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FONDAMENTI DELL’ ANALISI DEI SISTEMI TRIFASI
• Rappresentazione grafica di un sistema elettrico.
• Modelli matematici di primo livello del sistema elettrico:
Bipolodoppio bipolo ed n-bipolonodi
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Rappresentazione grafica di un sistema elettrico.
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Bear Valley
Mouse CityDuck City
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BEAR VALLEY
DUCK CITY
MOUSE CITY
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B
nB
BNB
B
nB
DB
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7
L
LL
T
TC
TG
C
G
1
23
45
6
V1
V2 V3
I1I2
I3
Bear Valley
Duck City
Mouse City
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VARIABILI DI INTERESSE NEI SISTEMI ELETTRICI
V1
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IPOTESI SUI MODELLI DI PRIMO LIVELLO
• Legami lineari tra tensioni e correnti
• Modelli validi per l’analisi del funzionamento in regime sinusoidale costante o del funzionamento in condizioni dinamiche “lentamente variabili”
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MODELLO DEL BIPOLO ATTIVO
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I1
I2
I3
V1V2V3B
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V
V
V
=
E
E
E
+
Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z
I
I
I
1
2
3
1
2
3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1
2
3
V = E + Z If f f f
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Z20
Z30
Z10
Zm23 Zm31
Zm12
Z0n
1
2
3
0
n
V2
V1
V3
I1
I3
I2
I1+ I2+ I3
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V = Z I +Z I +Z I +Z I +I +I
V2 = Z I +Z I +Z I +Z I +I +I
V3 = Z I +Z I +Z I +Z I +I +I
1 10 1 m12 2 m313 0n 1 2 3
m12 1 20 2 m23 3 0n 1 2 3
m311 m23 2 30 3 0n 1 2 3
V
V
V
=
Z +Z Z +Z Z +Z
Z +Z Z +Z Z +Z
Z +Z Z +Z Z +Z
I
I
I
1
2
3
10 0n m12 0n m31 0n
m12 0n 20 0n m23 0n
m31 0n m23 0n 30 0n
1
2
3
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If
Vf
Zf
Ef
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MODELLO DEL n-BIPOLO
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V1h
V3hV2
k I3k V2
hV1
k I3h
I1h
I2h
V3k
I2k
I1k
![Page 18: FONDAMENTI DELL ANALISI DEI SISTEMI TRIFASI Rappresentazione grafica di un sistema elettrico. Modelli matematici di primo livello del sistema elettrico:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062312/5542eb5a497959361e8c728e/html5/thumbnails/18.jpg)
V
V
V
f1
fr
fn
f11
f1s
f1n
fr1
frs
frn
fn1
fns
fnn
f1
fs
fn
Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z
I
I
I
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If(i)If
(k)
Vf(k) Vf
(i)[zf]
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MODELLO DEL DOPPIO BIPOLO(caso particolare del n-bipolo)
![Page 21: FONDAMENTI DELL ANALISI DEI SISTEMI TRIFASI Rappresentazione grafica di un sistema elettrico. Modelli matematici di primo livello del sistema elettrico:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062312/5542eb5a497959361e8c728e/html5/thumbnails/21.jpg)
Ia1
Ia2
Ia3Va1Va2Va3
DB
Ip1
Ip2
Ip3
Vp3
Vp2Vp1
![Page 22: FONDAMENTI DELL ANALISI DEI SISTEMI TRIFASI Rappresentazione grafica di un sistema elettrico. Modelli matematici di primo livello del sistema elettrico:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062312/5542eb5a497959361e8c728e/html5/thumbnails/22.jpg)
a3
a2
a1
p3
p2
p1
aa33
aa32
aa31
aa23
aa22
aa21
aa13
aa12
aa11
ap33
ap32
ap31
ap23
ap22
ap21
ap13
ap12
ap11
pa33
pa32
pa31
pa23
pa22
pa21
pa13
pa12
pa11
pp33
pp32
pp31
pp23
pp22
pp21
pp13
pp12
pp11
a3
a2
a1
p3
p2
p1
I
I
I
I
I
I
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
=
V
V
V
V
V
V
![Page 23: FONDAMENTI DELL ANALISI DEI SISTEMI TRIFASI Rappresentazione grafica di un sistema elettrico. Modelli matematici di primo livello del sistema elettrico:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062312/5542eb5a497959361e8c728e/html5/thumbnails/23.jpg)
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If(a)
Vf(a)
If(p)
Vf(p)
a a
f p a
f
a p f
p p f
ZZ
ZZ
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Ia
Va
Ip
Vp
![Page 26: FONDAMENTI DELL ANALISI DEI SISTEMI TRIFASI Rappresentazione grafica di un sistema elettrico. Modelli matematici di primo livello del sistema elettrico:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062312/5542eb5a497959361e8c728e/html5/thumbnails/26.jpg)
V
V =
Z Z
Z ZI
Ip
a
pp pa
ap aa
p
a
Descrizione mediante “impedenze a vuoto”
![Page 27: FONDAMENTI DELL ANALISI DEI SISTEMI TRIFASI Rappresentazione grafica di un sistema elettrico. Modelli matematici di primo livello del sistema elettrico:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062312/5542eb5a497959361e8c728e/html5/thumbnails/27.jpg)
Descrizione mediante “ammettenze in cortocircuito”
I
I =
Y Y
Y YV
Vp
a
pp pa
ap aa
p
a
![Page 28: FONDAMENTI DELL ANALISI DEI SISTEMI TRIFASI Rappresentazione grafica di un sistema elettrico. Modelli matematici di primo livello del sistema elettrico:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062312/5542eb5a497959361e8c728e/html5/thumbnails/28.jpg)
V
I =
A B
C D
V
Ip
p
a
a
Descrizione mediante “costanti di trasmissione”
![Page 29: FONDAMENTI DELL ANALISI DEI SISTEMI TRIFASI Rappresentazione grafica di un sistema elettrico. Modelli matematici di primo livello del sistema elettrico:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062312/5542eb5a497959361e8c728e/html5/thumbnails/29.jpg)
La matrice :
a = A B
C D
viene chiamata“matrice di trasmissione”
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IDENTIFICAZIONE DELLE COSTANTI DI TRASMISSIONE
• Prova a vuoto
• Prova in corto
circuito
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PROVA A VUOTO
Ia0=
0Va
0Vp0
Ip0
A B
C D
A = V
V C =
I
V
p0
a0
p0
a0
![Page 32: FONDAMENTI DELL ANALISI DEI SISTEMI TRIFASI Rappresentazione grafica di un sistema elettrico. Modelli matematici di primo livello del sistema elettrico:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062312/5542eb5a497959361e8c728e/html5/thumbnails/32.jpg)
PROVA IN CORTO CIRCUITO
VaCC= 0
B = V
I D =
I
I
pcc
acc
pcc
acc
IaCC
VpCC
IpCC
A B
C D
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Relazioni tra le costanti di trasmissione, impedenze a vuoto e
ammettenze in cortocircuito
A = Z
Z = -
YY
B = Z -Z Zpp
Z =
1Y
C = 1
Z = Y -
Y Y
Y D = -
ZZ
= Y
Y
pp
ap
aa
appa
aa
ap pa
appa
aa pp
pa
aa
ap
pp
pa
![Page 34: FONDAMENTI DELL ANALISI DEI SISTEMI TRIFASI Rappresentazione grafica di un sistema elettrico. Modelli matematici di primo livello del sistema elettrico:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062312/5542eb5a497959361e8c728e/html5/thumbnails/34.jpg)
RELAZIONE TRA LE COSTANTI DI TRASMISSIONE
det A B
C D = AD - BC = -
Y
Y = -
Z
Z pa
ap
pa
ap
![Page 35: FONDAMENTI DELL ANALISI DEI SISTEMI TRIFASI Rappresentazione grafica di un sistema elettrico. Modelli matematici di primo livello del sistema elettrico:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062312/5542eb5a497959361e8c728e/html5/thumbnails/35.jpg)
Condizione di reciprocità
Ia
Vp Va=0=
Ip
Va Vp=0
Se :
Allora : Zap = Zpa e Yap = Ypa ;
AD - BC = -1
![Page 36: FONDAMENTI DELL ANALISI DEI SISTEMI TRIFASI Rappresentazione grafica di un sistema elettrico. Modelli matematici di primo livello del sistema elettrico:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062312/5542eb5a497959361e8c728e/html5/thumbnails/36.jpg)
INVERSIONE DEL DOPPIO BIPOLO
V
I =
A B
C D
V
Ia
a
p
p
1
A B
C D =
1det a
D -B
-C A =
-D B
C -A
1
ove:
V
I =
A B
C D
V
Ip
p
a
a
![Page 37: FONDAMENTI DELL ANALISI DEI SISTEMI TRIFASI Rappresentazione grafica di un sistema elettrico. Modelli matematici di primo livello del sistema elettrico:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062312/5542eb5a497959361e8c728e/html5/thumbnails/37.jpg)
SIMMETRIA DI UN DOPPIO BIPOLO
Un doppio bipolo si dice “simmetrico” se coincide col suo
inverso, ossia se:
A B
C D =
A B
C D =
-D B
C -A
1
ossia se:
A = - D
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CONDIZIONI DI SIMMETRIA DI UN DOPPIO BIPOLO IN TERMINI DI IMPEDENZE A VUOTO
O DI AMMETTENZE IN CORTO CIRCUITO
A = - D
Yaa = Ypp
Zaa = Zpp
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RETI EQUIVALENTI A TRE POLI DI UN DOPPIO BIPOLO
ALMENO SIMMETRICO O RECIPROCO
•Rete equivalente a “”
•Rete equivalente a “T”
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RETE EQUIVALENTE A ““
Z*aa
Z*pa
Z*pp
p a
0
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RELAZIONI TRA COSTANTI DI TRASMISSIONE E IMPEDENZE
DELL’EQUIVALENTE A “”
A = Z* +Z*
Z*
B = -Z*
D = -Z* +Z*
Z*
Z* = -B
Z* = B
1-A
Z* = B
1+D
aa pa
aa
pa
pp pa
pp
pa
aa
pp
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RETE EQUIVALENTE A “T“
Za0Zp0
Z00
p a
0
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RELAZIONI TRA COSTANTI DI TRASMISSIONE E IMPEDENZE
DELL’EQUIVALENTE A “T”
A = Z +Z
Z
C = 1
Z
D = -Z +Z
Z
Z = 1C
Z = -D-1
C
Z = A-1C
p0 00
00
00
a0 00
00
00
a0
p0
![Page 44: FONDAMENTI DELL ANALISI DEI SISTEMI TRIFASI Rappresentazione grafica di un sistema elettrico. Modelli matematici di primo livello del sistema elettrico:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062312/5542eb5a497959361e8c728e/html5/thumbnails/44.jpg)
RIDUZIONE DI UN DOPPIO BIPOLO
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Ic
VcVp
Ip
A B
C DZcV
a
Ia
Z = V
I =
-AZ +B-CZ +Dp
p
p
c
c
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IMPEDENZA ITERATIVA DI UN DOPPIO BIPOLO
E’ l’impedenza che, collegata alla porta di arrivo riduce il bipolo ad una impedenza dello stesso valore.
![Page 47: FONDAMENTI DELL ANALISI DEI SISTEMI TRIFASI Rappresentazione grafica di un sistema elettrico. Modelli matematici di primo livello del sistema elettrico:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062312/5542eb5a497959361e8c728e/html5/thumbnails/47.jpg)
CALCOLO DELL’IMPEDENZA ITERATIVA
Z = -AZ +B-CZ +Dit
it
it
Z =
- A+D A+D -4BC
2Cit 2
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IMPEDENZA CARATTERISTICA
Nel caso di simmetria del doppio bipolo vale:
A + D = 0In tal caso l’impedenza iterativa si chiama:
“IMPEDENZA CARATTERISTICA”e vale:
Z = -BCc
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MODELLO DEL NODO
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I2a
I3a
I1b
I2b
I3b
I1c
I2c
I3c
I1a
V2a
V3a
V1b
V2b
V3b
V1c
V2c
V3c
V1a
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V
V
V
=
V
V
V
=
V
V
V
I
I
I
+
I
I
I
+
I
I
I
=
0
0
0
1a
2a
3a
1b
2b
3b
1c
2c
3c
1a
2a
3a
1b
2b
3b
1c
2c
3c
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Vb
Ib
Vc
Va
Ic
Ia
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7
L
L
T
TC
T
G
C
G
1
23
45
6
IfVf
L