EXTENSIVO – APOSTILA 03 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA A
AULA 07
01)
f(2x) = 2 ∙ (2x) + 2 f(2x) = 4x + 2 2 · f(x)
g(2x) = 2 ∙ (2x) g(2x) = 4x = 2 ∙ g(x)
h(2x) = 2 ∙ (2x) – 2 h(2x) = 4x – 2 2 · h(x)
02)
Se é uma função linear, pode-se escrever como f(x) = a · x.
Se passa pelo ponto P(–2, 6), então, f(–2) = 6. Assim:
f(–2) = 6
a · (–2) = 6
a = –3
f(x) = –3x
03)
Gráfico é uma reta, ou seja, é uma função afim. Assim, f(x) = ax + b.
(–1, 2) f(–1) = 2 a · (–1) + b = 2 –a + b = 2
(5, 3) f(5) = 3 a ∙ 5 + b = 3 5a + b = 3
Resolve-se então o sistema:
a b 2
5a b 3
16a 1 a
6
1 13b 2 b
6 6
Tem-se então que a função f(x) fica 1 13
f(x) x6 6
04)
1 1
t 1 a t a24 21
21t 21 24t
t 7 anos
AULA 08
01)
Para uma função quadrática tem-se:
1
2
bx
2af(x) 0
bx
2a
Sabe-se que a abscissa do vértice (xv) é a média aritmética entre as raízes, assim:
1 2v
v
v
v
v
v
x xx
2
b b
2a 2ax
2
b b
2ax2
2b
2ax2
b
ax2
bx
2a
Para o cálculo da ordenada do vértice (yv), faz-se:
v v
2
v v v
2
v
2 2
v 2
2 2 2
v 2
2 2
v 2
2
v
v
y f(x )
y a x b x c
b by a b c
2a 2a
ab by c
2a4a
ab 2ab 4a cy
4a
a b 2b 4acy
4a
b 4acy
4a
y4a
02)
1
2
1 2v
v
v
v
v
v
bx
2af(x) 0
bx
2a
x xx
2
b b
2a 2ax
2
b b
2ax2
2b
2ax2
b
ax2
bx
2a
03)
f(x) é uma função quadrática com concavidade para baixo, ou seja, o conjunto
imagem é definido por Im (f) : ]-,yv].
Cálculo do yv:
v
2
v
v
y4a
4 4 2 0y
4 2
y 2
Assim, tem-se que Im(f) : ]-,2]
04)
S(a) = a ∙ (10 – a)
S(a) = 10a – a2
Área Máxima acontecerá no valor de “a” correspondente ao vértice da parábola
definida por S(a), ou seja:
10
a2 1
a 5
As dimensões do retângulo são, então: 5 cm x 5 cm.
AULA 09
01)
1 2
2
2 1
2
2
c.q.d
1 2
2
1 2 1 2
f x a x – x x – x
f x a. x – xx – xx x x
f x a. x – x x x x x
b cf(x) a x x
a a
f(x) ax bx c
02)
As raízes são –2 e 1 e o gráfico passa pelo ponto (0, –4).
Pela forma fatorada, tem-se:
f(x) = a · (x – x1) · (x – x2)
f(x)=a ∙ (x + 2) · (x – 1)
Sendo f(0) = –4, tem-se:
a ∙ (0 + 2) ∙ (0 – 1) = –4
a = 2
Conclui-se então que a função f(x) é:
f(x) = 2 ∙ (x + 2) ∙ (x – 1)
f(x) = 2x2 + 2x – 4
03)
Considerando o “Novo Eixo”, a parábola representa uma função com raízes 20 e
100 e que passa pelo ponto (60, –8). Assim:
C(v) = a ∙ (v – 20) ∙ (v – 100)
C(60) =a ∙ (60 – 20) ∙ (60 – 100)
–8 = –1 600 ∙ a
a = 0,005
Assim,
C(v) = 0,005 · (v – 20) ∙ (v – 100)
Para v = 120, tem-se:
C(120) = 0,005 ∙ (120 – 20) ∙ (120 – 100)
C(120) = 10
O valor de C solicitado no enunciado precisa ser calculado em relação ao eixo
original, então:
C = 16 + C · (120)
C = 16 + 10
C = 26
EXTENSIVO – APOSTILA 03 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA B
AULA 07
01)
1S 4 6 sen30º
2
1S 12
2
S 6 u.a
02)
a)
2 2 2
2
2
d 5 8 2 5 8 cos60º
1d 25 64 80
2
d 89 40
d 7 cm
b)
2
1S 2 5 8 sen60º
2
3S 40
2
S 20 3 cm
03)
Os lados são:
a = 3 m
b = 5 m
c = 6 m
a)
2
a b c 3 5 6p p p 7 m
2 2
S p p a p b p c
S 7 7 3 7 5 7 6
S 56
S 2 14 m
b)
S p r
2 14 7 r
2 14r m
7
c)
a b cS
4 R
3 5 62 14
4 R
45 14R
4 14 14
45 14R m
56
AULA 08
01)
Do triângulo PQS, tem-se:
3sen60º
QS
3 3QS 2
2 QS
kcos60º
2
1 k
2 2
k 1
Do triângulo PQR, tem-se:
2
2 2QR 12 3
QR 147
QR 7 3
Do triângulo RSQ, tem-se:
1 12 11 sen120º 2 7 3 sen
2 2
311 7 3 sen
2
11sen
14
02)
a)
Pela Lei dos Cossenos, tem-se:
2 2 2
2
2
x 30 50 2 30 50 cos120º
1x 900 2 500 3 000
2
x 4 900
x 70 m
Pelo Teorema de Tales, tem-se:
50 35
y 49m70 y
b)
Pela Semelhança de Triângulos, tem-se:
R 50 y
30 50
R 99 297R m
30 50 5
Cálculo do perímetro:
PER 2R R3
(6 ) 297PER
3 5
99PER (6 )m
5
03)
c – 1 + b – 1 = 10
b + c = 12 cm
S = p ∙ r
S = (10 + b + c) ∙ 1
S = (10 + 12) ∙ 1
S = 22 cm2
AULA 09
01)
Os valores serão assim distribuídos:
kA
2
kB
3
kC
4
kD
3
kE
6
Pelo valor total, obtém-se:
A B C D E 3 800
k k k k k3 800
2 3 4 3 6
6k 4k 3k 4k 2k 3 800 12
19k 45 600
k 2 400
Conclui-se então que cada um vai receber:
kA A 1 200 reais
2
kB B 800 reais
3
kC C 600 reais
4
kD D 800 reais
3
kE E 400 reais
6
A diferença entre o maior e o menor valor é 800 reais.
02)
I – FALSO
x · y · z = (2k – 2) ∙ 2k ∙ (2k + 2)
x ∙ y ∙ z = 2k ∙ (4k2 – 4)
x ∙ y ∙ z = 8k3 – 8k
x ∙ y ∙ z = 8(k3 – k)
DIVISÍVEL POR 8
II – FALSO
x + y + z = 2k – 2 + 2k + 2k + 2
x + y + z = 6k
MÚLTIPLO DE 6
III – VERDADEIRO
x + z = 2y
2k – 2 + 2k + 2 = 2 ∙ 2k
4k = 4k
03)
T = x ∙ k + (x + 2) ∙ k
T = (x + x +2) ∙ k
Tk
2x 2
A parte que caberá ao mais velho, será igual a x 2
2x 2
.
Quanto maior o valor de x, maior o denominador, MENOR a parte do terreno que
caberá ao filho mais velho e sempre maior que 1/2.
04)
d + e + f = 0,32 ∙ 250 d + e + f = 80
0,40 ∙ 80 = d d = 32
0,20 ∙ 250 = c + f c + f = 50
f = 10 c = 40
32 + e + 10 = 80 e = 38
b = e b = 38
a + b + c = 0,68 ∙ 250
a + 38 + 40 = 170
a = 92
EXTENSIVO – APOSTILA 03 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA C
AULA 08
01)
a)
Multiplicou a 1ª linha por 2
Multiplicou a 3ª linha por –1
Multiplicou a 3ª coluna por 3
DET = 2 ∙ (–1) ∙ 3 ∙ detA
DET = –6 ∙ 5
DET = –30
b)
det(3A) = 33 ∙ detA
det(3A) = 27 ∙ 5
det(3A) = 135
c)
Matriz Transposta
DET = detA
DET = 5
d)
Combinação Linear entre as 1ª e 3ª linhas
DET = detA
DET = 5
e)
EXTENSIVO – APOSTILA 03 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA D
AULA 07
01)
i
i
i
180º(n 2)a
n
180º(10 2)a
10
a 144º
02)
2
2
d 3n
n(n 3)3n
2
n 3n 6n
n 0n 9n 0
n 9 lados
03)
Considerando que o ângulo interno de cada pentágono regular é “x”, tem-se:
180º(5 2)x
5
x 108º
Da figura, tem-se:
3x + = 360º
3 ∙ 108º + = 360º
= 36º
04)
iS 180º(n 2)
2 160º 180º(n 2)
12 n 2
n 14
n (n 3)d
2
14 14 3d
2
d 77
Para um polígono com quantidade PAR de lados, o número de diagonais que passa
pelo centro é igual à metade do número de lados. Assim:
nD d
2
14D 77
2
D 70
AULA 08
01)
82 ..... 62 + 52
64 ..... 36 + 25
64 < 61
ACUTÂNGULO
02)
8 – 5 < x < 8 + 5
3 < x < 13
Como “x” é um valor inteiro, tem-se:
x : {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Ao todo são 9 possibilidades de triângulos.
03)
Pelo Teorema da Bissetriz Interna, tem-se:
8 12
x 15 x
12x 120 8x
20x 120
x 6 cm
04)
Pela figura, tem-se:
(m + n + p + q + r) é a soma dos ângulos internos de um pentágono;
m, n, p, q, r e s são também ângulos internos de cada triângulo (ângulo oposto
pelo vértice);
Então:
180º(5 2)
m a j 180º
n h i 180º
p f g 180º
q d e 180º
r b c 180º
(m n p q r) (a b c d e f g h i) 900º
540º (a b c d e f g h i) 900º
a b c d e f g h i 360º
AULA 09
01)
Por semelhança de triângulos, tem-se:
6 x
12 30 x
12x 180 6x
x 10
Área 10 12
Área 120
02)
EXTENSIVO – APOSTILA 03 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA E
AULA 07
01)
12 = sen2x + cos2x
sen2x + cos2x = 1
02)
03)
2 2
2
2
2
2 o
sen x cos x 1
3sen x 1
5
9sen x 1
25
4senx
16 45sen x x 2 Quadrante senx
25 54senx
5
4senx 45tgx tgx tgx
3cosx 3
5
1 1 5sec x sec x sec x
3cosx 3
5
1 1 5cossec x cossec x cossec x
4senx 4
5
1cot gx
tgx
1 3cot gx cot gx
4 4
3
04)
cos1 < sen1 < tg1
AULA 08
01)
I –
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
c.q.d
sen x cos x 1 cos x
sen x cos x 1
cos x cos x cos x
tg x 1 sec x
sec x 1 tg x
II –
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
c.q.d
sen x cos x 1 sen x
sen x cos x 1
sen x sen x sen x
1 cotg x cossec x
cossec x 1 cotg x
02)
2
2
2
2
2
x 2tg(a)x 1 0
( 2tga) 2tga 4 1 ( 1)x
2 1
2tga 4tg a 4x
2
2tga 4 tg a 1x
2
2tga 2 sec ax
2
2tga 2sec ax
2
2 tga sec a x tga sec ax
2 x tga sec a
03)
2
2 2
2 2 2
2
2
sec x tgx sec x tgxy
1 sen x cot gx cossec x cot gx cossec x
sec x tg xy
cos x cot g x cossec x
1y
cos x 1
y sec x
04)
Utilizando o Produto Notável a3 + b3 = (a + b) ∙ (a2 – ab + b2), tem-se:
3 3
2 2
sen x cos xE
senx cosx
(senx cosx) (sen x senx cosx cos x)E
senx cosx
E 1 senx cosx
AULA 09
01)
y = sen30º + sen150º – sen210º – sen330º
y = sen30º + sen30º – (– sen30º) – (– sen30º)
y = 4 ∙ sen30º
y = 4 ∙ 0,5
y = 2
02)
y = cos60º + cos120º – tg210º – cotg240º
y = cos60º + (– cos60º) – tg30º – cotg60º
y tg30º cot g60º
3 1y
3 3
3 3y
3 3
2 3y
3
03)
A = 180º – 28º A = 152º
B = 180º + 28º B = 208º
C = 360º – 28º C = 332º
cosA = – cos28º = – 0,8829
cosB = – cos28º = – 0,8829
cosC = cos28º = 0,8829
04)
4 4tg tg
5 5
4tg tg
5 5