencapai
maksimum, maka fungsi likelihood juga akan mencapai maksimum (Hosmer
& Lemeshow, 2000). Namun sering sekali diperoleh hasil yang eksplisit,
sehingga dilakukan metode numerik untuk memperoleh estimasi
parameternya, yaitu metode iterasi Newton Raphson untuk memaksimumkan
fungsi likelihoodBerikut akan dilakukan perhitungan manual untuk
mengestimasi parameter menggunakan metode Newton Raphson dengan 3
kali iterasi menggunakan variabel respon kadar gula darah normal (𝑌) dan
variabel prediktor Tekanan Darah (𝑋4). Hasil perhitungan manual terdapat
pada Lampiran.
4.3.1 Iterasi Pertama
Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Menentukan nilai taksiran awal estimasi parameter �̂�.
𝛽𝑡 = 𝛽0 = [00]
2. Menghitung nilai 𝜋𝑖.
𝜋𝑖 =𝑒𝛽0+𝛽1𝑋𝑖
1 + 𝑒𝛽0+𝛽1𝑋𝑖
𝜋(𝑖=0) =𝑒(0)+(0)(0)
1 + 𝑒(0)+(0)(0)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
28
=𝑒(0)
1 + 𝑒(0)
= 0,5
𝜋(𝑖=1) =𝑒(0)+(0)(1)
1 + 𝑒(0)+(0)(1)
=𝑒(0)
1 + 𝑒(0)
= 0,5
3. Membentuk matriks turunan pertama 𝑔0(𝛽0).
𝛿𝐿
𝛿𝛽0
= ∑(𝑌𝑖 − 𝜋𝑖)
𝑛
𝑖=1
= −2
𝛿𝐿
𝛿𝛽1= ∑(𝑌𝑖 − 𝜋𝑖)𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
= −11
Maka, matriks turunan pertama yang terbentuk adalah:
𝑔0(𝛽0) = [−2−11
]
4. Membentuk matriks turunan kedua 𝐻0(𝛽0).
𝛿2𝐿
𝛿𝛽02 = −∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))
𝑛
𝑖=1
= −(25)
= −25
𝛿2𝐿
𝛿𝛽0𝛽1
= −∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
= −(35)
= −35
𝛿2𝐿
𝛿𝛽1𝛽0= −∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
= −(35)
= −35
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
29
𝛿2𝐿
𝛿𝛽12 = − ∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))
𝑛
𝑖=1
(𝑋𝑖)2
= −(57)
= −57
Maka, matriks Hessian yang terbentuk adalah
𝐻0(𝛽0) = [−25 −35−57 −35
]
5. Membentuk invers dari matriks Hessian.
(𝐻0(𝛽0))−1
= [0,0312 −0,0312
−0,0508 0,0223]
6. Perkalian invers matriks Hessian dan matriks turunan pertama.
(𝐻0(𝛽0))−1
(𝑔0(𝛽0)) = [0,0312 −0,0312
−0,0508 0,0223] [
−2−11
]
= [0,2812
−0,1437]
7. Iterasi dimulai dari 𝑡 = 0 dilakukan iterasi pada persamaan berikut:
𝛽𝑡+1 = 𝛽𝑡 − (𝐻𝑡(𝛽𝑡))−1
(𝑔𝑡(𝛽𝑡))
𝛽1 = 𝛽0 − (𝐻0(𝛽0))−1
(𝑔0(𝛽0))
= [00] − [
0,2812−0,1437
]
= [−0,28120,1437
]
8. Nilai 𝛽1 digunakan sebagai nilai taksiran awal pada iterasi kedua.
4.3.2 Iterasi Kedua
Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Menentukan nilai taksiran awal estimasi parameter �̂�.
𝛽𝑡 = 𝛽1 = [−0,28120,1437
]
2. Menghitung nilai 𝜋𝑖.
𝜋𝑖 =𝑒𝛽0+𝛽1𝑋𝑖
1 + 𝑒𝛽0+𝛽1𝑋𝑖
𝜋(𝑖=0) =𝑒(−1,035461)+(1,30819)(0)
1 + 𝑒(−1,035461)+(1,30819)(0)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
30
=𝑒(−1,035461)
1 + 𝑒(−1,035461)
= 0,4656
𝜋(𝑖=1) =𝑒(−1,035461)+(1,30819)(1)
1 + 𝑒(−1,035461)+(1,30819)(1)
=𝑒(0,272729)
1 + 𝑒(0,272729)
= 0,5015
3. Membentuk matriks turunan pertama 𝑔1(𝛽1).
𝛿𝐿
𝛿𝛽0
= ∑(𝑌𝑖 − 𝜋𝑖)
𝑛
𝑖=1
= −0,0031
𝛿𝐿
𝛿𝛽1= ∑(𝑌𝑖 − 𝜋𝑖)𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
= −9,3526
Maka, matriks turunan pertama yang terbentuk adalah
𝑔1(𝛽1) = [−0,0031−9,3526
]
4. Membentuk matriks turunan kedua 𝐻1(𝛽1).
𝛿2𝐿
𝛿𝛽02 = − ∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))
𝑛
𝑖=1
= −(24,9189)
= −24,9189
𝛿2𝐿
𝛿𝛽0𝛽1
= − ∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
= −34,9076
= −34,9076
𝛿2𝐿
𝛿𝛽1𝛽0= − ∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
= −(34,9076)
= −34,9076
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
31
𝛿2𝐿
𝛿𝛽12 = − ∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))
𝑛
𝑖=1
(𝑋𝑖)2
= −(56,8738)
= −56,8738
Maka, matriks Hessian yang terbentuk adalah
𝐻0(𝛽0) = [−24,9189 −34,9076−56,8738 −34,9076
]
5. Membentuk invers dari matriks Hessian.
(𝐻1(𝛽1))−1
= [0,0312 −0,0312
−0,0509 0,0223]
6. Perkalian invers matriks Hessian dan matriks turunan pertama.
(𝐻1(𝛽1))−1
(𝑔1(𝛽1)) = [0,0312 −0,0312
−0,0509 0,0223] [
−0,0031−9,3526
]
= [0,2925
−0,2087]
7. Iterasi untuk 𝑡 = 1 dilakukan iterasi pada persamaan berikut:
𝛽𝑡+1 = 𝛽𝑡 − (𝐻𝑡(𝛽𝑡))−1
(𝑔𝑡(𝛽𝑡))
𝛽2 = 𝛽1 − (𝐻1(𝛽1))−1
(𝑔1(𝛽1))
= [−0,28120,1437
] − [0,2925
−0,2087]
= [−0,57380,3525
]
8. Nilai 𝛽2 digunakan sebagai nilai taksiran awal pada iterasi ketiga.
4.3.3 Iterasi Ketiga
Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Menentukan nilai taksiran awal estimasi parameter �̂�.
𝛽𝑡 = 𝛽2 = [−0,57380,3525
]
2. Menghitung nilai 𝜋𝑖.
𝜋𝑖 =𝑒𝛽0+𝛽1𝑋𝑖
1 + 𝑒𝛽0+𝛽1𝑋𝑖
𝜋(𝑖=0) =𝑒(−1,1435)+(1,41794)(0)
1 + 𝑒(−1,1435)+(1,41794)(0)
=𝑒(−1,1435)
1 + 𝑒(−1,1435)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
32
= 0,4448
𝜋(𝑖=1) =𝑒(−1,1435)+(1,41794)(1)
1 + 𝑒(−1,1435)+(1,41794)(1)
=𝑒(0,27444)
1 + 𝑒(0,27444)
= 0,5327
3. Membentuk matriks turunan pertama 𝑔2(𝛽2).
𝛿𝐿
𝛿𝛽0= ∑(𝑌𝑖 − 𝜋𝑖)
𝑛
𝑖=1
= 0,0038
𝛿𝐿
𝛿𝛽1= ∑(𝑌𝑖 − 𝜋𝑖)𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
= −10,9933
Maka, matriks turunan pertama yang terbentuk adalah
𝑔2(𝛽2) = [0,0038
−10,9933]
4. Membentuk matriks turunan kedua 𝐻2(𝛽2).
𝛿2𝐿
𝛿𝛽02 = − ∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))
𝑛
𝑖=1
= −(24,7150)
= −24,7150
𝛿2𝐿
𝛿𝛽0𝛽1= − ∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
= −(34,5681)
= −34,5681
𝛿2𝐿
𝛿𝛽1𝛽0= − ∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
= −(34,5681)
= −34,5681
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
33
𝛿2𝐿
𝛿𝛽12 = − ∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))
𝑛
𝑖=1
(𝑋𝑖)2
= −(56,1617)
= −56,1617
Maka, matriks Hessian yang terbentuk adalah
𝐻2(𝛽2) = [−24,7151 −34,5681−56,1617 −34,5681
]
5. Membentuk invers dari matriks Hessian.
(𝐻2(𝛽2))−1
= [−0,2996 0,19090,1909 −0,1425
]
6. Perkalian invers matriks Hessian dan matriks turunan pertama.
(𝐻2(𝛽2))−1
(𝑔2(𝛽2)) = [−0,2996 0,19090,1909 −0,1425
] [0,0038
−10,9933]
= [−0.00280,0027
]
7. Iterasi untuk 𝑡 = 2 dilakukan iterasi pada persamaan berikut:
𝛽𝑡+1 = 𝛽𝑡 − (𝐻𝑡(𝛽𝑡))−1
(𝑔𝑡(𝛽𝑡))
𝛽3 = 𝛽2 − (𝐻2(𝛽2))−1
(𝑔2(𝛽2))
= [−0,57380,3525
] − [−0,00280,0027
]
= [−0,92350,6026
]
8. Maka nilai estimasi parameter untuk 𝛽0 = −0,9235 dan untuk 𝛽1 =
0,6026. Hasil tersebut telah sesuai dengan hasil pengolahan data
menggunakan SPSS 22.0 yang terdapat pada Lampiran.
4.4 Uji Parameter
Sebelum dilakukan uji parameter akan dilihat penduga parameter
menggunakan metode maximum likelihood. Hasil pendugaan parameter
disajikan dalam Tabel 4.1 berikut ini:
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
34
Tabel 4.1 Hasil Penduga Parameter
�̂� Wald Sig
Rendah 0,369 0,011 0,917
Normal 4,049 1,268 0,260
Usia 0,045 7,050 0,008
Gender 0,091 0,032 0,857
IMT 2,243 19,964 0,000
BP 0,478 0,134 0,715
Tc -0,001 0,820 0,365
LDL -0,024 5,890 0,015
HDL -0,012 0,497 0,481
TCH 0,202 2,890 0,027
LTG 0,603 1,207 0,089
Berdasarkan Tabel yang tersaji pada Lmapiran, diketahui variabel
independen mana yang berpengaruh terhadap variabel dependen dilihat dari
nilai signifikansi kurang dari ⍺ = 0,05. Variabel independen yang
berpengaruh adalah Usia, Indeks Massa Tubuh (IMT), Low Density
Lipoprotein (LDL), dan jenis serum Thyrocalcitonin Hormone (TCH).
Menggunakan variabel dependen kategori ke tiga yaitu kategori kadar
gula darah tinggi sebagai pembanding di dapatkan model regresi
logistik sebagai berikut:
𝑔1(𝑥) = 0,369 + 0,045𝑋1 + 2,243𝑋3 − 0,024𝑋6 + 0,202𝑋8
𝑔2(𝑥) = 4,049 + 0,045𝑋1 + 2,243𝑋3 − 0,024𝑋6 + 0,202𝑋8
Selanjutnya akan dilakukan uji parameter menggunakan uji simultan
atau uji G untuk mengetahui apakah taksiran parameter yang diperoleh
berpengaruh secara signifikan terhadap model atau tidak, dan seberapa
besar pengaruh masing-masing parameter tersebut terhadap model.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
35
4.4.1 Uji Simultan
Untuk mengetahui apakah modelnya signifikan dan bisa dilanjutkan
untuk uji berikutnya maka perlu dilakukan uji simultan seperti pada Tabel
4.2 berikut:
Tabel 4.2 Hasil Uji Simultan
Model -2 Log Likelihood Chi-Square df Sig.
Intercept Only 183,119
Final 142,483 40,636 10 .000
Berdasarkan Tabel yang tersaji pada Lampiran, diketahui bahwa
nilai signifikansinya lebih kecil dari ⍺= 0,05 sehingga dapat disimpulkan
bahwa model tersebut signifikan dan bisa dilakukan uji selanjutnya yaitu Uji
Parsial.
Hipotesis untuk Uji Simultan yaitu:
𝐻0 : Tidak ada satupun variabel independen yang secara statistik signifikan
mempengaruhi variabel dependen
𝐻1 : Minimal terdapat satu variabel independen yang secara statistik
signifikan mempengaruhi variabel dependen.
Tolak 𝐻0 : Jika nilai signifikansi lebih kecil dari ⍺ = 0,05 atau Chi Square
hitung lebih besar dari Chi Square tabel (db = k - 1)
4.4.2 Uji Parsial
Uji Parsial digunakan untuk mengetahui apakah ada pengaruh
masing-masing variabel independen terhadap variabel dependen.
Tabel 4.3 Hasil Uji Parsial untuk semua variabel
Variabel Chi-Square Sig Keterangan
Intersep 7,551 0,023 Tolak 𝐻0
Usia 10,889 0,004 Tolak 𝐻0
Jenis Kelamin 5,757 0,056 Terima 𝐻0
Indeks Massa Tubuh 21,270 0,000 Tolak 𝐻0
Tekanan Darah 4,252 0,119 Terima 𝐻0
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
36
Tabel 4.3 Hasil Uji Parsial untuk semua variabel
Variabel Chi-Square Sig Keterangan
Tingkat Kolestrol 2,471 0,291 Terima 𝐻0
LDL 0,346 0,041 Tolak 𝐻0
HDL 5,138 0,077 Terima 𝐻0
TCH 2,009 0,035 Tolak 𝐻0
LTG 4,382 0,112 Terima 𝐻0
NIlai likelihood ratio test dapat ditunjukkan oleh variabel
independen yang ada dalam model pada Tabel yang tersaji pada Lampiran,
dapat diketahui signifikansi untuk variabel usia, indeks massa tubuh, jenis
serum low density lipoprotein, dan jenis serum thyrocalcitonin hormone
kurang dari ⍺ = 0,05 yang berarti variabel tersebut lebih baik dalam
membentuk model dibandingkan dengan model yang hanya memasukan
konstanta.
Dari empat faktor yang berpengaruh dilakukan kembali uji parsial
dan didapatkan hasil sebagai berikut:
Tabel 4.4 Hasil Uji Parsial untuk variabel yang berpengaruh
Variabel Chi-Square Sig Keterangan
Intersep 6,245 0,044 Tolak 𝐻0
Usia 6,645 0,039 Tolak 𝐻0
Indeks Mssa
Tubuh
17,530 0,000 Tolak 𝐻0
LDL 6,006 0,022 Tolak 𝐻0
TCH 6,437 0,048 Tolak 𝐻0
Setelah dilakukan pengujian kembali pada variabel yang
berpengaruh, diketahui bahwa hasil yang diperoleh tidak jauh berbeda
dengan pengujian menggunakan seluruh variabel. Dari Tabel 4.3 dan Tabel
4.4 dapat diketahui bahwa tidak ada perbedaan pada uji parsial dengan
seluruh variabel dan uji parsial dengan hanya menggunakan variabel yang
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
37
berpengaruh sehingga tetap menggunakan seluruh variabel untuk model
terbaiknya.
Uji hipotesis untuk uji parsial adalah:
𝐻0 : Variabel independen ke- j secara statisik signifikan mempengaruhi
variabel dependen
𝐻1 : Variabel independen ke- j secara statistik tidak signifikan
mempengaruhi variabel dependen
Tolak 𝐻0:Jika nilai signifikansi untuk variabel ke- j lebih kecil dari (⍺ =
0,05) atau Chi-Square hitung lebih besar dari Chi-Square tabel (𝑑𝑏 = 𝑘 −
1)
4.5 Uji Kebaikan Model (goodness of fit)
Untuk mengetahui apakah keseluruhan variabel independen
memiliki pengaruh terhadap variabel dependen maka perlu dilakukan uji
kebaikan model (goodness of fit) dengan Uji Pearson dan hasilnya akan
ditampilkan pada Tabel 4.5 berikut ini:
Tabel 4.5 Hasil Uji Kebaikan Model
Chi-Square Df Sig
Pearson 175,386 188 0,736
Deviance 142,483 188 0,994
hipotesis yang diuji adalah:
𝐻0 : model layak digunakan atau model sesuai
𝐻1 : model tidak layak digunakan atau model tidak sesuai
Berdasarkan Tabel yang tersaji pada Lampiran, diketahui bahwa
nilai p-value dari Pearson sebesar 0,736 lebih besar dari ⍺ = 0,05 jadi 𝐻0
diterima dan model layak digunakan atau model sesuai
4.6 Koefisien Determinasi
Nilai koefisien determinasi dapat diketahui dari nilai Mc Fadden,
Cox and snell dan Nagelkerke seperti pada Tabel 4.6 berikut ini:
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
38
Tabel 4.6 Hasil Koefisien Determinasi
Cox and Snell 0,330
Nagelkerke 0,393
Mc Fadden 0,219
Berdasarkan Tabel yang tersaji pada Lampiran, diketahui bahwa
nilai Cox and Snell sebesar 0,33, nilai Nagelkerke sebesar 0,393 dan nilai
Mc Fadden sebesar 0,219. Artinya variabel bebas nya mampu menjelaskan
variabel terikat sebesar 31,4%.
Faktor-faktor yang berpengaruh secara signifikan diuji kembali dan
didapatkan hasil seperti pada Tabel 4.7 berikut ini:
Tabel 4.7 Uji Koefisien Determinasi untuk Variabel yang Berpengaruh
Cox and Snell 0,251
Nagelkerke 0,299
Mc Fadden 0,157
Dari Tabel yang tersaji pada Lampiran, dapat diketahui bahwa nilai
Cox and Snell sebesar 0,251, nilai Nagelkerke sebesar 0,299 dan nilai Mc
Fadden sebesar 0,157. Artinya variabel bebas nya mampu menjelaskan
variabel terikat sebesar 23,5%
Berdasarkan Tabel 4.6 dan Tabel 4.7 diketahui bahwa nilai koefisien
determinasi menggunakan seluruh variabel lebih besar dari nilai koefisien
determinasi yang hanya menggunakan variabel yang berpengaruh.
4.7 Pemodelan Regresi Logistik Multinomial
Dapat dibentuk model logit terbaik regresi logistik multinomial pada
contoh kasus diabetes mellitus. Dari persamaan (4.3) dan (4.4) akan
didapatkan:
Logit 1
𝑔1(x) = ln[𝜋1(𝑥)
𝜋3(𝑥)]
𝑔1(𝑥) = 0,369 + 0,045𝑋1 + 2,243𝑋3 − 0,024𝑋6 + 0,202𝑋8
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
39
Dengan Logit 1 merupakan log perbandingan antara peluang kadar
gula darah rendah terhadap kadar gula darah tinggi pada penyakit diabetes
mellitus.
Demikian pula fungsi logit 2:
Logit 2
𝑔2(x) = ln[𝜋2(𝑥)
𝜋3(𝑥)]
𝑔2(𝑥) = 4,049 + 0,045𝑋1 + 2,243𝑋3 − 0,024𝑋6 + 0,202𝑋8
Dengan Logit 2 merupakan log perbandingan antara peluang kadar
gula darah normal terhadap kadar gula tinggi pada penyakit diabetes
mellitus.
Dari model di atas didapatkan interpretasi yaitu:
1. Setiap penambahan usia satu tahun, maka akan meningkatkan kadar
gula darah sebanyak 0,045 mmHg, apabila Indeks Massa Tubuh, Low
Density Lipoprotein, dan Thyrocalcitonin Hormone tetap.
2. Setiap penambahan berat badan satu kilogram, maka akan
meningkatkan kadar gula darah sebanyak 2,243 mmHg, apabila usia, Low
Density Lipoprotein, dan Thyrocalcitonin Hormone tetap.
3. Setiap penambahan Low Density Lipoprotein mmol/L, maka
meningkatkan kadar gula darah sebanyak 0,024 mmHg, apabila usia, Indeks
Massa Tubuh, dan Thyrocalcitonin Hormone tetap.
4. Setiap penambahan variabel Thyrocalcitonin Hormone satu mIU/L,
maka akan menigkatkan kadar gula darah sebanyak 0,202 mmHg, apabila
usia, Indeks Massa Tubuh, dan Low Density Lipoprotein tettap.
5. Jika usia, Indeks Massa Tubuh, Low Density Lipoprotein, dan
Thyrocalcitonin Hormone sama dengan 0, maka kadar gula darah rendah
sebesar 0,369 dan kadar gula darah normal sebesar 4,049.
4.8 Interpretasi Model
Apabila model telah diuji dan hasilnya modelnya baik serta
signifikansinya nyata maka data tersebut dapat diinterpretasikan dengan
menggunakan uji odds ratio seperti pada Tabel 4.8 berikut ini:
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
40
Tabel 4.8 Hasil Uji Odds Ratio
Kadar Glukosa Variabel Sig Odds Ratio
Rendah Usia 0,007 0,869
IMT 0,029 9,585
LDL 0,038 1,014
TCH 0,018 4,420
Normal Usia 0,019 0,969
IMT 0,000 9,226
LDL 0,048 0,999
TCH 0,039 1,599
Berdasarkan tabel yang tersaji pada Lampiran, dapat diketahui :
1. Uji odd ratio untuk usia adalah semakin bertambahnya usia pada
penderita kadar gula darah rendah maka peluang seseorang menderita
diabetes mellitus lebih kecil 0,869 kali dibanding penderita kadar gula darah
tinggi. Sedangkan pada penderita kadar gula darah normal maka peluang
seseorang menderita diabetes mellitus lebih kecil 0,969 kali dibanding
penderita kadar gula darah tinggi.
2. Uji odd ratio untuk IMT adalah semakin bertambahnya berat badan
pada penderita kadar gula darah rendah maka peluang seseorang menderita
diabetes mellitus lebih besar 9,585 kali dibanding penderita kadar gula
darah tinggi. Sedangkan pada penderita kadar gula darah normal maka
peluang seseorang menderita diabetes mellitus lebih besar 9,226 kali
dibanding penderita kadar gula darah tinggi.
3. Uji odd ratio untuk LDL adalah semakin tinggi kadar LDL pada
penderita kadar gula darah rendah maka peluang seseorang menderita
diabetes mellitus lebih besar 1,014 kali dibanding penderita kadar gula
darah tinggi. Sedangkan pada penderita kadar gula darah normal maka
peluang seseorang menderita diabetes mellitus lebih kecil 0,999 kali
dibanding penderita kadar gula darah tinggi.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
41
4. Uji odd ratio untuk TCH adalah semakin tinggi kadar TCH pada
penderita kadar gula darah rendah maka peluang seseorang menderita
diabetes mellitus lebih besar 4,420 kali dibanding penderita kadar gula
darah tinggi. Sedangkan pada penderita kadar gula darah normal maka
peluang seseorang menderita diabetes mellitus lebih besar 1,599 klai
dibanding penderita kadar gula darah tinggi. Berdasarkan hasil uji odd ratio
diketahui besarpeluang seseorang dengan kadar gula darah rendah, normal
dan tinggi menderita diabetes mellitus.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan analisis dan pembahasan pada kasus kadar gula darah
pasien penyakit diabetes mellitus menggunakan regresi logistik multinomial
diperoleh kesimpulan bahwa dari 9 variabel independen yang diteliti, hanya
4 faktor saja yang signifikan mempengaruhi kadar gula darah pasien
penyakit diabetes mellitus. Model regresi logistik multinomial yang
didaptkan yaitu 𝑔1(𝑥) = 0,369 + 0,045𝑋1 + 2,243𝑋3 + 0,024𝑋6 +
0,202𝑋8 dan 𝑔2(𝑥) = 4,049 + 0,045𝑋1 + 2,243𝑋3 + 0,024𝑋6 +
0,202𝑋8. Faktor yang paling mempengaruhi kadar gula darah pasien
penyakit diabetes mellitus adalah usia (𝑥1), Indeks Massa Tubuh (IMT)
(𝑥3), Low Density Lipoprotein (LDL) (𝑥6), dan jenis serum Thyrocalcitonin
Hormone (TCH) (𝑥8).
5.2 Saran
Sebagai saran yang ditujukan kepada pembaca yang ingin
menyelesaikan estimasi parameter regresi logistik multinomial agar dapat
mengembangkan lebih luas lagi dengan menggunakan metode yang berbeda
dari penelitian yang penulis lakukan. Pada penelitian ini terbatas pada cara
mengestimasi parameter menggunakan metode maximum likelihood.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Daftar Pustaka
Agresti, Alan. 1990. Categorical Data Analysis, John Willey & Sons Inc.,
New York
Agresti, Alan. 2002, Categorical Data Analysis Second Edition, John Wiley
& Sons Inc., New York.
Agresti, Alan. 2007. An Introduction to Categorical Data Analysis. John
Wiley & Sonc Inc., New York
Bradley Efron, Trevor Hastie, Iain Johnstone and Robert Tibshirani. 2004.
Least Angle Regression. Statistics Department Stanford University.
Research Papers, Vol 32 No. 2. Pp-407-408.
Gudono. 2011. Analisis Data Multivariat. Yogyakarta: BPFE – Yogyakarta.
Anggota IKAPI.
Gunardi. 1999. Metode Statistik. Yogyakarta: FMIPA Universitas Gadjah
Mada.
Hayati, Erna. 2014. Analisis Regresi Logistik untuk Mengetahui Faktor-
Faktor yang Mempengaruhi Frekuensi Kedatngan Pelanggan di Pusat
Perbelanjaan “X”. Jurnal Ekbis, Vol 12 No. 3.
Hosmer, D. W., dan Lemeshow, S. 1989. Applied Logistic Regression. John
Wiley & Sons Inc., New York.
Hosmer, D.W., dan Lemeshow, S. 2000. Applied Logistic Regression. John
Wiley & Sons Inc., New York.
Kurniasari, Lia, Eni Sumarminingsih, dan Solimun. 2013. Pemodelan
Regresi Logistik Dan Regresi Probit Pada Variabel Bebas
Multinomial. Jurnal Matematika. Pp-309-310
Montgomery, Douglas, Elisabateh Peck, dan G. Geoffrey Vining. 1992.
Introduction to Linear Regreession Analysis. John Willey & Sons
Inc., New York
Powers, M.A. 2010. Metabolic Diseases: Advances in Research and
Treatment. Journal of the American Dietetic Association. USA
Sudjana. 1997. Metode Statistika. Bandung: PT. Tarsito Bandung.
Suharjo, Bambang. 2008. Analisis Regresi Terapan dengan SPSS.
Yogyakarta: Graha Ilmu.
Supangat, Andi. 2007. Statistika: dalam Kajuan Deskriptif, inferensi, dan
nonparametrik. Jakarta: Kencana.
Usman, Husaini, dan Akbar, Purnomo Setiady. 2006. Pengantar Statistika.
Jakarta: Bumi Aksara.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
44
Widarjono, Agus. 2010. Amalisis Multivariat Terapan. Yogyakarta:
Sekolah Tinggi Ilmu Manajemen YKPN.
Zulkifli, Moch. Jeffry Maulana. 2014. Pendekatan Regresi Logistik
Multinomial Pada Klasifikasi Pemilihan Jurusan Siswa SMA Negeri
5 Malang. Jurnal Mahasiswa Statistik, Vol 2 No 5. Pp-349-352.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
LAMPIRAN
Lampiran 1. Metode Newton Raphson
Iterasi Pertama
Y X 𝝅𝟏 𝜹𝑳
𝜹𝜷𝟎
𝜹𝑳
𝜹𝜷𝟏
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟎𝟐
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟎𝜷𝟏
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟏𝜷𝟎
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟏𝟐
1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 3 0,5 -0,5 -1,5 0,25 0,75 0,75 2,25
1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
46
Iterasi Pertama Lanjutan
Y X 𝝅𝟏 𝜹𝑳
𝜹𝜷𝟎
𝜹𝑳
𝜹𝜷𝟏
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟎𝟐
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟎𝜷𝟏
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟏𝜷𝟎
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟏𝟐
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 3 0,5 -0,5 -1,5 0,25 0,75 0,75 2,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 3 0,5 -0,5 -1,5 0,25 0,75 0,75 2,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 3 0,5 -0,5 -1,5 0,25 0,75 0,75 2,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
47
Iterasi Pertama Lanjutan
Y X 𝝅𝟏 𝜹𝑳
𝜹𝜷𝟎
𝜹𝑳
𝜹𝜷𝟏
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟎𝟐
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟎𝜷𝟏
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟏𝜷𝟎
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟏𝟐
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
-2 -11 25 35 35 57
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
48
Iterasi Kedua
Y X 𝝅𝟏 𝜹𝑳
𝜹𝜷𝟎
𝜹𝑳
𝜹𝜷𝟏
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟎𝟐
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟎𝜷𝟏
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟏𝜷𝟎
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟏𝟐
1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 3 0,53743 -0,53743 -1,61229 0,248599 0,745797 0,745797 2,237391
1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
49
Iterasi Kedua Lanjutan
Y X 𝝅𝟏 𝜹𝑳
𝜹𝜷𝟎
𝜹𝑳
𝜹𝜷𝟏
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟎𝟐
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟎𝜷𝟏
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟏𝜷𝟎
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟏𝟐
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 3 0,53743 -0,53743 -1,61229 0,248599 0,745797 0,745797 2,237391
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 3 0,53743 -0,53743 -1,61229 0,248599 0,745797 0,745797 2,237391
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 3 0,53743 -0,53743 -1,61229 0,248599 0,745797 0,745797 2,237391
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
50
Iterasi Kedua Lanjutan
Y X 𝝅𝟏 𝜹𝑳
𝜹𝜷𝟎
𝜹𝑳
𝜹𝜷𝟏
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟎𝟐
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟎𝜷𝟏
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟏𝜷𝟎
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟏𝟐
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
-0,00318 -9,35262 24,918931 34,907644 34,907644 56,87386
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
51
Iterasi Ketiga
Y X 𝝅𝟏 𝜹𝑳
𝜹𝜷𝟎
𝜹𝑳
𝜹𝜷𝟏
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟎𝟐
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟎𝜷𝟏
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟏𝜷𝟎
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟏𝟐
1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 3 0,618628 -0,61863 -1,85588 0,235927 0,707782 0,707782 2,123346
1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
52
Iterasi Ketiga Lanjutan
Y X 𝝅𝟏 𝜹𝑳
𝜹𝜷𝟎
𝜹𝑳
𝜹𝜷𝟏
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟎𝟐
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟎𝜷𝟏
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟏𝜷𝟎
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟏𝟐
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 3 0,618628 -0,61863 -1,85588 0,235927 0,707782 0,707782 2,123346
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 3 0,618628 -0,61863 -1,85588 0,235927 0,707782 0,707782 2,123346
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 3 0,618628 -0,61863 -1,85588 0,235927 0,707782 0,707782 2,123346
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
53
Iterasi Ketiga Lanjutan
Y X 𝝅𝟏 𝜹𝑳
𝜹𝜷𝟎
𝜹𝑳
𝜹𝜷𝟏
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟎𝟐
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟎𝜷𝟏
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟏𝜷𝟎
𝜹𝟐𝑳
𝜹𝜷𝟏𝟐
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0,003888 -10,9933 24,71505 34,56814 34,56814 56,16173
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
54
Lampiran 2. Data Pasien Penyakit Diabete Mellitus
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
55
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
56
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
57
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
58
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
59
Lampiran 3. Output SPSS untuk Pendugaan Parameter
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
60
Lampiran 4. Output SPSS untuk Uji Simultan
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
61
Lampiran 5. Output SPSS untuk Uji Parsial (Wald)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
62
Lampiran 6. Output SPSS untuk Uji Kebaikan Model
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
63
Lampiran 7. Output SPSS untuk Uji Koefisien Determinasi
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
64
Lampiran 8. Output SPSS untuk Uji Odd Ratio
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA