ESTUDO DE TRIGONOMETRIA COM O USO DO
SOFTWARE GEOGEBRA
Por um ponto situado fora de uma reta se pode traçar uma e somente uma reta paralela a reta
dada.
Ricardo Augusto de Oliveira.
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ISBN 978-85-8196-075-3 IMPRESSO
RICARDO AUGUSTO DE OLIVEIRA
ESTUDO DE TRIGONOMETRIA COM O USO DO
SOFTWARE GEOGEBRA
1° edição
Barra do Bugres
Edição do autor
2012
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ISBN 978-85-8196-075-3 IMPRESSO
RICARDO AUGUSTO DE OLIVEIRA
ESTUDO DE TRIGONOMETRIA COM O USO DO
SOFTWARE GEOGEBRA
OLIVEIRA, R A d. Estudo de trigonometria com o uso do software geogebra, 2012, Barra do Bugres –MT editora Perse,
edição do autor.
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ISBN 978-85-8196-075-3 IMPRESSO
1°. Edição Editor: Ricardo Augusto de Oliveira Revisão: Ricardo Augusto de Oliveira Diagramação: Ricardo Augusto de Oliveira Capa: Ricardo Augusto de Oliveira Impressão: Gráfica Perse Imagem da capa: Ricardo Augusto de Oliveira Imagens: Ricardo Augusto de Oliveira
Dados internacionais de Catalogação na Publicação ( CIP ) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Oliveira, Ricardo Augusto de Estudo de Estudo de trigonometria o uso do software geogebra / Ricardo Augusto de Oliveira, 1° ed -- Barra do Bugres: Editora Perse, Edição do autor, 2012-09-04 Obra em 1 v. V. 1 1° ed. Bibliografia.
1. Matemática 2. Matemática – Educação 2. 1. Titulo
ISBN N° 978-85-8196-075-3 CDD 510
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DEDICATORIA
Em primeiro lugar a Deus.
O ser superior, que nos proporcionou anos de saúde e paz interior para superar as dificuldades
encontradas no decorrer do curso.
Agradecemos ainda a nossas famílias, que nos momentos difíceis nos apoiaram e nos tranquilizaram na
harmonia de nossos lares.
Ao Professor Ms° Doutorando William Vieira que muito influenciou como orientador parceiro de todas
as horas.
Aos colegas de pesquisa Tatiane Andrade e Ana Márcia, que estiveram unidos durante todo este trabalho
de estudos na UNEMAT dando idéias e informações preciosas que me valeram na construção desta
coleção.
A minha maravilhosa esposa que muito me auxiliou, deu força e se esforçou para que eu não desistisse
deste projeto que nada mais é do que uma realização pessoal.
Enfim a todas as pessoas, que de maneira direta ou indiretamente, contribuíram para a conclusão do curso
de Licenciatura Plena em Matemática dos autores, antes um sonho e agora com a conclusão desse
trabalho se torna uma realidade em nossas vidas.
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Conteúdo
INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 8
TRIGONOMETRIA: .................................................................................................... 10
Triângulo retângulo: ..................................................................................................... 10
Exercícios: .................................................................................................................... 21
Propriedades do triangulo retângulo: ............................................................................ 22
Exercícios: .................................................................................................................... 41
ARCO CURVA NO PLANO OU CIRCUNFERÊNCIA?: .......................................... 42
Exercícios: ................................................................................................................... 56
CIRCULO TRIGONOMÉTRICO: ....................................................................................... 57
Exercícios: ..................................................................................................................... 72
Diferentes Arcos ........................................................................................................... 72
Exercícios: ..................................................................................................................... 80
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: .................................................................................... 81
Exercícios: ..................................................................................................................... 97
PRIMEIRA RELAÇÃO FUNDAMENTAL TRIGONOMETRIA .............................................. 98
Exercícios: ................................................................................................................... 102
SEGUNDA RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA e A F(X) COTANGENTE .. 103
Exercícios: ....................................................................................................... 110
ESTUDOS DOS SINAIS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. ........................................ 111
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INTRODUÇÃO
Este livro diz a uma coleção que ainda não está totalizada e que trata de trigonometria, geometria plana,
analítica, vetorial, calculo álgebra, e outros temas do curso de matemática, diz respeita ainda ao objetivo
do autor em publicar materiais que ajude professores e alunos a perceber de maneira mais simples
possível que o uso de softwares como o geogebra muito podem ajudar no ensino e no estudo da
matemática, de aplicar suas experiência apreendidas durante o projeto de iniciação científica vivenciada
na UNEMAT de Barra do Bugres, onde se discutia o uso do software GEOGEBRA e do Ambiente
TELEDUC para a formação continuada de professores.
Neste contexto surge em meio das discussões referentes à qualidade do material, a possibilidade de se
aplicar cursos de geometria plana, analítica, vetorial e de trigonometria com o uso do software
GEOGEBBRA por meio da plataforma de ensino TELEDUC, tanto a professores de matemática
(enfatizando o uso deste recurso que é o software)quanto para alunos de ensino fundamental e médio
(enfatizando a construção de conceitos geométricos), em fim.
Este livro propõe em linguajar misto (matemático cientifico e popular) por meio da transposição didática,
alcançar tanto a professores quanto a alunos para os objetivos acima especificados, dando maior ênfase ao
segundo, de modo que não fique simples de mais para professores ou complicado de mais para alunos
sem muita experiência.
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Esta coleção ainda, da mais ênfase as demonstrações dos conceitos geométricos e na forma de como as
construir com os recursos do GEOGEBRA, e por isso se justifica a quantidade de passo a passo
exemplificados neste material.
No entanto é importantíssimo que o leitor antes de se aventurar neste fascículo, passear nos manuais do
software geogebra, fazer pequenas atividades de reconhecimento do software, e estar em acesso a bons
materiais (impressos ou virtuais) de trigonometria para que possa acompanhar cada detalhe deste material
que não é nem fácil de mais e nem mesmo muito complicado, servindo assim para o estudo de alunos e
professores sem grande distanciamento de público.
Esperamos que o mesmo fosse de muita utilidade tanto para os que gostam da disciplina e buscam formas
de estudá-las ou transpor seus conceitos fundamentais, quanto para iniciantes em cursos de matemática,
seja no ensino fundamental, médio graduação ou continuada.
Estaremos sempre dispostos a receber correções criticas e opiniões de nossos leitores.
Que Deus lhe abençoe com esta leitura.
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TRIGONOMETRIA:
Trigonometria, esta área do conhecimento matemática possui uma infinidade de aplicações práticas.
Como já se sabe, desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis (para
a época) de serem calculadas por métodos comuns, como por exemplo: determinar a altura de uma
pirâmide, medida da distancia da terra a lua, o volume de uma esfera ou um cilindro, dentre outras
atividades, a largura de um riu, e outras atividades.
Desta forma, propõe neste fascículo uma abordagem geral quanto aos conteúdos estudados em
trigonometria tanto do ensino fundamental quanto do ensino médio, embasados em materiais pesquisados
e selecionados nos mais diversos sites seguros e reconhecidos e livros conceituados como, por exemplo:
site SÓMATEMÁTICA. MATEMÁTICA ESSESSIAL, livros coleção FUNDAMENTOS DA
MATEMÁTICA ELEMENTAR, e outros, tratando-os de maneira a geometrizar seus conceitos e aplicá-
los no software geogebra, não como aplicação de modelagem e sim na tentativa de conceituar seu estudo.
Triângulo retângulo:
Um triângulo retângulo é um triângulo que contem um de seus ângulos internos tenha medida de 90° ou
ângulo reto (ângulo de noventa graus), sendo que uma de suas características é que dado um triângulo
retângulo qualquer dois de seus ângulos são complementares, pois independente de seus valores, eles
somados sempre formarão um ângulo reto.
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Perceba isto em sua construção: abra o software geogebra excluindo-se a janela de álgebra e os eixos de
fundo.
Com a ferramenta “reta definida por dois pontos” crie uma reta AB qualquer depois com a ferramenta
“reta perpendicular” clique no ponto A da reta criada e na reta AB para que se gere uma reta
perpendicular a reta AB passando por B, em seguida com a ferramenta “novo ponto” clique na reta
perpendicular gerada e na reta AB de modo que se gere o ponto C pertencente a esta reta e não pertinente
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a reta AB e por fim, novamente com a ferramenta “reta definida por dois pontos” clique no ponto C e no
Ponto A criando assim a reta CA.
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Perceba que a reta BC criada passando por B não é uma reta qualquer, é uma reta (perpendicular) ou seja,
dada duas retas (a) e (b), seja (a) perpendicular a (b), essas retas Forman juntas um 90° graus e um
externo de 270°, sendo assim, a reta BC passando em B da reta AB é perpendicular a reta AB, formando
assim o ângulo reto do triângulo retângulo ABC.
Para ver isto no software, use a ferramenta “ângulo” e clique seguidamente nos pontos CBA e depois nos
pontos ABC, encontrando assim os ângulos de 270° e 90° respectivamente.
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Caso os valores não estejam aparecendo clique com o botão direito do mouse no objeto e escolha a opção
exibir rótulo,ou ainda em propriedades e escolha a opção “básica”, “exibir rótulo”, e escolha “nome e
valo”, então é só clicar em “fechar” opção logo abaixo da janela de propriedades que você acaba de abrir.
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