Download - FAM Lekcija 6
FINANSIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKA
Amortizacija zajmova
Zimski semestar 2009/2010.
Predmetni nastavnik: Dr Milivoje Cvetinović
1
e-mail: [email protected]
Cilj predmetaC j p ed eta
Cilj predmeta je da se studenti upoznaju sa osnovnim pojmovima izCilj predmeta je da se studenti upoznaju sa osnovnim pojmovima izfinansijske i aktuarske matematike. Informacije koji bi studentitrebalo da usvoje iz finansijske matematike predstavljaju osnovu zarazumevanje niza problema, kao što su: izučavanje krajnje vrednostikapitala ako je data njena početna vrednost koja je uložena uzkapitala ako je data njena početna vrednost koja je uložena uzsložen interes i obrnuto, izračunavanje početne vrednosti kapitalauvećane za složeni interes, zatim amortizacija zajma, eskontovanjemenica, i dr.
Cilj modula aktuarske matematike je uvođenje, razvoj i primenatema iz aktuarske matematike fundamentalnih u oblasti osiguranjaimovine i lica. Predmet je povezan sa finansijskom matematikom,
b t i t ć i i č j i tposebno sa temama iz verovatnoće i izračunavanja interesa.
Nakon razumevanja i ovladavanja raznim obračunima budućidiplomirani studenti će moći da aktivno učestvuju u rešavanju sličnih
2
diplomirani studenti će moći da aktivno učestvuju u rešavanju sličnihproblema i zadataka u praksi: u bankama, preduzećima,osiguravajućim kompanijama i drugim institucijama.
Literaturate atu a
• Literatura:
– J. Rašeta, Finansijska i aktuarska matematika, Univerzitet Singidunum, 2008,
– J. Kočović, Finansijska matematika, Ekonomski fakultet u Beogradu, 2009,
– J. Kočović, Aktuarske osnove formiranja tarifa u osiguranju lica, Beograd 2006
– D.Vugdelija, O.Sedlak, Finansijska i akturska matematika, Subotica 20082008,
3
Raspored predavanja
DatumDatum LekcijeLekcije22.10.2009. Uvod u finansijsku matematiku;j
Prost interesni (kamatni) račun 29.10.2009. Primena prostog interesnog računa na finansijskom tržištu;
Tekući račun,Lombardni račun, Potrošački krediti05.11.2009. Eskont menica; Složen interesni (kamatni) račun12.11.2009. Složen interesni račun: Faktor dodajnih uloga, Faktor aktuelizacije19.11.2009. Efektivnost investicija26.11.2009. Amortizacija zajmova03.12.2009. Kolokvijum I
4
Raspored predavanja(nastavak)
DatumDatum LekcijeLekcije10.12.2009. Uvod u aktuarsku matematiku17.12.2009. Matematičke osnove osiguranja24.12.2009. Obračuna tarifa za osiguranja lica07.01.2010. Obračuna tarifa za osiguranja rente14.01.2010. Obračuna tarifa za osiguranja kapitala;
Osiguranje na dva života2101.2010 Kolokvijum II
Ispitni rok ISPIT
5
Formiranje konačne oceneo a je o ač e oce e
Broj bodova
PRISUSTVO NASTAVI 10
SEMINARSKI RAD 10
Bodovi OCENA
51 – 60 6SEMINARSKI RAD 10
KOLOKVIJUM I 25
KOLOKVIJUM II 25
61 – 70 7
71 – 80 8
ISPIT 30
UKUPNO 100 bodova81 – 90 9
91 – 100 10
Prisustvo nastavi i vežbama je obaveznoSeminarski rad nije obavezan
6
Seminarski rad nije obavezan
Sadržaj za danasSad aj a da as
1. Amortizacija zajmova– Faktor povraćaja– Plan otplate zajma– Konverzija dugova
(3 časa)
2. Vežbe (2 časa)
7
UvodU od
Pojam zajma
Pojam anuitetaPojam anuitetaAnuitet je periodični iznos koji plaća korisnik zajma, a sastoji se iz dva dela: otplate i kamata
Načini amortizacije (otplate zajma)Jednake otplatePromenljive otplatej pAnuiteti koji sadrže otplatu i interes
8
Model otplate zajmaj d ki it tijednakim anuitetima
Osnovne pretpostavke ovog modela su:Osnovne pretpostavke ovog modela su:
a) obračun kamata je složen i dekurzivanb) anuiteti su jednaki i dospevaju u jednakim vremenskim jedinicama krajem razdobljac) razdoblje kapitalizacije jednako je jedinici vremenskog
dospeća između anuitetad) kamatna stopa je konstantna u celom razdoblju
amortizacije zajma.
9
Model otplate zajmaj d ki it tijednakim anuitetima
Zbir svih anuiteta = isplaćenom zajmu (K)
npn
n
IVaraK *)1(
1=
−=
K a a a
pn rr )1( −
0 1 2 n
10
Model otplate zajmaj d ki it tijednakim anuitetima
Faktor povraćaja (anuitetni faktor)Faktor povraćaja (anuitetni faktor)
npn
n
VKrrKa *)1()1(=
−= pnr )1( −
)1(n rrgde je faktor povraćaja:)1(
)1(−−
nrrr
11
Model otplate zajmaj d ki it tijednakim anuitetima
Model otplate (plan amortizacije):Model otplate (plan amortizacije):
God Dug Interes Otplata Anuitet1 K =K I R a1 K1=K I1 R1 a2 K2 I2 R2 a... ... ... ... ...n 0 In Rn a
I K n*a∑
Koraci:1. Ik=Kk*p
12
2. Rk=a-Ik3. Kk+1=Kk-Rk
Model otplate zajmaj d ki it tijednakim anuitetima
Primer:
Napraviti plan amortizacije za zajam od 150.000 dinara uz p p j jdekurzivnu kapitalizaciju i jednake anuitete koji se plaćaju krajem sledećih pet godina uz godišnju kamatnu stopu od 10%.
Rešenje:
K = 150 000 dinK = 150.000 dinn = 5 godinap = 10% => r = 1,1
13
Model otplate zajmaj d ki it tijednakim anuitetima
Rešenje:
K = 150.000 dinn = 5 godinap = 10% => r = 1,1
)111()11,1(1,1000.150
)1()1(
5
5 −=
−=
rrKa n
n
62,569.39)11,1()1( 5
=−−
arn
14
62,569.39a
Model otplate zajmaj d ki it tijednakim anuitetima
Rešenje:
God Dug Interes Otplata AnuitetGod DugK
InteresI
OtplataR
Anuiteta
1 150.000,00 15.000,00 24.569,62 39.569,62
2 125.430,38 12.543,04 27.026,58 39 569 622 , , , 39.569,62
3 98.403,80 9.840,38 29.729,24 39.569,62
4 68.674,56 6.867,46 32.702,16 39.569,6235 972 40 3 597 24 35 972 385 35.972,40 3.597,24 35.972,38 39.569,62
47.848,12 149.999,98 197.848,10∑
15
Model otplate zajmaj d ki it tijednakim anuitetima
Rešenje:Koraci:
1. Ik=Kk*p2. Rk=a-Ik3. Kk+1=Kk-Rk
1. I1=K1*p=150.000*0,1=15.000,001 1 p , ,2. R1=a-I1=39.569,62-15.000,00=24.569,623. K2=K1-R1=150.000-24.569,62=125.430,38
16
Veza medju otplatamae a edju otp ata a
Veza izmedju dve otplate zajma sa jednakim anuitetima
Rk+1=Rk(1+i)Svaka otplata je jednaka proizvodu prethodne otplate i
faktora akumulacije za jedan obračunski period.Otplate čine geometrijsku progresijuOtplate čine geometrijsku progresiju
Rk+1=R1(1+i)k
17
Rk+1 R1(1 i)
Prva otplataa otp ata
a=R1+K*iR1=a-K*iR1 a K i
Sada zamenom)1( −
=n rrKaSada, zamenom
)1( −= nr
Ka
dobija se1)1(
1−+
= niiKR
stopa amortizacije 18
1)1( + i
Veza otplate i anuitetae a otp ate a u teta
Veza otplate i anuiteta
Rk=a*(1+i)-n+k-1
Računanje interesaIk=a-Rk=a-a*(1+i)-n+k-1k k ( )
19
Ostatak dugaOstata duga
Ostatak duga sa m prvih plaćenih anuiteta:O =R +R + +ROm=R1+R2+…+Rm
Om=R1+R1(1+i)+…+R1(1+i)m-1m 1 1( ) 1( )
zamenom R1 i sabiranjem progresije:1 j p g j
=> 11)1( −
=−+
=mp
m IKiKO
2011)1( −−+ n
pnm I
Ki
KO
Ostatak dugaOstata duga
Ostatak duga posle m plaćenih anuiteta:Z =K-OZm=K-Om
− mn II=> 1−
= np
ppm I
IIKZ
ilimn
pm IVaZ −= *21
p
Ostatak dugaOstata duga
Primer:Zajam od 100.000 dinara se amortizuje 20 godina jednakim anuitetima uz 5% kamatu i godišnje kapitalisanje. Izračunati sledeće:a) Anuitetb) Prvu otplatu i desetu otplatu i interesc) Otplaćeni deo duga sa 10 prvih plaćenih anuitetad) Ostatak duga posle 10 plaćenih anuitetad) Ostatak duga posle 10 plaćenih anuiteta
22
Ostatak dugaOstata duga
Rešenje:a)
26024808024259,0*000.100* 20
5 ==a
VKa
b)
26,024.8=a
b)
00,000.526,024.8*1 −=−= iKaR
2326,024.31 =R
Ostatak dugaOstata duga
Rešenje:b)
62691455132822,1*26,024.3* 9
5110 ==R
IRR62,691.410 =R
64332362,691.426,024.8
10
1010
=−=−=
IRaI
24
64,332.310I
Ostatak dugaOstata duga
Rešenje:c)
80,038.3816553,2162889,1000.100
11000.100 20
5
105
10 =−−
=−−
=IIO
d)
20,961.6180,038.38000.10010 =−=Z
25
Amortizacija zajmaj d ki t l tjednakim otplatama
Otplate (R) su jednake, a anuiteti (ak) nisu jednaki.R=K/n
Anuiteti će biti:
ak=Zk*i+R
Anuiteti ak čine aritmetičku sredinu, d=-R*i
Sledi:ak=ak-1-R*i
26
Amortizacija zajmaj d ki t l tjednakim otplatama
Primer:Zajam od 40.000 se amortizuje jednakim godišnjim otplatama u
toku 5 godina. Interesna stopa je 6% i kapitalisanje je godišnje. Napraviti plan amortizacije.
27
Amortizacija zajmaj d ki t l tjednakim otplatama
Rešenje:R=K/n=40.000/5=8.000
a1=R+Ki=8.000+40.000*0,06=10.400
a2=a1-Ri=10.400-8.000*0,06=9.920
a3=
a4=
28
Amortizacija zajmaj d ki t l tjednakim otplatama
Rešenje:
G OGod DugK
InteresI
OtplataR
Anuiteta
1 40.000 2.400 8.000 10.40032 000 1 920 8 0002 32.000 1.920 8.000 9.920
3 24.000 1.440 8.000 9.440
4 16.000 960 8.000 8.960
5 8.000 480 8.000 8.4807.200 40.000 47.200
29
Amortizacija zajmalji i t l tpromenljivim otplatama
Otplate (R) nisu jednake, mogu rasti po aritmetičkoj progresiji (d) ili geometrijskoj progresiji (q).Posmatraćemo aritmetičku progresiju.Rk=R1+(n-1)dR =K/n+(n 1)d/2R1=K/n+(n-1)d/2
Primer:
Zajam od 200.000 dinara amortizuje se 5 godina, godišnjim dekurzivnim otplatama koje rastu konstantno za 5.000 dinara. Interesna stopa je 6%. Izraditi amortizacioni plan.
30
Amortizacija zajmalji i t l tpromenljivim otplatama
Rešenje:
G OGod DugK
InteresI
OtplataR
Anuiteta
0 200.000
170 000 12 000 30 0001 170.000 12.000 30.000 42.000
2 135.000 10.200 35.000 45.200
3 95.000 8.100 40.000 48.100
4 50.000 5.700 45.000 50.700
5 0 3.000 50.000 53.00039 000 200 000 239 200
31
39.000 200.000 239.200
Konverzija dugovao e ja dugo a
Konverzija duga označava da se menjaju uslovi otplaćivanja duga/zajmap j g j
Najčešće se menja kamatna stopa, produžuje se period otplate, i dr.
Koraci:1 Utvrditi anuitet prema početnim uslovima1.Utvrditi anuitet prema početnim uslovima2.Odrediti ostatak duga na dan promene uslova3.Utvrditi novi anuitet na ostatak duga3.Utvrditi novi anuitet na ostatak duga
32
Konverzija dugovao e ja dugo a
Koraci:1.Utvrditi anuitet prema početnim uslovima
2 Odrediti ostatak duga na dan promene uslova
npVKa *=
2.Odrediti ostatak duga na dan promene uslova
mnpm IVaZ −= *
3.Utvrditi novi anuitet na ostatak dugan1: produženo vreme otplatep1: kam stopa posle konverzije
p
1* nmnVZa +−= p1: kam.stopa posle konverzijea1: anuitet posle konverzije
3311 pm VZa =
Konverzija dugovao e ja dugo a
Primer:1.Zajam od 100.000 din. se otplaćuje 15 godina j d ki š t č i it ti 10% k tjednakim šestomesečnim anuitetima uz 10% kamate. Korisnik želi posle 10-te godine smanjenje kamatne stope na 8%, anuitet je smanjen za 505,14 din. Za p j jkoliko vremena će ostatak duga biti isplaćen sa novim anuitetom.
34
Konverzija dugovao e ja dugo a
Rešenje:K=100.000; p=5%; n=2*15=30; p1=4%
14,505.6*000.100 305 == Va2030
97,230.5072173493,7*14,505.6*
20
2030520
=== −
ZIVaZ
a1=6.505,14-505,14=6.000
,20
35
Konverzija dugovao e ja dugo a
Rešenje:Broj anuiteta za isplatu ostatka duga odredićemo iz f lformule:
* 1= +− nmnVZa
*97,230.50000.6 1
1
10304
1
=
=+− n
pm
V
VZa
119448,0
,110
4
4
=+nV
36
Konverzija dugovao e ja dugo a
Rešenje:iz IV tablica => 10<n<11
Zaključak: Deset puta treba otplaćivati po 6.000 dinara i na kraju 11 og polugodišta platiti ostatakdinara i na kraju 11-og polugodišta platiti ostatak.
37
PITANJAJ
??
38