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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE SANTO DOMINGO
UASD
Asignatura: Calculo
Maestra Rosa Cristina De Peña Olivares
Formas indeterminadas.
Integrales impropias.
Integración Numérica
2013
3
Definición.
Reconocer los límites que producen formas indeterminadas.
Ejemplo.
Emplear la regla de L’ Hôpital para evaluar un limite.
Teorema.
Ejemplos.
4
2013
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42013
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Form. indeterminadas
Reconocer los límites que producen formas indeterminadas:
Las formas indeterminadas no garantizan que exista un límite ni indican cual es el limite, si es que existe.
1) Evaluar el limite:
2) Técnica algebraica:
Reconocer los límites que producen formas indeterminadas:
52013
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Form. indeterminadas
Para hallar el límite, se emplea un teorema llamado regla de L’ Hôpital. Este teorema dice que bajo ciertas condiciones el límite de un cociente f(x)/f(g) se encuentra mediante el limite del cociente de las derivadas.
62013
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Form. indeterminadas
72013
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Form. indeterminadas
2013
8
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Form. indeterminadas
1) Evaluar el limite:
2) Aplicar regla de L’ Hôpital.
Emplear la regla de L’ Hôpital para evaluar un limite:
f’(x)=2
g’(x)=5
92013
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1) Evaluar el límite.
2) Aplicar regla de L’ Hôpital.
Forma indeterminada 0/0:
2
102013
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1) Evaluar el límite.
2) Aplicar regla de L’ Hôpital.
112013
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1) Evaluar el límite.
3) Aplicar regla de L’ Hôpital.
2) Aplicar logaritmo natural.
122013
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1) Evaluar el límite
2 ) Aplicar regla de L’ Hôpital.
132013
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1)Evaluar el límite.
2) Aplicar regla de L’ Hôpital.
142013
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Definición.
Integrar impropia con límite de integración infinitos.
Ejemplos.
Integrales impropias con discontinuidades infinitas.
Ejemplos.
2013
15
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162013
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Integrales impropias
( )a
f x dx
( )b
f x dx lima
( )b
af x dx
} En caso 1 y 2 si el
limite existe; la
integral es converge,
de otro modo es
diverge
}En caso 3, la integral
de la izquierda
diverge si cualquiera
de las integrales de
la derecha es
diverge.172013
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Integrales impropias
Integral impropia divergente.
Integral impropia convergente.
Límites de integración superior e inferior infinitos.
2013
18
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Integrales impropias
Integral impropia divergente:
b
1
192013
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Integral impropia convergente:
0
a
202013
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Ejemplo:
I)
0
2 2 20
1 1 1
1 1 1dx dx dx
x x x
I II
0 0
2 2
1 1lim
1 1aadx dx
x x0
1 1 1lim tan lim tan 0 tanaa a
x a
2 20 0
1 1lim
1 1
b
bdx dx
x x
1 1 1
0lim tan lim tan tan 0
b
b bx b
1
tan 02
De I y II
2
2 2 2
Converge.
II)
216/11/13
Límites de integración
superior e inferior infinitos:
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El segundo tipo básico de integral impropia es aquel que tiene una discontinuidad Infinita en o entre los límites de integración.
2013 22
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Integrales impropias
} En caso 1 y 2 si el
limite existe, la
integral es converge,
de no ser así es
diverge
}En caso 3, la integral
de la izquierda
diverge si cualquiera
de las integrales de
la derecha es
diverge.232013
Una integral impropia con una discontinuidad infinita.
Una integral impropia divergente.
Caso de discontinuidad infinita.
2013
24
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Integrales impropias
2013 25
Una integral impropia con una discontinuidad infinita:
2 2
3 3
0
3 3 3 3lim 1 1 0
2 2 2 2aa
3 30
2 2Convergente.
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6/11/13Grupo 5
‹#›
2013 27
Integral impropia con discontinuidad infinita:
8 0 8
3 3 31 1 0
dx dx dx
x x x
I II
2 2 2
3 3 3
0 0 0
3 3 3 3lim 1 lim .lim
2 2 2 2b b bb b
3 3 30 1
2 2 2
1 1 20
3 3 3
1 10 01
3lim lim
2
bb
b bx dx x dx x
I
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2013 28
8 0 8
3 3 31 1 0
dx dx dx
x x x
I II
II 81 1 2
8 83 3 3
0 0 0
3lim lim
2aa aa
x dx x dx x
2 2 2
3 3 3
0 0 0
3 3 3 3lim 8 lim .lim
2 2 2 2a a ba a
3 38 0 6 0 6
2 2
3 96
2 2I y II . Convergente
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Se utiliza para aproximar integrales definidas cuando la función que se integra no posee una antiderivada que corresponda a función elemental.
Mediante:
La regla de los Trapecios
Método de Simpson
2013 29
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Integrales impropias
2013 30
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Integrales impropias
2013 31
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Integrales impropias
x
-1
1
2013 32
x
-1
1
2013 33
2013 34
2013 35