Download - FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER
![Page 1: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/1.jpg)
FONKSİYONLAR ve
GRAFİKLER
1 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
![Page 2: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/2.jpg)
2
KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİ
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
( x , y )
R
R1 2 3 4 5 6
1
23
456
x
y
(1,3)(4,6)(3,3)(5,1)
![Page 3: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/3.jpg)
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol 3
1 2 3
b
c
d
a
A
B
(1,a)
(2,b)
(3,c)
Örnek: A = {1,2,3} ve B = {a,b,c,d} olsun.
(1,c)
(3,d)
A B ( , a ), ( , b ), ( , c ), ( , d ), ( , a ), ( , b ), ( , c ), ( , d ), ( , a ), ( , b ), ( , c ), ( , d ) 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
![Page 4: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/4.jpg)
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol 4
1 2 3
2
3
4
1
R
R
(1,1)
(2,2)
(3,3)
Örnek:R reel sayılar doğrusunu hem yatay eksen hem de düşey eksen olarak alalım.
x
y
(0,0)
0
(1,3)
(3,4)
![Page 5: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/5.jpg)
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol 5
Fonksiyon: A ve B gibi iki küme verildiğinde A nın her bir elemanını B kümesinde bir ve yalnız bir elemana eşleyen kurala A dan B ye bir fonksiyon diyoruz.
Örnek:
A dan B ye bir fonksiyon,f : A B; y f ( x )
x y
f : A B; a f ( ), b f ( ), d f ( )
a
b
d
1 2 3
1
2
3
f ( ,a ),( ,b ),( ,d ) 1 2 3 yazılır.
olsun. A , , , B a,b,c ,d 1 2 3
e, f fonksiyonunun eşleme kuralı, y’ye de x’in f altındaki görüntüsü diyeceğiz.
y f ( x )
![Page 6: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/6.jpg)
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
6
A dan B ye bir fonksiyonda A ya bu fonksiyonun tanım kümesi B ye de değer kümesi denir. A kümesinin tüm elemanlarının B deki görüntülerinin oluşturduğu kümeye de görüntüler kümesi denir ve f(A) ile gösterilir. Doğal olarak dir.f ( A ) B
f ( ,a ),( ,b ),( ,d ) 1 2 3 fonksiyonunda f ( A ) a ,b,d
Aşağıdaki ikililer kümelerinin A dan B ye birer fonksiyon olup olmadıkları belirleyiniz. Fonksiyon olanlarının görüntüler kümelerini yazınız.
A , , , , B , , , , , , 1 0 3 4 2 1 0 1 2 3 4 kümeleri veriliyor.
f ( , ),( , ),( , ),( , ) 1 1 2 0 1 3 2 4 3
f ( , ),( , ),( , ),( , ) 2 1 1 0 0 3 3 4 4
f ( , ),( , ),( , )3 0 0 3 0 4 1
f ( , )( , ),( , ),( , ) 4 1 0 0 1 3 2 4 5
![Page 7: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/7.jpg)
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol 7
A B
1
2
3
f
a
b
c
f(A)
f = { (1,a), (2,b),(3,d)} A dan B ye fonksiyonunu Wen Şeması ile gösterelim.
d
![Page 8: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/8.jpg)
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
8
A dan B bir f fonksiyonu birinci terimi teker teker A kümesinin tüm elemanları ikinci terimi ise B den seçilen sıralı ikililer kümesidir.
Örnek: A , , , , B , , , , , , , , 1 1 2 3 2 1 2 4 5 6 7 9 11
f : A B; y f ( x ) x
x y
2 3
f ( , ),( , ),( , ),( , ) 1 1 1 5 2 7 3 9
f : A B; y f ( x ) x
x y
2
f ( , ),( , ),( , ),( , ) 1 2 1 2 2 4 3 6
![Page 9: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/9.jpg)
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol 9
1 2 3
5
7
9
1
R
R
(-1,1)
(1,5)
(3,9)
x
y
-1
Fonksiyonunun Grafiği
f ( , ),( , ),( , ),( , ) 1 1 1 5 2 7 3 9
(2,7)
![Page 10: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/10.jpg)
1. İçine Fonksiyon
FONKSİYON ÇEŞİTLERİ:
B)A(fveBA:f ise f içine bir fonksiyondur denir.
ab
c
d
1234
5
A Bf
f(A)
f(A) = { 2,3,4 } ve f(A) B olduğundan f içine bir fonksiyondur.
10Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
![Page 11: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/11.jpg)
2. Örten Fonksiyon
B)A(fveBA:f ise f örten bir fonksiyondur denir.
ab
c
d
234
A Bf
f(A)
f(A) = { 2,3,4 } ve f(A) = B olduğundan f örten bir fonksiyondur.
11Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
![Page 12: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/12.jpg)
3. Birebir Fonksiyon
)x(f)x(fxx
veyaxx)x(f)x(fiçinAx,xveBA:f
2121
212121
ise f birebir bir fonksiyondur denir.
ab
c
d
1234
5
A Bf
f(A)
f(A) = { 1,2,3,4 }, s(A) = sf(A) ve f(A) B olduğundan f birebir ve içine bir fonksiyondur.
12Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
![Page 13: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/13.jpg)
4. Sabit Fonksiyon
b)A(fveBb
veyaBb,b)x(fiçinAxveBA:f ii
ise f sabit fonksiyondur denir.
13
abc
d
A A
abc
d
f
f(A)
f (A) = {b} dır.
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
![Page 14: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/14.jpg)
5. Birim Fonksiyon
iii x)x(fiçinAxveAA:f ise f birim fonksiyondur denir.
14
abc
d
A A
abc
d
f
f(A)
f (A) = A dır. Birim fonksiyon her zaman birebir ve örten bir fonksiyondur.
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
![Page 15: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/15.jpg)
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol 15
Bileşke fonksiyon.
a
b
c
d
1
2
3
4
5
A Bf C
1
4
9
16
25
g
gof:gof CA
))(()();( xfgxgofxgofx ,1)1())(()( gafgagof 4)2())(()( gbfgbgof
,9)3())(()( gcfgcgof 16)4())(()( gdfgdgof
.tanımlanır olarak
![Page 16: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/16.jpg)
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
16
Örnek: y f ( x ) x ve y g( x ) x 22 fonksiyonları veriliyor.
gof ve fog fonksiyonlarını bulunuz a)gof ( ) ?, fog( ) ? 2 2 b)
Çözüm: a ) gof ( x ) g( f ( x )) g( x ) ( x ) 22 2
fog( x ) f ( g( x )) f ( x ) x 2 2
fog( ) f ( g( )) f ( ) 2 2 4 6
b ) gof ( ) g( f ( )) g( ) 2 2 4 16
Ödev: y f ( x ) x ve y g( x ) x 2 3 3 fonksiyonları veriliyor.
gof ve fog fonksiyonlarını bulunuz a)gof ( ) ?, fog( ) ? 1 5 b)
![Page 17: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/17.jpg)
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
17
Özel Fonksiyonlar1. Sabit Fonksiyonf ( x ) c , c R şeklindeki fonksiyonlara sabit fonksiyon denir.
2. Polinom Fonksiyonn n
n nf ( x ) a x a x ...a x a 11 1 0 şeklindeki
fonksiyonlara n’inci dereceden bir polinom fonksiyon denir.
Örnek: f ( x ) , f ( x ) 3 3
Örnek: f ( x ) x x x 3 23 5 4 2
f ( x ) x x x 5 26 21 72
![Page 18: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/18.jpg)
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
18
3. Parçalı Tanımlı Fonksiyon Değişkenin farklı değerleri için eşleme kuralı farklı tanımlanan fonksiyonlara parçalı tanımlı fonksiyon denir. ; x
f ( x ) x ; x
; x
2 2 0
3 2 0 4
2 4
Örnek:
4. Mutlak Değer Fonksiyonuf ( x ); f ( x )
f ( x )f ( x ); f ( x )
0
0 şeklinde tanımlanan fonksiyonlara mutlak değer fonksiyonu denir.
Örnek:x ; x
x( x ); x
3 0 33
3 3 0
x ; xx
x; x
3 33
3 3
![Page 19: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/19.jpg)
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
19
Simetri
A( x, y )A'( x , y )
y eksenine göre simetri
A( x, y )
A'( x , y ) x eksenine göre simetriA( x, y )
Orijine göre simetri
A( x, y )A'( y , x )
y =x doğrusuna göre simetri
A'( x , y )
![Page 20: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/20.jpg)
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
20
eşitliğini sağlayan fonksiyonlara çift fonksiyon denir. Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir.
f ( x ) f ( x )
A( x, y )A'( x , y )
Örnek: y x 2 fonksiyonu olduğundan bir çift fonksiyondur.
f ( x ) ( x ) x f ( x ) 2 2
Grafiği
xx
y eksenine göre simetrik
![Page 21: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/21.jpg)
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
21
eşitliğini sağlayan fonksiyonlara tek fonksiyon denir. Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
f ( x ) f ( x )
A( x, y )
Orijine göre simetrik
A'( x , y )
y x 3 fonksiyonu olduğundan bir tek fonksiyondur.
f ( x ) ( x ) x f ( x ) 3 3Örnek:
Grafiği
xx
![Page 22: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/22.jpg)
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
22
Doğru Denklemleri
ax by c 0 şeklindeki birinci dereceden bir denklem bir doğru denklemidir.
a cax by c y x mx n
b b 0
Bu denklemden
yazılabilir.
Örnek: x y 2 4 0 doğrusunun grafiğini çiziniz.
Aksiyom: İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer.
Buna göre bir doğrunun grafiğini çizmek için iki noktasını bilmemiz yeter.
x y y A( , ) 0 4 0 4 0 4
y x x B( , ) 0 2 4 0 2 2 0
![Page 23: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/23.jpg)
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
23
B( , ) 2 0
A( , )0 4
y x 2 4
![Page 24: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/24.jpg)
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol 24
İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi
x
y
x1 x2 x
x2-x1
x-x1
y2 -y1
y -y1
A(x1,y1)
B(x2 ,y2)
X(x,y)
H1
H2
A( x , y ) ve B( x , y )1 1 2 2 noktaları verilsin
Üçgenlerin benzerliğindeny y x x
y y x x
1 1
2 1 2 1
İki noktası bilinen doğrunun denklemi
y ytan m
x x
2 1
2 1
![Page 25: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/25.jpg)
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
25
y y x x y yy y ( x x )
y y x x x x
1 1 2 1
1 1
2 1 2 1 2 1
y y m( x x ) 1 1 eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklemi. (Nokta-eğim denlemi)
y y x x( x x )( y y ) ( y y )( x x )
y y x x
1 1
2 1 1 2 1 1
2 1 2 1
a cb
( y y ) x ( x x ) y y ( x x ) x ( y y ) 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 0 ax by c 0
n
y y m( x x ) y mx x y y mx n 1 1 1 1 y mx n
Doğrunun genel denklemi (eğim-kesim denklemi)
Doğrunun genel denklemi
![Page 26: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/26.jpg)
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
26
Paralel ve Dik doğrular
İki dorunun paralel olması için gerek ve yeter şart eğimlerinin eşit olmasıdır.
Dikey ve Yatay Doğrular
d / / d m m 1 2 1 2
İki dorunun birbirine dik olması için gerek ve yeter şart eğimleri çarpımının -1 olmasıdır.
d d m m 1 2 1 2 1
x eksenine paralel olan doğruya yatay doğru, y eksenine paralel olan doğruya da dikey doğru denir.Yatay doğruların denklemleri y bDikey doğruların denklemleri şeklindedir.x a
![Page 27: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/27.jpg)
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
27
Fonksiyonların Tanım Kümeleri
Bu dersimiz de reel sayılar kümesinden yine reel sayılar kümesine tanımlı fonksiyonlarla ilgileneceğiz. Bu nedenle fonksiyonları sadece eşleme kuralları ile vereceğiz. Tanım kümeleri ile görüntüler kümelerini biz bulacağız.Bir fonksiyonda1.payda varsa paydayı sıfır yapan sayılar için fonksiyon tanımsızdır.2.Çift kuvvetten kök varsa kökün içini negatif yapan sayılar için fonksiyon tanımsızdır. Bu iki durum dışında bu derste ele alacağımız fonksiyonlar tanımlıdır.
![Page 28: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/28.jpg)
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
28
Örnekler:
Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini ve görüntü kümelerini bulunuz.
. f ( x ) . f ( x ) x . f ( x ) x 31 3 2 2 3 2 4
x x. f ( x ) . f ( x ) . f ( x )
x xx
1
3 2 31 1
Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini ve görüntü kümelerini bulunuz, grafiklerini çiziniz.
; x x x. f ( x ) . f ( x )
; x x x
1 2 2 1 1 21 2
1 2 4 1 2 4
![Page 29: FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/568159a7550346895dc70c61/html5/thumbnails/29.jpg)
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
29
Aşağıdaki verilen noktalardan geçen doğruların eğiklerini bulunuz ve grafiklerini çiziniz
. A( , ), B( , ) . A( , ), B( , ), . A( , ), B( , ) 1 2 1 0 3 2 0 0 2 3 3 2 2 2 2
Aşağıdaki BİR noktası ve eğimi verilen doğruların denklemlerini yazınız ve grafiklerini çiziniz.
. m , A( , ), . m , A( , ), . m , A( , ) 1 3
1 2 2 4 2 2 5 3 1 02 2