Download - Fourierova trasnformacija
![Page 1: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/1.jpg)
Analiza signala i sistema u frekventnom domenu Fourierova transformacija
Teorija signala i sistema I
doc.dr. Nermin Suljanović
![Page 2: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/2.jpg)
Uvod
Fourierov red – predstavljanje periodičnih signala kao beskonačne sume harmonijskih funkcija.
x(t) – neki aperiodičan signal koji se može posmatrati kao periodičan signal sa peridom T.
U slučaju aperiodičnih signala, amplitudni i fazni spektar su diskretni jer harmonijske komponente poprimaju samo učestanosti koje su cjelobrojni multipl osnovne učestanosti 0=2/T. T 00
Fourierova transformacija – proširenje koncepta na aperiodične signale.
![Page 3: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/3.jpg)
Predstavljanje aperiodičnih signala
Posmatraćemo povorku pravougaonih impulsa.
2/,0
,1)(
1
1
TtT
Tttx
povećavamo T
držimo fiksno
Tk
Tkak
0
10 )sin(2
0
)sin(2 1
kk
TkTa
Ako posmatramo kao kontinualnu promjenljivu, funkcija (2sinT1)/ predstavlja anvelopu Tak dok su koeficijenti ak uzorci ove anvelope u jednakim intervalima.
![Page 4: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/4.jpg)
•Sa povećanjem perioda T, anvelopa se uzorkuje sa kraćim intervalima između uzoraka.
•Istovremeno, koeficijenti Fourierovog reda pomnoženi sa T postaju sve bliži i bliži.
•Aperiodični signal možemo posmatrati kao limes periodičnog signala kada T.
![Page 5: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/5.jpg)
Posmatramo signal x(t) konačnog trajanja (interval od –T1 do T1).
Iz aperiodičnog signala konačnog trajanja formiramo periodični signal .)(~ tx
tjk
kkeatx 0)(~
dtetxT
dtetxT
a tjkT
T
tjkk
00 )(1
)(~1 2/
2/
Na intervalu od –T/2 do T/2 je )()(~ txtx
![Page 6: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/6.jpg)
Definirajmo anvelopu X(j) od Tak:
dtetxjX tj )()( )(1 jXT
ak
Zamijenimo ak u Fourierov red:
k
tjkejkXT
tx 0)(1
)(~0
0
2
T
000)(
2
1)(~
k
tjkejkXtx
0 ),(~0 txxT
![Page 7: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/7.jpg)
Par Fourierove transformacije
dejXtx tj
)(2
1)(
dtetxjX tj
)()(
Prikaz aperiodičnog signala kao linearnu kombinaciju kompl. eksp. signala kojima odgovara kontinum frekvencija i amplituda X(j)/(d/)
Spektar aperiodičnog signala x(t)
![Page 8: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/8.jpg)
Konvergencija Fourierovog integrala
1. Kada x(t) ima konačnu energiju, tada se može garantirati da je X(j) konačno (energija greške jednaka je nuli).
2. Dirichletovi uslovi
dttx2
)(
![Page 9: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/9.jpg)
Dirichletovi uslovi
1. x(t) je apsolutno integrabilna funkcija.
2. x(t) ima konačan broj maksimuma i minimuma unutar konačnog intervala.
3. x(t) ima konačan broj prekida unutar bilo kojeg konačnog intervala. Osim toga, svaki od ovih prekida mora biti konačan.
dttx )(
![Page 10: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/10.jpg)
Primjer
Pravougaoni impuls
1sin2
)(1
1
TdtejX
T
T
tj
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
1/T1/T12T
12)()0( TdttxX
djX )(
trouglapovršina2
1)(
2
1)0(
djXx
![Page 11: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/11.jpg)
Delta impuls
)()( ttx
det tj
2
1)(
)()( ttx
1)()( dtetjX tj
)()( 0tttx
0)()( 0tjtj edtettjX
![Page 12: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/12.jpg)
Primjer
W
WjX
,0
,1)(
)( jX
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
/W
W/ W/
t
Wtdetx
W
W
tj
sin
2
1)(
Svojstvo dualnostiSvojstvo dualnosti
![Page 13: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/13.jpg)
Primjer. Guasov proces (vjerovatnoća)2
)( atetx
a
aa
jta
a
ja
a
jt
ajta
tjat
ea
ee
dte
dteejX
4
42
22
2
22
222
2
)(
11
~
aa
t
Princip neodređenosti!Princip neodređenosti!
Ne možemo istovremeno osigurati da i Ne možemo istovremeno osigurati da i t i t i budu budu proizvoljno mali!proizvoljno mali!
![Page 14: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/14.jpg)
Fourierova transformacija periodičnih signala Da bi razmatrali periodične i aperiodične signale u istom
kontekstu. FT izvodimo direktno iz predstave periodičnog signala
pomoću FR. Transformaciju čini povorka impulsa u frekventnom
domenu, sa površinom impulsa proporcionalnom koeficijentima reda.
Posmatrajmo signal čija je Fourierova transformacija oblika X(j)=2(-0)...
![Page 15: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/15.jpg)
Fourierova transformacija periodičnih signala Signal x(t) odredićemo pomoću inverzne Fourierove transformacije:
Generalizirajmo prethodni izraz tako što će X(j) biti linearna kombinacija ekvidistantnih impulsa
kome odgovara signal oblika:
tjtj edetx 002)(
02)( kajXk
k
tjk
kkeatx 0)(
Predstava periodičnog signala pomoću
Fourierovog reda!
![Page 16: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/16.jpg)
Fourierova transformacija periodičnih signala FT periodičnog signala koji ima koeficijente
Fourierovog reda {ak} se interpretira kao povorka impulsa u tačkama =k0.
Površina impulsa koji odgovara k-tom harmoniku frekvencije k0 je jednaka 2 puta k-ti koeficijent Fourierovog reda ak.
![Page 17: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/17.jpg)
Primjer
Analiziramo jediničnu povorku pravougaonih impulsa sa periodom T i trajanjem 2T1. Koeficijenti razvoja ovog signala u Fourierov red su:
pa je i Fourierova transformacija ovog signala:
k
Tkak
10sin
)(sin2
010 k
k
TkjX
k
![Page 18: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/18.jpg)
Primjer. Povorka impulsa
n
nTttx )()(
2/
2/
1)(
1)( 0
T
T
tjkk T
dtetxT
atx
n T
k
TjX
22)(
Isti oblik funkcije i u vremenskom i u frekventnom domenu!
Tperiod u vremenskom domenu
2/Tperiod u vremenskom domenu
![Page 19: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/19.jpg)
Osobine Fourierove transformacije
Linearnost Vremenski pomak Konjugovanje Diferenciranje i integracija Skaliranje vremena i frekvencije
![Page 20: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/20.jpg)
Linearnost)()( jXtx
F
)()()()( jbYjaXtbytaxF
)()( jYtyF
![Page 21: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/21.jpg)
Vremenski pomak)()( jXtx
F
)()( 00 jXettx tj
F
Zaista,
)(
2
1
2
1)(
0
0
00
jXe
dejXe
dejXttx
tj
tjtj
ttj
Samo dodatni fazni pomak za -t0!
![Page 22: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/22.jpg)
Konjugovanje)()( jXtx
F
)()( ** jXtxF
Zaista,
dtetxdtetxjX tjtj
)()()( *
*
*
dtetxjX tj
)()( **
)()(* jXjX Za realan signal!
![Page 23: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/23.jpg)
Diferenciranje i integracija Neka je x(t) signal čija je Fourierova transformacija X(j). Ako difernciramo izraz za x(t) po t:
Očigledno je:
Diferenciranje u vremenskom domenu odgovara množenju sa j u frekventnom domenu.
Integracija je inverzna operacija te integracija po vremenu odgovara množenju sa 1/ j u frekventnom domenu.
Uzimajući u obzir i DC komponentu na izlazu integratora:
dejXjdt
tdx tj
)(2
1)(
)()( jXj
dt
tdx F
)()0()(1
)(
XjXj
dxt
![Page 24: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/24.jpg)
Primjer
Odrediti Fourierovu transformaciju Heavisideove funkcije.
1)()()()(
dtetjGttg tj
dtutxt
)()()( )()0()(
)( G
j
jGjX
1)( jG )(1
)(
j
jX
1)(1)(
)(
jj
dt
tdut
F0)(
U drugom smjeru...
jer je
![Page 25: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/25.jpg)
Skaliranje vremena i frekvencije)()( jXtx
F
a
jX
aatx
F 1)(
Zaista,
dteatxatx tj)()(F
at
0,)(1
0,)(1
)(
adexa
adexa
atxa
j
aj
F
![Page 26: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/26.jpg)
Parsevalov teorem)()( jXtx
F
djXdttx
22)(
2
1)(
Zaista,
dtdejXtx
dttxtxdttx
tj
)(2
1)(
)()()(
*
*2
![Page 27: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/27.jpg)
Promjenom redoslijeda integracije dobivamo:
djX
djXjX
ddtetxjXdttx tj
2
*
*2
)(2
1
)()(2
1
)()(2
1)(
Parsevalov teorem govori da se ukupna energija signala može odrediti ili integriranjem energije po jedinici vremena |x(t)|2 duž cijele vremenske ose ili integriranjem energije po jedinici frekvencije |X(j)|2/2 za sve frekvencije.
![Page 28: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/28.jpg)
Dualnost
dejXtx tj
)(2
1)(
dtetxjX tj
)()(RAZLIKE!RAZLIKE!
Pretpostavićemo da su f(·) i g(·) dvije funkcije povezane relacijom:
Tada je: degrf jr
)()(
Za = t i r = :
Za =- i r = t:
)()()()( 11 fjXtgtx
)(2)()()( 22 gjXtftx
![Page 29: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/29.jpg)
Dualnost
![Page 30: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/30.jpg)
Konvolucija
Odziv LTI sistema na ulaz x(t) je određen konvolucionim integralom:
Fourierova transformacija Y(j) signala y(t):
dthxty )()()(
dtedthxtyjY tj
)()()()( F
![Page 31: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/31.jpg)
Promjenom redoslijeda integracije:
ddtethxtyjY
jHe
tj
j
)(
)()()()( F
)(
)()()()()(
jX
jj dexjHdjHexjY
)()()( jXjHjY
Fourierova transfromacija preslikava konvoluciju dva Fourierova transfromacija preslikava konvoluciju dva signala u proizvod njihovih Fourierovih transformacija.signala u proizvod njihovih Fourierovih transformacija.
![Page 32: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/32.jpg)
Množenje
Svojstvo konvolucije govori da konvolucija u vremenskom domenu odgovara množenju u frekventnom domenu.
Usljed dualnosti između vremenskog i frekventnog domena, množenje u vremenskom domenu odgovara konvoluciji u frekventnom domenu.
djPjSjRtptstrF
))(()(2
1)()()()(
![Page 33: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/33.jpg)
Primjer
Neka je s(t) signal čiji je spektar S(j). Ako je p(t)=cos0t, odrediti spektar signal r(t)=s(t)p(t).
)()()( 00 jP
)( jS
11
)( jP
11
A
![Page 34: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/34.jpg)
Spektar signala R(j) je:
)(2
1)(
2
1
)()()(2
1
))(()(2
1)(
00
00
jSjS
djS
djPjSjR
)( jR
0
2/A
10 0 10 10 10
![Page 35: Fourierova trasnformacija](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062307/557202004979599169a2c837/html5/thumbnails/35.jpg)
Literatura
Oppenheim, Willsky, “Signals and Systems”, Prentice-Hall, Second edition.
MIT OpenCourseWare, Signals and Systems, Oppenheim, Lecture notes, www.ocw.mit.edu.