![Page 1: Ford-Fulkersonova metoda za rješavanje problem maksimalnog protoka](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033014/55cf9d0c550346d033ac06bd/html5/thumbnails/1.jpg)
Ford-Fulkersonova metoda za rješavanje problem maksimalnog protoka
Marinko Radić Matija Varga-------------------------13.06.2013. Varaždin
![Page 2: Ford-Fulkersonova metoda za rješavanje problem maksimalnog protoka](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033014/55cf9d0c550346d033ac06bd/html5/thumbnails/2.jpg)
Problem maksimalnog protoka
Slika 1. Harrisova i Rossova mapa željeznica Sovjetskog Saveza[Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein (2001.).
Introduction To Algorithms (2. izdanje). MIT Press,]
![Page 3: Ford-Fulkersonova metoda za rješavanje problem maksimalnog protoka](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033014/55cf9d0c550346d033ac06bd/html5/thumbnails/3.jpg)
Problem maksimalnog protoka
Definicija:
Neka je N=(V,E) graf, postoje s,tV (izvor i odredište grafa N). Svaki protok
kroz mrežu mora zadovoljavati određena ograničenja:
1. protok kroz neki brid ne može biti veći od kapaciteta brida
2. Ne može postojati negativni protok u bridu
3. Vrijednost toka gdje je s izvor u N. Protok u
mreži jednak je sumi svih tokova od izvora do odredišta.
Izvor:
[ Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein
(2001.).
Introduction To Algorithms (2. izdanje). MIT Press, str. 644-651]
uvvu cf ,
fsvE),( vsvf
![Page 4: Ford-Fulkersonova metoda za rješavanje problem maksimalnog protoka](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033014/55cf9d0c550346d033ac06bd/html5/thumbnails/4.jpg)
Ford-Fulkersonova metoda
• Ford-Fulkersonov algoritam je algoritam za određivanje
maksimalnog protoka u mreži, temeljen na iterativnom
postupku traženja puteva od izvora do odredišta kojima se
može povećati protok.
[ Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest,
Clifford Stein (2001.). Introduction To Algorithms (2. izdanje). MIT
Press, str. 651-656]
![Page 5: Ford-Fulkersonova metoda za rješavanje problem maksimalnog protoka](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033014/55cf9d0c550346d033ac06bd/html5/thumbnails/5.jpg)
Ford-Fulkersonova metoda (G,s,t)
Korak 1
incijaliziraj protok f=0
Korak 2
sve dok postoji put koji se može povećati, promjeni
protok kroz bridove tog puta
[ Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L.
Rivest, Clifford Stein (2001.). Introduction To Algorithms
(2. izdanje). MIT Press, str. 651-656]
![Page 6: Ford-Fulkersonova metoda za rješavanje problem maksimalnog protoka](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033014/55cf9d0c550346d033ac06bd/html5/thumbnails/6.jpg)
Primjer – maksimalan protok primjenom Ford-Fulkersonovom metodom
- Tvornica se nalazi u gradu S
- Prevesti proizvode kamionima
- Do grada T
- Gradovi su povezani cestama (bridovi)
- Koliko maksimalno kamiona s proizvodima može poslati
tvornica da bi zadovoljila uvjete?
Izradio: Matija Varga
- Slanje kamiona iz tvornice do grada
![Page 7: Ford-Fulkersonova metoda za rješavanje problem maksimalnog protoka](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033014/55cf9d0c550346d033ac06bd/html5/thumbnails/7.jpg)
- Jedan brid određuje količinu protoka (min)
- Jedinice su s lijeve strane, kapacitet s
desne
Slika 2. Primjer Ford-Fulkersonove metode. Izradio Matija Varga
![Page 8: Ford-Fulkersonova metoda za rješavanje problem maksimalnog protoka](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033014/55cf9d0c550346d033ac06bd/html5/thumbnails/8.jpg)
- Tražimo najmanji kapacitet na putu- Možemo prenijeti najviše 3 jedinice
Slika 3. Primjer Ford-Fulkersonove metode. Izradio Matija Varga
![Page 9: Ford-Fulkersonova metoda za rješavanje problem maksimalnog protoka](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033014/55cf9d0c550346d033ac06bd/html5/thumbnails/9.jpg)
- Prenosimo 3 jedinice- Kapacitet na bridu AT je 0, ne možemo više prenositi tim
putem
Slika 4. Primjer Ford-Fulkersonove metode, 1. iteracija. Izradio Matija Varga
![Page 10: Ford-Fulkersonova metoda za rješavanje problem maksimalnog protoka](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033014/55cf9d0c550346d033ac06bd/html5/thumbnails/10.jpg)
- Uzimamo put SACT- Možemo poslati najviše 2 jedinice
Slika 5. Izradio Matija Varga
![Page 11: Ford-Fulkersonova metoda za rješavanje problem maksimalnog protoka](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033014/55cf9d0c550346d033ac06bd/html5/thumbnails/11.jpg)
- Brid AC ima kapacitet 0 i stoga je put SACT iscrpljen- Uzimamo novi put , SCT- Maksimalno šaljemo 3 jedinice
Slika 6. Primjer Ford-Fulkersonove metode, 2. iteracija. Izradio Matija Varga
![Page 12: Ford-Fulkersonova metoda za rješavanje problem maksimalnog protoka](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033014/55cf9d0c550346d033ac06bd/html5/thumbnails/12.jpg)
- Kapacitet SC je 0, stoga je put iskorišten- Uzimamo put SBCT
Slika 7. Primjer Ford-Fulkersonove metode, 3. iteracija. Izradio Matija Varga
![Page 13: Ford-Fulkersonova metoda za rješavanje problem maksimalnog protoka](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033014/55cf9d0c550346d033ac06bd/html5/thumbnails/13.jpg)
Slika 8. Primjer Ford-Fulkersonove metode, 4. iteracija. Izradio Matija Varga
- Uzimamo put SBDT
![Page 14: Ford-Fulkersonova metoda za rješavanje problem maksimalnog protoka](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033014/55cf9d0c550346d033ac06bd/html5/thumbnails/14.jpg)
- Ne možemo poslati jedinice ni jednim putem
Slika 9. Primjer Ford-Fulkersonove metode, 5. iteracija. Izradio Matija Varga
![Page 15: Ford-Fulkersonova metoda za rješavanje problem maksimalnog protoka](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033014/55cf9d0c550346d033ac06bd/html5/thumbnails/15.jpg)
- Zbrojiti jedinice koje ulaze u čvor T- 3+6+2=11 -> MAKSIMALNI PROTOK
Slika 10. Primjer Ford-Fulkersonove metode, završni graf. Izradio Matija Varga
![Page 16: Ford-Fulkersonova metoda za rješavanje problem maksimalnog protoka](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033014/55cf9d0c550346d033ac06bd/html5/thumbnails/16.jpg)
11 x
- Smijemo poslati 11 jedinica
![Page 17: Ford-Fulkersonova metoda za rješavanje problem maksimalnog protoka](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033014/55cf9d0c550346d033ac06bd/html5/thumbnails/17.jpg)
Literatura
1. Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest,
Clifford Stein (2001.). Introduction To Algorithms (2. izdanje).
MIT Press
2. Hari Mohan Pandey (2008.). Design Analysis and Algorithm,
Firewall Media
3. George B. Dantzig, Mukund N. Thapa (1997.), Linear
Programming: 1: Introduction. Springer
4. Béla Bollobás (1998.). Modern Graph Theory. Springer-Verlag
New York Inc.