Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Escoamento em torno de um cilindro circular com
circulação –Γ
- Potencial complexo
- Velocidade complexa
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
( )zz
azVW ln
2i
2
π
Γ+
+= ∞
r
zz
aVV
dz
dW
π2i1
2
2 Γ+
−== ∞
r
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Escoamento em torno de um cilindro circular com
circulação –Γ
- Pontos de estagnação
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
2
2
2
41
4i
02
i1
0
Γ−±
Γ−=
=Γ
+
−
==
∞∞
∞
Vaa
Vz
zz
aV
Vdz
dW
rr
r
ππ
π
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Escoamento em torno de um cilindro circular com
circulação –Γ
- Pontos de estagnação
- Dois pontos de estagnação com a mesma parteimaginária e partes reais simétricas, menores que a
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
∞<Γ Var
π4.1
2
41
4i
Γ−±
Γ−=
∞∞ Vaa
Vz rr
ππ
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Escoamento em torno de um cilindro circular com
circulação –Γ
- Pontos de estagnação
- Um ponto de estagnação (raíz dupla) no eixo
imaginário em
∞=Γ Var
π4.2
ai−
2
41
4i
Γ−±
Γ−=
∞∞ Vaa
Vz rr
ππ
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Escoamento em torno de um cilindro circular com
circulação –Γ
- Pontos de estagnação
- Dois pontos de estagnação no eixo imaginário. Umabaixo de e outro no interior do cilindro
∞>Γ Var
π4.3
ai−
2
41
4i
Γ−±
Γ−=
∞∞ Vaa
Vz rr
ππ
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Escoamento em torno de um cilindro circular com
circulação –Γ
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
0.1 =Γ
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Escoamento em torno de um cilindro circular com
circulação –Γ
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
∞<Γ Var
π4.1
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Escoamento em torno de um cilindro circular com
circulação –Γ
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
∞=Γ Var
π4.2
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Escoamento em torno de um cilindro circular com
circulação –Γ
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
∞>Γ Var
π4.3
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
0.1 =Γ
Fluido Perfeito Fluido Real
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia AeroespacialFluido Real
Fluido Perfeito Fluido Real
∞<Γ Var
π4.1
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Fluido Perfeito Fluido Real
∞=Γ Var
π4.2
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
Fluido Perfeito Fluido Real
∞>Γ Var
π4.3
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Potencial complexo do escoamento em torno de um cilindro
• Velocidade complexa
• Na superfície do cilindro
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
( )zz
azVW ln
2i
2
π
Γ+
+= ∞
r
zz
aVV
dz
dW
π2i1
2
2 Γ+
−== ∞
r
( )a
VVVπ
θ2
sen2Γ
+== ∞
rr
θiaez =
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Forças aplicadas nas direcções x e y podem ser obtidasintegrando a distribuição superficial de pressão
• Pela equação de Bernoulli
• Para um cilindro com circulação num escoamento
uniforme tem-se
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
( ) ( )∫∫ −=−=ππ
θθθθ2
0
2
0sencos adpFadpF yx
( )2
2
2sen2
2
1
2
1
Γ+−=−= ∞
aVpVpp oo
πθρρ
rr
Γ== ∞VFF yx
rρ0
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Teorema de Blasius• Considere-se um corpo de forma arbitrária
em escoamento permanente
• Forças aplicadas ao corpo são resultado
da distribuição de pressão na superfície docorpo, C
x
y pdSFd =r
C
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Teorema de Blasius
• Utilizando a equação de Bernoulli e tendo em
atenção que o integral ao longo de um contorno fechado de um valor constante (po) não contribui
para a força, tem-se
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
x
y
dSdy
dx
ydF
xdF ( )
( ) zpddydxpdFdF
dxdypdFdF
pdxpdydFdF
pdxdFpdydF
yx
yx
yx
yx
iiii
ii
ii
−−−=−
+−=−
−−=−
=−=
∫∫ =−=−cc
dzdz
dWzpdFF yx
2
i2
1ii ρ
C
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Teorema de Blasius• Considere-se um corpo de forma arbitrária
em escoamento permanente
• Momento aplicado ao corpo é resultado
da distribuição de pressão na superfície docorpo, C
y
Cx
bbpdSFbdMd o ==
rrFdr
Fluido Perfeito/IdealMomento Exercido por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Teorema de Blasius
• Utilizando a equação de Bernoulli e tendo em
atenção que o integral ao longo de um contorno fechado de um valor constante (po) não contribui
para a força, tem-se
x
y
dSdy
dx
ydF
xdF ( )( )zzdpdM
ydyxdxpdM
pxdxpydydM
xdFydFdM
o
o
o
yxo
ℜ=
+=
+=
+−=
C
Fluido Perfeito/IdealMomento Exercido por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
( )
ℜ−=ℜ= ∫∫ cc
zdzdz
dWzzdpM
2
02
1ρ
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Teorema de Kutta-Joukowski
• Considere-se a aplicação do teorema de Blasiusao caso de um escoamento uniforme no infinito,
em torno de um corpo de foma arbitrária
• Desenvolvendo em série de Laurent
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
∫=−c
dzdz
dWFF yx
2
i2
1i ρ
∞∞ −= VUV i
dz
dW
......2
212
210++++++=== −−
∞
−∞=
∑z
A
z
AzAzAAzAV
dz
dW
n
n
n
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Teorema de Kutta-Joukowski
• No infinito, , a velocidade é imposta, donde
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
...
10
i
2
21
0
0
+++==
≥⇐=
−=
−−
∞∞
z
A
z
AAV
dz
dW
nA
VUA
n
∞→z
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Teorema de Kutta-Joukowski
• Tomando como contorno de integração umacircunferência de raio R muito superior às dimensões
do corpo e tendo em atenção que não existem
singularidades entre a superfície do corpo e ocontorno C
[ ]3
22
ii
−∞∞ +
Μ+
Γ−+−== R
zz
QVUV
dz
dW
π
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
O
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Teorema de Kutta-Joukowski
• Q é o somatório das intensidades das linhas defontes e poços no interior do contorno C
• Γ é o somatório das intensidades das linhas de vórtice no interior do contorno C
• Μ representa o momento complexo resultantedas linhas de dipolos no interior do contorno C
[ ]3
22
ii
−∞∞ +
Μ+
Γ−+−== R
zz
QVUV
dz
dW
π
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
O
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Teorema de Kutta-Joukowski
• A função integranda da equação de Blasius é
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
...22
......
20
2
12101
2
00
2
21
0
2
2
21
0
2
−−−
−−−−
+===
+++=
+++=
AAABAABAB
z
B
z
BB
z
A
z
AA
dz
dW
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Teorema de Kutta-Joukowski
• Pelo teorema dos resíduos tem-se
• Comparando
com
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
101
2
i4i2 −− ==
∫ AABdz
dz
dWππ
c
...2
21
0+++== −−
z
A
z
AAV
dz
dW
[ ]3
22
ii
−∞∞ ++
Γ−+−== R
zz
QVUV
dz
dW µ
πO
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Teorema de Kutta-Joukowski
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
( )π
π
π
2
iii4
2
i
i
2
1
0
Γ−−=
Γ−=
−=
∞∞
−
∞∞
∫Q
VUdzdz
dW
QA
VUA
c
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Teorema de Kutta-Joukowski
• Substituindo na fórmula de Blasius
ou seja
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
( )( )Γ−−−=
=− ∞∞∫ iii
2
1i
2
QVUdzdz
dWFF yx ρρ
c
−Γ−=
Γ+−=
∞∞
∞∞
QVUF
VQUF
y
x
ρρ
ρρ
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Teorema de Kutta-Joukowski
• Projectando o vector força nas direcções paralela
e perpendicular à direcção do escoamento não
perturbado (em ) obtem-se
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
Γ−=+−
=
−=+
=
∞
∞
∞∞
∞
∞
∞∞
VV
FUFVL
QVV
FVFUD
yx
yx
rr
rr
ρ
ρ
∞→z
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Teorema de Kutta-Joukowski
Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
Γ×−=
−=
∞
∞
rrr
rr
VL
QVD
ρ
ρ
• Em escoamento potencial, um corpo finito imerso
num escoamento uniforme tem:
- Força de resistência (D) nula
- Força de sustentação (L) proporcional à circulação(Γ)
- As forças de resistência e sustentação são independentes da forma do corpo
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Fórmula de Blasius
como
( )
ℜ−=ℜ= ∫∫ cc
zdzdz
dWzzdpM
2
02
1ρ
( )
Μ−+
Γ−=
∞∞∫ VU
Qzdz
dz
dWi2
2
ii2
22
ππ
c
Fluido Perfeito/IdealMomento Exercido por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
em que α é o ângulo entre e o eixo x
• Em notação vectorial
• depende da forma do corpo devido a Μ
∞Vr
Μ×+Γ
−= ∞
rrr
rV
QM πρ
πρ 2
20
0M
( ) ( )[ ]
[ ]απρπ
ρ
πρπ
ρ
i
0
0
2i2
22
−∞Μ−ℜ+
Γ−=
Μℜ−Μℑ+Γ
−=
eUQ
M
VUQ
M
Fluido Perfeito/IdealMomento Exercido por um Escoamento Plano
em Torno de um Sólido
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Escoamento incompressível e irrotacionalobedece à equação
• Condição de fronteira numa parede sólida
Fluido Perfeito/IdealEscoamento Tri-dimensional, Irrotacional e Incompressível
φφ ∇==∇⋅∇ Vrrr
com0
0=∂
∂=⋅
nnV
φrr
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Coordenadas Cartesianas
• Coordenadas Cilíndricas
Fluido Perfeito/IdealEscoamento Tri-dimensional, Irrotacional e Incompressível
( )zyx ,,φφ =
( )zr ,,θφφ =
zW
yV
xU
zyx
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
φφφ
φφφ
,,
02
2
2
2
2
2
zW
rV
rV
zrrr
rr
r∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
φ
θ
φφ
φ
θ
φφ
θ ,1
,
011
2
2
2
2
2
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Coordenadas Esféricas
Fluido Perfeito/IdealEscoamento Tri-dimensional, Irrotacional e Incompressível
( )ϕθφφ ,,r=
( )
( )
( )
( )
( ) ϕ
φ
θθ
φφ
ϕ
φ
θϕ
θ
φθ
θ
φθ
θ
ϕθ∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
sen
1,
1,
0
sen
1
sen
sen
sen
1
2
2
rV
rV
rV
rr
r
r
r
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Fonte/poço pontual
• Escoamento com linhas de corrente radiais
• Caudal que atravessa uma esfera de raio r
donde
Fluido Perfeito/IdealEscoamento Tri-dimensional, Irrotacional e Incompressível
Singularidades
rer
cV
r
c rrr
2=∇=→−= φφ
0,0,2
=== ϕθ VVr
cVr
2
24 r
r
cdSnVQ
Sπ∫ =⋅=
rr
π4
Qc =
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Fluido Perfeito/IdealEscoamento Tri-dimensional, Irrotacional e Incompressível
Singularidades
Função potencial de uma fonte(Q>0)/poço(Q<0) pontual
r
Q
πφ
4−=
ϕ
r
θ
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Dipolo pontual
- Par fonte/poço a tenderem para o mesmo ponto ao longo do segmentolcom intensidades
simétricas a tender para infinito
Fluido Perfeito/IdealEscoamento Tri-dimensional, Irrotacional e Incompressível
Poço Fontel
rr1
∞→→ Ql ,0
1
1
4 rr
rr
r
Q −−=
πφP
θ( )
2
cos
4 r
l
r
Q θ
πφ −=
( )2
cos
4 rr
θ
π
µφ −=
• Função potencial em P
• No limite quando
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Função potencial de um dipolo pontual
−µ é a intensidade do dipolo
- θ é a orientação do dipolo
Fluido Perfeito/IdealEscoamento Tri-dimensional, Irrotacional e Incompressível
Singularidades
( )2
cos
4 r
θ
π
µφ −=
( ) ( )0,
sen
4,
cos
233
=== ϕθ
θ
π
µθ
π
µV
rV
rVr
θ
rµ
ϕ
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Sobreposição de um escoamento uniforme orientado
com o sentido negativo do eixo z com um dipolo naorigem do referencial alinhado com o eixo z e de
intensidade
- Escoamento uniforme
Fluido Perfeito/IdealEscoamento Tri-dimensional, Irrotacional e Incompressível
Escoamento em torno de uma esfera
( )
( )
0
sen
cos
=
=
−=
∞
∞
ϕ
θ θ
θ
V
VV
VVr
r
r
ϕ
∞= VRr
32πµ
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Velocidade ao longo da esfera de raio R
• Só existe componente Vθ na superfície da esfera de raio R. Logo, a função potencial obtida da soma de um
escoamento uniforme com um dipolo pontual representao escoamento em torno de uma esfera de raio R
Fluido Perfeito/IdealEscoamento Tri-dimensional, Irrotacional e Incompressível
Escoamento em torno de uma esfera
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
sen2
3sen
4
2sen
0cos
2
2cos
3
3
3
3
=
=+=
=+−=
∞
∞
∞
∞
∞
ϕ
θ θθ
π
πθ
θ
π
πθ
V
VR
VRVV
R
VRVVr
rr
r
rr
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Distribuição de pressão na superfície da esfera
Fluido Perfeito/IdealEscoamento Tri-dimensional, Irrotacional e Incompressível
Escoamento em torno de uma esfera
( )θ
ρ
ρ
2
2
2
2
sen4
91
1
21
21
−=
−=
=+
−=
∞
∞
∞
∞
p
p
e
p
C
V
VC
ctVp
V
ppC
r
r
θ em graus
Cp
Esfera
Cilindro